1. Centro de Bachillerato Tecnológico Agropecuario 20
Río Grande, Zac.
Cuaderno de Apuntes y Ejercicios de: Calculo Integral
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo está dirigido a
los alumnos del CBTA 20 que cursan el Bachillerato Tecnológico, con la intención de que
sirva de guía y material de trabajo mínimo para cubrir los contenidos programáticos que
especifica el programa de estudios de Cálculo Integral, del Bachillerato Tecnológico;
asignatura del componente básico de dicho bachillerato
El descubrimiento del Cálculo en un principio apoyó algunos problemas de la
Física, actualmente constituye una herramienta muy útil en los diferentes campos de la
ciencia, permitiendo el estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, la
estimación de la distancia y la velocidad de un cuerpo en movimiento, la predicción de
resultados de las reacciones químicas, la explicación del crecimiento del número de
bacterias en cultivos, la descripción del cambio de corriente eléctrica en un circuito, el
estudio de las pérdidas y ganancias de una empresa o el encuentro de las rectas
tangentes a las cónicas; con esto se da a entender que el uso del Cálculo tiene como
límite la creatividad del ser humano para su aplicación.
Con el desarrollo de los contenidos programáticos en el aula, mediante el proceso
enseñanza-aprendizaje, los participantes en dicho proceso deben ir construyendo los
conceptos que permitan comprender las bondades de esta herramienta, la comprensión
de los conceptos analizados y una adecuada aplicación a diversos problemas de la vida
cotidiana. Ello contribuirá a que todos los estudiantes puedan lograr el objetivo general
del curso que es:

2. Objetivo General: Los estudiantes integrarán los contenidos de la matemática
antecedente, para resolver problemas que los conduzcan hacia los conceptos centrales
de función, límite, derivada e integral. Que les permitan construir una imagen de su
entorno con mayor coherencia y formalidad, para desarrollarse con solvencia en un
entorno social, científico y tecnológico

3. Diferenciales
• Generalidades
• Diferenciales
• Formulas de diferenciación.
• Resolución de problemas por aproximación
Antiderivadas
• Definición
• Integral indefinida
Conceptos básicos de la integración
DIFERENCIALES:
Consideraciones generales:
En Cálculo Diferencial aplicamos el siguiente procedimiento para obtener la derivada de
una función.
f ( x + ∆x ) − f ( x)
Lim
∆x Expresión a la que le llamamos regla de los cuatro pasos, ello
∆x → 0
permitió observar que en su aplicación se cumplen ciertas regularidades lo que condujo a
las reglas de derivación que has venido aplicando tanto para las funciones algebraicas
como para las funciones trascendentes.
FUNCIÓN FUNCIÓN
ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS
d (c ) d ( x)
1: =0 2: =1
d ( x) d ( x)
d (cx) d (cv) d (v ) d (u + v − w) d (u ) d (v) d ( w)
3. d ( x) = c si x = v =c 4. = + −
d ( x) d ( x) d ( x) d ( x) d ( x) d ( x)
d (uv) d (v ) d (u ) d (uvw) d ( w) d (v ) d (u )
5: =u +v 6: = uv + uw + vw
d ( x) d ( x) d ( x) d ( x) d ( x) d ( x) d ( x)
d (v n ) d (v ) u d (u ) d (v )
7: = nv n −1 d( ) v −u
d ( x) d ( x) 8: v = d ( x) d ( x)
2
d ( x) v
d (v ) d (v )
9: d( v) d ( x) 10:
n
d( v) d ( x)
= = n n −1
d ( x) 2 v d ( x) n v
c d (v ) v d (v )
d( ) −c d( )
11: v = d ( x) 12: c = d ( x)
2
d ( x) v d ( x) c
d ( y) d ( y ) d (u )
Regla de cadena: d ( x ) = d (u ) . d ( x) siendo y función de u
LOGARITMICAS EXPONENCIALES

4. dv d dv
15. (a v ) = a v Ina.
13. d ( Inv) = dx dx dx
dx v
d log e dv d v dv
14. (log v ) = . 16. (e ) = e v .
dx v dx dx dx
EXPONENCIALES d du dv
17. (u v ) = vu v −1. + Inu.u v .
dx dx dx
TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
d dv dv
18. ( Senv) = Cosv.
dx dx d
24. ( ArcSenv) = dx
dx 1 − v2
d dv dv
19. (Cosv ) = −Senv.
dx dx 25. d
( ArcCosv ) = − dx 2
dx 1−v
d dv dv
20. (Tanv ) = Sec 2v.
dx dx 26. d
( ArcTanv ) = dx 2
dx 1+ v
d dv dv
21. (Ctgv ) = −Csc 2v.
dx dx 27. d
( ArcCotv) = − dx 2
dx 1+ v
d dv dv
22. ( Secv) = Secv.Tanv.
dx dx 28. d dx
( ArcSecv =
dx v v 2 −1
d dv dv
23. (Cscv ) = −Cscv.Cotv.
dx dx 29. d
( ArcCscv ) = − dx
dx v v 2 −1
Con estas fórmulas se pueden derivar todo tipo de funciones.
En Cálculo integral, operación inversa a la derivación no existe una regla general
que permita integrar las diferenciales. Cada caso requiere de procedimientos
especiales que pueden conducir a la deducción de ciertas fórmulas o métodos para
integrar las diferenciales propuestas.
Existen tablas que permiten la integración de funciones; éstas se han obtenido a través
de la generalización de métodos o técnicas de integración. Por ello es necesario analizar
estos métodos o técnicas de integración para tener una idea más clara de este proceso.
“La diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la
función por la diferencial de la variable independiente

5. Ejemplo: Consideremos la función Y = 4x3 -3x2 + 2x.
La primera derivada de esta función es y’ = 12x 2 -6x +2
La diferencial de esta función según concepto es: dy = (12x2 -6x +2) ∆x
Observa que para expresar la diferencial de una función usamos d colocada antes de la
función. Esto se puede expresar así:
d(4x3 -3x2 + 2x) = (12x2 -6x +2) ∆x
Sabemos que 2 de las formas de expresar la primera derivada de una función son:
dy
= f ' ( x ) si esta expresión la multiplicamos por dx se tiene
dx
dy = f ' ( x ) dx Expresión que conduce a este concepto:
“La diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la
función por la diferencial de la variable independiente
”
Según este concepto la diferencial de la función anterior también se puede expresar así:
d(4x3 -3x2 + 2x) = = (12x2 -6x +2) dx
Actividad: Considerar los conceptos anteriores y realiza lo que se indica.
Calcular la diferencial de las siguiente expresiones:
a) y = 5x2 para x = 3 y ∆ = 0.3
x
Y’ = 10x derivada de la función dada
dy = f’(x) ∆ diferencial
x

6. por lo que: d(5x2) = 10x ∆x
sustituyendo: d(5x2) = 10(3)(0.3) = 30(0.3) = 9
b) calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado cuyo lado mide 6 m , si
dicho lado se incrementa 0.004m.
en el cuadrado el área es A = l2, l = 6m ∆ = 0.004 m
l
como el área del cuadrado depende de la magnitud del lado:
A = f(l) = l2
dA =d( l2 )= 2l ∆l sustituyendo en la diferencial los valores propuestos se tiene:
dA = 2(6)(0.004) = 12(.004) = .0048 m 2
Función Variable ∆x diferencial
independiente
c) y = 3x2-3x 5 0.6
d) y = 2x3 -2x2 -3x 3 0.2
e) y = ln 5x -2 5 0.4
f) f(x) = 5x −4 8 0.7
3x − 5 4 0.3
g) f(x) =
2 x +1
h) Determinar el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo, cuyo lado
mide 8 m y éste se incrementa en 0.005m
V = l3
i) Si 25 = 5 calcular 28 considerar: y = x
j) Obtener el valor aproximado de 39 si 36 =6
k) obtener el valor aproximado de 3
128 si (125)1/3 = 5
l) Obtener el incremento del área de un cuadrado si su lado mide 7 m y éste se aumenta
en 0.004 m
ll) Calcular el incremento del volumen de un cubo de lado = 6.2m al aumentar el lado
0.005m
m) Calcular el valor aproximado del área de una esfera 9 cm. de radio si el radio
aumenta 3 cm.

7. Fórmulas de diferenciación:
Si se considera que:
“La diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la
función por la diferencial de la variable independiente”
A cada fórmula de derivación corresponde una fórmula de diferencial
FUNCIÓN FUNCIÓN
ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS
1: d( C) = 0(dx) = 0 2: d(x) = 1(dx) = dx
3. d(Cx) = c(dx) si x = v 4. d(u + v –w) = du + dv - dw
d(Cv) = Cd(v)
5: d(u v) = udv +vdu 6: d(u v w) = uvdw + úwdv + vwdu
7: d(vn) = n un-1du  u  vdu − udv
8: d  =
v v2
dv dv
9: d( v) = 10: d (n v) =
2 v n v n −1
n
 c  − cdv  v  dv
11: d  = 12: d  =
v v2 c  v
Regla de cadena: siendo y función de u
LOGARITMICAS EXPONENCIALES
dv 15. d (a ) = a v Ina.dv
v
13. d ( Inv) =
v
log e 16. d (e v ) = e v .dv
14. d (log v) = .dv
v
EXPONENCIALES 17. d (u v ) = vu v −1.du + Inu.u v .dv
TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
18. d ( Senv) = Cosv.dv dv
24. d ( ArcSenv) =
1 − v2
19. d (Cosv) = −Senv.dv dv
25. d ( ArcCosv) = −
1 − v2

8. 20. d (Tanv ) = Sec 2v.dv dv
26. d ( ArcTanv) =
1 + v2
21. d (Ctgv ) = −Csc 2v.dv dv
27. d ( ArcCotv) = −
1 + v2
22. d ( Secv) = Secv.Tanvdv dv
28. d ( ArcSecv =
v v 2 −1
23. d (Cscv) = −Cscv.Cotv.dv dv
29. d ( ArcCscv) = −
v v 2 −1
Como se observa: para calcular diferencial general dy de una función y = f(X) basta
con aplicar las fórmula de derivación y después multiplicar el resultado por dx
Actividad: Calcular las diferenciales que se presentan:
1) d(4x3 – 2x + 3) aplicando las fórmulas requeridas al igual que en la derivación se
tiene:
d(4x3 – 2x + 3) = d(4x3) - d(2x) +d(3)
= 12x2 dx – 2 dx =(12x2 – 2)dx
2) d(-4x3+ 10x2 – 5x + 7) =
9
3) d(  3  =
x 
4) 4
(8 x 3 ) 7
5) d( 4Sen5x2) =
6) d(6x2e4x) =
7) d(7arcCos9x)=
8) d(ln(12x5)8 =
9) d( tan x – 2x) =
10) d(arc Cot x2) =
Nociones de Cálculo Integral.
Concepto de Integración:
En matemáticas es sabido que existen operaciones inversas como:

9. La suma y la resta
La multiplicación y la división
La potenciación y la radicación.
La operación inversa de la diferenciación es la antidiferenciación o integración
Función primitiva;
Si F(x) = x2 f’(x) = 2x, la función primitiva de 2x es x2
Si y = Sen x y’ = Cos x la función primitiva de Cos x es Sen x
Si F(x) = 4x3 + x2 + 5 y f’(x) = 12x 2 + 2x , entonces 4x3 + x2 + ( ) es la función
primitiva de 12x2 + 2x. Observa que la constante no se puede determinar de esto se
puede obtener la conclusión:
“Una función f(x) (derivada) tiene una infinidad de funciones primitivas que
difieren solo en la constante”
F1(x) = 4x3 + x2 + 8
F2(x) = 4x3 + x2 -12 son funciones primitivas de f(x) = 12x2 + 2x
3 2
F3(x) = 4x + x +5
Integral Indefinida:
Al conjunto de todas las funciones primitivas de una función f(x) se le llama integral
indefinida de f(x) dx.
Para representar la integral indefinida se utiliza el signo ∫ inicial de la palabra suma.
Para representar la integral indefinida de f(x) dx se escribe : ∫ f(x) d(x):
Si F(x) es la función primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) d(x) = F(x) + C, a la función f(x)
se le llama integrando y al constante C se le llama constante de integración.
∫ 2x d(x) = x2 + C
integrando constante de integración.
Integración indefinida:
A la operación de hallar integrales indefinidas se le llama integración indefinida;
operación inversa a la diferenciación o derivación.
De esto se deduce:
1° . La derivada de una integral es el integrando
D ∫ 3x2 d(x) = 3x2 la integral de 3x2 d(x) es x3 + C y la derivada de x3 + C = 3x2.
2°. La integral de la diferencial de una función es igual a la función mas una
constante.
Senx )
∫ d(Sen x) = Sen x + C porque d( = Cosxd ( x) ∫ Cos x d(x) = Sen x + C
d ( x)
Prueba de integración indefinida:
Para comprobar si una integración indefinida está bien hecha se halla la derivada
del resultado.
Actividades: Obtener dos funciones primitivas de:
a) 4x3
b) 7x2 d(x)
c) 1/x

10. d) Sec2x d (x)
e) ex
1. Si una función primitiva de 5x4 d(x) es x5 + 3, la integral indefinida de 5x 4 d(x) es:
_________
2. Simplificar las siguientes expresiones:
D ∫ Cos x d(x) = D ∫ (4x2+x)dx=
xd ( x )
D∫ = ∫ d(tan x) =
1 + x2
∫ d(ax) = ∫ d(ang Sen x) =
Determinación de la constante de integración:
Si x2 + C representa una familia de parábolas y a cada valor de C le
corresponde una de estas curvas y sabiendo que la curva pasa por (2,1) se tiene
que y = x2 + C entonces 1 = 22 + C de donde C = -3 . y = x2 -3
Si pasa por R(3,11) 11 = 32 + C 11 – 9 = C C = 2 y = x2 +2
Integración de una función positiva:
Casos sencillos de integración:
a. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante
de la variable independiente x.
d(y)= 3x2 d(x) diferencial
y = ∫ 3x2 d(x) = procediendo a la inversa de la diferenciación, multiplicar
por (x) y dividir este nuevo producto por el nuevo exponente y entre d(x)
3 x 2 .xd ( x) 3 x 3
y= = = x3 + C generalizando este procedimiento se tiene:
3d ( x) 3
(m +1) x m +1d ( x)
∫ (m+1)xm d(x) = (m +1)d ( x )
= x m +1 + C ya sea m entero, fraccionario, positivo o
negativo a excepción en que m = -1 pues aplicando la regla: x-1d(x) = (-1+1)
x −1+1d ( x) x0
= = ∞ lo que es inexacto.
(−1 +1) d ( x) 0
d ( x)
∫ x-1d(x) = ∫ x
= ln x + C
b. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante
. de función de x
nu n d (u )
Si y = u n
u = f(x) d(y) = n u n-1
d(u) y= ∫ n-1
n u d(u) =
nd (u )
= un + C
c. la integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma
algebraica de las integrales de las diferenciales:
∫ [d(u) +d(v) –d(x)] = ∫ d(u) + ∫ d(v) - ∫ d(x)
d. factor constante de la integral o del integrando: Todo factor constante del
integrando puede ponerse como factor de la integral o viceversa .
Integración de una función positiva:
Casos sencillos de integración:

11. e. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante
de la variable independiente x.
d(y)= 3x2 d(x) diferencial
y = ∫ 3x2 d(x) = procediendo a la inversa de la diferenciación, multiplicar
por (x) y dividir este nuevo producto por el nuevo exponente y entre d(x)
3 x 2 .xd ( x) 3 x 3
y= = = x3 + C generalizando este procedimiento se tiene:
3d ( x) 3
(m +1) x m +1d ( x)
∫ (m+1)xm d(x) =
(m +1)d ( x )
= x m +1 + C ya sea m entero, fraccionario, positivo o
negativo a excepción en que m = -1 pues aplicando la regla: x-1d(x) = (-1+1)
x −1+1d ( x) x0
= = ∞ lo que es inexacto.
(−1 +1) d ( x) 0
d ( x)
∫ x-1d(x) = ∫ x
= ln x + C
f. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante
. de función de x
nu n d (u )
Si y = un u = f(x) d(y) = n un-1 d(u) y= ∫ n un-1d(u) = nd (u )
= un + C
g. la integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma
algebraica de las integrales de las diferenciales:
∫ [d(u) +d(v) –d(x)] = ∫ d(u) + ∫ d(v) - ∫ d(x)
h. factor constante de la integral o del integrando: Todo factor constante del
integrando puede ponerse como factor de la integral o viceversa .
∫ C d(u) = C ∫ d(u)
1) d[c ∫ d(u)]= c[d ∫ d(u)] = C d(u) la diferencial de una integral es el integrando o
2) d ∫ Cd(u) = Cd(u)
C d(u) = C ∫ d(u)
1) d[c ∫ d(u)]= c[d ∫ d(u)] = C d(u) la diferencial de una integral es el integrando o
2) d Integración de una función positiva:
Casos sencillos de integración:
i. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante
de la variable independiente x.
d(y)= 3x2 d(x) diferencial
y = ∫ 3x2 d(x) = procediendo a la inversa de la diferenciación, multiplicar
por (x) y dividir este nuevo producto por el nuevo exponente y entre d(x)
3 x 2 .xd ( x) 3 x 3
y= = = x3 + C generalizando este procedimiento se tiene:
3d ( x) 3

12. (m +1) x m +1d ( x)
∫ (m+1)xm d(x) =
(m +1)d ( x )
= x m +1 + C ya sea m entero, fraccionario, positivo o
negativo a excepción en que m = -1 pues aplicando la regla: x-1d(x) = (-1+1)
x −1+1d ( x) x0
= = ∞ lo que es inexacto.
(−1 +1) d ( x) 0
d ( x)
∫ x-1d(x) = ∫ x
= ln x + C
j. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante
. de función de x
nu n d (u )
Si y = un u = f(x) d(y) = n un-1 d(u) y= ∫ n un-1d(u) =
nd (u )
= un + C
k. la integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma
algebraica de las integrales de las diferenciales:
∫ [d(u) +d(v) –d(x)] = ∫ d(u) + ∫ d(v) - ∫ d(x)
l. factor constante de la integral o del integrando: Todo factor constante del
integrando puede ponerse como factor de la integral o viceversa .
∫ C d(u) = C ∫ d(u)
1) d[c ∫ d(u)]= c[d ∫ d(u)] = C d(u) la diferencial de una integral es el integrando o
2) d ∫ Cd(u) = Cd(u)
Cd(u) = Cd(u) como la d(1) es igual a la d(2) resulta que ∫ Cd(u) = C ∫ d(u)
Ejemplos:
x 2 / 3 .x.d ( x) x5 / 3 3x 5 / 3
= +C = +C
a) ∫ x2/3d(x) = 2 / 3 + 1d ( x) 5 5
3
x4 / 3 3x 4 / 3
x1 / 3+1 +C = +C
b) ∫ 3
x d ( x ) = ∫ x d(x) =
1/3
1 / 3 +1
+C = 4 4
3
c) ∫ (x2 – 2x)5 (2x-2) d(x) . haciendo (x2 – 2x) = u , (2x-2) d(u) sustituyendo se
tiene:
u 5ud (u ) u6 ( x 2 − 2 x) 6
∫ (x2-2x)5(2x-2)d(x) = ∫ u5d(u) =
5 + 1d (u )
=
6
sustituyendo =
6
+C
d ( x) d (u )
d) ∫ ( x − 5)3
haciendo u = (x-5)3 d(u) = d(x) sustituyendo se tiene ∫ u3
= ∫ u-
3
d(u) =
u −3 +1d (u ) u −2 1 1 1
+C = +C = +C = +C = − +C
(−3 + 1)d (u ) −2 − 2u 2
− 2( x − 2 x )
2
2( x − 2 x )
2
e) ∫ Sen2x Cos x d(x) haciendo Sen x = u Cosx d(x) = d(u)
2 +1
u d (u ) u3 Sen3 x
∫ u2 d(u) =
(2 + 1) d (u )
=
3
+C =
3
+C
( x 3+ )d ( x) 3 x 2 +1d ( x) 4 xd ( x)
f) ∫ (x3 – 3x2 + 4) d(x) = ∫ x3- ∫ 3x2 + 4 ∫ d(x) = − +
(3 +1)d ( x) (2 +1)d ( x) 1(d ( x)
+C

13. x 4 3x3 x4
= − + 4x + C = − x3 + 4 x + C
4 3 4
( x 4 − 4 x 2 + 4) 4
g) ∫ x
d ( x) = realizando la división se tiene ∫ ( x 3 − 4 x + )d ( x)
x
dx
= ∫ x3 d(x) - ∫ 4x d(x) + 4∫ =
x
x 3 +1d ( x) 4 x1+1d ( x ) x4 4x2
− + 4 ln x = − + ln x 4 + C
(3 + 1) d ( x) (1 + 1) d ( x) 4 2
x4
= − 2 x 2 + ln x 4 + C
4
Integrales Inmediatas:
∫ f(x) d(x) Se dice que es inmediata si se reconoce la expresión f(x) d(x) como
diferencial de una función Φ (x) entonces por definición se puede escribir ∫ f(x) dx = Φ
(x) + C (todas las de las fórmulas serán inmediatas)
De las fórmulas de derivación se deducen las siguientes fórmulas de integración:
u m +1
1) ∫ du = u + C 2) ∫ k du = k u + C 3) ∫ um du = m +1
+C m
≠1
du d (u )
4) ∫ u
= ln u + C 5) ∫ 2 u
+C 6) ∫ Cos u d(u) = Sen u + C
7) ∫ Sen u du = - Cos u + C 8) Sec 2 u du = tan u+ C 9) ∫ Csc2 u du = - Cot u +
C
10) ∫ Sec u Tan u d u = Sec u + C 11) ∫ Csc u Cot u du = - Csc u + C
du du
12) ∫ = angSenu + C 13) ∫ -− = AngCosu + C
1− u 2
1 − u2
du du
14) ∫ 1 + u2
= angTanu + C 15) ∫ - 1 + u2 = ang cot u +
du du
16) ∫ = angSecu + C 17) ∫ − = angCscu + C
u u −1
2
u u 2 −1
au
18) ∫ eu du = eu + C 19) ∫ au du = ln a
+C
Aplicaciones :
x5
a) ∫ x4 dx = 5
+ C según fórmula 3
(4 x + 1) 4
b) ∫ 4(4x + 1)3dx =
4
+C si u =( 4x +1) du = 4d(x)
( x 2 − 5)3
c) ∫ 3x2(x3-5)2d(x)= ∫ (x3-5)2 3x2 dx =
3
+C
d) ∫ 5 Cos (5x-3)dx = ∫ Cos(5x-3)d(5x-3) = Sen (5x-3) + C

14. u = (5x-3) du = 5 d(x)
6 xdx
e) ∫ 3x − 4
2
= ln(3 x 2 − 4) + C porque u = 3x2- 4 du = 6xdx
3 x 2 dx
f) ∫ 2 x −5 3
= x3 − 5 + C
Hay integrales que sin ser inmediatas con una operación de multiplicación o
división por una constante se convierten en inmediatas.
Ejemplos:
1 1
a) ∫ Cos 5x dx = ∫ 5Cos 5x dx = Sen5 x + C en este caso se a multiplicado por 5 y
5 5
dividido por 5
b) ∫ (3x-1)2 dx = en este caso u = 3x-1 d(u) 3 dx para que esta derivada corresponda a
una función donde se utilice fórmula 3 es necesario dividir por 3
1 1 (3 x − 1)3 1
3
∫ (3x-1)2 dx =
3 3
= (3 x − 1)3 + C
9
5 x 2 dx x 2 dx 5 3 x 2 dx 5
c) ∫ 3 = 5∫ 3 = ∫ 3 = ln( x 3 − 2) + C
x −2 x −2 3 x −2 3
En este ejemplo primero se sacó el factor cinco y para que x 2 sea d x3 falta 3 por lo que
se multiplica y divide por 3 y entonces se tiene que se trata de la función primitiva que se
relaciona con(ln v)
d) ∫ 4 e5x/7dx = 4 ∫ e5x/7 dx para aplicar la fórmula (18) falta el factor 5/7 ya que si u =
5x 5
du = dx
7 7
por lo que es necesario dividir y multiplicar por 5/7
5x 5x
4( 7 ) 7 28 7
= 4∫ e 5x/7
(5/7) dx / 5/7= e +C = e +C
(5) 5
9 x 2 dx x 2 dx
e) ∫ = 9∫ si u = x3 du = 3x2dx si el numerador tuviera a 3 como factor se
1 + x6 1 + x6
du
aplicaría la fórmula ∫ 1 + u2
para ello multiplicar y dividir por (3) y se tiene:
9 x 2 dx 9 3 x 2 dx
∫ = ∫ = 3arcTanx 3 + C
1+ x 6
3 1 + ( x) 2
Sec 2 x dx dx
f) ∫ 2 x
si u = x d(u) =
2 x
Sec 2 x dx
∫ 2 x
= ∫ Sec2 x . d x = Tan x + C
5dx 5 3dx 5
g) ∫ = ∫ = arcSen3 x + C En este ejemplo se ha sacado 5 de la
1 − 9x2 3 1 − (3 x ) 2 3
integral y 9x2=(3x)2 d(3x) = 3 la expresión se multiplicó y dividió por 3

15. a 4 x dx a4x
h) ∫ a 4 x d(x) = 4 ∫
4
=
4 ln a
+ C en este ejemplo se ha multiplicado y dividido por y
según fórmula 19
B
La integral definida: Cálculo de áreas A
x +2
Sea la recta y = y el trapecio abBA a b
5
a=1 b = 4 A(1,1) B(4,2)
bB = 2-0 = 2 aA = 1-0 =1
B +b 2 +1
Área = h= 3 = 1.5(3) = 4.5u 2
2 2
Tratándose de una curva el problema se complica: Sea y = x el área de la superficie
abBA se llama área bajo la curva. Esto tiene una relación con el Cálculo Integral
Para mayor sencillez en las operaciones dividir el área del trapecio dividiendo el
intervalo (1,4) en 3 subintervalos iguales o desiguales formando rectángulos interiores y
exteriores
El área del trapecio abBA está entre la suma de las áreas de los rectángulos interiores y
exteriores
B
A
a b
El área de los rectángulos interiores es (1x1) +(1x4/3) +(1 x 5/3) = 1+4/3 + 5/3 = 4 U 2
Suma de áreas de rectángulos exteriores = (1x4/3) + (1x5/3) + (1x2) = 4/3 +5/3 +2 = 5 U 2
por lo tanto el área del trapecio es 4< A < 5
Si hacemos más divisiones a los subintervalos de modo que se formen nuevos
rectángulos.
x 1 1.6 2 2,5 3 3.4 4
y 1 1.2 1.33 1.5 1.66 1.8 2
∑i = (.6 x1.2) + (.4 x1.2) + (.5 x1..33) + (.5 x1.5) + (.4 x1.8) + (.6 x 2) = 4.24u 2
∑ = (.6x3.2) +(,4x1,33) +(.5x1.5) + (.5x1.66)+(.4x1.8) +(.6x2) = 4.76 u 2
e
4.24 < A < 4.76