1. VOLUMEN DE UNA ESFERA SUMERGIDA PARCIALMENTE EN UN MEDIO
Figura 1: esfera sumergida parcialmente
Donde:
es la parte sombreada de la esfera
es
es (por demostrar)
Demostración:
Figura 2: Aplicando una integral triple se puede hallar una fórmula(la barra verde es un diferencial de volumen)

2. La parte superior de una esfera es , el plano , entonces la región
proyectada en el plano es el corte de la parte superior de la esfera con el plano con ecuación
igual a (figura 3)
Figura 3: proyección del corte entre la esfera y el plano
La integral triple sería la siguiente:
Haciendo un cambio de variables a coordenadas esféricas tenemos:
La relación sale del análisis de las coordenadas esféricas (triangulo rectángulo).
Figura 4: cambio de variables a coordenadas esféricas

3. Al resolver la integral triple nos queda:
Pero este volumen solo es la diferencia de la porción de semiesfera, así que debemos sumarle la
otra parte del volumen de la semiesfera de la parte negativa, entonces:
Lqqd.
Comprobación:
Si tenemos que solo está sumergida la mitad
Si tenemos que la esfera está totalmente salida del medio en la que flota

4. Si tenemos toda la esfera sumergida:

5. Hecho por Ivanovich ;-)