Transformaciones lineales Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. En esta sección introduciremos la noción de transformación lineal, así como también ciertas nociones básicas asociadas a estas funciones. Núcleo de una transformación lineal El núcleo de una aplicación lineal es el conjunto de todos los vectores del espacio de entrada que se transforman por la aplicación lineal en el vector nulo del espacio de salida. Para que la dimensión del núcleo sea igual a 1, el sistema de ecuaciones lineales resultante de igualar a cero las componentes de la fórmula de la transformación lineal, tiene que tener grado de libertad igual a 1, que es equivalente a que la matriz del sistema tenga rango igual a 2. Recorrido de una transformación lineal Si T: V -> W es una transformación lineal, mapea o transforma en 0 se denomina núcleo (kernel o espacio nulo) de T. Se asocia al conjunto de partida, es decir todo vector que este conjunto que tiene imagen nula. Se denota con Ker (T) T:V ->W. El conjunto de todos los vectores que son imágenes en W (conjunto de llegada) que son imágenes bajo T de algún vector de V (conjunto de partida) se denomina recorrido de T y se denota R (T). EJEMPLO Sea T:R2 ->R2 el operador lineal definido por la expresión: T(x,y)= (2x-y, -8x+4y) Cuál de los siguientes vectores están en R2 (1,-4) (5,0) (-3,12) Como el recorrido está asociado al conjunto de llegada, se iguala la ecuación y si tiene el sistema respuesta, entonces este punto es parte del recorrido. 2x –y=1 (4) 8x – 4y = 4 -8x+4y = - 4 (1) -8x + 4y = -4 Se multiplica 0 = 0. Esto indica que el sistema tiene infinitas respuestas, por lo tanto el punto pertenece al recorrido. De igual manera hay que probar con los siguientes puntos. R (T) = { (1,-4) (-3,12)} Otra forma de resolver seria: 2x –y=a (4) 8x – 4y = 4a -8x+4 = b (1) -8x + 4y = b 0 = 4a+b despejando de aquí b= -4a Lo que implica que esta proporción se debe mantener. Si se presta atención a los puntos, esta se cumple. Cual de los siguientes puntos pertenecen al núcleo ker (T) (5,10) (3,2) (1,1) Como el núcleo se asocia al conjunto de partida, se sustituye en las ecuaciones si la imagen es cero0) pertenecen al kernel. 2x –y= 2(5) -10=0 -8x+4y = -8(5) + 4(10)= 0 Conclusión pertenece al kernel, otra forma de hacerlo es: 2x –y= 0 y = 2x -8x+4y = 0 . Se resuelve como un sistema homogéneo, como las ecuaciones en este ejemplo son proporcionales se elimina una y se conserva la otra, en consecuencia este sistema tiene infinitas respuestas (mayor número de incógnitas que ecuaciones) la variable y deben ser una el doble que x, por lo tanto solo pertenece el primer punto al núcleo. Ker (T)= { (5,10) }

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Bicentenaria de Aragua
Trimestre-II 2019
Ingeniería de Sistemas
Profesora: Participante:
Mayira Bravo Stephany Garcia
v-28.311.265

2. Transformaciones lineales
Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operación y la acción) de estos espacios. En esta sección introduciremos la noción de
transformación lineal, así como también ciertas nociones básicas asociadas a estas funciones.

3. Núcleo de una transformación
lineal
Ejemplo:
El núcleo de una aplicación lineal es el
conjunto de todos los vectores del espacio de
entrada que se transforman por la aplicación
lineal en el vector nulo del espacio de salida.
Para que la dimensión del núcleo sea igual a 1,
el sistema de ecuaciones lineales resultante de
igualar a cero las componentes de la fórmula
de la transformación lineal, tiene que tener
grado de libertad igual a 1, que es equivalente
a que la matriz del sistema tenga rango igual a
2.

4. Recorrido de una transformación
lineal
Si T: V -> W es una transformación lineal, mapea o transforma en 0
se denomina núcleo (kernel o espacio nulo) de T. Se asocia al
conjunto de partida, es decir todo vector que este conjunto que tiene
imagen nula. Se denota con Ker (T) T:V ->W. El conjunto de todos
los vectores que son imágenes en W (conjunto de llegada) que son
imágenes bajo T de algún vector de V (conjunto de partida) se
denomina recorrido de T y se denota R (T).

5. EJEMPLO
Sea T:R2 ->R2 el operador lineal definido por la expresión:
T(x,y)= (2x-y, -8x+4y)
Cuál de los siguientes vectores están en R2
(1,-4) (5,0) (-3,12)
Como el recorrido está asociado al conjunto de llegada, se
iguala la ecuación y si tiene el sistema respuesta, entonces
este punto es parte del recorrido.
2x –y=1 (4) 8x – 4y = 4
-8x+4y = - 4 (1) -8x + 4y = -4
Se multiplica 0 = 0. Esto indica que el sistema tiene infinitas
respuestas, por lo tanto el punto pertenece al recorrido. De
igual manera hay que probar con los siguientes puntos.
R (T) = { (1,-4) (-3,12)}
Otra forma de resolver seria:
2x –y=a (4) 8x – 4y = 4a
-8x+4 = b (1) -8x + 4y = b
0 = 4a+b despejando de aquí
b= -4a
Lo que implica que esta proporción se debe mantener. Si se
presta atención a los puntos, esta se cumple.
Cual de los siguientes puntos pertenecen al núcleo ker (T)
(5,10) (3,2) (1,1)
Como el núcleo se asocia al conjunto de partida, se sustituye
en las ecuaciones si la imagen es cero0) pertenecen al kernel.
2x –y= 2(5) -10=0
-8x+4y = -8(5) + 4(10)= 0
Conclusión pertenece al kernel, otra forma de hacerlo es:
2x –y= 0 y = 2x
-8x+4y = 0 .
Se resuelve como un sistema homogéneo, como las ecuaciones en
este ejemplo son proporcionales se elimina una y se conserva la
otra, en consecuencia este sistema tiene infinitas respuestas
(mayor número de incógnitas que ecuaciones) la variable y deben
ser una el doble que x, por lo tanto solo pertenece el primer punto
al núcleo.
Ker (T)= { (5,10) }