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Metodo grafico20178
1.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com CONTENIDO: • El Método gráfico • Procedimiento. • Ejercicios propuestos. OBJETIVO TERMINAL: Resolver, a través del método gráfico, problemas de optimización restringida considerando la importancia de éste para la toma de decisiones.
2.
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3.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO Características La recta que representa a la función objetivo (X0 ) se le conoce como Recta Isocuanta o recta de nivel. ó Método de las Rectas de Nivel Región factible ACOTADA Región factible NO ACOTADA El conjunto de rectas que representan cada una de las restricciones, conforman el polígono de soluciones factibles ó La región factible puede estar o no acotada. Región Factible. La solución óptima es siempre uno de los vértices de la región factible. F.O Vértice óptimo
4.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com A continuación se representará parte de dicho procedimiento a través del diagrama de flujo de un algoritmo básico. MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL) Esta primera etapa corresponde a la formulación y modelización del problema. Inicio Analizar problema ¿Las variables son lineales? No corresponde a PL Fin NO A SI Procedimiento
5.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Procedimiento Verificando características del Modelo de PLB NO SI ¿Las restricciones son cerradas? ¿El objetivo es optimizar? A SI ¿El número de variables es 2? NO Resolver por otro método C B No corresponde a PL Fin NO C Continuar procedimiento C SI
6.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Procedimiento El diagrama anterior deberá completarse a detalle más adelante, por ahora, veamos la continuación del procedimiento a través de un ejemplo. Una compañía fabricante de monitores para PC debe decidir la cantidad de cada uno de los dos modelos que comercializa, en virtud de que una reciente investigación de mercado le sugiere que , cada mes, es posible vender cuando más 1000 unidades del modelo 14” y hasta 4000 unidades del modelo 17”. El número máximo de horas - hombre disponibles es de 50000 horas por mes y se sabe que un monitor de 14 “ requiere 20 horas – hombre para su fabricación, mientras que el de 17” requiere 15 horas – hombre. Si las ganancias por unidad de monitor vendido son de $ 30 y $ 50 respectivamente, formule un modelo de PL que permita al fabricante tomar la mejor decisión sobre cuántos monitores de cada modelo producir. Una compañía fabricante de monitores para PC debe decidir la cantidad de cada uno de los dos modelos que comercializa, en virtud de que una reciente investigación de mercado le sugiere que , cada mes, es posible vender cuando más 1000 unidades del modelo 14” y hasta 4000 unidades del modelo 17”. El número máximo de horas - hombre disponibles es de 50000 horas por mes y se sabe que un monitor de 14 “ requiere 20 horas – hombre para su fabricación, mientras que el de 17” requiere 15 horas – hombre. Si las ganancias por unidad de monitor vendido son de $ 30 y $ 50 respectivamente, formule un modelo de PL que permita al fabricante tomar la mejor decisión sobre cuántos monitores de cada modelo producir.
7.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com Determinación de la Región Factible MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Procedimiento 1) Resolver cada restricción (inecuación) por separado como si fueran igualdades y graficar cada una de las rectas correspondientes. F.O Max X0 = 30X1 + 50X2 20X1 + 15X2 ≤ 50.000 X1 ≤ 1.000 X2 ≤ 4.000 (X1, X2) ≥ 0 Para esto se deben ENCONTRAR dos puntos por los que pase la recta asociada a cada restricción, ó los PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES de cada una de dichas rectas. A B C D Tome nota del modelo
8.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Región Factible En el ejemplo se tiene que: Restr. X1 = 0 X2 = 0 A B C X2= 3333,3 X1= 2500 ¿Qué información inicial nos aporta la restricción (X1,X2) ≥ 0, para graficar la región factible? X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 (2500 , 0) (0, 3333.3) A No hay X2 X1= 1000 (1000 , 0) B X2= 4000 No hay X1 (0 , 4000) C
9.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Región Factible X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 B 2) Determinar la región válida para cada restricción Para esto se elige un punto, por ejemplo (0,0). Si este punto verifica la inecuación entonces, en ese lado de la recta se encuentra la zona válida o factible. El otro lado de la recta se descartaría por no ser factible. Sustituyendo (0,0) en la restricción A se tiene: ¡ Satisface la inecuación ! 20 (0) + 15 (0) ≤ 50.000 No factible (0,0) C A
10.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Región Factible X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 B 2) Determinar la región válida para cada restricción No factible (0,0) C A Para esto elija un punto, por ejemplo (0,0). Si este punto verifica la inecuación entonces, en ese lado de la recta se encuentra la zona válida o factible. El otro lado de la recta se descartaría por no ser factible. Sustituyendo (0,0) en la restricción B se tiene: ¡ Satisface la inecuación ! (0) ≤ 1.000
11.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Región Factible X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 B 2) Determinar la región válida para cada restricción No factible (0,0) C A Para esto elija un punto, por ejemplo (0,0). Si este punto verifica la inecuación entonces, en ese lado de la recta se encuentra la zona válida o factible. El otro lado de la recta se descartaría por no ser factible. Sustituyendo (0,0) en la restricción C se tiene: ¡ Satisface la inecuación ! (0) ≤ 4.000
12.
UNEFM – EDUCACIÓN Investigación
de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Región Factible X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 B 2) Determinar la región válida para cada recta No factible (0,0) C A De la restricción D se tiene que: ¡ Sólo los valores del primer cuadrante son válidos ! Entonces, este es el polígono de soluciones posibles ó REGIÓN FACTIBLE
13.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Región Factible X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 B 3) Determinar los vértices que bordean la región factible C A En la gráfica pueden verse claramente las coordenadas de tres puntos específicos: P1 = (0, 3333.3) P2 = (1000, 0) P3 = (0,0) P4 = ? ¿Cómo se puede hallar el punto de intersección entre dos o más rectas? P4 P2P3 P1
14.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Solución óptima X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 B C A 4) Graficar la recta isocuanta dando un valor cualquiera a la función objetivo, por ejemplo X0 = 15000 En el ejemplo se tiene que: Encontrando la solución óptima F.O 30X1 + 50X2 = 15000 X1 = 0 X2 = 0 F.O 300 500 Se recomienda que dicho valor sea múltiplo de C1 y C2. Luego hallar dos puntos por donde pasa la recta asociada a F.O B (0 , 300) (500, 0) F.O
15.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Solución óptima X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 B C AB 5) Trazar rectas de nivel paralelas a la recta isocuanta graficada previamente, considerando el tipo de Problema (MAX ó MIN), hasta obtener el vértice óptimo Encontrando la solución óptima Para MINIMIZAR, “mueva” la recta isocuanta o trace paralelas hacia el VÉRTICE de la región factible, MÁS CERCANO a (0,0) Vértice óptimo F.O
16.
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Región Factible X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 B C AB Encontrando la solución óptima Para MAXIMIZAR, “mueva” la recta isocuanta o trace paralelas hacia el VÉRTICE de la región factible, MÁS LEJANO a (0,0) ¡ Este es el caso del ejemplo ! Vértice óptimo 5) Trazar rectas de nivel paralelas a la recta isocuanta graficada previamente, considerando el tipo de Problema (MAX ó MIN), hasta obtener el vértice óptimo
17.
UNEFM – EDUCACIÓN Investigación
de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO (Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.) Región Factible X2 X1 2000 30001000 1000 2000 3000 4000 B C AB Vértice óptimo 6) Determinar las coordenadas del vértice óptimo y sustituir en la X0. Encontrando la solución óptima En el ejemplo resulta fácil identificar las coordenadas: X1 = 0 (0, 3333.3) X2 = 3333 Por lo que se deben producir solo 3333 monitores de 17’’ para obtener una ganancia de: X0 = 50 (3333) = 166.650 * * *
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de Operaciones Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004 katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com MÉTODO GRÁFICO EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicios Propuestos F.O Max X0 = 2000X1 + 4000X2 600X1 + 900X2 ≤ 30.000 550X1 + 800X2 ≤ 10.000 500X2 ≤ 1.000 (X1, X2) ≥ 0 S. A: 1) F.O Min X0 = 400X1 + 1000X2 600X1 + 120X2 ≥ 240 100X1 + 500X2 ≥ 1.000 300X1 + 60X2 ≥ 1.200 (X1, X2) ≥ 0 S. A: 2) Resolver por el método gráfico, en forma individual, según el número asignado por el docente
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