inventarios cadena de markov, toma de decisiones

1. EQUIPO INVESTIGADOR
Barreto Yoryina C.I: 22.858.246
Garcia Isbeth C.I: 25.893.095
La Rosa Jorge C.I: 21.175.916
Soto Delysmar C.I: 25.934.338
Profesor:
Ing. Carlena Astudillo
El Tigre, Septiembre de 2018

2. INTRODUCCIÓN
Hoy en día existen varias razones para que una empresa mantenga productos
terminados o insumos como inventario. El inventario permite enfrentar fluctuaciones
de la demanda, evitar quiebres de stock, obtener economías de escala, permite una
mayor flexibilidad productiva, se puede usar como un arma competitiva, etc. La
Gestión de Operaciones provee de modelos matemáticos que permite enfrentar de una
forma sistemática la problemática de la gestión de inventarios.
Dentro de esta investigación se planteó el objetivo de definir cada uno de los
conceptos que integran estos modelos matemáticos, en virtud a esto el trabajo
investigativo quedara estructurado de la siguiente manera:
 FASE I Inventarios: EOQ, EOQ con descuentos, POQ, Demanda
estocástica.
 FASE II CPM / PERT: CPM, PERT, Crashing.
 FASE III. Cadenas de Markov: Cadenas de Markov en tiempo discreto,
Clasificación de estados en una Cadena de Markov, Distribución Estacionaria
de una Cadena de Markov.
 FASE IV Toma de Decisiones: Condiciones de Certeza, Condiciones de
Incertidumbre y condiciones de riesgo.
Para finalizar con las conclusiones y referencias bibliográficas.

4. EOQ (ECONOMIC ORDER QUANTITY)
Es el modelo fundamental para el control de inventarios. Es un método que,
tomando en cuenta la demanda determinista de un producto (es decir, una demanda
conocida y constante), el costo de mantener el inventario, y el costo de solicitar un
pedido, produce como salida la cantidad óptima de unidades a pedir para minimizar
costos por mantenimiento del producto. El principio del EOQ es simple, y se basa en
encontrar el punto en el que los costos por pedir un producto y los costos por
mantenerlo en inventario son iguales.
Este modelo fue desarrollado en 1913 por Ford Whitman Harris, un ingeniero que
trabajaba en Westinghouse Corporation, aunque el artículo original en el que se
presentaba el modelo fue incorrectamente citado durante muchos años.
Posteriormente la publicación de Harris fue analizada a profundidad y aplicada
extensivamente por el consultor R.H. Wilson, quien publicó un artículo en 1934 que
popularizó el modelo. Por esta razón, este también suele ser conocido como el
Modelo de Wilson.
SUPUESTOS
El modelo EOQ parte de los siguientes supuestos básicos:
1. La demanda es conocida, constante e independiente. En general se trabaja con
unidades de tiempo anuales pero el modelo puede aplicarse a otras unidades
de tiempo.
2. El tiempo de espera, tiempo de carga o tiempo de reabastecimiento, del
proveedor, o de alistamiento es constante y conocido.

5. 3. El inventario se reabastece instantáneamente cuando llega a cero, con la
llegada del lote pedido.
4. No existen descuentos por volumen de pedido.
5. Los costes totales son la suma de los costes de adquisición (independientes de
la cantidad pedida en virtud del supuesto anterior, y, por tanto, irrelevantes
para su cálculo), los costes de mantener el inventario (proporcionales al
volumen/importe del inventario) y los costes de pedido (fijos por orden); su
formulación es constante y conocida a lo largo del período considerado.
Como consecuencia de estos supuestos:
 No habrá escasez de existencias.
 La cantidad óptima a pedir será constante.
VENTAJAS E INCONVENIENTES
El modelo de cantidad económica de pedido es ampliamente utilizado como
herramienta de gestión de inventarios en multitud de empresas a nivel mundial. Esta
herramienta abre la ventana a la optimización de la cantidad por orden minimizando
los costes. El modelo de cantidad económica de pedido se caracteriza por su sencillez
a la hora de calcular la cantidad por orden o pedido. Así mismo, los supuestos que
introduce este modelo facilitan su aplicación pues se asume la existencia de variables
constantes como la demanda (tanto la demanda anual es constante, como la demanda
durante el "lead time"). A pesar de ello, es robusto9a la hora de calcular la cantidad
óptima por orden minimizando los costes, pues aunque se produzcan cambios más o
menos significativos en las variables que se asumían constantes (v.gr: demanda), el
aumento de los costes totales respecto a su punto mínimo es relativamente moderado.

6. Por otro lado, la sencillez a la hora de calcular y comprender el modelo de
cantidad económica de pedido, que viene dada por los supuestos que utiliza, también
tendrá algunos inconvenientes. Así, el hecho de que la demanda sea constante se aleja
de la realidad, donde se encontrarán demandas estacionales, demandas irregulares
(v.gr: compradores puntuales de grandes volúmenes), etc. De hecho, la demanda será
uno de los elementos más inestables a los que se enfrentará la empresa a la hora de
planificar su producción. En algunos casos, esta incertidumbre a la hora de predecir la
demanda provocará la utilización de métodos probabilísticos para facilitar el cálculo
de la cantidad óptima por pedido. Así mismo, este método considera que el nivel de
inventario se reabastece instantáneamente, fenómeno que en la práctica no va a
ocurrir en la mayoría de los casos y que llevará a la utilización del Lote Económico
de Producción. Finalmente, se ignoran los descuentos por grandes volúmenes que en
la práctica van a ser un elemento a considerar a la hora de establecer la cantidad por
perdido.
EOQ CON DESCUENTOS
El modelo EOQ con descuentos por cantidad es una extensión del modelo básico
de EOQ revisado en la sección anterior y mantiene sus supuestos. Se asume que el
costo de adquisición (C) disminuye en la medida que aumenta el tamaño de lote.
Adicionalmente se considera que el costo de almacenar una unidad en inventario es
un porcentaje (I) del costo de adquisición. Por tanto la fórmula a utilizar es:
Al existir un descuento por cantidad o volumen de compra se genera un incentivo
a pedir lotes de un mayor tamaño, sin embargo, esto a la vez incrementa el costo de

7. mantener unidades en inventario. Por tanto se busca determinar la cantidad óptima a
pedir para cada nivel o quiebre de precios, analizar si dicho tamaño de pedido es
factible, ajustar el tamaño de lote si es necesario y finalmente comparar las distintas
alternativas para ver cuál de ellas provee el menor Costo Total el cual está definido
por la siguiente expresión:
POQ (Cantidad económica de pedido en producción)
El modelo de Cantidad económica de pedido en producción (POQ) considera
supuestos similares al Modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ), sin
embargo, asume que el reabastecimiento y consumo se realiza de forma simultanea
durante un período de tiempo determinado luego del cual sólo se consume (demanda)
a una tasa fija. Dicha característica del modelo de lote económico con producción y
consumo simultaneo determina que su rango de aplicabilidad esta principalmente
asociado a sistemas con autoabastecimiento, es decir, donde una parte del sistema
productivo abastece en sus requerimientos a otra.
Los principales supuestos del modelo son:
 La recepción del inventario es constante durante un periodo de tiempo.
 La producción y demanda es conocida y constante.
 El tiempo de entrega (lead time) se conoce y es constante.
 No existen descuentos por cantidad, sin embargo, dicha condición es factible
de flexibilizar al igual que el Modelo de Cantidad Económica de Pedidos
(EOQ) con descuentos por cantidad.

8.  Los dos únicos costos relevantes son el costo de mantener el inventario y el
costo de hacer un pedido.
 La falta de existencias (escasez) se evita si la orden se coloca en el momento
adecuado.
Una representación gráfica de la evolución del inventario en función del tiempo
para este modelo se presenta a continuación:
Donde d: demanda diaria y f: producción diaria. Luego esta implícito que f>d.
Adicionalmente si buscamos el mínimo de la función de costos totales en términos
del tamaño del lote de producción se obtiene la siguiente solución para el modelo:
DEMANDA ESTOCÁSTICA.

9. es un concepto matemático que sirve para usar magnitudes aleatorias que varían
con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas)
que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo.1 Cada una de
las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de
probabilidad y pueden o no estar correlacionadas entre sí.
Una de las variaciones de los modelos de control de inventarios con demanda
determinística más ajustados a la realidad es aquella en la cual se elimina el supuesto
de que la demanda es constante a lo largo del horizonte de planeación, es decir, que la
demanda puede variar con el tiempo.

11. CPM (CRITICAL PATH METHOD)
El método CPM o Ruta Crítica (equivalente a la sigla en inglés Critical Path
Method) es frecuentemente utilizado en el desarrollo y control de proyectos. El
objetivo principal es determinar la duración de un proyecto, entendiendo éste como
una secuencia de actividades relacionadas entre sí, donde cada una de las actividades
tiene una duración estimada.
En este sentido el principal supuesto de CPM es que las actividades y sus tiempos
de duración son conocidos, es decir, no existe incertidumbre. Este supuesto
simplificador hace que esta metodología sea fácil de utilizar y en la medida que se
quiera ver el impacto de la incertidumbre en la duración de un proyecto, se puede
utilizar un método complementario como lo es PERT.
Una ruta es una trayectoria desde el inicio hasta el final de un proyecto. En este
sentido, la longitud de la ruta crítica es igual a la trayectoria más grande del proyecto.
Cabe destacar que la duración de un proyecto es igual a la ruta crítica.
ETAPAS DE CPM
Para utilizar el método CPM o de Ruta Crítica se necesita seguir los siguientes
pasos:
1. Definir el proyecto con todas sus actividades o partes principales.
2. Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe comenzar antes
y cuál debe seguir después.
3. Dibujar un diagrama conectando las diferentes actividades en base a sus
relaciones de precedencia.
4. Definir costos y tiempo estimado para cada actividad.

12. 5. Identificar la trayectoria más larga del proyecto, siendo ésta la que
determinará la duración del proyecto (Ruta Crítica).
6. Utilizar el diagrama como ayuda para planear, supervisar y controlar el
proyecto.
Por simplicidad y para facilitar la representación de cada actividad,
frecuentemente se utiliza la siguiente notación:
Dónde:
IC: Inicio más cercano, es decir, lo más pronto que puede comenzar la actividad.
TC: Término más cercano, es decir, lo más pronto que puede terminar la actividad.
IL: Inicio más lejano, es decir, lo más tarde que puede comenzar la actividad sin
retrasar el término del proyecto.
TL: Término más lejano, es decir, lo más tarde que puede terminar la actividad sin
retrasar el término del proyecto.
Adicionalmente se define el término Holgura para cada actividad que consiste en
el tiempo máximo que se puede retrasar el comienzo de una actividad sin que esto
retrase la finalización del proyecto. La holgura de una actividad se puede obtener con
la siguiente fórmula:
Holgura = IL - IC = TL - TC

13. PERT (PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE)
El método PERT (Program Evaluation and Review Technique) es una
metodología que a diferencia de CPM permite manejar la incertidumbre en el tiempo
de término de las actividades.
En este sentido el tiempo de ejecución de las actividades es obtenenido a través de
la estimación de 3 escenarios posibles: optimista (a), normal (m) y pesimista (b). El
tiempo (aleatorio) que requiere cada actividad está asociado a una función
probabilística beta, que ha demostrado ser la que mejor modela la distribución del
tiempo de duración de una actividad. A continuación se presenta un gráfico que
muestra la función de densidad de probabilidad para la función beta, la cual tiene una
asimetría positiva.
Luego, el tiempo esperado (te) y la varianza asociada a cada actividad se obtienen a
través de las siguientes fórmulas:

14. CRASHING.
Es una técnica utilizada en la gestión de proyectos con el objetivo de acortar la
duración de un proyecto. Este objetivo se logra mediante la asignación de un mayor
número de recursos a las actividades (dinero, trabajadores, máquinas, etc.) de modo
de disminuir la duración de las actividades. Por tanto, el concepto crashing involucra
un análisis costo beneficio, en el sentido de que un menor tiempo en el proyecto tiene
asociado mayores costos para la empresa.
Para poder realizar este análisis se requiere conocer: estimaciones de tiempo
(duración normal y duración crash) y estimaciones de costo (costo normal y costo
crash).
En principio, tiene sentido reducir el tiempo de aquellas actividades que son
críticas (holgura igual a cero) debido a que si reducimos el tiempo de una actividad
no crítica no reduciremos el tiempo para completar el proyecto. Sin embargo, se debe
tener especial cuidado dado que en la medida que reducimos el tiempo en las
actividades críticas, algunas actividades que inicialmente no eran críticas pueden
pasar ahora a ser críticas.

16. En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov o modelo de
Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de
que ocurra un evento depende solamente del evento inmediatamente anterior. Esta
característica de falta de memoria recibe el nombre de propiedad de Markov.
Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que lo
introdujo en 1907. Estos modelos estadísticos cuentan con un gran número de
aplicaciones reales.
se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la propiedad de
Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su
estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad
su estado futuro.
CADENAS DE MARKOV EN TIEMPO DISCRETO
Es un proceso estocástico en tiempo discreto con espacio de estados discreto. Un
proceso estocástico {Xn, n = 0, 1, 2,…} es una Cadena de Markov en Tiempo
Discreto (CMTD) si para cada n y xj, j=0,…, n+1, se verifica
La probabilidad de transición en un paso del estado xn al xn+1 en el instante n+1
es:
Sin pérdida de generalidad y para simplificar la notación, escribiremos la
probabilidad de transición en un paso del estado i al estado j en el instante n+1 como

17. La CMTD se denomina homogénea si pij(n) no depende de n, es decir,
En tales casos escribiremos pij en lugar de pij(n).
La matriz formada por las probabilidades de transición en un paso se denomina
matriz de transición o matriz de probabilidades de transición y toma la forma
P es una matriz cuadrada no negativa cuyas filas suman la unidad, es decir, 0 ≤ pij
≤ 1 y Σj pij = 1 para cada i � S. Por lo tanto, P es una matriz estocástica.
Gráficamente, una CMTD con espacio de estados finito se puede representar
mediante un diagrama de transición, es decir, mediante un grafo dirigido finito, donde
cada nodo representa un estado de la cadena, los arcos representan las posibles
transiciones entre estados y sobre los arcos se indican las probabilidades de transición
entre los estados representados por los nodos unidos por cada arco.
CLASIFICACIÓN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV
Un estado j se dice accesible desde el estado i si y sólo si para algún n:

18. Lo anterior implica que existe una probabilidad no nula que comenzando en el
estado i se puede llegar al estado j al cabo de n etapas. En nuestro ejemplo el estado 2
es accesible desde el estado 0 (dado que desde 0 se puede acceder a 1 y desde 1 se
puede acceder a 2). Es trivial demostrar en este contexto que el estado 2 es accesible
desde 1 (como también 1 lo es desde 2).
Adicionalmente si tanto el estado i es accesible desde j como viceversa decimos
que los estados i y j se comunican. Notar que 1 es accesible desde 0 (como 0 también
es accesible desde 1) por tanto 0 y 1 se comunican. También es posible demostrar que
1 y 2 se comunican. Luego por transitividad el estado 0 y 2 se comunican. Lo
anterior deja en evidencia que en el ejemplo todos los estados se comunican entre sí,
por lo cual pertenecen a la misma clase de estados.
Una cadena es irreducible si tiene una única clase de estados, es decir, los
estados que la componen se comunican entre sí (son accesibles viceversa).
Un estado se dice que tiene periodo d, para el mayor valor del entero d que
cumple:
Sólo para valores de n pertenecientes al conjunto {d, 2d, 3d, ….}. Si d=1decimos
que el estado es aperiódico.

19. En otras palabras, un estado es periódico si, partiendo de ese estado, sólo es
posible volver a él en un número de etapas que sea múltiplo de un cierto número
entero mayor que uno.
En el ejemplo se puede volver a cada estado con probabilidad no nula al cabo de
una etapa, condición suficiente (pero no necesaria) para afirmar que los estados
son aperiódicos.
Se denota por Fk(i,i) la probabilidad de que el proceso retorne al estado i por
primera vez al cabo de exactamente k etapas. De modo que:
Es la probabilidad que partiendo en i, el proceso regrese al estado i alguna vez.
Si F (i, i)=1 se dice que el estado es recurrente (en caso contrario, es decir, F (i, i) <1,
el estado es transciente).
La demostración matemática de que un estado es recurrente no resulta siempre
trivial, no obstante en el ejemplo estamos frente a una cadena irreducible con un
número finito de estados, por tanto dichos estados son recurrentes positivos.
El concepto de recurrente positivo se refiere a que el valor esperado del número de
etapas que le toma al proceso volver al estado i por primera vez, partiendo del
estado i es un número finito.
En resumen, se concluye que para el ejemplo propuesto, la cadena es irreducible
con estados recurrentes positivos aperiódicos.

20. DISTRIBUCIÓN ESTACIONARIA DE UNA CADENA DE MARKOV.
Se dice que una Cadena de Markov en tiempo discreto admite una distribución
estacionaria en la medida que las probabilidades de largo plazo existen y es
independiente de la distribución inicial (f0).
En este sentido se deben verificar ciertos requisitos para la existencia de esta
distribución de probabilidades de largo plazo: la cadena debe ser irreducible y sus
estados deben ser recurrentes positivos aperiódicos. Se recomienda revisar en detalle
la clasificación de estados antes del cálculo de la distribución estacionaria.
La distribución estacionaria se obtiene a través de la solución única del siguiente
sistema de ecuaciones:

22. CONDICIONES DE CERTEZA
La toma de decisiones bajo certeza no es un proceso sencillo, cada una de las
tareas a las que se enfrenta quien toma la decisión bajo certidumbre (identificar los
actos disponibles, medir las consecuencias y seleccionar el mejor acto) involucra el
uso de la teoría de la programación lineal.
La certeza o certidumbre es la condición en que los individuos son plenamente
informados sobre un problema, las soluciones alternativas son obvias, y son claros los
posibles resultados de cada decisión. En condiciones de certidumbre, la gente puede
al menos prever (si no es que controlar) los hechos y sus resultados. Esta condición
significa el debido conocimiento y clara definición tanto del problema como de las
soluciones alternativas. Una vez que un individuo identifica soluciones alternativas y
sus resultados esperados, la toma de la decisión es relativamente fácil. El responsable
de tomar la decisión sencillamente elige la solución con el mejor resultado potencial.
Por ejemplo, de un agente de compras de una imprenta se espera que ordene papel de
calidad estándar al proveedor que ofrezca el menor precio y mejor servicio. Por
supuesto que generalmente el proceso de toma de decisiones no es tan simple. Un
problema puede tener muchas posibles soluciones, y calcular los resultados esperados
de todas ellas puede ser extremadamente lento y costoso.
CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE
En muchos problemas de decisiones se presentan variables que no están bajo el
control de un competidor racional y acerca de las cuales quienes toman las decisiones
tiene poca o ninguna información sobre la base de la cual conocer el estado de cosas
futuras. La toma de decisiones bajo incertidumbre se presenta cuando no puede
predecirse el futuro sobre la base de experiencias pasadas. A menudo se presentan
muchas variables incontrolables. Algunas veces es posible consolidar los efectos de

23. esas variables no controlables en términos de su distribución de probabilidad. La
toma de decisiones bajo incertidumbre implica que no se conoce la probabilidad de
que prevalezca uno u otro de los estados de resultado.
CONDICIONES DE RIESGO
El riesgo es la condición en la que los individuos pueden definir un problema,
especificar la probabilidad de ciertos hechos, identificar soluciones alternativas y
enunciar la probabilidad de que cada solución dé los resultados deseados. El riesgo
suele significar que el problema y las soluciones alternativas ocupan algún punto
intermedio entre los extremos representados por la plena información y definición y
el carácter inusual y ambiguo.

24. CONCLUSIONES
El desarrollo de la presente investigación materializada en los aspectos teóricos-
conceptuales expuestos, permiten llegar a las siguientes conclusiones:
Se logró llegar a la conclusión en la fase I, que el inventario es un recurso
empleado pero útil que posee valor económico y representan un importante factor de
control para el flujo operativo de una actividad. Por lo cual se logro entender que la
cantidad económica de pedido (EOQ) busca encontrar el monto de pedido que
reduzca al mínimo el costo total del inventario de la empresa; mientras que el modelo
de Descuento por Cantidad (EOQ con descuento) se caracteriza de manera habitual
que cuando se adquieren mayores cantidades de un bien, los proveedores realizan
descuentos en el valor de la unidad comprada. Por otro lado el modelo de Cantidad
económica de pedido en producción (POQ) considera que el reabastecimiento y
consumo se realiza de forma simultanea durante un período de tiempo determinado
luego del cual sólo se consume (demanda) a una tasa fija.
Se llegó a la conclusión en la fase II, que el PERT y CPM han sido aplicados a
numerosos proyectos. El PERT se desarrolló para proyectos en donde hubiera
incertidumbre en el tiempo de las actividades, usualmente debido a que el proyecto
nunca se había intentado antes y por tanto no había bases de datos, para los tiempos
de las actividades. Por otra parte, el CPM se desarrolló para manejar proyectos
repetitivos o similares (ej., mantenimiento de plantas químicas). Obviamente, se gana
gran cantidad de experiencia con el tiempo en tales circunstancias, aun cuando dos
proyectos puede que no sean iguales. Esta experiencia llevó al análisis de técnicas de
colisión utilizadas en las redes CPM.
Para concluir en la fase III, podemos decir que las cadenas de Markov son una
herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de

25. procesos estocásticos, esto es, procesos que evolucionan de forma no determinística a
lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.
En conclusión de la fase IV, podemos decir que la toma de decisiones constituye
esencialmente la elección de una de las posibles alternativas de solución a un
problema actual o potencial, lo cual requiere previamente que se detecte el problema
objeto de estudio y que se busque la información interna y externa que se requiera.
Posteriormente la decisión debe convertirse en una acción concreta.

26.  REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Nahmias, (2007), Análisis de la producción y las operaciones. Editorial
McGraw-Hill.
 Ballou, Ronald (2004), Logística. Editorial Pearson Prentice-Hall.
 Hopp, Wallace; Spearman, Mark (2000), Factory Phisics. Editorial McGraw-
Hill.
 Washburn University, EOQ Formula (enlace roto disponible en Internet
Archive; véase el historial y la última versión)., último acceso el 22/03/1010.
 Silver, Edward; Pyke, David; Peterson, Rein (1998), Inventory Management
and Production Planning and Scheduling. Tercera edición, John Wiley &
Sons.
 Vargas, Jorge, Modelo de la cantidad económica a ordenar (EOQ), Instituto
Tecnológico Superior de Calkini, último acceso el 22/03/1010.
 Jay Heizer, Barry Render (2011), "Operations Management" (Pearson)
 Inventoryops, Economic Order Quantity, último acceso el 22/03/1010.
 Jay Heizer, Barry Render (2011) "Operations Management 10th edition"
p.497-540
 Taha, H.A. Investigación de Operaciones, 6ª ed., Prentice Hall, 1998.
 HILLIER, Frederick S., LIEBERMAN, Gerald J. Investigación de
Operaciones. Edición Séptima: McGraw-Hill, 2002. Teoría de Inventarios:
Páginas 935-987.