Clasificacic3b3n de-matrices
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- 1. CLASIFICACIÓN DE MATRICES a) Matriz triangular superior: Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todos los componentes que se encuentran arriba de la diagonal principal con cero Ejemplos: = 40 21 A = 900 350 421 B b) Matriz triangular inferior: Se dice que una matriz cuadrada es triangular inferior si todos los componentes que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero, Ejemplos: = 42 01 A = 934 052 001 B c) Matriz diagonal. Una matriz cuadrada se llama matriz diagonal si todos los componentes que están fuera de la diagonal principal son cero. Ejemplos: = 40 01 A = 900 050 001 B d) Matriz escalar: Es una matriz diagonal, donde a11=a22=…=ann=k, Ejemplos: = 20 02 A = 500 050 005 B e) Matriz identidad. Es una matriz escalar, con escalar igual a 1, es decir, tiene 1’s en la diagonal principal y ceros en las demás posiciones. Ejemplos:
- 2. = 10 01 2I = 100 010 001 3I Se denota por la letra I y el subíndice indica el orden. f) Matriz transpuesta. La matriz transpuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz AT de tamaño nxm que se obtiene permutando la fila a columna. Ejemplos: A= 654 321 AT = 63 52 41 g) Matriz simétrica. Una matriz simétrica es simétrica si cumple con A= AT Ejemplos: = 03 31 A = 03 31T A − − = 540 431 012 B − − = 540 431 012 T B = 082 112 341 C = 082 112 341 T C La matriz C no es simétrica h) Matríz antisimétrica. Una matriz es antisimétrica, cuando cumple con A= -AT − − − −−− = 0654 6021 5203 4130 B − − − −−− = 0654 6021 5203 4130 T B i) Matriz potencia. Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo “k”. Las potencias de A se definen como sigue: A2 =AA, A3 =A2 A, …, An+1 =An A y A0 =I
- 3. Ejemplo: Sea − = 43 21 A , calcular A2 y A3 Solución − − = − − = 229 67 43 21 43 212 A − − = − − − = 10657 3811 43 21 229 673 A j) Matriz Periódica. Una matriz A se llama periódica, si k el menor número entero y positivo para el cual se cumple Ak+1 =A, se dice que la matriz A tiene como periodo k. Ejemplo: − − −− = 302 923 621 A , demostrar que A es una matriz de periodo 2. Solución: Para determinar si A tiene periodo 2 es necesario calcular A3 , por lo tanto −−− −−− = − − −− − − −− = 344 9109 665 302 923 621 302 923 621 2 A − − −− = − − −− −−− −−− = 302 923 621 302 923 621 344 9109 665 3 A Como vemos de A3 =A, entonces A es una matriz periódica, con periodo 2. k) Matriz nilpotente. También llamada matriz nulipotente, siendo A una matriz cuadrada y si p es el menor número entero positivo para el cual Ap =0, entonces A es nilpotente de orden p. Ejemplo: Demostrar que −−− = 312 625 311 A es una matriz nilpotente de orden 3. Solución:
- 4. Para hacer dicha demostración es necesario calcular A3 , por lo que tenemos −−− = −−− −−− = 311 933 000 312 625 311 312 625 311 2 A = −−− −−− = 000 000 000 312 625 311 311 933 000 3 A Como vemos que A3 =0, entonces A es nilpotente de orden 3. l) Matriz idempotente. Una matriz A de nxn es idempotente si y solo si A2 =A. Ejemplo: Si a −− − −− = 321 431 422 A , demostrar que A es idempotente. Solución: −− − −− = −− − −− −− − −− = 321 431 422 321 431 422 321 431 422 2 A Como vemos que se cumple A2 =A., entonces A es una matriz idempotente. m) Matriz involutiva. Una matriz A es involutiva si cumple con A2 =I. Ejemplo: Si −−− = 100 010 211 A , demostrar de A2 =I. Solución Es necesario calcular A2 =I, por lo que tenemos: = −−− −−− = 100 010 001 100 010 211 100 010 211 2 A Como vemos que A2 =I., entonces A es una matriz involutiva. n) Matriz ortogonal. Una matriz cuadrada es ortogonal si AAT =AT A=I.
- 5. Ejemplo. Si − − = 216131 06231 216131 A , demostrar que A es ortogonal Solución − − = 216131 06231 216131 A , − −= 21021 616261 313131 T A = 100 010 001 o) Matriz compleja. Sea A una matriz de tamaño mxn, se llama compleja si sus elementos con números complejos Ejemplo: +− −−+ = iii iii A 23416 743582 p) Matriz conjugada. Sea A una matriz compleja, la matriz conjugada se forma con los conjugados de cada elemento de A, se representa por A Ejemplo: + − = i ii A 323 21 , − −+ = i ii A 323 21 q) Matriz hermitiana. Si A es una matriz compleja, una matriz hermitiana debe cumplir con AAT = . Ejemplo: −−+ +− −+ = 72654 26532 54322 ii ii ii A , demostrar que A es una matriz hermitiana Solución −+− −+ +− = 72654 26532 54322 ii ii ii AT , −−+ +− −+ = 72654 26532 54322 ii ii ii AT Como se cumple que AAT = , por lo tanto A es una matriz hermitiana.
- 6. r) Matriz antihermitiana Si A es una matriz compleja y además cumple con AAT −= , entonces se llama matriz antihermitiana, hermihermítica o antihermítica. Ejemplo: − −− − = 02 31 21 i iii ii A , demostrar que A es una matriz antihermitiana Solución − −−− = 02 31 21 i iii ii AT , − −−+ −+−− = 02 31 21 i iii ii AT Por otro lado − −−+ −+−− =− 02 31 21 i iii ii A Como se cumple que AAT −= , por lo tanto A es una matriz antihermitiana.
- 7. r) Matriz antihermitiana Si A es una matriz compleja y además cumple con AAT −= , entonces se llama matriz antihermitiana, hermihermítica o antihermítica. Ejemplo: − −− − = 02 31 21 i iii ii A , demostrar que A es una matriz antihermitiana Solución − −−− = 02 31 21 i iii ii AT , − −−+ −+−− = 02 31 21 i iii ii AT Por otro lado − −−+ −+−− =− 02 31 21 i iii ii A Como se cumple que AAT −= , por lo tanto A es una matriz antihermitiana.