inventarios (EOQ, POQ y demanda estocastica) CPM/PERT/CRASHING Toma de Decisiones (condiciones de certeza, incertidumbre y riesgo)

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Universidad Politécnica Territorial José Antonio Anzoátegui
El Tigre – Estado Anzoátegui
Catedra: Investigación de Operaciones
Profesor (a): Alumno (a):
Carlena Astudillo Flor Alejandra Ruiz Soto
C.I. 24.758.887
MM01
El Tigre, septiembre de 2018

2. INTRODUCCION
A partir de la Revolución Industrial el mundo ha tenido un notable crecimiento en
la magnitud y complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres de la
Antigüedad se han desarrollado hasta llegar a las corporaciones con capitales
de miles de millones de dólares de la actualidad. Podemos seguir la huella de
las raíces de la investigación de operaciones muchos años atrás, cuando se
hicieron los primeros intentos para utilizar un punto de vista científico en la
administración de las organizaciones. Sin embargo, generalmente se atribuye el
inicio de la actividad humana llamada investigación de operaciones a
los servicios militares al principio de la segunda guerra mundial.
Los Inventarios representan un importante factor de control para el flujo operativo
de una actividad. Estos existen debido al hecho de que NO hay una respuesta
inmediata de los suministros por parte de los proveedores, que garanticen una
dinámica estable en la Cadena Logística. Esta última, encierra en un todo, cada
una de las operaciones fundamentales de una empresa, desde la obtención de
la Materia prima, fabricación y almacenamiento, hasta la distribución del
producto final a los mercados
Otro tema de suma importancia que hacemos mención, son las cadenas de
Markov, que hacen referencia a una herramienta para analizar el
comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos,
esto es, procesos que evolucionan de forma no determinística a lo largo del
tiempo en torno a un conjunto de estados. Una cadena de Márkov, por tanto,
representa un sistema que varía un estado a lo largo del tiempo, siendo cada
cambio una transición del sistema.
Para tales cadenas, se hace el uso de diversos términos involucrados para un
mejor entendimiento, como son: Los estados son la caracterización de la
situación en que se halla el sistema en un instante dado, matriz de transición:
Que es el arreglo numérico donde se condensa las probabilidades de un estado
a otro. La matriz regular: es una matriz cuadrada que posee inversa. Estado
recurrente: Un estado es recurrente si después de haber entrado a este estado,
el proceso definitivamente regresa a ese estado, Matriz ergódica: Si los estados
en una cadena son recurrentes, aperiódicos y se comunican entre si. Estados
absorbentes: Una cadena de Márkov en la que uno o más estados es un estado
absorbente, es una cadena de Márkov absorbente.
Ahora bien, es un proceso durante el cual la persona debe escoger entre dos o
más alternativas. Todos y cada uno de nosotros pasamos los días y las horas de
nuestra vida teniendo que tomar decisiones. Algunas decisiones tienen una
importancia relativa en el desarrollo de nuestra vida, mientras otras son
gravitantes en ella.

3. Para los administradores, el proceso de toma de decisión es sin duda una de las
mayores responsabilidades. La toma de decisiones en una organización se
circunscribe a una serie de personas que están apoyando el mismo proyecto.
Debemos empezar por hacer una selección de decisiones, y esta selección es
una de las tareas de gran trascendencia.
Con frecuencia se dice que las decisiones son algo así como el motor de
los negocios y en efecto, de la adecuada selección de alternativas depende en
gran parte el éxito de cualquier organización. Una decisión puede variar en
trascendencia y connotación. Los administradores consideran a veces la toma
de decisiones como su trabajo principal, porque constantemente tienen que
decidir lo que debe hacerse, quién ha de hacerlo, cuándo y dónde, y en
ocasiones hasta cómo se hará. Sin embargo, la toma de decisiones sólo es un
paso de la planeación, incluso cuando se hace con rapidez y dedicándole
poca atención o cuando influye sobre la acción sólo durante unos minutos.

4. Sistema de EOQ
(Cantidad Económica de Pedido)
El sistema EOQ (Economic Order Quantity) ya se utiliza desde hace muchos
años, también es conocido por sus siglas en español modelo CEP (Cantidad
Económica de Pedido) o por lote económico de pedido. Concretamente fue en
el 1913 cuando Ford Whitman Harris lo puso en marcha, aunque, para ser
realistas, se popularizó en 1934 de la mano de R.H. Wilson. Este modelo toma
sus siglas de la palabra en inglés Economic Order Quantity, cuya traducción al
castellano sería Cantidad Económica de Pedido.
El modelo tiene en cuenta una demanda constante y conocida a priori, y en
base a esto trata de saber que mediante el coste de mantenimiento de un
inventario y el costo de ordenar el pedido se puedan obtener las cantidades
óptimas a pedir, todo ello minimizando el coste de inventario al máximo.
Para poner en marcha este modelo es necesario que la empresa tenga claro en
qué supuestos se basa éste para que todo llegue a buen puerto:
➢ La demanda es conocida. Este es el primer punto sobre el cual se
elabora el modelo. La empresa tiene que centrar sus esfuerzos en saber
qué demanda tendrá de sus productos. Hay que pensar que ésta debe
ser una predicción realista para que el aporte que realice el modelo sea lo
más preciso posible.
➢ La demanda es constante e independiente. Otro de los puntos que se
tiene que tener claro es que la demanda va a ser siempre constante e
independiente de otro tipo de acciones.
➢ No existen descuentos por volumen en los pedidos por lo que no se
pueden plasmar compras más eficientes en diferentes momentos del
tiempo.
➢ El tiempo de reposición de inventario es 0. Se presupone que, en nada
se agoten las existencias del inventario, éstas se repondrán
inmediatamente.
➢ La frecuencia del tiempo de reposición del inventario es constante y
no varía en el tiempo, es decir, siempre se repone cada X tiempo.

5. Con estos supuestos se entiende que con el modelo EOQ no hay ruptura de
stock (con las consecuencias que ello supone) y que, además, siempre se
pedirán las mismas unidades para reponer el stock, es decir, se tendrá unos
pedidos siempre constantes.
Modelo EOQ
(Pros y Contras de su utilización en la
Supply Chain)
Una vez claro cómo funciona el modelo EOQ es el momento de preguntarse, ¿es
beneficioso implementarlo en la empresa? Como en todo, hay pros y contras en
su aplicación.
 Beneficios de emplear el modelo EOQ
El modelo EOQ es empleado a nivel mundial, un hecho que es propiciado por la
cantidad de beneficios que se esconden tras él.
➢ El primero de todos es su sencillez. Realizar el cálculo que se esconde
detrás del modelo y ponerlo en práctica es realmente sencillo, sobre todo
si lo comparamos con el resto de modelos que son sustitutivos de éste en
el mercado.
➢ Es un modelo robusto y que, pese a que se basa en predicciones y
estimaciones, da muy buenos resultados.
 Inconvenientes
Pese a los beneficios que trae consigo, el modelo EOQ también acarrear
algunos inconvenientes:
• El principal, y más preocupante de este modelo, es que se puede alejar
mucho de la realidad por los supuestos que emplea para su cálculo. Por
ejemplo suponer que existe una demanda constante o que el inventario
se agota de manera constante dista de lo que sucede en la realidad en el
mercado actual ya que en éste hay productos con demandas
estacionales, demandas puntuales, demandas irregulares y todo ello
puede afectar de una manera u otra a la demanda del producto de la
empresa.

6. • Pensar que el inventario se restaura con inmediatez es algo que tampoco
es de lo más cierto. A la hora de gestionar un inventario lo ideal es no
toparse con rupturas de stock pero, por desgracia, en muchos casos se
suele tardar en reponer todo el inventario, existiendo así rupturas de
manera habitual.
• Los descuentos por gran volumen no entran a formar parte de este
modelo, pero, sin embargo, sí que son muy habituales en los métodos de
comercialización y negociación actuales por lo que, no contar con ellos
puede suponer un error.
¿Por qué las empresas almacenan inventario? Existen varias razones para
que una empresa mantenga productos terminados o insumos como inventario.
El inventario permite enfrentar fluctuaciones de la demanda, evitar quiebres de
stock, obtener economías de escala, permite una mayor flexibilidad productiva,
se puede usar como un arma competitiva, etc.
Entonces, si mantener inventarios tiene importantes beneficios asociados ¿Por
qué no llenamos nuestras bodegas de inventario? Las respuestas son múltiples,
pero todas mantienen una base común: Costos. Se afirma que mantener
inventarios es un "mal necesario" dado los costos asociados a la gestión de
inventarios. En este sentido podemos clasificar los costos de inventario en:
1. Costo de Órdenes: costo que se incurre cada vez que se emite una
orden.
2. Costo de mantener Inventario: arriendo de bodegas, depreciación,
costo de oportunidad, pérdidas, seguros, etc.
3. Costo de quiebre de stock: es más difícil de estimar y está asociada al
costo de la venta pérdida (perder un cliente, deterioro de imagen, multas,
etc)
 Supuestos de EOQ (Cantidad Económica de Pedido)
1. Demanda constante y conocida
2. Un solo producto
3. Los productos se producen o se compran en lotes
4. Cada lote u orden se recibe en un sólo envío
5. El costo fijo de emitir una orden es constante

7. 6. El Lead Time (Tiempo de Espera) es conocido y constante
7. No hay quiebre de stock
8. No existen descuentos por volumen
 El modelo considera los siguientes parámetros:
D: Demanda. Unidades por año
S: Costo de emitir una orden
H: Costo asociado a mantener una unidad en inventario en un año
Q: Cantidad a ordenar
En consecuencia, el costo anual de mantener unidades en inventario es H * Q/2 y
el costo de emitir órdenes para el mismo período es S * D/Q. Por tanto, la función
de costo total (anual) asociado a la gestión de inventarios es C(Q) = H * (Q/2) +
S * (D/Q). Si derivamos esta función respecto a Q e igualamos a cero (de modo
de encontrar un mínimo para la función) obtenemos la siguiente fórmula para el
modelo EOQ que determina la cantidad óptima de pedido:
Para un mejor entendimiento de la metodología se presenta el siguiente gráfico.
La altura de cada triángulo representa el tamaño óptimo de pedido que minimiza
la función de costos totales. La base del triángulo es el tiempo que pasa desde
que se recibe la orden hasta que se termina el lote (este tiempo se conoce como
el tiempo de ciclo). Adicionalmente se puede identificar el punto de reorden (ROP
= d * TE) que es un nivel crítico de inventario de modo que cada vez que el

8. inventario llegue a ese nivel se hace un pedido de Q* unidades. Dado que existe
un tiempo de espera (conocido) desde que se emite la orden hasta que se
dispone del lote, una vez que se termina el inventario se dispone inmediatamente
del nuevo lote y de esta forma no existe quiebre de stock.
EJEMPLO: Una empresa enfrenta una demanda anual de 1.000 unidades de su
principal producto. El costo de emitir una orden es de $10 y se ha estimado que
el costo de almacenamiento unitario del producto durante un año es de $2,5.
Asuma que el Lead Time (Tiempo de Espera) desde que se emite una orden
hasta que se recibe es de 7 días. Determine la cantidad óptima de pedido
utilizando EOQ que minimiza los costos totales. ¿Cuál es el punto de reorden
(ROP)?
El tamaño óptimo de pedido (Q*) que minimiza los costos totales es 90 unidades.
Adicionalmente, cada vez que el inventario llega a 20 unidades se emite un
nuevo pedido por 90 unidades.
EXTENSIONES: Es posible considerar que el costo de mantener una unidad en
inventario (H) se puede representar alternativamente como un porcentaje del
costo de adquisición. En este caso en la fórmula de EOQ se debe reemplazar H
por I*C, donde I representa un porcentaje y C el costo unitario de adquisición. Un
ejemplo de esto se puede revisar en la aplicación del modelo EOQ con
descuentos por cantidad.

9. EOQ Con Descuento por Cantidad
El modelo EOQ con descuentos por cantidad es una extensión del modelo
básico de EOQ revisado en la sección anterior y mantiene sus supuestos. Se
asume que el costo de adquisición (C) disminuye en la medida que aumenta
el tamaño de lote. Adicionalmente se considera que el costo de almacenar una
unidad en inventario es un porcentaje (I) del costo de adquisición. Por tanto
la fórmula a utilizar es:
Al existir un descuento por cantidad o volumen de compra se genera un incentivo
a pedir lotes de un mayor tamaño, sin embargo, esto a la vez incrementa el costo
de mantener unidades en inventario. Por tanto se busca determinar la cantidad
óptima a pedir para cada nivel o quiebre de precios, analizar si dicho tamaño
de pedido es factible, ajustar el tamaño de lote si es necesario y finalmente
comparar las distintas alternativas para ver cuál de ellas provee el menor Costo
Total el cual está definido por la siguiente expresión:
Ejemplo de EOQ con descuentos por cantidad
Un proveedor le ofrece la siguiente tabla de descuento para la adquisición de su
principal producto, cuya demanda anual usted ha estimado en 5.000 unidades.
El costo de emitir una orden de pedido es de $49 y adicionalmente se ha
estimado que el costo anual de almacenar una unidad en inventario es un 20%
del costo de adquisición del producto. ¿Cuál es la cantidad de la orden que
minimiza el costo total del inventario?.
Tamaño del Lote (Unidades) Descuento (%)
Valor del Producto
($/Unidad)
0 a 999 0% 5
1.000 a 1999 4% 4,8
2.000 o más 5% 4,75

10. Para dar respuesta a esta situación se propone seguir los siguientes pasos:
PASO 1: Determinar el tamaño óptimo de pedido (Q*) para cada nivel o quiebre
de precios.
PASO 2: Ajustar la cantidad a pedir en cada quiebre de precio en caso de ser
necesario. En nuestro ejemplo para el tramo 1 Q(1)=700 unidades esta en el
intervalo por tanto se mantiene; para el tramo 2 Q(2)=714 está por debajo de la
cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando
Q(2)=1.000; finalmente en el tramo 3 Q(3)=718 que también está por debajo de
la cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando
Q(3)=2.000
PASO 3: Calcular el costo asociado a cada una de las cantidades determinadas
(utilizando la fórmula de costo total presentada anteriormente)
Costo Tramo 1 = C(700)=$25.700
Costo Tramo 2 = C(1.000)=$24.725
Costo Tramo 3 = C(2.000)=$24.822
Se concluye que el tamaño óptimo de pedido que minimiza los costos totales es
1.000 unidades, con un costo total anual de $24.725.
Lote Económico con Producción y
Consumo Simultaneo (POQ)
El modelo de Lote Económico con Producción y Consumo Simultaneo
(POQ)considera supuestos similares al Modelo de Cantidad Económica de
Pedido (EOQ), sin embargo, asume que el reabastecimiento y consumo se
realiza de forma simultánea durante un período de tiempo determinado luego del
cual sólo se consume (demanda) a una tasa fija.

11. Dicha característica del modelo de lote económico con producción y consumo
simultaneo determina que su rango de aplicabilidad esta principalmente
asociado a sistemas con autoabastecimiento, es decir, donde una parte del
sistema productivo abastece en sus requerimientos a otra.
Los principales supuestos del modelo son:
• La recepción del inventario es constante durante un periodo de tiempo.
• La producción y demanda es conocida y constante.
• El tiempo de entrega (lead time) se conoce y es constante.
• No existen descuentos por cantidad, sin embargo, dicha condición es
factible de flexibilizar al igual que el Modelo de Cantidad Económica de
Pedidos (EOQ) con descuentos por cantidad.
• Los dos únicos costos relevantes son el costo de mantener el inventario y
el costo de hacer un pedido.
• La falta de existencias (escasez) se evita si la orden se coloca en el
momento adecuado.
Una representación gráfica de la evolución del inventario en función del tiempo
para este modelo se presenta a continuación:
Donde d: demanda diaria y f: producción diaria. Luego está implícito que f>d.
Adicionalmente si buscamos el mínimo de la función de costos totales en

12. términos del tamaño del lote de producción se obtiene la siguiente solución para
el modelo:
Ejemplo Lote Económico con Producción y Consumo Simultaneo (POQ)
Una empresa puede producir un artículo o comprarlo a un contratista. Si lo
produce le costará $30 cada vez que prepare sus máquinas. La tasa de
producción f es 150 unidades diarias. Si lo compra a un contratista le
costará $20 emitir un pedido. El costo de mantener un artículo en existencia, sea
producido o comprado, es de $0,02 por unidad y por día. El consumo estimado
de ese artículo por la empresa es de 29.200 unidades anuales. Suponiendo que
no se permiten unidades faltantes, ¿la empresa debe producir o debe
comprar? Asuma que un año tiene 365 días.
Al utilizar el modelo de Lote Económico con Producción y Consumo
Simultaneo se obtiene que la política óptima es generar lotes de producción
de 717 unidades cada vez que se requiera. Notar que la demanda diaria d
corresponde a 80 unidades (29.200[u/año]/365[días/año]).
El costo total anual asociado a este plan es de $2.443 (POQ). Si utilizamos EOQ
el tamaño óptimo de pedido es:

13. Obteniéndose en este caso un Costo Total Anual (EOQ) de $2.920 por lo cual
se recomienda en este caso el autoabastecimiento y por tanto la utilización de
los resultados del modelo de lote económico con producción y consumo
simultaneo.
Actualización: Con el objeto de detallar el cálculo de los costos totales para el
ejemplo anterior, a continuación se presenta el detalle del procedimiento que
corrobora los resultados anteriormente expuestos.
El Costo Total Anual para el caso del modelo POQ se obtiene de:
Para el caso del modelo de Cantidad Económica de Pedido o EOQ, el Costo
Total Anual se obtiene de:
Demanda Estocástica
El análisis de inventarios trata del mantenimiento de bienes almacenados y
dispuestos para ser usados o vendidos. Entran en juego diferentes tipos de
costes económicos, como los que se derivan del propio almacenamiento, la
compra de nuevas remesas para reponer en el almacén, o los gastos en que se
incurre cuando una demanda no puede ser satisfecha por falta de existencias.
El responsable del almacén debe decidir cuándo ordenar una nueva remesa y
en qué cantidades con el fin de minimizar los costes.

14. Los modelos de inventarios pueden ser deterministas o estocásticos,
dependiendo del conocimiento que se tenga del comportamiento de la demanda.
Tratamos aquí la situación en la que almacenamos un solo producto con
demanda aleatoria con distribución de probabilidad conocida; es decir, en un
instante arbitrario se demandará una cantidad z con densidad de
probabilidad f(z)f(z). El modelo que vamos a estudiar es para un solo período, al
principio del cual se debe satisfacer la demanda.
El modelo sigue el siguiente esquema: suponemos que partimos de un inventario
con x unidades ya almacenadas, y sabemos que en el instante inicial se va a
producir un pedido aleatorio de z unidades con distribución de probabilidad
conocida. Lo que debemos decidir es cuántas unidades y debe haber en el
inventario, y por lo tanto reponer y−xy−x, para minimizar costes. Si la demanda
es menor que lo disponible en el almacén, tendremos que hacer frente a costes
de almacenamiento; si la demanda es mayor, los costes serán los debidos a las
demandas no satisfechas.
Los elementos que forman parte de este modelo son los siguientes:
f(z)f(z):
Densidad de probabilidad para una demanda de zz unidades de producto.
x:
Cantidad de producto disponible en inventario al inicio del periodo.
hh:
Coste unitario de mantenimiento de inventario. Para una cantidad u en
inventario, el coste de mantenimiento será h⋅uh⋅u.
cc:
Coste unitario de producción. Para una cantidad uproducida, el coste de
producción será c⋅uc⋅u.
pp:
Coste unitario de penalización por demandas no satisfechas. Para una
cantidad u no satisfecha, el coste de penalización será p⋅up⋅u.
y:
Variable de decisión que denota la cantidad de producto que debe haber
en el inventario antes de que se produzca la demanda. Se deberá producir
o realizar un pedido igual a y−xy−x.
La función de coste total es la suma del coste de producción, más el coste de
mantenimiento, más el de penalización. Al ser la demanda una variable aleatoria,
el coste también lo es, siendo su esperanza E[C(y,Z)]E[C(y,Z)]:
assume(y>0)$
E: c*(y-x) + integrate(p*(z-y)*f(z),z,y,inf) + integrate(h*(y-z)*f(z),z,0,y);
p∫∞y(z−y)f(z)dz+h∫y0(y−z)f(z)dz+c(y−x)p∫y∞(z−y)f(z)dz+h∫0y(y−z)f(z)dz+c(y−x)
Hemos utilizado el hecho de que si la demanda es menor que la cantidad
almacenada en inventario, z<yz<y, la penalización es nula; además, si la
demanda es mayor que el inventario, z>yz>y, el coste de mantenimiento también
se anula.

15. El problema que se plantea es
Min.sujeto aE[C(y,Z)]y≥xMin.E[C(y,Z)]sujeto ay≥x
Puestos a minimizar el coste esperado, derivamos respecto de y, la cantidad de
producto que queremos que haya en almacén antes de que se produzca la
demanda,
dE: diff(E,y);
−p∫∞yf(z)dz+h∫y0f(z)dz+c−p∫y∞f(z)dz+h∫0yf(z)dz+c
Puesto que f(z)f(z) es una función de densidad de probabilidad, hacemos uso de
la igualdad
∫y0f(z)dz+∫∞yf(z)dz=1,∫0yf(z)dz+∫y∞f(z)dz=1,
dE: subst(integrate(f(z), z, y, inf)= 1 - integrate(f(z), z, 0, y), dE);
h∫y0f(z)dz−p(1−∫y0f(z)dz)+ch∫0yf(z)dz−p(1−∫0yf(z)dz)+c
Despejamos ahora la expresión integral,
solve(dE, integrate(f(z), z, 0, y));
[∫y0f(z)dz=p−cp+h][∫0yf(z)dz=p−cp+h]
Teniendo en cuenta que la integral es la función de distribución de la variable
aleatoria Z, podemos decir que la cantidad óptima y∗y∗ de unidades que debe
haber en el inventario antes de que se produza la demanda debe cumplir
F(y∗)=p−cp+h,F(y∗)=p−cp+h,
lo que nos llevaría a tener que reponer y∗−xy∗−x unidades, ya que x es la
cantidad que ya había antes de comenzar el periodo.
Por ejemplo, si se da el caso en el que el coste unitario de reposición es c=0.5,
el de mantenimiento de almacén h=0.5 y el de penalización por cada demanda
no satisfecha es p=4.5, siendo el caso que la demanda aleatoria Z tiene
distribución continua uniforme en el intervalo [0,1000], hacemos:
load(distrib)$
(c: 0.5, h: 0.5, p: 4.5, a: 0, b: 1000)$
yopt: quantile_continuous_uniform ((p-c)/(p+h),a,b);
800.0800.0
Si la cantidad ya disponible en el almacén es x≥800x≥800, no es necesario
reponer, pero si x<800x<800, la reposición sería de 800-x unidades de producto.
Para calcular el coste de este plan de inventario, necesitamos sustituir en el coste
estimado los costes individuales p, h y c, el valor óptimo calculado y∗y∗, la
expresión de la función de densidad para Z y ajustamos el límite de integración
para esta densidad,

16. E: subst(['p=p,'h=h,'c=c,y=yopt,f(z)=1/(b-a),inf=b], E);
0.004500000000000001∫1000800.0z−800.0dz+5.0×10−4∫800.00800.0−zdz+0.5
(800.0−x)0.004500000000000001∫800.01000z−800.0dz+5.0×10−4∫0800.0800.0
−zdz+0.5(800.0−x)
forzamos el cálculo de las integrales,
ev(E,nouns);
0.5(800.0−x)+250.00.5(800.0−x)+250.0
El coste de este plan de inventario depende, como era de esperar, de la cantidad
que ya hubiese inicialmente en el almacén, x<800x<800.
Critical Path Method (CPM) o
Ruta Critica
El método CPM o Ruta Crítica (equivalente a la sigla en inglés Critical Path
Method) es frecuentemente utilizado en el desarrollo y control de proyectos. El
objetivo principal es determinar la duración de un proyecto, entendiendo éste
como una secuencia de actividades relacionadas entre sí, donde cada una de
las actividades tiene una duración estimada.
En este sentido el principal supuesto de CPM es que las actividades y sus
tiempos de duración son conocidos, es decir, no existe incertidumbre. Este
supuesto simplificador hace que esta metodología sea fácil de utilizar y en la
medida que se quiera ver el impacto de la incertidumbre en la duración de un
proyecto, se puede utilizar un método complementario como lo es PERT.
Una ruta es una trayectoria desde el inicio hasta el final de un proyecto. En este
sentido, la longitud de la ruta crítica es igual a la la trayectoria más grande del
proyecto. Cabe destacar que la duración de un proyecto es igual a la ruta crítica.
 Etapas de CPM
Para utilizar el método CPM o de Ruta Crítica se necesita seguir los siguientes
pasos:
1. Definir el proyecto con todas sus actividades o partes principales.
2. Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe comenzar
antes y cuál debe seguir después.

17. 3. Dibujar un diagrama conectando las diferentes actividades en base a sus
relaciones de precedencia.
4. Definir costos y tiempo estimado para cada actividad.
5. Identificar la trayectoria más larga del proyecto, siendo ésta la que
determinará la duración del proyecto (Ruta Crítica).
6. Utilizar el diagrama como ayuda para planear, supervisar y controlar el
proyecto.
Por simplicidad y para facilitar la representación de cada actividad,
frecuentemente se utiliza la siguiente notación:
Donde:
IC : Inicio más cercano, es decir, lo más pronto que puede comenzar la actividad.
TC : Término más cercano, es decir, lo más pronto que puede terminar la
actividad.
IL : Inicio más lejano, es decir, lo más tarde que puede comenzar la actividad sin
retrasar el término del proyecto.
TL : Término más lejano, es decir, lo más tarde que puede terminar la actividad
sin retrasar el término del proyecto.
Adicionalmente se define el término Holgura para cada actividad que consiste
en el tiempo máximo que se puede retrasar el comienzo de una actividad sin que
esto retrase la finalización del proyecto. La holgura de una actividad se puede
obtener con la siguiente fórmula:
Holgura = IL - IC = TL - TC
EJEMPLO: A continuación, se presenta un resumen de las actividades que
requiere un proyecto para completarse. El tiempo de duración de cada actividad
en semanas es fijo. Se solicita que estime la duración total del proyecto a través
del método CPM.

18. Actividad Duración (sem)
Actividad
Predecesora
A 6 -
B 8 -
C 12 A,B
D 4 C
E 6 C
F 15 D,E
G 12 E
H 8 F,G
En consideración a las etapas del método CPM definidas anteriormente, en este
caso se debe desarrollar el paso 3 y 5. En este sentido es necesario construir el
diagrama identificando las relaciones entre las actividades y con el objetivo de
resumir la metodología se incorporará inmediatamente el cálculo de la Holgura,
IC, TC, IL, TL para cada actividad, junto con la identificación de la ruta crítica.
Primero se construye el diagrama identificando cada actividad en un nodo
(círculo) con su nombre respectivo y entre paréntesis el tiempo estimado. Las
flechas entre actividades señalan las relaciones de predecencia, por ejemplo, la
actividad F sólo puede comenzar una vez terminadas las actividades D y E.

19. Luego, se identifica para cada actividad los indicadores IC y TC. Por ejemplo,
para la actividad C el inicio más cercano es 8 (esto porque C sólo puede
comenzar una vez terminada A y B, siendo B la que más se demora y termina
en 8) y el término más cercano es 20 (dado que la actividad C demora 12
semanas).
Posteriormente se obtiene el IL y TL para cada actividad. Con esta información
el cálculo de la holgura de cada actividad es simple. Para obtener el IL y TL de
cada actividad nos "movemos" desde el final hasta el inicio. En este caso la
actividad que termina más tarde es H (49 sem) y por tanto nos preguntamos
cuándo es lo más tarde que podría termina H sin retrasar el proyecto (TL), esto
claramente es 49. Por tanto si lo más tarde que puede terminar H es 49, lo más
tarde que puede comenzar H para cumplir este tiempo es 41 (dado que H dura
8 sem). Luego, la holgura de H es cero. Notar que las actividades con holgura
igual a cero corresponden a las actividades de la ruta crítica.
Adicionalmente, un proyecto puede tener más de una ruta crítica.
En nuestro ejemplo la ruta crítica (única) está conformada por las actividades B-
C-E-F-H con una duración total de 49 semanas.
EXTENSIONES: Muchas veces es necesario reducir la duración del proyecto
para lo cual se deben asignar más recursos (personas, dinero, etc.) a las
respectivas actividades. Este concepto se conoce como Crashing el cual se
revisa en este sitio. Adicionalmente, la metodología PERT nos permite asumir
distintos escenarios de ocurrencia para los tiempos de duración de cada
actividad. De esta forma podemos estimar, por ejemplo, la probabilidad de que
el proyecto se complete al cabo de un cierto tiempo.
Program Evaluation and Review
Technique (PERT)
El método PERT (Program Evaluation and Review Technique) es una
metodología que a diferencia de CPM permite manejar la incertidumbre en el
tiempo de término de las actividades. En este sentido el tiempo de ejecución de
las actividades es obtenido a través de la estimación de 3 escenarios
posibles: optimista (a), normal (m)y pesimista (b).
El tiempo (aleatorio) que requiere cada actividad está asociado a una función
probabilística beta, que ha demostrado ser la que mejor modela la distribución
del tiempo de duración de una actividad. A continuación, se presenta un gráfico
que muestra la función de densidad de probabilidad para la función beta, la cual
tiene una asimetría positiva.

20. Luego, el tiempo esperado (te) y la varianza asociada a cada actividad se
obtienen a través de las siguientes fórmulas:
Ejemplo PERT
Consideremos el proyecto utilizado para ejemplificar la metodología CPM. Sin
embargo, asumiremos distintos escenarios de ocurrencia asociados al tiempo
necesario para completar cada actividad, los que se resumen en la siguiente
tabla:
Tiempo (Semanas)
Actividad Predecesor a m b
A - 4 6 8
B - 2 8 12
C A,B 8 12 16
D C 1 4 7
E C 4 6 8
F D,E 10 15 20
G E 6 12 18
H F,G 7 8 9
El primer paso consiste en calcular el tiempo esperado (te) asociado a cada
actividad, utilizando la fórmula presentada anteriormente:

21. Actividad te
A 6
B 8
C 12
D 4
E 6
F 15
G 12
H 8n
Se puede notar que en este caso m = te para cada actividad, lo cual o tiene que
ser necesario. Lo importante es tener en cuenta la metodología a utilizar. Luego,
una vez obtenido el tiempo esperado (te) para cada actividad se procede a
calcular la duración del proyecto utilizando un procedimiento similar a CPM. Los
resultados se resumen en el siguiente diagrama:
La ruta crítica (única) esta conformada por las actividades B-C-E-F-H con una
duración total de 49 semanas. (Ver detalle en CPM). Posteriormente se calcula
la varianza para cada actividad (aun cuando en estricto rigor sólo es necesario

22. para las actividades críticas, es decir, con holgura igual a cero), de modo de
obtener finalmente la varianza (y desviación estándar) de la ruta crítica.
ActividadPredecesor a m b te Desv. Est Varianza
Ruta
Crítica
A - 4 6 8 6 0,67 0,44
B - 2 8 12 8 1,67 2,78 SI
C A,B 8 12 16 12 1,33 1,78 SI
D C 1 4 7 4 1,00 1,00
E C 4 6 8 6 0,67 0,44 SI
F D,E 10 15 20 15 1,67 2,78 SI
G E 6 12 18 12 2,00 4,00
H F,G 7 8 9 8 0,33 0,11 SI
Varianza
RC
7,89
Desv. Est
RC
2,81
Con esta información podemos responder a preguntas como ¿Cuál es la
probabilidad de completar el proyecto en 52 semanas o menos?.
Básicamente esto consiste en determinar el porcentaje del área acumulada para
una distribución normal para determinado valor de Z.
P[Tp<=52]=P[Z<=(52-49)/2,81]=P[Z<=1,07]=85,77%
En conclusión, la probabilidad de completar el proyecto en 52 semanas o
menos es de un 85,77%.

23. Crashing
Es una técnica utilizada en la gestión de proyectos con el objetivo de acortar la
duración de un proyecto. Este objetivo se logra mediante la asignación de un
mayor número de recursos a las actividades (dinero, trabajadores, máquinas,
etc) de modo de disminuir la duración de las actividades. Por tanto, el concepto
crashing involucra un análisis costo beneficio, en el sentido de que un menor
tiempo en el proyecto tiene asociado mayores costos para la empresa.
Para poder realizar este análisis se requiere conocer: estimaciones de
tiempo (duración normal y duración crash) y estimaciones de costo(costo
normal y costo crash).
En principio, tiene sentido reducir el tiempo de aquellas actividades que son
críticas (holgura igual a cero) debido a que si reducimos el tiempo de una
actividad no crítica no reduciremos el tiempo para completar el proyecto. Sin
embargo, se debe tener especial cuidado dado que en la medida que reducimos
el tiempo en las actividades críticas, algunas actividades que inicialmente no
eran críticas pueden pasar ahora a ser críticas.
Ejemplo CPM - Crashing
Considere el siguiente proyecto donde el tiempo que requiere cada actividad esta
en semanas:
Actividad Predecesor(es) T° Normal Costo Normal T° Crash Costo Crash
A - 3 100 2 140
B - 2 80 1 120
C - 4 120 3 150
D - 3 90 2 140
E A,B 2 70 2 70
F E 2 80 1 120
G F 2 90 0,5 180
H D 1 40 1 40
I G,H 2 50 1,5 80
J C,I 4 110 3 150

24. Determine:
1. La duración del proyecto a través del método de ruta crítica o CPM.
2. ¿En cuántas semanas como mínimo se puede realizar el proyecto?. ¿Cuál
es la forma más eficiente desde un punto de vista de costos para reducir
la duración del proyecto? Dibuje el gráfico de Crashing.
En primer lugar utilizamos el método CPM para identificar la ruta crítica.
La ruta crítica (actividades con holgura igual a cero) esta conformada por las
actividades A-E-F-G-I-J con una duración total de 15 semanas. Nótese que el
costo del proyecto en condiciones normales se obtiene simplemente sumando el
costo normal de cada actividad. (En nuestro ejemplo Costo Normal = 830).
Luego, nos enfocamos en identificar la forma más eficiente de reducir el tiempo
para completar el proyecto. Para ello determinamos el costo asociado en reducir
la duración de una actividad en una semana (usar fórmula presentada
anteriormente). De esta forma se obtiene:

25. Actividad Predecesor(es)T° Normal
Costo
Normal
T° Crash
Costo
Crash
Costo /
T°
A - 3 100 2 140 40
B - 2 80 1 120 40
C - 4 120 3 150 30
D - 3 90 2 140 50
E A,B 2 70 2 70 -
F E 2 80 1 120 40
G F 2 90 0,5 180 60
H D 1 40 1 40 -
I G,H 2 50 1,5 80 60
J C,I 4 110 3 150 40
Se puede notar que la actividad E y H no se pueden "apurar" más. El
procedimiento consiste en buscar la forma más económica de reducir la duración
del proyecto para lo cual se busca hacer "crash" en una actividad crítica
(dependiendo de la etapa) y cuyo costo sea menor. También es necesario tener
en cuenta que pueden existir distintos caminos posibles, por ejemplo, reducir A
y luego J. En este sentido una forma de hacer crashing en este proyecto se
resume en la siguiente tabla:
T° Semanas Costo Ruta (s) Crítica(s) Acción
15 830 A-E-F-G-I-J
14 870 A-E-F-G-I-J Reducir J
13 910 A-E-F-G-I-J y B-E-F-G-I-J Reducir A
12 950 A-E-F-G-I-J y B-E-F-G-I-J Reducir F
10,5 1040 A-E-F-G-I-J y B-E-F-G-I-J Reducir G
10 1070 A-E-F-G-I-J y B-E-F-G-I-J Reducir I
Se puede concluir que el tiempo mínimo requerido para completar el proyecto es
10 semanas. Conceptualmente esto significa que al menos una ruta crítica
tomará ese tiempo y no puede ser reducida más. El siguiente gráfico resume la
información anterior:

26. El gráfico muestra el costo asociado para completar el proyecto en un
determinado tiempo. En base a esta información el jefe de proyecto puede
buscar la opción que resulte ser más eficiente para las necesidades de la
empresa.
Cadenas Markov
Tiempo Discreto
Un proceso estocástico en tiempo discreto es una Cadena de Markov en la
medida que se verifiquen las siguientes propiedades:
Propiedad Markoviana:
Donde i0, i1, ..., in-1, i, j son posibles “ estados” o valores que puede tomar el
proceso estocástico en las distintas etapas. Esto consiste básicamente en
afirmar que el futuro (t=n+1) es independiente del pasado dado el presente (t=n).

27. Propiedad Estacionaria: La probabilidad
No depende de la etapa n. Por ejemplo, la probabilidad de pasar del estado i al
estado j será siempre la misma no importando el número de la etapa.
Si consideramos que la variable aleatoria asociado a este proceso markoviano
toma un número finito de estados (digamos M) las probabilidades de transición
de un estado a otro se pueden resumir en una matriz P denominada matriz de
transición de probabilidades en una etapa. Adicionalmente si conocemos la
distribución de probabilidad para la etapa inicial (que denotamos por f0) estamos
en condiciones de conocer el proceso estocástico, que consiste en determinar la
distribución de probabilidad en cada etapa.
Ejemplo Cadena de Markov en Tiempo Discreto
Suponga que en un juego existen 2 jugadores, cada uno de los cuales dispone
inicialmente de 2 monedas. En cada jugada se gana una moneda con
probabilidad ½ o se pierde una moneda con probabilidad ½. El juego termina
cuando un jugador tiene 4 monedas o se queda con ninguna. Modele como una
Cadena de Markov la situación descrita.
Desarrollo: El primer caso consiste en identificar la variable aleatoria la cuál
debe representar el problema planteado, en este caso la evolución del juego al
cabo de cada etapa o jugada. Se define la variable aleatoria en tiempo
discreto Xn : Cantidad de monedas que tiene uno de los jugadores (digamos el
jugador A) al cabo de la enésima jugada.
Luego se debe identificar los posibles valores o estados que puede tomar esta
variable aleatoria para una etapa n cualquiera. Sabemos que el jugador A
comienza el juego con 2 monedas y el juego termina cuando pierde todo (y por
tanto el jugador B gana) o cuando gana todo (y por tanto el jugador B pierde). En
consecuencia, los valores posibles para Xn son {0,1,2,3,4}.

28. A continuación, se debe determinar las probabilidades de transición (en una
etapa). Por ejemplo, si actualmente el jugador A tiene 2 monedas, la probabilidad
que tenga 3 monedas al cabo de una jugada es ½ (probabilidad de ganar) y la
probabilidad de que tenga 1 moneda es ½ (probabilidad de perder). De esta
forma se identifican las distintas combinaciones o probabilidades de que
comenzando en un estado "i" se pueda pasar a un estado "j" al cabo de una
etapa. Notar que si el jugador A tiene 0 monedas la probabilidad que continue en
ese estado es 1 (o 100%) dado que no tiene monedas para seguir jugando. De
la misma forma si el jugador A tiene 4 monedas el jugador B tiene 0 y por tanto
la probabilidad de que el jugador A se mantenga en ese estado es de 1 (o 100%).
Las probabilidades de transición en una etapa se pueden representar haciendo
uso de un grafo o en forma resumida a través de la matriz de transición de
probabilidades.
Cabe destacar que la suma de las probabilidades para cada fila en la matriz de
transición P es de un 100%.
Podemos responder preguntas adicionales cómo por ejemplo ¿Cuál es la
probabilidad de que el jugador A tenga 2 monedas al cabo de 2 jugadas?
Haciendo uso del grafo y dado que actualmente el jugador A tiene 2 monedas,
se busca identificar las combinaciones que permitan a este jugador mantener
esta cantidad de monedas al cabo de 2 etapas. Esto se logra ganando la próxima
jugada (con probabilidad ½) y perdiendo la jugada que sigue (con probabilidad
½). También se llega al mismo resultado perdiendo la próxima jugada pero luego
ganando en la jugada que sigue. Por tanto la probabilidad de tener 2 monedas
al cabo de 2 etapas es P(X2=2/X0=2) = ½*½ + ½*½ = ½.

29. Clasificacion de Estados
en una Cadenas Markov
En esta sección se presentan algunos resultados teóricos que tienen relación
con la existencia y cálculo de una distribución para la Cadena de Markov en
el largo plazo(conocida también como Distribución Estacionaria).
Previamente, se enumeran algunas definiciones que clasifican los estados de
una cadena. Para ello consideraremos el ejemplo que utilizamos para introducir
una Cadena de Markov en Tiempo Discreto, asumiendo la probabilidad de
lluvia al inicio (y final del día) en un 20% (p=0,2).
El grafo que resume las probabilidades de transición es el siguiente:
Un estado j se dice accesible desde el estado i si y sólo si para algún n:
Lo anterior implica que existe una probabilidad no nula que comenzando en el
estado i se puede llegar al estado j al cabo de n etapas. En nuestro ejemplo el
estado 2 es accesible desde el estado 0 (dado que desde 0 se puede acceder a
1 y desde 1 se puede acceder a 2). Es trivial demostrar en este contexto que el
estado 2 es accesible desde 1 (como también 1 lo es desde 2).

30. Adicionalmente si tanto el estado i es accesible desde j como viceversa decimos
que los estados i y j se comunican. Notar que 1 es accesible desde 0 (como 0
también es accesible desde 1) por tanto 0 y 1 se comunican. También es posible
demostrar que 1 y 2 se comunican. Luego por transitividad el estado 0 y 2 se
comunican. Lo anterior deja en evidencia que en el ejemplo todos los estados se
comunican entre sí, por lo cual pertenecen a la misma clase de estados.
Una cadena es irreducible si tiene una única clase de estados, es decir, los
estados que la componen se comunican entre sí (son accesibles viceversa).
Un estado se dice que tiene periodo d, para el mayor valor del entero d que
cumple:
sólo para valores de n pertenecientes al conjunto {d, 2d, 3d, ….}. Si d=1decimos
que el estado es aperiódico.
En otras palabras, un estado es periódico si, partiendo de ese estado, sólo es
posible volver a él en un número de etapas que sea múltiplo de un cierto número
entero mayor que uno.
En el ejemplo se puede volver a cada estado con probabilidad no nula al cabo
de una etapa, condición suficiente (pero no necesaria) para afirmar que los
estados son aperiódicos.
Se denota por Fk(i,i) la probabilidad de que el proceso retorne al estado i por
primera vez al cabo de exactamente k etapas. De modo que:
Es la probabilidad que partiendo en i, el proceso regrese al estado i alguna vez.
Si F(i,i)=1 se dice que el estado es recurrente (en caso contrario, es
decir, F(i,i)<1, el estado es transciente).

31. La demostración matemática de que un estado es recurrente no resulta siempre
trivial, no obstante en el ejemplo estamos frente a una cadena irreducible con un
número finito de estados, por tanto dichos estados son recurrentes positivos.
El concepto de recurrente positivo se refiere a que el valor esperado del
número de etapas que le toma al proceso volver al estado i por primera vez,
partiendo del estado i es un número finito.
En resumen, se concluye que para el ejemplo propuesto, la cadena es
irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos.
Distribucion Estacionaria de una
Cadenas Markov
Se dice que una Cadena de Markov en tiempo discreto admite una distribución
estacionaria en la medida que las probabilidades de largo plazo existen y
es independiente de la distribución inicial (f0).
En este sentido se deben verificar ciertos requisitos para la existencia de esta
distribución de probabilidades de largo plazo: la cadena debe ser irreducible y
sus estados deben ser recurrentes positivos aperiódicos. Se recomienda
revisar en detalle la clasificación de estados antes del cálculo de la distribución
estacionaria.
La distribución estacionaria se obtiene a través de la solución única del siguiente
sistema de ecuaciones:

32. Ejemplo cálculo distribución estacionaria de una Cadena de Markov
Considere la siguiente matriz de transición de probabilidades para un proceso
markoviano en tiempo discreto:
Calcule la probabilidad de encontrarse en cada uno de los estados en el
largo plazo.
Desarrollo: Para verificar la existencia de una distribución estacionaria debemos
analizar si la cadena es irreducible (es decir, existe una única clase de estados)
y los estados que la componen son recurrentes positivos aperiódicos. Para
facilitar este proceso se recomienda utilizar una representación gráfica o grafo:
El estado 2 es accesible desde el estado 1, es decir, existe una probabilidad no
nula que comenzando en el estado 1 se pueda llegar al estado 2 al cabo de n
etapas (no necesariamente esto debe ser al cabo de una etapa). También se
puede verificar que el estado 1 es accesible desde el estado 2, por tanto se
concluye que el estado 1 y 2 se comunican. Cabe destacar que 2 estados que
se comunican pertenecen a una misma clase de estados. Adicionalmente se
puede demostrar que el estado 3 es accesible desde el estado 2 y el estado 2
es accesible desde el estado 3. Por tanto el estado 2 y 3 se comunican y por
transitividad el estado 1 y 3 se comunican. Se concluye entonces que existe una
sola clase de estados que contiene a {1,2,3} y por tanto la cadena es irreducible.
Los estados 1, 2 y 3 son recurrentes y dado que la cadena tiene una cantidad
finita de estados se puede afirmar que éstos son recurrentes positivos.
Finalmente, los estados son aperiódicos, es decir, no existe una secuencia de
pasos tal para que comenzando en uno de ellos se pueda volver sobre si mismo
(con probabilidad no nula) al cabo de un cierto número de pasos o etapas.
Una vez que se han verificado las condiciones necesarias para la existencia de
una distribución estacionaria se formula el sistema de ecuaciones que permitirá

33. encontrar las probabilidades de estado de largo plazo. En nuestro ejemplo el
sistema queda definido por:
La resolución del sistema anterior permite encontrar que:
Se concluye que en el largo plazo la probabilidad de estar en el estado 1 es de
un 25% y la probabilidad de estar en el estado 2 y 3 es de un 37,5%.
Toma de Decisiones
Condiciones de Certeza
La toma de decisiones es el proceso mediante el cual se realiza una elección
entre diferentes opciones o formas posibles para resolver diferentes situaciones
en la vida en diferentes contextos: empresarial, laboral, económico, familiar,
personal, social, etc.(utilizando metodologías cuantitativas que brinda
la administración). La toma de decisiones consiste, básicamente, en elegir una
opción entre las disponibles, a los efectos de resolver un problema actual o
potencial (aun cuando no se evidencie un conflicto latente).

34. En términos básicos la toma de decisiones es el proceso de definición
de problemas, recopilación de datos, generación de alternativas y selección de
un curso de acción y se define como “el proceso para identificar y solucionar
un curso de acción para resolver un problema específico”.
La toma de decisiones se refiere a la elección correcta entre diversas opciones
para concretar un proyecto.
Las decisiones se pueden clasificar teniendo en cuenta diferentes aspectos,
como lo es la frecuencia con la que se presentan. Se clasifican en cuanto a
las circunstancias que afrontan estas decisiones sea cual sea la situación para
decidir y cómo decidir.
 Decisiones programadas:
Son aquellas que se toman frecuentemente, es decir son repetitivas y se
convierte en una rutina tomarlas; como el tipo de problemas que resuelve y se
presentan con cierta regularidad ya que se tiene un método bien establecido de
solución y por lo tanto ya se conocen los pasos para abordar este tipo de
problemas, por esta razón, también se las llama decisiones estructuradas. La
persona que toma este tipo de decisión no tiene la necesidad de diseñar ninguna
solución, sino que simplemente se rige por la que se ha seguido anteriormente.
Las decisiones programadas se toman de acuerdo con políticas, procedimientos
o reglas escritas o no escritas, que facilitan la toma de decisiones en situaciones
recurrentes porque limitan o excluyen otras opciones.
Por ejemplo, los gerentes rara vez tienen que preocuparse por el ramo salarial de
un empleado recién contratado porque, por regla general, las organizaciones
cuentan con una escala de sueldos y salarios para todos los puestos. Existen
procedimientos rutinarios para tratar problemas rutinarios.
Las decisiones programadas se usan para abordar problemas recurrentes. Sean
complejos o simples. Si un problema es recurrente y si los elementos que lo
componen se pueden definir, pronosticar y analizar, entonces puede ser
candidato para una decisión programada. Por ejemplo, las decisiones en cuanto
a la cantidad de un producto dado que se llevará en inventario puede entrañar la
búsqueda de muchos datos y pronósticos, pero un análisis detenido de los
elementos del problema puede producir una serie de decisiones rutinarias y
programadas. En el caso de Nike, comprar tiempo de publicidad en televisión es
una decisión programada.

35. En cierta medida, las decisiones programadas limitan nuestra libertad, porque la
persona tiene menos espacio para decidir qué hacer. No obstante, el propósito
real de las decisiones programadas es liberarnos. Las políticas, las reglas o los
procedimientos que usamos para tomar decisiones programadas nos
ahorran tiempo, permitiéndonos con ello dedicar atención a otras actividades
más importantes. Por ejemplo, decidir cómo manejar las quejas de los clientes
en forma individual resultaría muy caro y requeriría mucho tiempo, mientras que
una política que dice “se dará un plazo de 14 días para los cambios de cualquier
compra” simplifica mucho las cosas. Así pues, el representante de servicios
a clientes tendrá más tiempo para resolver asuntos más espinosos.
 Decisiones no programadas:
También denominadas no estructuradas, son decisiones que se toman ante
problemas o situaciones que se presentan con poca frecuencia, o aquellas que
necesitan de un modelo o proceso específico de solución, por ejemplo:
“Lanzamiento de un nuevo producto al mercado”, en este tipo de decisiones es
necesario seguir un modelo de toma de decisión para generar una solución
específica para este problema en concreto.
Las decisiones no programadas abordan problemas poco frecuentes o
excepcionales. Si un problema no se ha presentado con la frecuencia suficiente
como para que lo cubra una política o si resulta tan importante que merece trato
especial, deberá ser manejado como una decisión no programada. Problemas
como asignar los recursos de una organización, qué hacer con una línea de
producción que fracasó, cómo mejorar las relaciones con la comunidad –de
hecho, los problemas más importantes que enfrentará el gerente –,
normalmente, requerirán decisiones no programadas.
TOMA DE DECISIONES BAJO CONDICIONES DE CERTEZA
Una clase importante de problemas de decisiones incluye aquellos en los cuales
cada acto disponible para quien toma la decisión tiene consecuencias que
pueden ser conocidas previamente con certeza. A tales problemas se le llama
toma de decisiones bajo condiciones de certeza.
La toma de decisiones bajo certeza no es un proceso sencillo, cada una de las
tareas a las que se enfrenta quien toma la decisión bajo certidumbre (identificar
los actos disponibles, medir las consecuencias y seleccionar el mejor acto)
involucra el uso de la teoría de la programación lineal.
La certeza o certidumbre es la condición en que los individuos son plenamente
informados sobre un problema, las soluciones alternativas son obvias, y son
claros los posibles resultados de cada decisión. En condiciones de certidumbre,
la gente puede al menos prever (si no es que controlar) los hechos y sus
resultados. Esta condición significa el debido conocimiento y clara definición
tanto del problema como de las soluciones alternativas. Una vez que un individuo

36. identifica soluciones alternativas y sus resultados esperados, la toma de la
decisión es relativamente fácil. El responsable de tomar la decisión
sencillamente elige la solución con el mejor resultado potencial. Por ejemplo, de
un agente de compras de una imprenta se espera que ordene papel de calidad
estándar al proveedor que ofrezca el menor precio y mejor servicio. Por supuesto
que generalmente el proceso de toma de decisiones no es tan simple. Un
problema puede tener muchas posibles soluciones, y calcular los resultados
esperados de todas ellas puede ser extremadamente lento y costoso.
La toma de decisiones en condiciones de incertidumbre es la excepción para la
mayoría de los administradores y otros profesionales. Sin embargo, los
administradores de primera línea toman decisiones diariamente en condiciones
de certidumbre, o casi. Por ejemplo, un apretado programa de producción puede
obligar a un administrador de primera línea a pedir a 10 empleados que trabajen
cuatro horas de tiempo extra. El administrador puede determinar el costo de las
horas extras con toda certeza. También puede prever con alto grado de
certidumbre el número de las unidades adicionales que pueden calcularse con
casi absoluta certeza antes de programar las horas extras.
Condiciones de Incertidumbre
Cuando sólo conocemos aproximadamente el valor que tomarán una variable,
pero desconocemos con qué nivel de probabilidad, estamos en un contexto de
incertidumbre.
Se ignoran las probabilidades de que se produzcan los diversos estados
naturales, estos problemas surgen cuando no existen pautas que permitan
calcular las probabilidades de que ocurran los estados naturales, ya sea por falta
de experiencia pasada o porque es imposible proyectarla hacia el futuro.
Las consecuencias de una decisión de inversión, como hecho futuro son
impredecibles. Aquí se reconoce de manera explícita el hecho de la
incertidumbre en todos los actos de la vida. Con relación a las consecuencias
futuras de una decisión, se pueden presentar tres situaciones: a) determinísticas;
b) no determinísticas y c) ignorancia total.
Uno de los problemas que se presentan en la comprensión de los temas
de administración y gerencia es que muchos términos tienen significados
múltiples; ejemplo de esto se encuentran con mucha frecuencia en los temas
contables y financieros (términos tales como, ingreso, flujo de caja, flujo de
fondos, para citar solo tres).

37. En particular, cuando se habla de riesgo e incertidumbre esta confusión se
incrementa porque existe un conocimiento previo, intuitivo tal vez, de lo que es
la incertidumbre. Para muchos, la incertidumbre es el desconocimiento del
futuro; en este contexto se considera que el riesgo y la incertidumbre se
producen por la variabilidad de los hechos futuros y por su desconocimiento. Más
aun, se nombra a la incertidumbre como la situación en la cual hay un grado
(mayor o menor) de desconocimiento del futuro.
En la literatura se presenta confusión al definir la situación b). Por ejemplo, Hillier
(1963) habla de riesgo e incertidumbre como si fueran iguales, lo mismo sucede
con Hespos y Strassman (1965), para sólo citar unos pocos; Morris (1964), por
otro lado, hace la distinción entre riesgo e incertidumbre. Lo cierto es que existen
grados de incertidumbre y en la medida en que ella disminuye con la información
recolectada se puede manejar en forma analítica cada vez más.
Los casos de riesgo, tal como lo distingue Morris, son muy particulares y los más
comunes están relacionados con situaciones de azar (loterías, ruletas, rifas, etc.)
o con decisiones a las cuales se les ha asignado una distribución de probabilidad.
Para la incertidumbre, por el contrario, no se posee información suficiente como
para asignarle una distribución de probabilidad.
Esta situación se presenta cuando se pueden determinar los eventos posibles y
no es posible asignarles probabilidades. Hay un nivel de mayor incertidumbre
que algunos han denominado incertidumbre dura y se refiere a la situación en
que ni siquiera es posible identificar los estados o eventos futuros.
 Medición analítica de la incertidumbre
En una situación de incertidumbre, no sólo es importante hacer predicciones para
evaluar una inversión y decidir si rechazarla o no, sino para poder tomar cursos
de acción complementarios que reduzcan las posibilidades de fracaso.
Un medio de reducir la incertidumbre es obtener información antes de tomar la
decisión. Información acerca del mercado. Otra alternativa es aumentar el
tamaño de las operaciones, como es el caso de las compañías petroleras que
asumen menos riesgos al perforar 50 pozos de petróleo que al perforar uno. La
diversificación es otro medio de disminuir la incertidumbre en las inversiones;
sobre todo, la diversificación a través de productos o servicios sustitutos, como
por ejemplo, el café y el té.
Si el precio del café sube demasiado y las ventas decrecen, se pueden
reemplazar por el té y así se pueden mantener estables los ingresos de la firma.
La decisión de comercializar ambos productos puede ser tomada si se prevén

38. bajas substanciales en los precios. Es posible encontrar inversiones A y B,
independientes, pero cuyos valores presentes netos varían de acuerdo con la
situación general de la economía y en forma contraria, de manera que en
promedio los beneficios de la firma se mantienen constantes durante el período.
Al ejecutar esta clase de inversiones en forma simultánea, se puede eliminar o
reducir el riesgo. Este tipo de combinaciones es lo que buscan por ejemplo, los
grandes grupos y fondos de inversión, al invertir en empresas de muy diversa
índole.
David B. Hertz (1964) describe lo que se ha tratado de hacer para medir el riesgo
y propone lo que se podría hacer para resolver mejor el problema. Las ideas
utilizadas tradicionalmente han sido:
• Predicciones más exactas: La reducción del error en las predicciones es
útil, pero el futuro es siempre el futuro y siempre existirá algún grado de
desconocimiento acerca de él, a pesar de que se cuenta con
la tecnología que permite hacer predicciones más precisas.
• Ajustes empíricos: Por ejemplo, si un analista en forma sistemática
sobrestima o subestima el valor de las variables que estudia, se pueden
hacer correcciones a sus estimativos, de acuerdo con
su comportamiento anterior. Esto a primera vista parece razonable, pero,
¿qué hacer si los estimativos de ventas han resultado inferiores a lo real
en 75% más del 25% de los casos y no han llegado a más del 40% en
una sexta parte de las acciones emprendidas?.
• Revisar la tasa de descuento: Esto se podría aplicar aumentando la tasa
mínima de descuento para dar una protección contra la incertidumbre. Sin
embargo, la persona que toma decisiones debe saber explícitamente cuál
es el riesgo que se asume y cuáles son las posibilidades de obtener el
resultado esperado.
• Estimativos de tres niveles: Estimar valores inferior, promedio y
superior y calcular rentabilidades con base en varias combinaciones de
estimativos optimistas, promedio y pesimista. Este enfoque no indica cuál
de estos estimativos ocurrirá con mayor probabilidad y no presenta una
idea clara de la situación. Sin embargo, si se evalúa el proyecto para el
peor de los casos posibles y el VPN es positivo se debe aceptar sin duda.
• Estimativos de tres niveles: Estimar valores inferior, promedio y superior
y calcular rentabilidades con base en varias combinaciones de estimativos
optimistas, promedio y pesimista. Este enfoque no indica cuál de estos
estimativos ocurrirá con mayor probabilidad y no presenta una idea clara
de la situación. Sin embargo, si se evalúa el proyecto para el peor de los
casos posibles y el VPN es positivo se debe aceptar sin duda.

39. • Probabilidades selectivas: Consiste en calcular para una variable
determinada todas las posibilidades que existen y con base en esto, hallar
la distribución de probabilidad de las rentabilidades o valores presentes
netos.
El método fue propuesto por Hertz, utiliza las técnicas de simulación y se debe
usar el computador. El análisis tiene tres etapas:
• Estimar el rango de valores de cada uno de los factores y dentro de cada
rango asignar una probabilidad de ocurrencia a cada valor.
• Seleccionar al azar, con base en la distribución probabilística de cada
factor un valor particular del mismo. Este valor se combina con los
valores de los demás factores y se calcula un indicador de eficiencia (VPN
o TIR, por ejemplo).
• Repetir el paso anterior muchas veces para obtener las probabilidades de
ocurrencia de los valores posibles del indicador y con base en esto,
calcular el valor esperado y las probabilidades de ocurrencia de ciertos
rangos del indicador seleccionado.
Condiciones de Riesgo
El riesgo es la condición en la que los individuos pueden definir un problema,
especificar la probabilidad de ciertos hechos, identificar soluciones alternativas y
enunciar la probabilidad de que cada solución dé los resultados deseados.
El riesgo suele significar que el problema y las soluciones alternativas ocupan
algún punto intermedio entre los extremos representados por la plena
información y definición y el carácter inusual y ambiguo.
La probabilidad es el porcentaje de veces en las que ocurriría un resultado
específico si un individuo tomara muchas veces una misma decisión. El monto y
calidad de la información disponible para un individuo sobre la condición
pertinente de la toma de decisiones puede variar ampliamente, lo mismo que las
estimaciones de riesgo del individuo. El tipo, monto y confiabilidad de la
información influyen en el nivel de riesgo y en el hecho de si el responsable de
tomar la decisión puede hacer uso de la probabilidad objetiva o subjetiva en la
estimación del resultado.

40. • Probabilidad Objetiva
La posibilidad de que ocurra un resultado específico con base en hechos
consumados y números concretos se conoce como probabilidad objetiva. En
ocasiones, un individuo puede determinar el resultado probable de una decisión
examinando expedientes anteriores. Por ejemplo, aunque las compañías de
seguros de vida no pueden determinar el año en que morirá cada tenedor de
pólizas, pueden calcular las probabilidades objetivas basados en la expectativa
de que los índices de mortalidad prevalecientes en el pasado se repitan en el
futuro.
• Probabilidad Subjetiva.
A la apreciación basada en juicios y opiniones personales de que ocurra un
resultado específico se conoce como probabilidad subjetiva. Tales juicios varían
de un individuo a otro, dependiendo de su intuición, experiencia previa en
situaciones similares, conocimientos y rasgos personales (como preferencia por
la asunción o por la elusión de riesgos). Frecuentemente sin embargo, quienes
toman decisiones cuentan con información acerca de la probabilidad de que
ocurra cada estado de resultado, aun cuando no sepan con certeza el estado del
resultado real.
La toma de decisiones cuando existe cierto número de estados de resultados
posibles, para los cuales se conoce la distribución de probabilidades recibe el
nombre de toma de decisiones bajo riesgo. En los problemas que involucran
incertidumbre y riesgo, el estado de resultado era una contingencia acerca de la
cual quien toma las decisiones en el peor de los casos se encontraba por
completo en la oscuridad y en el mejor de los casos contaba con información
sobre probabilidades.
 NIVEL DE TOMA DE DECISIONES
Hay 4 niveles organizacionales. Estos incluyen los tres niveles gerencias (alto,
medio y de primera línea), más los empleados operativos. En términos
generales, las decisiones recurrentes y de rutina (decisiones programadas) se
manejan mejor a niveles bajos de la administración. Por el contrario, las
decisiones no recurrentes y únicas (decisiones no programadas) son mejor
manejadas por la alta dirección. De manera semejante, la alta dirección esta
mejor calificada para tomar decisiones estratégicas a largo plazo, tales como
determinar cuál es el negocio de la organización, la dirección y los objetivos
globales estratégicos de la misma y donde distribuir los recursos clave de capital
y personal.

41. Los gerentes de nivel medio están mejor equipados para coordinar decisiones
con implicaciones a mediano plazo. Los gerentes de primera línea deberían
enfocarse en decisiones departamentales más rutinarias. Por último los
empleados operativos están mejor capacitados para tomar decisiones
relacionadas con el trabajo.
 IMPORTANCIA DE LA TOMA DE DECISIONES
Es importante porque mediante el empleo de un buen juicio, la Toma de
Decisiones sobre todo en condiciones de certeza, incertidumbre y riesgo, nos
indica que un problema o situación es valorado y considerado profundamente
para elegir el mejor camino a seguir según las diferentes alternativas y
operaciones. También es de vital importancia para la administración ya que
contribuye a mantener la armonía y coherencia del grupo, y por ende su
eficiencia.
En la Toma de Decisiones bajo condiciones de certeza, incertidumbre y riesgo,
considerar un problema y llegar a una conclusión válida, significa que se han
examinado todas las alternativas y que la elección ha sido correcta. Dicho
pensamiento lógico aumentará la confianza en la capacidad para juzgar y
controlar situaciones.
Uno de los enfoques más competitivos de investigación y análisis para la toma
de las decisiones es la investigación de operaciones. Puesto que esta es una
herramienta importante para la administración de la producción y las
operaciones.
La toma de decisiones, se considera como parte importante del proceso de
planeación cuando ya se conoce una oportunidad y una meta, el núcleo de la
planeación es realmente el proceso de decisión, por lo tanto dentro de este
contexto el proceso que conduce a tomar una decisión se podría visualizar de la
siguiente manera:
• Elaboración de premisas.
• Identificación de alternativas.
• Evaluación de alternativas en términos de la meta deseada.
• Elección de una alternativa, es decir, tomar una decisión.

42. Cuando el administrador ha considerado las posibles consecuencias de sus
opciones, ya está en condiciones de tomar la decisión. Debe considerar tres
términos muy importantes. Estos son: maximizar, satisfacer y optimizar.
• Maximizar: es tomar la mejor decisión posible
• Satisfacer: es la elección de la primera opción que sea mínimamente
aceptable o adecuada, y de esta forma se satisface una meta o criterio
buscado.
• Optimizar: Es el mejor equilibrio posible entre distintas metas.

43. CONCLUSION
Las empresas se preocupan constantemente por tomar decisiones que les
permita optimizar sus resultados de manera que se obtenga el mayor
beneficio. Es por esto que la Investigación de Operaciones constituye una
importante herramienta para la gerencia a la hora de tomar cualquier decisión.
Resulta necesario entonces la aplicación de métodos cuantitativos que sustenten
la toma de decisiones, con el fin de eliminar el fuerte grado de empirismo que
presentan los directivos cubanos cuando toman decisiones. El presente
artículo tiene como objetivo aplicar un modelo económico de inventario para dar
respuesta a una problemática existente en una empresa de producción que
permita facilitar y mejorar la toma de decisiones. Con la aplicación de esta
herramienta se decide una propuesta de solución a una insuficiencia real
detectada.
El PERT y CPM han sido aplicados a numerosos proyectos. Empezando con su
aplicación inicial al proyecto Polaris y al mantenimiento de plantas químicas, hoy
ellos (y sus variantes) se aplican a la construcción de carreteras y de edificios, y
al desarrollo y producción de artículos de alta tecnologíatales como aviones,
vehículos espaciales, barcos y computadores. El PERT se desarrolló para
proyectos en donde hubiera incertidumbre en el tiempo de las actividades
(usualmente debido a que el proyecto nunca se había intentado antes y por tanto
no había bases de datos, para los tiempos de las actividades). Esto condujo al
enfoque probabilístico que se tomó. Mientras que en PERT los estimados de
tiempo y sus distribuciones han sido de controversia, el PER'I' ha constituido una
herramienta útil para la administración de proyectos. La principal desventaja es
que no es funcional para grandes proyectos, debido a los tres estimados de
tiempo que se requieren en cada actividad y a la capacidad limitada de los
computadores actuales, para almacenar esta vasta cantidad de datos. Además,
el costo de actualizar y mantener la información del proyecto con el tiempo en
ambientes tan dinámicos, puede ser excesivamente prohibitivo.
Por otra parte, el CPM se desarrolló para manejar proyectos repetitivos o
similares (ej., mantenimiento de plantas químicas). Obviamente, se gana gran
cantidad de experiencia con el tiempo en tales circunstancias, aun cuando dos
proyectos puede que no sean iguales. Esta experiencia llevó al análisis de
técnicas de colisión utilizadas en las redes CPM.
En las cadenas de Markov considera ciertos puntos discretos en el tiempo para
toma valores de la variable aleatoria que caracteriza al sistema. Entonces las
cadenas de Markov se usan para estudiar ciertos comportamientos de largo y
cortos plazos de sistemas.

44. Los estados en el tiempo representan situación exhaustiva y mutuamente
excluyentes del sistema en un tiempo específico. Además el número de estado
puede ser finito o infinito. Por lo general una cadena de Markov describe el
comportamiento de transición de un sistema en intervalos de tiempo igualmente
espaciados. Sin embargo, existen situaciones donde los espaciamientos
temporales dependen de las características del sistema y por ello, pueden no ser
iguales entre sí. Las cadenas de Markov se pueden aplicar en áreas como la
educación, comercialización, servicios de salud, finanzas, contabilidad y
producción.
Toda empresa eficientemente bien manejada debe contar con una plana
gerencial plenamente capacitada en la toma de decisiones bajo condiciones de
certeza, incertidumbre y riesgo, pues su importancia es capital para la eficacia y
eficiencia de la correcta toma de decisiones. Un gerente tiene que familiarizarse
con el circuito básico de toma de las decisiones y sus ingredientes. Una vez
reconocidos estos ingredientes básicos, debe prestarse atención al carácter de
quien toma la decisión, tanto individualmente como en grupo. Debido a que la
mayoría de las decisiones tienen efecto sobre la gente, el Gerente no puede
ignorar la influencia de las relaciones humanas en una decisión, especialmente
cuando se selecciona una técnica para tomarla.
La representación en diagrama de un problema dado puede tomar diferentes
formas y puede ser una ayuda invaluable para reunir y mostrar el problema en
particular o los parámetros de la decisión tomada bajo condiciones de certeza,
incertidumbre y riesgo. Un conocimiento básico de las teorías de las
probabilidades y de la estadística ayudará en la presentación gráfica de la
información a efectos de una rápida y efectiva toma de decisiones bajo
cualquiera de los tres parámetros estudiados.
Sin embargo, una vez que se haya procesado toda la información y al mismo
tiempo comprendido cuáles son los ladrillos básicos para la construcción de la
toma de decisiones, aún se requiere un ingrediente más para que un gerente
tome las decisiones acertadas. La persona que no desee correr riesgos nunca
tendrá éxito como gerente y/o administrador de una empresa. Un gerente debe
tener el buen juicio para saber qué tanta información debe recoger, la inteligencia
para dirigir la información y, lo más importante de todo, el valor para tomar la
decisión que se requiere cuando ésta conlleva un riesgo en condiciones de
certeza, incertidumbre y riesgo.

45. BIBLIOGRAFIA
https://www.gestiondeoperaciones.net/inventarios/ejemplo-del-modelo-de-lote-economico-
con-produccion-y-consumo-simultaneo-poq/
http://www.investigaciondeoperaciones.net/eoq_con_descuentos.html
http://riotorto.users.sourceforge.net/Maxima/sesiones/inventarioe/index.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/cpm.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/pert.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/crashing.html
http://www.investigaciondeoperaciones.net/cadenas_de_markov.html
https://www.gestiondeoperaciones.net/cadenas-de-markov/clasificacion-de-estados-de-
una-cadena-de-markov-en-tiempo-discreto/