DFT Fundamentos de la DFT y DCT Segundo Tema Curso TDS ETSE Telecom Universidade de Vigo

1. Tratamiento Digital de SeñalesTEMA 2 : DFT (6 horas) Formulación de la DFT Propiedades de la DFT Métodos de filtrado lineal basados en la DFT Transformada rápida de Fourier (FFT) Transformada discreta del coseno (DCT) TexPoint fonts used in EMF: AAAAAAAAAAAAAAA

2. Página 2 Introducción a la DFT: Muestreo en Frecuencia N muestras 2p/N 2p(N-1)/N 2p p -p

3. Página 3 Extensión Periódica y Muestreo en Frecuencia Para N=5 v Para N=4 Para N=3

4. Página 4 Derivación de la DFT Ecuación 2 Ecuación 1

5. Página 5 CaveatEmptor 2 .5 -1 ¿Es la transformación anterior biunívoca? 1 .5 N=2

6. Página 6 Formulación de la DFT

7. Página 7 Ejemplos DFT 5 puntos … … DFT 7 puntos … …

8. Página 8 Propiedades de la DFT DFT 4 puntos

9. Desplazamiento Circular Para N=5 Página 9

10. Página 10 Dualidad y Simetrías de la DFT N=4 Como x[n] es real, para que X[k] sea real se debe cumplir que x[n]=x[((-n))N] Se cumple en todos los casos, luego la DFT es real

11. Página 11 Dos formas de comprobar la Simetría DFT N par 1 Simétrica!! N=4 N impar 2 Ejede Simetría N=3 5 4 3 N=4 N=4 N=3

12. Página 12 DFT y Convolución Lineal DFT 5 puntos DFT 5 puntos 2p -2p -p p -2p -p p 2p

13. Página 13 DFT y Convolución Lineal (II) DFT-1 Aliasing temporal TF-1 p -p Muestreo Frecuencial N=5 N=5 Extensión Periódica

14. Página 14 DFT y Convolución Circular

15. Página 15 Cálculo de la Convolución Circular N=5 12 10 9 8 1 5 6 4 1 1 1

16. Página 16 Convolución Lineal y Circular N=5 Convolución Lineal en n=6 Convolución Lineal en n=1

17. Página 17 Convolución Lineal y Circular (II) N=7

18. Página 18 Interpretación de la Convolución Circular Intervalo n=0,..N-1 N=5 10 9 Convolución Circular N=5 8 Intervalo n=0,..N-1 5 3 1 N=5 Convolución lineal Convolución Circular y Lineal N=7 N=7 N=7 N=5 N=7

19. Página 19 Filtrado Lineal Basado en la DFT (Introducción) Cierto si se cumple Que N ¸ L+P-1

20. Página 20 Convolución por Bloques Si N ¸ L+P-1 Precalculada (igual para todos los bloques)

21. Página 21 Métodos de convolución por Bloques

22. Página 22 L muestras Sin solapar P-1 Muestas solapadas DFT x H[k] Y DFT-1 Solapamiento y Suma L=4 P=3 N=6 L 2L 0 L+P-2 0 L L 2L+P-2 2L 2L 3L+P-2

23. Página 23 Solapamiento y Almacenamiento P-1 muestras incorrectas N-P+1 Muestras correctas N=5 N=5 N=5 Convolución Circular N=5 Convolución lineal Ejemplo: N=L=5, P=3

24. Página 24 Solapamiento y Almacenamiento (II) Convolución incompleta P-1 muestras incorrectas L=4 P=3 N=4 0 0 L L 2L 3L-1

25. Página 25 Solapamiento y Almacenamiento (III) Despreciamos Las muestras incorrectas Bloques de L muestras solapados P-1 L=4 P=3 N=4 0 L-1 0 L-P+1 2L-P 2(L-P+1) Faltan las P-1 primeras muestas

26. Página 26 Solapamiento y Almacenamiento (III) Despreciamos Las muestras incorrectas L=4 P=3 N=4 Insertamos P-1 ceros 0 L+P-2 0 L 2L-P 2L+P-2 2L 2L

27. Página 27 Solapamiento y Almacenamiento: Resumen

28. Página 28 Transformada rápida de Fourier: FFT

29. Página 29 FFT por Diezmado en Tiempo (H[k]) (G[k])

30. Página 30 Derivación de la FFT (II)

31. Página 31 DFT N/2 Puntos pares DFT N/2 Puntos impares

32. Página 32 DFT N/2 Puntos pares DFT N/2 Puntos impares

33. Página 33 Derivación de la FFT (III) Mariposa De dos puntos

34. Página 34 Diagrama de la FFT Diezmado en Tiempo Usamos sólo N/2 muestras de la exponencial compleja

35. Página 35 Comentarios

36. Página 36 Transformada Coseno (DCT): Introducción Siempre cero para N par ya que H[N/2]=H*[N/2] N/2-1 valores Redundantes (si N par) N/2-1 valores Redundantes (si N par) Siempre cero ya que H[0]=H*[0]

37. Página 37 Obtención de una Transformación Real

38. Página 38 Tipos de DCTs DCT 1 DCT 2 DCT 3 DCT 4

39. Página 39 DCT-2 DCT -2

40. Página 40 Relación Entre DFT y DCT

41. Página 41 Relaciónentre DFT y DCT (II)

42. Página 42 Relación Entre DFT y DCT-2: Ejemplo Desplazamiento de media muestra DFT-1 2N DFT 2N Compleja Pero X2[k]=X2*[-k] Real y simétrica

43. Página 43 Propiedades de la DCT DFT 6 puntos DCT 6 puntos

44. Página 44 Compactación espectral de la DCT Variación más brusca = Mayor contenido en altas frecuencias Extensión Periódica DFT Extensión Periódica DCT Variación más suave = Menor contenido en altas frecuencias

45. Página 45 Ejemplo: JPEG Bloque de 8x8 pixels DCT Cuantificación Altas frecuencias Menos bits Más bits Bajas frecuencias Altas frecuencias Menos bits DCT Coeficientes de menor peso

46. Página 46 Ejemplo JPEG (II) Codificación Con DCT Codificación Con DFT