Este documento presenta una investigación sobre modelos matemáticos para la gestión de inventarios y operaciones. La investigación se estructura en cuatro fases: 1) inventarios como EOQ, EOQ con descuentos y POQ; 2) CPM/PERT incluyendo CPM, PERT y crashing; 3) cadenas de Markov en tiempo discreto; y 4) toma de decisiones bajo condiciones de certeza, incertidumbre y riesgo. Cada fase describe conceptos clave como supuestos, ventajas, fórmulas y aplicaciones

1. EQUIPO INVESTIGADOR
Irennis Flores C.I: 25.358.540
Daniel Lopez C.I: 24.494.102
Abelardo Soler C.I: 24.707.674
Profesor: Jose Vargas C.I: 24.494.101
Ing. Carlena Astudillo
El Tigre, Septiembre de 2018

2. INTRODUCCIÓN
Hoy en día la Gestión de Operaciones provee de modelos matemáticos
que permite enfrentar de una forma sistemática la problemática de la gestión
de inventarios. Estos modelos matemáticos básicamente depende del
comportamiento (basado en supuestos) respecto al comportamiento de la
demanda. Dentro de esta investigación se planteó el objetivo de definir cada
uno de los conceptos que integran estos modelos matemáticos, en virtud a
esto el trabajo investigativo quedara estructurado de la siguiente manera:
 FASE I Inventarios: EOQ, EOQ con descuentos, POQ, Demanda
estocástica.
 FASE II CPM / PERT: CPM, PERT, Crashing.
 FASE III. Cadenas de Markov: Cadenas de Markov en tiempo
discreto, Clasificación de estados en una Cadena de Markov,
Distribución Estacionaria de una Cadena de Markov.
 FASE IV Toma de Decisiones: Condiciones de Certeza, Condiciones
de Incertidumbre y condiciones de riesgo.
Para finalizar con las conclusiones y referencias bibliográficas.

3. FASE I
INVENTARIOS
1. EOQ (Economic Order Quantity)
Es el modelo fundamental para el control de inventarios. Es un método
que, tomando en cuenta la demanda determinista de un producto (es decir,
una demanda conocida y constante), el costo de mantener el inventario, y el
costo de solicitar un pedido, produce como salida la cantidad óptima de
unidades a pedir para minimizar costos por mantenimiento del producto. El
principio del EOQ es simple, y se basa en encontrar el punto en el que los
costos por pedir un producto y los costos por mantenerlo en inventario son
iguales.
Este modelo fue desarrollado en 1913 por Ford Whitman Harris, un
ingeniero que trabajaba en Westinghouse Corporation, aunque el artículo
original en el que se presentaba el modelo fue incorrectamente citado
durante muchos años. Posteriormente la publicación de Harris fue analizada
a profundidad y aplicada extensivamente por el consultor R.H. Wilson, quien
publicó un artículo en 1934 que popularizó el modelo. Por esta razón, este
también suele ser conocido como el Modelo de Wilson.
Supuestos
El modelo EOQ parte de los siguientes supuestos básicos:

4. 1. La demanda es conocida, constante e independiente. En general se
trabaja con unidades de tiempo anuales pero el modelo puede
aplicarse a otras unidades de tiempo.
2. El tiempo de espera, tiempo de carga o tiempo de reabastecimiento,
del proveedor, o de alistamiento es constante y conocido.
3. El inventario se reabastece instantáneamente cuando llega a cero,
con la llegada del lote pedido.
4. No existen descuentos por volumen de pedido.
5. Los costes totales son la suma de los costes de adquisición
(independientes de la cantidad pedida en virtud del supuesto anterior,
y, por tanto, irrelevantes para su cálculo), los costes de mantener el
inventario (proporcionales al volumen/importe del inventario) y los
costes de pedido (fijos por orden); su formulación es constante y
conocida a lo largo del período considerado.
Como consecuencia de estos supuestos:
 No habrá escasez de existencias.
 La cantidad óptima a pedir será constante.
Ventajas e inconvenientes
El modelo de cantidad económica de pedido es ampliamente utilizado
como herramienta de gestión de inventarios en multitud de empresas a nivel
mundial. Esta herramienta abre la ventana a la optimización de la cantidad
por orden minimizando los costes. El modelo de cantidad económica de
pedido se caracteriza por su sencillez a la hora de calcular la cantidad por
orden o pedido. Así mismo, los supuestos que introduce este modelo facilitan
su aplicación pues se asume la existencia de variables constantes como la

5. demanda (tanto la demanda anual es constante, como la demanda durante el
"lead time"). A pesar de ello, es robusto9a la hora de calcular la cantidad
óptima por orden minimizando los costes, pues aunque se produzcan
cambios más o menos significativos en las variables que se asumían
constantes (v.gr: demanda), el aumento de los costes totales respecto a su
punto mínimo es relativamente moderado.
Por otro lado, la sencillez a la hora de calcular y comprender el modelo de
cantidad económica de pedido, que viene dada por los supuestos que utiliza,
también tendrá algunos inconvenientes. Así, el hecho de que la demanda
sea constante se aleja de la realidad, donde se encontrarán demandas
estacionales, demandas irregulares (v.gr: compradores puntuales de grandes
volúmenes), etc. De hecho, la demanda será uno de los elementos más
inestables a los que se enfrentará la empresa a la hora de planificar su
producción. En algunos casos, esta incertidumbre a la hora de predecir la
demanda provocará la utilización de métodos probabilísticos para facilitar el
cálculo de la cantidad óptima por pedido. Así mismo, este método considera
que el nivel de inventario se reabastece instantáneamente, fenómeno que en
la práctica no va a ocurrir en la mayoría de los casos y que llevará a la
utilización del Lote Económico de Producción. Finalmente, se ignoran los
descuentos por grandes volúmenes que en la práctica van a ser un elemento
a considerar a la hora de establecer la cantidad por perdido.
2. EOQ CON DESCUENTOS
El modelo EOQ con descuentos por cantidad es una extensión del modelo
básico de EOQ revisado en la sección anterior y mantiene sus supuestos. Se
asume que el costo de adquisición (C) disminuye en la medida que aumenta
el tamaño de lote. Adicionalmente se considera que el costo de almacenar

6. una unidad en inventario es un porcentaje (I) del costo de adquisición. Por
tanto la fórmula a utilizar es:
Al existir un descuento por cantidad o volumen de compra se genera un
incentivo a pedir lotes de un mayor tamaño, sin embargo, esto a la vez
incrementa el costo de mantener unidades en inventario. Por tanto se busca
determinar la cantidad óptima a pedir para cada nivel o quiebre de precios,
analizar si dicho tamaño de pedido es factible, ajustar el tamaño de lote si es
necesario y finalmente comparar las distintas alternativas para ver cuál de
ellas provee el menor Costo Total el cual está definido por la siguiente
expresión:
3. POQ (Cantidad económica de pedido en producción)
El modelo de Cantidad económica de pedido en producción (POQ)
considera supuestos similares al Modelo de Cantidad Económica de Pedido
(EOQ), sin embargo, asume que el reabastecimiento y consumo se realiza de
forma simultanea durante un período de tiempo determinado luego del cual
sólo se consume (demanda) a una tasa fija. Dicha característica del modelo
de lote económico con producción y consumo simultaneo determina que su
rango de aplicabilidad esta principalmente asociado a sistemas con

7. autoabastecimiento, es decir, donde una parte del sistema productivo
abastece en sus requerimientos a otra.
Los principales supuestos del modelo son:
 La recepción del inventario es constante durante un periodo de
tiempo.
 La producción y demanda es conocida y constante.
 El tiempo de entrega (lead time) se conoce y es constante.
 No existen descuentos por cantidad, sin embargo, dicha condición es
factible de flexibilizar al igual que el Modelo de Cantidad Económica
de Pedidos (EOQ) con descuentos por cantidad.
 Los dos únicos costos relevantes son el costo de mantener el
inventario y el costo de hacer un pedido.
 La falta de existencias (escasez) se evita si la orden se coloca en el
momento adecuado.
Una representación gráfica de la evolución del inventario en función del
tiempo para este modelo se presenta a continuación:

8. Donde d: demanda diaria y f: producción diaria. Luego esta implícito que
f>d. Adicionalmente si buscamos el mínimo de la función de costos totales en
términos del tamaño del lote de producción se obtiene la siguiente solución
para el modelo:
4. DEMANDA ESTOCÁSTICA.
es un concepto matemático que sirve para usar magnitudes aleatorias
que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables
aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable,
generalmente el tiempo.1 Cada una de las variables aleatorias del proceso
tiene su propia función de distribución de probabilidad y pueden o no estar
correlacionadas entre sí.

9. Una de las variaciones de los modelos de control de inventarios con
demanda determinística más ajustados a la realidad es aquella en la cual se
elimina el supuesto de que la demanda es constante a lo largo del horizonte
de planeación, es decir, que la demanda puede variar con el tiempo.

10. FASE II
CPM/PERT
1. CPM (CRITICAL PATH METHOD)
El método CPM o Ruta Crítica (equivalente a la sigla en inglés Critical
Path Method) es frecuentemente utilizado en el desarrollo y control de
proyectos. El objetivo principal es determinar la duración de un proyecto,
entendiendo éste como una secuencia de actividades relacionadas entre sí,
donde cada una de las actividades tiene una duración estimada.
En este sentido el principal supuesto de CPM es que las actividades y sus
tiempos de duración son conocidos, es decir, no existe incertidumbre. Este
supuesto simplificador hace que esta metodología sea fácil de utilizar y en la
medida que se quiera ver el impacto de la incertidumbre en la duración de un
proyecto, se puede utilizar un método complementario como lo es PERT.
Una ruta es una trayectoria desde el inicio hasta el final de un proyecto.
En este sentido, la longitud de la ruta crítica es igual a la trayectoria más
grande del proyecto. Cabe destacar que la duración de un proyecto es igual
a la ruta crítica.
Etapas de CPM
Para utilizar el método CPM o de Ruta Crítica se necesita seguir los
siguientes pasos:
1. Definir el proyecto con todas sus actividades o partes principales.
2. Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe
comenzar antes y cuál debe seguir después.

11. 3. Dibujar un diagrama conectando las diferentes actividades en base a
sus relaciones de precedencia.
4. Definir costos y tiempo estimado para cada actividad.
5. Identificar la trayectoria más larga del proyecto, siendo ésta la que
determinará la duración del proyecto (Ruta Crítica).
6. Utilizar el diagrama como ayuda para planear, supervisar y controlar el
proyecto.
Por simplicidad y para facilitar la representación de cada actividad,
frecuentemente se utiliza la siguiente notación:
Dónde:
IC: Inicio más cercano, es decir, lo más pronto que puede comenzar la
actividad.
TC: Término más cercano, es decir, lo más pronto que puede terminar la
actividad.
IL: Inicio más lejano, es decir, lo más tarde que puede comenzar la actividad
sin retrasar el término del proyecto.
TL: Término más lejano, es decir, lo más tarde que puede terminar la
actividad sin retrasar el término del proyecto.
Adicionalmente se define el término Holgura para cada actividad que
consiste en el tiempo máximo que se puede retrasar el comienzo de una

12. actividad sin que esto retrase la finalización del proyecto. La holgura de una
actividad se puede obtener con la siguiente fórmula:
Holgura = IL - IC = TL - TC
2. PERT (PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE)
El método PERT (Program Evaluation and Review Technique) es una
metodología que a diferencia de CPM permite manejar la incertidumbre en el
tiempo de término de las actividades.
En este sentido el tiempo de ejecución de las actividades es obtenenido a
través de la estimación de 3 escenarios posibles: optimista (a), normal
(m) y pesimista (b). El tiempo (aleatorio) que requiere cada actividad está
asociado a una función probabilística beta, que ha demostrado ser la que
mejor modela la distribución del tiempo de duración de una actividad. A
continuación se presenta un gráfico que muestra la función de densidad de
probabilidad para la función beta, la cual tiene una asimetría positiva.

13. Luego, el tiempo esperado (te) y la varianza asociada a cada actividad se
obtienen a través de las siguientes fórmulas:
3. CRASHING.
Es una técnica utilizada en la gestión de proyectos con el objetivo de
acortar la duración de un proyecto. Este objetivo se logra mediante la
asignación de un mayor número de recursos a las actividades (dinero,
trabajadores, máquinas, etc.) de modo de disminuir la duración de las
actividades. Por tanto, el concepto crashing involucra un análisis costo
beneficio, en el sentido de que un menor tiempo en el proyecto tiene
asociado mayores costos para la empresa.
Para poder realizar este análisis se requiere conocer: estimaciones de
tiempo (duración normal y duración crash) y estimaciones de costo (costo
normal y costo crash).
En principio, tiene sentido reducir el tiempo de aquellas actividades que
son críticas (holgura igual a cero) debido a que si reducimos el tiempo de una
actividad no crítica no reduciremos el tiempo para completar el proyecto. Sin
embargo, se debe tener especial cuidado dado que en la medida que

14. reducimos el tiempo en las actividades críticas, algunas actividades que
inicialmente no eran críticas pueden pasar ahora a ser críticas.

15. FASE III
CADENAS DE MARKOV
En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov o
modelo de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el
que la probabilidad de que ocurra un evento depende solamente del evento
inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria recibe el
nombre de propiedad de Markov.
Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que
lo introdujo en 1907. Estos modelos estadísticos cuentan con un gran
número de aplicaciones reales.
se define como un proceso estocástico discreto que cumple con
la propiedad de Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta
su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante
para describir en probabilidad su estado futuro.
1. CADENAS DE MARKOV EN TIEMPO DISCRETO
Es un proceso estocástico en tiempo discreto con espacio de estados
discreto. Un proceso estocástico {Xn, n = 0, 1, 2,…} es una Cadena de
Markov en Tiempo Discreto (CMTD) si para cada n y xj, j=0,…, n+1, se
verifica
La probabilidad de transición en un paso del estado xn al xn+1 en el
instante n+1 es:

16. Sin pérdida de generalidad y para simplificar la notación, escribiremos la
probabilidad de transición en un paso del estado i al estado j en el instante
n+1 como
La CMTD se denomina homogénea si pij(n) no depende de n, es decir,
En tales casos escribiremos pij en lugar de pij(n).
La matriz formada por las probabilidades de transición en un paso se
denomina matriz de transición o matriz de probabilidades de transición y
toma la forma
P es una matriz cuadrada no negativa cuyas filas suman la unidad, es
decir, 0 ≤ pij ≤ 1 y Σj pij = 1 para cada i � S. Por lo tanto, P es una matriz
estocástica.
Gráficamente, una CMTD con espacio de estados finito se puede
representar mediante un diagrama de transición, es decir, mediante un grafo

17. dirigido finito, donde cada nodo representa un estado de la cadena, los arcos
representan las posibles transiciones entre estados y sobre los arcos se
indican las probabilidades de transición entre los estados representados por
los nodos unidos por cada arco.
2. CLASIFICACIÓN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV
Un estado j se dice accesible desde el estado i si y sólo si para algún n:
Lo anterior implica que existe una probabilidad no nula que comenzando
en el estado i se puede llegar al estado j al cabo de n etapas. En nuestro
ejemplo el estado 2 es accesible desde el estado 0 (dado que desde 0 se
puede acceder a 1 y desde 1 se puede acceder a 2). Es trivial demostrar en
este contexto que el estado 2 es accesible desde 1 (como también 1 lo es
desde 2).
Adicionalmente si tanto el estado i es accesible desde j como viceversa
decimos que los estados i y j se comunican. Notar que 1 es accesible desde
0 (como 0 también es accesible desde 1) por tanto 0 y 1 se comunican.
También es posible demostrar que 1 y 2 se comunican. Luego
por transitividad el estado 0 y 2 se comunican. Lo anterior deja en evidencia
que en el ejemplo todos los estados se comunican entre sí, por lo cual
pertenecen a la misma clase de estados.

18. Una cadena es irreducible si tiene una única clase de estados, es decir,
los estados que la componen se comunican entre sí (son accesibles
viceversa).
Un estado se dice que tiene periodo d, para el mayor valor del
entero d que cumple:
Sólo para valores de n pertenecientes al conjunto {d, 2d, 3d, ….}.
Si d=1decimos que el estado es aperiódico.
En otras palabras, un estado es periódico si, partiendo de ese estado,
sólo es posible volver a él en un número de etapas que sea múltiplo de un
cierto número entero mayor que uno.
En el ejemplo se puede volver a cada estado con probabilidad no nula al
cabo de una etapa, condición suficiente (pero no necesaria) para afirmar que
los estados son aperiódicos.
Se denota por Fk(i,i) la probabilidad de que el proceso retorne al
estado i por primera vez al cabo de exactamente k etapas. De modo que:
Es la probabilidad que partiendo en i, el proceso regrese al estado i alguna
vez.

19. Si F (i, i)=1 se dice que el estado es recurrente (en caso contrario, es decir, F
(i, i) <1, el estado es transciente).
La demostración matemática de que un estado es recurrente no resulta
siempre trivial, no obstante en el ejemplo estamos frente a una cadena
irreducible con un número finito de estados, por tanto dichos estados
son recurrentes positivos.
El concepto de recurrente positivo se refiere a que el valor esperado del
número de etapas que le toma al proceso volver al estado i por primera vez,
partiendo del estado i es un número finito.
En resumen, se concluye que para el ejemplo propuesto, la cadena es
irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos.
3. DISTRIBUCIÓN ESTACIONARIA DE UNA CADENA DE MARKOV.
Se dice que una Cadena de Markov en tiempo discreto admite una
distribución estacionaria en la medida que las probabilidades de largo plazo
existen y es independiente de la distribución inicial (f0).
En este sentido se deben verificar ciertos requisitos para la existencia de
esta distribución de probabilidades de largo plazo: la cadena debe ser
irreducible y sus estados deben ser recurrentes positivos aperiódicos. Se
recomienda revisar en detalle la clasificación de estados antes del cálculo de
la distribución estacionaria.
La distribución estacionaria se obtiene a través de la solución única del
siguiente sistema de ecuaciones:

21. FASE IV
TOMA DE DECISIONES
1. CONDICIONES DE CERTEZA
La toma de decisiones bajo certeza no es un proceso sencillo, cada una
de las tareas a las que se enfrenta quien toma la decisión bajo certidumbre
(identificar los actos disponibles, medir las consecuencias y seleccionar el
mejor acto) involucra el uso de la teoría de la programación lineal.
La certeza o certidumbre es la condición en que los individuos son
plenamente informados sobre un problema, las soluciones alternativas son
obvias, y son claros los posibles resultados de cada decisión. En condiciones
de certidumbre, la gente puede al menos prever (si no es que controlar) los
hechos y sus resultados. Esta condición significa el debido conocimiento y
clara definición tanto del problema como de las soluciones alternativas. Una
vez que un individuo identifica soluciones alternativas y sus resultados
esperados, la toma de la decisión es relativamente fácil. El responsable de
tomar la decisión sencillamente elige la solución con el mejor resultado
potencial. Por ejemplo, de un agente de compras de una imprenta se espera
que ordene papel de calidad estándar al proveedor que ofrezca el menor
precio y mejor servicio. Por supuesto que generalmente el proceso de toma
de decisiones no es tan simple. Un problema puede tener muchas posibles
soluciones, y calcular los resultados esperados de todas ellas puede ser
extremadamente lento y costoso.
2. CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE

22. En muchos problemas de decisiones se presentan variables que no están
bajo el control de un competidor racional y acerca de las cuales quienes
toman las decisiones tiene poca o ninguna información sobre la base de la
cual conocer el estado de cosas futuras. La toma de decisiones bajo
incertidumbre se presenta cuando no puede predecirse el futuro sobre la
base de experiencias pasadas. A menudo se presentan muchas variables
incontrolables. Algunas veces es posible consolidar los efectos de esas
variables no controlables en términos de su distribución de probabilidad. La
toma de decisiones bajo incertidumbre implica que no se conoce la
probabilidad de que prevalezca uno u otro de los estados de resultado.
3. CONDICIONES DE RIESGO
El riesgo es la condición en la que los individuos pueden definir un
problema, especificar la probabilidad de ciertos hechos, identificar soluciones
alternativas y enunciar la probabilidad de que cada solución dé los resultados
deseados. El riesgo suele significar que el problema y las soluciones
alternativas ocupan algún punto intermedio entre los extremos representados
por la plena información y definición y el carácter inusual y ambiguo.

23. CONCLUSIONES
El desarrollo de la presente investigación materializada en los aspectos
teóricos- conceptuales expuestos, permiten llegar a las siguientes
conclusiones:
La cantidad económica de pedido (EOQ) busca encontrar el monto de
pedido que reduzca al mínimo el costo total del inventario de la empresa;
mientras que el modelo de Descuento por Cantidad (EOQ con descuento) se
caracteriza de manera habitual que cuando se adquieren mayores
cantidades de un bien, los proveedores realizan descuentos en el valor de la
unidad comprada.
Por otro lado el modelo de Cantidad económica de pedido en producción
(POQ) considera que el reabastecimiento y consumo se realiza de forma
simultanea durante un período de tiempo determinado luego del cual sólo se
consume (demanda) a una tasa fija; mientras que la demanda estocástica
busca elimina el supuesto de que la demanda es constante a lo largo del
horizonte de planeación, es decir, que la demanda puede variar con el
tiempo.
El PERT se desarrolló para proyectos en donde hubiera incertidumbre en
el tiempo de las actividades, usualmente debido a que el proyecto nunca se
había intentado antes y por tanto no había bases de datos, para los tiempos
de las actividades.
Por otra parte, el CPM se desarrolló para manejar proyectos repetitivos o
similares (ej., mantenimiento de plantas químicas). Obviamente, se gana
gran cantidad de experiencia con el tiempo en tales circunstancias, aun

24. cuando dos proyectos puede que no sean iguales. Esta experiencia llevó al
análisis de técnicas de colisión utilizadas en las redes CPM.
En cuanto al crashing busca acortar la duración de un proyecto; involucra
un análisis costo beneficio, en el sentido de que un menor tiempo en el
proyecto tiene asociado mayores costos para la empresa.
Las cadenas de Markov son una herramienta para analizar el
comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos
estocásticos, esto es, procesos que evolucionan de forma no determinística a
lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.
Para finalizar, podemos decir que la toma de decisiones constituye
esencialmente la elección de una de las posibles alternativas de solución a
un problema actual o potencial, lo cual requiere previamente que se detecte
el problema objeto de estudio y que se busque la información interna y
externa que se requiera. Posteriormente la decisión debe convertirse en una
acción concreta.

25.  REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://www.investigaciondeoperaciones.net/eoq.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/eoq_con_descuentos.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/cpm.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/pert.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/crashing.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/cadenas_de_markov.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/clasificacion_de_estados_e
n_una_cadena_de_markov.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/distribucion_estacionaria_m
arkov.html