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Teoría Electromagnética I




                   Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
                   Introducción
En el capitulo anterior nos ocupamos de campos
electroestáticos en le vacío o espacio sin materiales. Ahora
vamos a estudiar la teoría de los fenómenos eléctricos en
el espacio material.

También comprobaremos que la mayor parte de las
formulas deducidas en el capitulo anterior son aplicables
aunque con ciertas modificaciones en algunos casos.

Así como pueden existir en el vacío , también pueden
existir campos eléctricos en medios materiales.
Los materiales se dividen de acuerdo a sus propiedades
eléctricas en conductores y no conductores. Los materiales
no conductores se denominan aisladores o dieléctricos.

                                       Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
2.1 Propiedades Generales de los materiales

En términos generales , los materiales se clasifican en
conductores y no conductores o técnicamente ,en metales
y aisladores (o dieléctricos), según su conductividad 𝜎 , en
mhos/m (Ω−1 /m) o siemens por metro (S/m).

La conductividad de un material depende usualmente de la
temperatura y la frecuencia. Un material de alta
conductividad 𝜎 >>1 se denomina metal, uno de baja
conductividad 𝜎 ≪ 1 aislador y uno de conductividad
intermedia,semiconductor.
Con fundamento en esto queda claro que materiales como
el cobre y aluminio son metales ; el silicio y germanio
semiconductores; vidrio y caucho aisladores.

                                       Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción

Voltaje (o diferencia de potencial) y corriente electrica son
dos cantidades fundamentales en ingenieria electrica.
En el capitulo anterior tratamos el potencial. Antes de
analizar el comportamiento del campo electrico en un
conductor o en un dielectrico es conveniente considerar la
corriente electrica.
La corriente electrica suele ser causada por el movimiento
de cargas electricas.

La corriente (en amperes) a traves de un area dada es la
carga electrica que pasa por esa area por unidad de
tiempo.



                                        Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
 2.2 Corrientes de convección y conducción
Es decir
                               𝑑𝑄
                          𝐼=
                               𝑑𝑡

Así, en una corriente de un ampere, la carga es transferida
razón de un coulomb por segundo.

Introduzcamos ahora el concepto de densidad de corriente J
, Si la corriente ∆𝐼 fluye a través de una superficie ∆𝑆 , la
densidad de corriente es.




                                           Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
 2.2 Corrientes de convección y conducción
Si se parte del supuesto de que la densidad de corriente es
perpendicular a la superficie.
Si la densidad de corriente no es normal a la superficie.

                        ∆𝐼 = 𝐉. ∆𝑆

De este modo la corriente total que fluye a traves de la
superficie S es.




                                       Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
 2.2 Corrientes de convección y conducción

Segun como se produzca I, existen diferentes tipos de
densidad de corriente:

Densidad de corriente de conveccion, densidad de corriente
de conduccion y densidad de corriente de desplazamiento.

La ecuacion anterior indica que la corriente I a traves de S
es sencillamente el flujo de la densidad de corriente J.




                                        Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
 2.2 Corrientes de convección y conducción

La corriente de conveccion, en cuanto que distinta a la
corriente de conduccion, no implica conductores y , en
consecuencia, no satisface la ley de ohm.

Ocurre cuando la corriente fluye a traves de un medio
aislador como liquido,gas enriquecido o en el vacio.

Un haz de electrones en un tubo al vacio, por ejemplo es
una corriente de conveccion.




                                     Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
 2.2 Corrientes de convección y conducción

Considere el filamento de la figura. En presencia de un flujo
de carga 𝜌 𝑣 a una velocidad 𝒖 = 𝑢 𝑦 𝒂 𝑦 , la corriente a través
del filamento es

                         ∆𝑄         ∆𝑙
                  ∆𝐼 =      = 𝜌 𝑣 ∆𝑆 = 𝜌 𝑣 ∆𝑆𝑢 𝑦
                         ∆𝑡         ∆𝑡




La densidad de corriente en un punto dado es la corriente a
traves de un area unitaria en ese punto.
                                         Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
 2.2 Corrientes de convección y conducción

La densidad de corriente en direccion y 𝐽 𝑦 esta dada por

                               ∆𝐼
                        𝐽𝑦 =      = 𝜌𝑣 𝑢 𝑦
                               ∆𝑆

Asi pues general

                               𝑱 = 𝜌𝑣 𝒖

La corriente I es la corriente de conveccion y J la
densidad de corriente de conveccion en A/𝑚2 .




                                             Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
    2.2 Corrientes de convección y conducción

La corriente de conduccion requiere de un conductor.

Un conductor se caracteriza por una gran cantidad de
electrones libres , los cuales suministran corriente de
conduccion debida a un campo eléctrico aplicado.

Asi la densidad de corriente de conduccion es


         𝑱 = σ𝑬   Forma puntual de la ley de Ohm

Densidad de carga electronica     𝜌 𝑣 = −𝑛𝑒   Si hay n
electrones por unidad de volumen donde e=1.6x10−9C
𝜎   Conductividad del material
                                        Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
 2.2 Corrientes de convección y conducción

                            Ejercicio

Un cable de 1mm de diametro y conductividad de 5x107 S/m
posee 1029 electrones libres /𝑚3 cuando se aplica un campo
eléctrico de 10mV/m .Determine


a)   La   densidad de carga de los electrones libres
b)   La   densidad de corriente
c)   La   corriente en el cable
d)   La   velocidad de deriva de los electrones



                                             Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
                  2.3 Conductores

Un conductor posee abundante      carga con libertad de
desplazamiento. Considérese el    conductor aislado que
aparece en la figura.




Propiedad de un conductor
Un conductor Perfecto no puede contener
un campo electroestático.             Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
                    2.3 Conductores

A un conductor se le llama cuerpo equipotencial, lo que
implica que en cualquiera de sus puntos el potencial es el
mismo. Esto se basa en el hecho de que 𝐸 = −𝛻𝑉 = 0.


La ley de Ohm , 𝑱 = σ𝑬 ,permite entender este fenomeno de
otra manera. Para mantener una densidad de corriente finita J
en un conductor perfecto (   𝜎 → ∞)     es necesario que el
campo eléctrico   E→ 0.




                                        Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
                     2.3 Conductores

De acuerdo con la ley de Gauss , si E=0 , la densidad de
carga 𝜌 𝑣 debe de ser cero.


En consecuencia, esto también nos lleva a la conclusión de
que un conductor perfecto no puede contener un campo
electroestático. En condiciones estáticas,


    E=0 , 𝜌 𝑣 =0   , 𝑉 𝑎𝑏 =0   ( dentro de un conductor.)




                                        Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
                  2.3 Conductores

Consideremos ahora un conductor cuyos extremos se
mantienen a una diferencia de potencial V. Como se muestra
en la figura, en donde observamos que no hay equilibrio
electroestático , ya que el conductor esta conectado a una
fuente electromotriz. Y hace que las cargas se muevan e
impide que se establezca el equilibrio electroestático.




                                      Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
                         2.3 Conductores

Cuando los electrones se mueven , se topan con fuerzas
amortiguadoras llamadas resistencia.
Para deducir la resistencia del material conductor utilizamos la
ley de ohm .
Supongamos que el conductor posee una sección transversal
S y una longitud l .La dirección de E es la misma que la del
flujo de cargas positivas o corriente I. Ésta dirección es
contraria a la del flujo de electrones. El campo eléctrico
aplicado es uniforme y su magnitud esta dada por.

                                           𝐼            𝜎𝑉
     E=V/l                 J=I/S               = 𝜎𝐸 =
                                           𝑆            𝑙

          𝑙        𝜌𝑐𝑙
R=V/I =
          𝜎𝑆
               =
                    𝑆
                          𝜌 𝑐=1/𝜎 [Resistividad del material ]
                                               Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
                    2.3 Conductores

La ecuación anterior es útil para calcular la resistencia de
cualquier conductor de sección transversal uniforme.

Si la seccion transversal del conductor no es uniforme ,la
ecuacion anterior no es aplicable, pero la definicion basica de
resistencia R como la razon de la diferencia de potencial entre
los extremos del conductor y la corriente I a traves del
conductor sigue vigente.

                          𝑉        𝑬. 𝑑𝒍
                        𝑅= =
                          𝐼       𝜎𝑬. 𝑑𝑺




                                           Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
                    2.3 Conductores
La potencia (en watts) es la rapidez de cambio de la energia
W(en joules) o fuerza por velocidad . Asi

                         𝑃=     𝑬. 𝑱 𝑑𝑣

Lo que se conoce como la ley de joule . La densidad de
potencia 𝑤 𝑝 (en watt/𝑚2 ) esta dada por

                          𝑑𝑃
                     𝑤𝑝 =    = 𝑬. 𝑱 = 𝜎|𝐸|2
                          𝑑𝑣
En el caso de un conductor con seccion transversal uniforme ,
dv=dSdl
                  𝑃=    𝐸𝑑𝑙   𝐽𝑑𝑆 = 𝑉𝐼    𝑜   𝐼2 𝑅

                                              Ing. Ricardo Cajo Díaz
2 Conductores y Cargas
                    2.3 Conductores

                          Ejercicio
                                                                𝐴
Con relacion a la densidad de corriente J=10z 𝑠𝑒𝑛2 ∅𝒂 𝝆 [ 𝑚2] ,
Halle la corriente a traves de la superficie cilindrica 𝜌 = 2 , 1 ≤
𝑧 ≤ 5 𝑚.




Respuesta: 754 A



                                            Ing. Ricardo Cajo Díaz

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Teoria electromagnetica i-capitulo_ii_clase_9

  • 1. Teoría Electromagnética I Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 2. 2 Conductores y Cargas Introducción En el capitulo anterior nos ocupamos de campos electroestáticos en le vacío o espacio sin materiales. Ahora vamos a estudiar la teoría de los fenómenos eléctricos en el espacio material. También comprobaremos que la mayor parte de las formulas deducidas en el capitulo anterior son aplicables aunque con ciertas modificaciones en algunos casos. Así como pueden existir en el vacío , también pueden existir campos eléctricos en medios materiales. Los materiales se dividen de acuerdo a sus propiedades eléctricas en conductores y no conductores. Los materiales no conductores se denominan aisladores o dieléctricos. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 3. 2 Conductores y Cargas 2.1 Propiedades Generales de los materiales En términos generales , los materiales se clasifican en conductores y no conductores o técnicamente ,en metales y aisladores (o dieléctricos), según su conductividad 𝜎 , en mhos/m (Ω−1 /m) o siemens por metro (S/m). La conductividad de un material depende usualmente de la temperatura y la frecuencia. Un material de alta conductividad 𝜎 >>1 se denomina metal, uno de baja conductividad 𝜎 ≪ 1 aislador y uno de conductividad intermedia,semiconductor. Con fundamento en esto queda claro que materiales como el cobre y aluminio son metales ; el silicio y germanio semiconductores; vidrio y caucho aisladores. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 4. 2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción Voltaje (o diferencia de potencial) y corriente electrica son dos cantidades fundamentales en ingenieria electrica. En el capitulo anterior tratamos el potencial. Antes de analizar el comportamiento del campo electrico en un conductor o en un dielectrico es conveniente considerar la corriente electrica. La corriente electrica suele ser causada por el movimiento de cargas electricas. La corriente (en amperes) a traves de un area dada es la carga electrica que pasa por esa area por unidad de tiempo. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 5. 2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción Es decir 𝑑𝑄 𝐼= 𝑑𝑡 Así, en una corriente de un ampere, la carga es transferida razón de un coulomb por segundo. Introduzcamos ahora el concepto de densidad de corriente J , Si la corriente ∆𝐼 fluye a través de una superficie ∆𝑆 , la densidad de corriente es. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 6. 2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción Si se parte del supuesto de que la densidad de corriente es perpendicular a la superficie. Si la densidad de corriente no es normal a la superficie. ∆𝐼 = 𝐉. ∆𝑆 De este modo la corriente total que fluye a traves de la superficie S es. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 7. 2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción Segun como se produzca I, existen diferentes tipos de densidad de corriente: Densidad de corriente de conveccion, densidad de corriente de conduccion y densidad de corriente de desplazamiento. La ecuacion anterior indica que la corriente I a traves de S es sencillamente el flujo de la densidad de corriente J. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 8. 2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción La corriente de conveccion, en cuanto que distinta a la corriente de conduccion, no implica conductores y , en consecuencia, no satisface la ley de ohm. Ocurre cuando la corriente fluye a traves de un medio aislador como liquido,gas enriquecido o en el vacio. Un haz de electrones en un tubo al vacio, por ejemplo es una corriente de conveccion. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 9. 2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción Considere el filamento de la figura. En presencia de un flujo de carga 𝜌 𝑣 a una velocidad 𝒖 = 𝑢 𝑦 𝒂 𝑦 , la corriente a través del filamento es ∆𝑄 ∆𝑙 ∆𝐼 = = 𝜌 𝑣 ∆𝑆 = 𝜌 𝑣 ∆𝑆𝑢 𝑦 ∆𝑡 ∆𝑡 La densidad de corriente en un punto dado es la corriente a traves de un area unitaria en ese punto. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 10. 2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción La densidad de corriente en direccion y 𝐽 𝑦 esta dada por ∆𝐼 𝐽𝑦 = = 𝜌𝑣 𝑢 𝑦 ∆𝑆 Asi pues general 𝑱 = 𝜌𝑣 𝒖 La corriente I es la corriente de conveccion y J la densidad de corriente de conveccion en A/𝑚2 . Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 11. 2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción La corriente de conduccion requiere de un conductor. Un conductor se caracteriza por una gran cantidad de electrones libres , los cuales suministran corriente de conduccion debida a un campo eléctrico aplicado. Asi la densidad de corriente de conduccion es 𝑱 = σ𝑬 Forma puntual de la ley de Ohm Densidad de carga electronica 𝜌 𝑣 = −𝑛𝑒 Si hay n electrones por unidad de volumen donde e=1.6x10−9C 𝜎 Conductividad del material Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 12. 2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción Ejercicio Un cable de 1mm de diametro y conductividad de 5x107 S/m posee 1029 electrones libres /𝑚3 cuando se aplica un campo eléctrico de 10mV/m .Determine a) La densidad de carga de los electrones libres b) La densidad de corriente c) La corriente en el cable d) La velocidad de deriva de los electrones Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 13. 2 Conductores y Cargas 2.3 Conductores Un conductor posee abundante carga con libertad de desplazamiento. Considérese el conductor aislado que aparece en la figura. Propiedad de un conductor Un conductor Perfecto no puede contener un campo electroestático. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 14. 2 Conductores y Cargas 2.3 Conductores A un conductor se le llama cuerpo equipotencial, lo que implica que en cualquiera de sus puntos el potencial es el mismo. Esto se basa en el hecho de que 𝐸 = −𝛻𝑉 = 0. La ley de Ohm , 𝑱 = σ𝑬 ,permite entender este fenomeno de otra manera. Para mantener una densidad de corriente finita J en un conductor perfecto ( 𝜎 → ∞) es necesario que el campo eléctrico E→ 0. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 15. 2 Conductores y Cargas 2.3 Conductores De acuerdo con la ley de Gauss , si E=0 , la densidad de carga 𝜌 𝑣 debe de ser cero. En consecuencia, esto también nos lleva a la conclusión de que un conductor perfecto no puede contener un campo electroestático. En condiciones estáticas, E=0 , 𝜌 𝑣 =0 , 𝑉 𝑎𝑏 =0 ( dentro de un conductor.) Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 16. 2 Conductores y Cargas 2.3 Conductores Consideremos ahora un conductor cuyos extremos se mantienen a una diferencia de potencial V. Como se muestra en la figura, en donde observamos que no hay equilibrio electroestático , ya que el conductor esta conectado a una fuente electromotriz. Y hace que las cargas se muevan e impide que se establezca el equilibrio electroestático. Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 17. 2 Conductores y Cargas 2.3 Conductores Cuando los electrones se mueven , se topan con fuerzas amortiguadoras llamadas resistencia. Para deducir la resistencia del material conductor utilizamos la ley de ohm . Supongamos que el conductor posee una sección transversal S y una longitud l .La dirección de E es la misma que la del flujo de cargas positivas o corriente I. Ésta dirección es contraria a la del flujo de electrones. El campo eléctrico aplicado es uniforme y su magnitud esta dada por. 𝐼 𝜎𝑉 E=V/l J=I/S = 𝜎𝐸 = 𝑆 𝑙 𝑙 𝜌𝑐𝑙 R=V/I = 𝜎𝑆 = 𝑆 𝜌 𝑐=1/𝜎 [Resistividad del material ] Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 18. 2 Conductores y Cargas 2.3 Conductores La ecuación anterior es útil para calcular la resistencia de cualquier conductor de sección transversal uniforme. Si la seccion transversal del conductor no es uniforme ,la ecuacion anterior no es aplicable, pero la definicion basica de resistencia R como la razon de la diferencia de potencial entre los extremos del conductor y la corriente I a traves del conductor sigue vigente. 𝑉 𝑬. 𝑑𝒍 𝑅= = 𝐼 𝜎𝑬. 𝑑𝑺 Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 19. 2 Conductores y Cargas 2.3 Conductores La potencia (en watts) es la rapidez de cambio de la energia W(en joules) o fuerza por velocidad . Asi 𝑃= 𝑬. 𝑱 𝑑𝑣 Lo que se conoce como la ley de joule . La densidad de potencia 𝑤 𝑝 (en watt/𝑚2 ) esta dada por 𝑑𝑃 𝑤𝑝 = = 𝑬. 𝑱 = 𝜎|𝐸|2 𝑑𝑣 En el caso de un conductor con seccion transversal uniforme , dv=dSdl 𝑃= 𝐸𝑑𝑙 𝐽𝑑𝑆 = 𝑉𝐼 𝑜 𝐼2 𝑅 Ing. Ricardo Cajo Díaz
  • 20. 2 Conductores y Cargas 2.3 Conductores Ejercicio 𝐴 Con relacion a la densidad de corriente J=10z 𝑠𝑒𝑛2 ∅𝒂 𝝆 [ 𝑚2] , Halle la corriente a traves de la superficie cilindrica 𝜌 = 2 , 1 ≤ 𝑧 ≤ 5 𝑚. Respuesta: 754 A Ing. Ricardo Cajo Díaz