Breve presentación sobre funciones

1. FUNCIONES
Empezaremos el tema de funciones recordando la representación de
los puntos en unos ejes cartesianos.

2. Ejercicios:
1. Representa los siguientes puntos:
A=( -2, 5 ) B=( 4, 3´5 ) C=( 0, 6 ) D = ( 3, 0 )
E=( -3, -2´5 ) F=( 2, -4 ) G=(4, -2 )
2. a) Representa cuatro puntos donde su abscisa sea igual a su
ordenada.
b) Une los puntos anteriores por una recta.
c) ¿Te parece razonable designar la recta anterior con la expresión
y=x?
Realiza los ejercicios anteriores con ayuda de Geogebra, captura la
pantalla, pegala en un procesador de textos y subela a tu curso.

3. Empecemos el tema con un ejemplo:
La siguiente gráfica describe la evolución de la temperatura de un
paciente a lo largo del tiempo:
Una función es una relación entre dos variables a las que, en general,
llamaremos x e y.
● x es la variable independiente (en el ejemplo, el tiempo).
● y es la variable dependiente ( en el ejemplo, la temperatura).

4. Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:
● La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).
● La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).
● Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la
ordenada y.
● El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama
dominio de definición de la función.
● Los ejes deben estar graduados en dos escalas, de modo que se
puedan cuantificar los valores de las dos variables.

5. Volviendo a nuestro ejemplo:
En cada eje hay una escala:
● En el eje horizontal, un cuadrado significa 1 día.
● En el eje vertical, un cuadrado significa 1 ºC.
Esta gráfica se extiende en el tramo 0 – 15. Sólo tenemos información
de la temperatura en ese intervalo de tiempo. El intervalo 0 – 15 se
llama dominio de definición de la función.

6. VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN:
Para estudiar la variación de una función tenemos que mirar su gráfica
de izquierda a derecha, es decir, tenemos que ver como varía y
cuando x aumenta.
Una función es creciente cuando al aumentar la variable
independiente, x, aumenta la variable dependiente, y.
Una función es decreciente cuando al aumentar la variable
independiente, x, disminuye la variable dependiente, y.
También podemos decir que un tramo de una función es creciente o
decreciente.
Volviendo a nuestro ejemplo:
¿Podrías indicar en que intervalos
la función es creciente o decreciente?

7. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Una función tiene un máximo en un punto cuando su ordenada es
mayor que la ordenada de los puntos que lo rodean.
A la izquierda del máximo, la función es creciente, y a su derecha es
decreciente.
Una función tiene un mínimo en un punto cuando su ordenada es
menor que la de los puntos que lo rodean.
A la izquierda del mínimo, la función es decreciente, y a su derecha es
creciente.
En nuestro ejemplo se puede ver
fácilmente un punto mínimo: (5, 38)

8. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN:
La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona
algebraicamente las dos variables que intervienen.
Ejemplo: Margarita pasea alejándose de su pueblo a una velocidad de
2 km/h. En ese momento se encuentra a 4 km del pueblo. ¿Dónde se
encontrará dentro de una hora? ¿Dónde se encontraba hace una
hora? Representa la distancia al pueblo en función del tiempo
transcurrido a partir de ahora. Calcula la expresión analítica de la
función llamando x al tiempo e y a la distancia al pueblo.

9. EJERCICIOS:
1. Di cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones y
cuáles no son funciones, justificando las respuestas:
2. Hay muchas formas de crecer y de decrecer. Observa las siguientes
funciones. ¿Cuáles son crecientes? ¿Cuáles son decrecientes?

10. 3. Utilizando Geogebra representa la función dada por los puntos de
la tabla siguiente:
Comprueba que su ecuación es:
4. Calcular algunos puntos de la función que tienen esta ecuación:
y=2x-4 y representarla:
5. La gráfica describe la velocidad de un
bólido de carreras en cada lugar de este
circuito:
Di en que tramos la velocidad es creciente y en cuales es decreciente.
¿A qué crees que se deben los aumentos y disminuciones de
velocidad?

11. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD: y = mx
● La función de proporcionalidad tiene por ecuación: y = mx.
● Se representa mediante una recta que pasa por (0, 0) .
● La constante de proporcionalidad, m (que puede ser positiva o
negativa), se llama pendiente de la recta y tiene que ver con su
inclinación.
La pendiente (coeficiente de x) es la variación que experimenta y
cuando x aumenta una unidad. Para determinarla, dividimos la
variación de y por la variación de x entre dos de sus puntos.
Calcula la pendiente de
cada una de las siguientes
Rectas:

12. EJERCICIOS:
1. Asocia a cada una de las gráficas la ecuación que le corresponda:

13. 2. Escribe la ecuación de las siguientes rectas:

14. LA FUNCIÓN: y = mx + n
La ecuación y = mx + n se representa por una recta con las siguientes
características:
● Su pendiente es m ( la pendiente es el coeficiente de x). Representa
la variación de y por cada unidad de x.
● Su ordenada en el origen es n. Es decir, si x = 0, entonces y = n. Por
lo tanto, corta al eje Y en el punto (0, n) .
Cuando la pendiente es m = 0, la recta y = n es paralela al eje X. Se
llama FUNCIÓN CONSTANTE, porque y siempre vale lo mismo
(n) aún que varíe x.
Todas las funciones que se representan mediante rectas, se llaman
FUNCIONES LINEALES.

15. EJERCICIOS:
1. Utilizando el Geogebra, representa las siguientes funciones:

16. 2. Escribe las ecuaciones de las siguientes funciones:
3. Representa las siguientes funciones: