Diapositivas del seminario de matematicas de la Universidad Autonoma de Yucatan

1. La Integral de Calibre: una Integral de Tipo
Riemann con el Poder de Lebesgue
Mario Roberto Hurtado Herrera
Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán
Seminario de Geometría
Mario Hurtado (UADY FMAT) Gauge Integral Seminario de Geometría 1 / 20

2. Motivación
Henri León Lebesgue (1875-1971)
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3. Motivación
Arnaud Denjoy (1884-1974) Oskar Perron (1880-1975)
La integral de calibre fue definida en un principio por Denjoy en 1912 para poder integrar
funciones como
f(x) =
1
x
sen
1
x3
Sin embargo, su definición era bastante complicada.
Tiempo después Oskar Perron definió independientemente la misma integral, pero también era
muy complicada.
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4. Motivación
Ralph Henstock (1923-2007) y Jaroslav Kurzweil (1926)
Cerca del año 1960, R. Henstock y J. Kurzweil presentaron una integral equivalente a la integral
de Denjoy-Perron cuya definición es una ligera modificación de la integral clásica de Riemann.
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5. Motivación
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6. Motivación
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7. Preliminares
Longitudes y Etiquetas
Si I = [a, b], con a ≤ b, la longitud de I se define como
L(I) = b − a
Si P = {Ii : i = 1, · · · , n} es una partición de I = [a, b] tal que a cada subintervalo Ii se le
asigna un punto ti ∈ Ii , entonces denotamos ti como una etiqueta de Ii . En este caso decimos
que la partición está etiquetada y se denota como
˙P := {(Ii , ti ) : i = 1, · · · , n}
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8. Preliminares
Sumas de Riemann
Si f es una función definida en un intervalo compacto no degenerado I con valores en R, y si
˙P = {(Ii , ti )} es cualquier partición etiquetada en I, entonces la suma
S(f; ˙P) :=
n
i=1
f(ti )L(Ii )
se denota como la suma de Riemann de f correspondiente a ˙P. Si Ii = {[xi−1, xi ]}, entonces
esta suma de Riemann tiene la forma
S(f; ˙P) :=
n
i=1
f(ti )(xi − xi−1)
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9. Preliminares
Límites
Existen varios tipos de límites utilizados para definir una integral:
El "método tradicional de Riemann". Consiste en aproximar el límite haciendo
tender a cero la máxima longitud de los subintervalos.
El método de Darboux (1875). Consiste en introducir integrales "superiores" e
"inferiores".
El método de Henstock-Kurzweil (1957).
Permite más variación en la longitud de los subintervalos siempre que los
subintervalos sobre los cuales la función "cambia rápidamente" sean "cortos".
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10. Preliminares
Límites
Existen varios tipos de límites utilizados para definir una integral:
El "método tradicional de Riemann". Consiste en aproximar el límite haciendo
tender a cero la máxima longitud de los subintervalos.
El método de Darboux (1875). Consiste en introducir integrales "superiores" e
"inferiores".
El método de Henstock-Kurzweil (1957).
Permite más variación en la longitud de los subintervalos siempre que los
subintervalos sobre los cuales la función "cambia rápidamente" sean "cortos".
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11. Preliminares
Límites
Existen varios tipos de límites utilizados para definir una integral:
El "método tradicional de Riemann". Consiste en aproximar el límite haciendo
tender a cero la máxima longitud de los subintervalos.
El método de Darboux (1875). Consiste en introducir integrales "superiores" e
"inferiores".
El método de Henstock-Kurzweil (1957).
Permite más variación en la longitud de los subintervalos siempre que los
subintervalos sobre los cuales la función "cambia rápidamente" sean "cortos".
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12. Preliminares
Método de Riemann
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13. Preliminares
Método de Darboux
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14. Preliminares
Método de Henstock-Kurzweil
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15. Preliminares
Calibres
Definición
Si I = [a, b] ⊂ R, entonces se dice que una función δ : I → R es un calibre en I si
δ(t) > 0 ∀t ∈ I. El intervalo alrededor de t ∈ I controlado por el calibre δ es el intervalo
B[t; δ(t)] := [t − δ(t), t + δ(t)].
Definición
Sea I = [a, b] y sea ˙P = {(I1, ti )}n
i=1 una partición etiquetada. Si δ es un calibre en I, entonces
decimos que ˙P es δ-fina si
Ii ⊆ B[ti ; δ(ti )], ∀i = 1, · · · , n
A veces, cuando ˙P es δ-fina, decimos que ˙P es subordinada a δ o escribimos ˙P δ.
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16. Integrales
La Integral de Riemann
Una función f : I → R es Riemann integrable en I si existe un número A ∈ R tal que para cada
> 0 existe un número γ > 0 tal que si ˙P = {(Ii , ti )}n
i=1 es cualquier partición etiquetada de I
tal que L(I) ≤ γ para i = 1, · · · , n, entonces
|S(f; ˙P) − A| ≤
La colección de todas las funciones Riemann integrables en I se denota por R(I).
A continuación se presentan dos definiciones de la integral de calibre.
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17. Integrales
La Integral de Calibre
Una función f : I → R es Calibre integrable en I si existe un número A ∈ R tal que para cada
> 0 existe un calibre γ > 0 en I tal que si ˙P = {(Ii , ti )}n
i=1 es cualquier partición etiquetada de
I tal que L(I) ≤ γ (ti ) para i = 1, · · · , n, entonces
|S(f; ˙P) − A| ≤
Sin embargo, es más práctico utilizar una definición basada en la noción de δ-finura de una
partición con respecto a un calibre:
Una función f : I → R es Calibre integrable en I si existe un número A ∈ R tal que para cada
> 0 existe un calibre δ > 0 en I tal que si ˙P = {(Ii , ti )}n
i=1 es cualquier partición etiquetada de
I que es δ -fina, entonces
|S(f; ˙P) − A| ≤
La colección de todas las funciones Riemann integrables en I se denota por R∗(I).
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18. Integrales
La Integral de Calibre
Una función f : I → R es Calibre integrable en I si existe un número A ∈ R tal que para cada
> 0 existe un calibre γ > 0 en I tal que si ˙P = {(Ii , ti )}n
i=1 es cualquier partición etiquetada de
I tal que L(I) ≤ γ (ti ) para i = 1, · · · , n, entonces
|S(f; ˙P) − A| ≤
Sin embargo, es más práctico utilizar una definición basada en la noción de δ-finura de una
partición con respecto a un calibre:
Una función f : I → R es Calibre integrable en I si existe un número A ∈ R tal que para cada
> 0 existe un calibre δ > 0 en I tal que si ˙P = {(Ii , ti )}n
i=1 es cualquier partición etiquetada de
I que es δ -fina, entonces
|S(f; ˙P) − A| ≤
La colección de todas las funciones Riemann integrables en I se denota por R∗(I).
Mario Hurtado (UADY FMAT) Gauge Integral Seminario de Geometría 15 / 20

19. Propiedades de la Integral
Unicidad
Existe a lo más un número C que satisface la definición
Prueba:
Suponer que C = C y sea = 1
3
|C − C | > 0. Si C satisface la definición, entonces existe
un calibre δ en I tla que si ˙P es una partición δ -fina de I, entonces |S(f; ˙P) − C | ≤ .
Similarmente, Si C satisface la definición, entocnes existe un calibre δ en I tla que si ˙P es una
partición δ -fina de I, entonces |S(f; ˙P) − C | ≤ .
Ahora sea δ = min{δ , δ } de modo que δ es un calibre en I y sea ˙P una partición δ -fina. De
la desigualdad del triángulo tenemos
|C − C | ≤ |C − S(f; ˙P)| + |S(f; ˙P)| ≤ + < |C − C |
lo que es una contradicción.
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20. Propiedades de la Integral
La integral de McShane
El matemático E. J. McShane presentó una sorprendente definición de
la integral de Lebesgue como un caso especial de la integral de
calibre.
En su definición el único cambio es que no requiere que las etiquetas
ti estén en Ii si no sólo en I. Si la definición de la integral de calibre se
tatisface para todas las sumas de Riemann δ -finas cuando las
etiquetas no necesariamente están en los subintervalos, entonces
también se cumple si se requiere que estén en los subintervalos.
En otras palabras, La integral de Lebesgue está contenida en la
integral de calibre.
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21. Un ejemplo
Consideramos la función
f(x) =
1 si x ∈ [0, 1] es racional
0 si x ∈ [0, 1] es irracional
Si {rk : k ∈ N} es una enumeración de los racionales en [0,1] y > 0, definimos el
calibre
δ (t) =
/2k+1
si t = rk
1 si t es irracional
Ahora sea ˙P = {(Ii ; ti )}n
i=1 una partición δ -fina de [0, 1]. Si ti es irracional, entonces
f(ti ) = 0 y la contribución de este subintervalo a la suma es 0.
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22. Un ejemplo
Si ti es racional, entonces f(ti ) = 1 pero la longitud L(Ii ) es pequeña por que ˙P δ .
De manera más precisa, si rk es la etiqueta del intervalo Ii , entonces Ii ⊆ B[rk , δ (rk )],
de modo que L(Ii ) ≤ /2k
. Entonces el racional rk a lo más puede contribuir a la
suma de Riemann con /2k
. Como sólo etiquetas racionales hacen contribuciones no
nulas, entonces
|S(f; ˙P)| =
∞
k=1
2k
=
Y como > 0 es arbitrario, la función de Dirichlet es integrable y
1
0
f = 0
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23. Un ejemplo
GRACIAS
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