Matemática I

1. Clavero,Melina.
Ortega,Cindy.
ACTIVIDAD 5
Parte C. Grupal.
Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una
transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea
muy cuidadoso con la simbología matemática):
a) El vector genérico TX.
b) El núcleo de esta TL.
c) Los autovalores de la TL.
d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.
Además:
e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.
f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen
verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas
matrices?
g) Plantee la transformación inversa.
Use paquetes informáticos en los cálculos. Las matrices que se dan originan diferentes
casos: diagonalizable, no diagonalizable; uno, dos, tres autovalores diferentes;
autovalor de multiplicidad superior a 1; uno, dos, tres, autovectores LI, etc., etc. La
idea es cubrir diversidad de situaciones que nos lleven a esclarecer ideas. Pregunte
sus dudas ¡estudiamos y aprendemos juntos! ¡No está solo! ¿O no nota que le tengo
su mano?

2. Clavero,Melina.
Ortega,Cindy.
La matriz seleccionada es:
𝐴 = [
0 −1
6 −1
]
 Transformación matricial:
𝑇: ℝ2
→ ℝ2
𝑋 → 𝑇( 𝑋) = 𝐴𝑥
[
𝑥1
𝑥2
] → [
0 −1
6 −1
] · [
𝑥1
𝑥2
]
A. El vector genérico TX:
𝑇( 𝑋) = 𝑇 ([
𝑥1
𝑥2
]) = 𝑥1[
0
−6
] + 𝑥2 [
−1
−1
] = [
0 −1
−6 −1
] [
𝑥1
𝑥2
] = [
−𝑦
−6𝑥 − 𝑦]
B. Núcleo de ésta TL:
𝑁𝑢𝑙𝑇 = { 𝑥 ∈ ℝ2
| 𝐴𝑥 = 0 }
Buscamos el vector X que satisfaga lo planteado anteriormente.
Calculamos el determinante de A con WIRIS:
Al ser el det(A)=-6 sabemos que el sistema admite una única solución.
Por lo cual el vector que buscamos es [
0
0
].

3. Clavero,Melina.
Ortega,Cindy.
C. Autovalores de la TL:
A partir de la siguiente definición:
Dado un cierto escalar k, siempre existe un X tal que AX=kX. Ese X es
únicamente nulo o bien forma parte de un subespacio vectorial llamado
autoespacio o espacio propio asociado a k. Tales X no nulos reciben el
nombre de vectores propios o autovectores y los correspondientes k
valores propios o autovalores.
( 𝐴 − 𝑘𝐿) 𝑋 = 0 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑋 ≠ 0
det( 𝐴 − 𝑘𝐼) = 0
det ([
0 −1
−6 −1
] − 𝑘 · [
1 0
0 1
]) = 0
det ([
0 −1
−6 −1
] − [
𝑘 0
0 𝑘
]) = 0
𝑑𝑒𝑡 ([
−𝑘 −1
−6 −1 − 𝑘
]) = 0
(−𝑘) · (−1 − 𝑘) − (−1 ∗ (−6)) = 0
𝑘2
+ 𝑘 − 6 = 0
Resolvemos ecuación cuadrática para así obtener sus raíces:
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Los valores a reemplazar son:
a=1
b=1
c=-6
𝑥 =
−1 ± √12 − 4 · 1 · (−6)
2 · 1
Obtenemos k1=2 y k2=-3, que son nuestros autovalores.

4. Clavero,Melina.
Ortega,Cindy.
D. Base de los autovectores asociados a cada autovalor:
Para k=2
𝐴 − 𝑘𝐼 = 𝐴 − 2𝐼 = [
0 −1
−6 −1
] − [
2 0
0 2
] = [
−2 −1
−6 −3
]
Entonces, a partir de la definición planteada en el punto C, tenemos:
( 𝐴 − 2𝐼) 𝑋 = 0 → [
−2 −1
−6 −3
] · [
𝑥1
𝑥2
] = 0
𝑆 = {[
𝑥1
𝑥2
] = 𝑋|( 𝐴 − 2𝐼) · 𝑋 = 0}
Entonces: -2x1=x2. Concluimos:
𝑆 = {[
−𝑡
2𝑡
]|𝑡 = −𝑥1, 𝑥1 ∈ ℝ} = {[
−1
2
] · 𝑡|𝑡 = −𝑥1, 𝑥1 ∈ ℝ}
𝐺𝑒𝑛 {[
−1
2
]} = 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 [
−1
2
] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑘 = 2

5. Clavero,Melina.
Ortega,Cindy.
Para k=-3:
𝐴 − 𝑘𝐼 = 𝐴 − (−3𝐼) = [
0 −1
−6 −1
] − [
−3 0
0 −3
] = [
3 −1
−6 2
]
Entonces, a partir de la definición planteada en el punto C, tenemos:
( 𝐴 − (−3𝐼)) 𝑋 = 0 → [
3 −1
−6 2
] · [
𝑥1
𝑥2
] = 0
𝑆 = {[
𝑥1
𝑥2
] = 𝑋|( 𝐴 − (−3𝐼))· 𝑋 = 0}
Entonces: 3x1=x2. Concluimos:
𝑆 = {[
𝑡
3𝑡
] |𝑡 = 𝑥1, 𝑥1 ∈ ℝ} = {[
1
3
] · 𝑡|𝑡 = 𝑥1, 𝑥1 ∈ ℝ}
𝐺𝑒𝑛 {[
1
3
]} = 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 [
1
3
] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑘 = −3
Verificamos la solución:

6. Clavero,Melina.
Ortega,Cindy.
E. Grafique cada vector de cada base y tambiéngrafique cada espacio
generado:

7. Clavero,Melina.
Ortega,Cindy.
F. Analice si A es diagonalizable.Encaso de serloconstruya P y D que hacen
verdadera la igualdad.Para pensar: ¿Cómo y con qué informaciónse
construyendichas matrices?
Si A es diagonalizablese debe cumplir:
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1
Referencias:
𝑃 = [ 𝑉1… 𝑉𝑛], 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑉𝑛 𝑑𝑒 𝐴
𝐷 = [
𝑘1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 𝑘 𝑛
], 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑘 𝑛 𝑑𝑒 𝐴
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1
𝐴 = [
1 −1
3 2
] · [
2 0
0 −3
] · [
1 −1
3 2
]
−1
Calculamosel determinantede P:
Comoel det (P)0existeP-1
yes:

8. Clavero,Melina.
Ortega,Cindy.
Verificamos:
G. Plantee la transformación inversa:
𝑇−1:𝑅2 → 𝑅2
𝑋 → 𝑇−1( 𝑋) = 𝐴−1 𝑥
[
𝑥1
𝑥2
] → [
0 −1
−6 −1
]
−1
· [
𝑥1
𝑥2
]
La inversade A:
La transformaciónquedará:
[
𝑥1
𝑥2
] → [
1
6
−
1
6
−1 0
] · [
𝑥1
𝑥2
] = [
1
6
𝑥1 −
1
6
𝑥2
−𝑥1
]