El documento explica el proceso de derivación implícita, donde una función está definida implícitamente por una ecuación en lugar de explícitamente. A través de un ejemplo, muestra cómo encontrar la derivada de una función implícita mediante la diferenciación de ambos lados de la ecuación y resolviendo para dy/dx. Luego, resuelve tres ejemplos adicionales aplicando este proceso de derivación implícita.

1. Derivación implícita
Si f = {(x,y) │y= 5x²-8x+3},
Entoncesla ecuación:y=5x²-8x+3 define explícitamentelafunciónf.sinembargo,notodaslas
funcionesestándefinidasexplícitamente.Porejemplosi tenemoslaecuación
X⁵-6x=4y⁶+y³-y (I)
no podemosresolverexplícitamenteparayen términosde x;laecuaciónI se cumple,estoes,de
modoque la ecuación:
X⁵3[f(x)]⁶+[f(x)]³-f(x)
es ciertapara todoslosvaloresde x enel dominiode f.eneste casola funciónf estádefinida
implícitamente porlaecuacióndada.
Suponiendoque laecuación(I) definaaypor lo menoscomouna funcióndiferenciable de x.
podemosencontrarladerivadade ycon respectoa x por el procesollamadodiferenciación
implícita.La ecuación(i) esuncaso especial que implicaaX y a Y puestoque puede expresarsede
modoque todoslos términosenx esténde otrolado.Este sirve comoel primerejemplopara
ilustrarel procesode diferenciaciónimplícita.
El primermiembrode (i) esunafunciónde X,y el segundo,unafunciónde y.seaf lafunción
definidaporel primermiembrode (i) yg, lafuncióndefinidaporel segundomiembro. Así:
F(X)=X⁵-6X Y G(X)= 4y⁶+y³-y
Donde y esuna funciónde x digamosy=f(x). Portanto(i) puede escribirse como:
F(x)=g (f(x))
Esta ecuaciónse cumple para todoslosvaloresde x en el dominiode f paralos que existag(f(x))
entonces,paratodoslosvaloresde x para cuales f sea diferenciable,tenemos:
DX(X⁵-6X)=Dx (4y⁶+y³-y)
La derivada en el primermiembrose encuentragráficamente,ytenemos:
Dx(x⁵-6x)=5x⁴
Encontramosla derivadade segundomiembrode laecuación(II) porlareglade lacadena
dándonos:dx (4y⁶+y³-y)=24y⁵
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+3y²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(IV)
Al sustituirlosvalores(III) y(IV) en(II) tenemos:
5x⁴-6 = (24y⁵+3y²-1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5𝑥4−6
24𝑦5+3𝑦²−1

2. Ejemplos
Diferenciarimplícitamente
3x⁴y²-7xy³=4-8y
Derivocada unode lostérminos:
3(x⁴y²)¹ - 7(xy³)¹ = (4)¹ - 8(y)¹
3[(x⁴)¹ y²+x⁴ (y²)¹] -7 [(x) ¹y³+x (y³) ¹] = (4)¹ -8(y)¹
3[4x³y²+2x⁴yy¹] - 7[y³+3xy²y¹] = -8y¹
Aplico propiedad distributiva
12x³y²+6x⁴yy¹-7y³-21xy²y¹=-8y¹
Aplicotérminossemejantes
6x⁴yy¹-21xy²y¹+8y¹=7y³-12x³y²
Saco factor comúny¹
y¹ (6x⁴y-21xy²+8) =7y³-12x³y²
Despejoy¹
𝑦¹ =
7y³−12x³y²
6x4y−21xy²+8
2) 4x²-9y²=1
Derivocada unode lostérminos
4(x²)¹ -9(y²)¹=(1)¹
8x-18yy¹= 0
Despejo y¹
18yy¹=8x
y¹=
4𝑥
9𝑦
3) y= cos (x-y)
Derivocada unode lostérminosyaplicolareglade la cadena:
(y¹) [Cos(x-y)]¹ (x-y¹)

3. Y¹- sen(x-y) (x-y¹)
Aplicopropiedaddistributiva
y¹= x sen8x-y)- y¹ sen8x-y)
Agrupotérminossemejantes
y¹+y¹ sen(x-y)=x sen(x-y)
Saco factor comúny¹
y¹ (1+sen(x-y)] =x sen(x-y)
Despejoy¹
y¹=
𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥−𝑦)
1+𝑠𝑒𝑛 (𝑥−𝑦)