ejercicios calculo

1. 1
ESPACIOS VECTORIALES
ALGUNOS EJERCICIOS.
Espacios vectoriales
1. Demuestre que el conjunto P de todos los polinomios es un espacio vectorial.
PRUEBA: Sabemos que si P y Q son polinomios entonces P + Q es un polinomio, y si c ∈ R, cP es un
polinomio. Como P(x) es un número real, 0 es el elemento neutro y −P es el elemento simétrico, para
todo polinomio P. También se satisfacen las demás propiedades, heredadas de los números reales.
2. Muestre que los elementos neutro y simétrico de un espacio vectorial son únicos.
PRUEBA: Supongamos que V tiene dos elementos neutros, u1 y u2, entonces u1 + u2 = u1 y u1 + u2 =
u2 + u1 = u2, por lo tanto, u1 = u2. Por otro lado, si v ∈ V, y v tiene dos elementos simétricos u1 y u2,
entonces v + u1 = 0 y v + u2 = 0, de esta manera, u2 = u2 + 0 = u2 + v + u1 = v + u2 + u1 = 0 + u1 = u1.
3. Si P2 es el conjunto de todos los polinomios de grado 2, ¿cuáles de los siguientes subconjuntos de
P2 son subespacios de P2?
(a) at2 + bt
(b) at2 + bt + 2
(c) at2 + bt + (a + b).
PRUEBA: (a) Llamemos a este conjunto W. Si u, v ∈ W, u = a1t2 + b1t y v = a2t2 + b2t, entonces,
u + v = (a1 + a2)t2
+ (b1 + b2) ∈ W.
Por otro lado, si c ∈ R, c(at2 + bt) = (ca)t2 + (cb)t ∈ W. W es un subespacio de P2.
(b) Llamemos a este conjunto W. Si u, v ∈ W, u = a1t2 + b1t + 2 y v = a2t2 + b2t + 2, entonces,
u + v = (a1 + a2)t2
+ (b1 + b2) + 4 6∈ W.
No es un subespacio.
(c) Llamemos a este conjunto W. Si u, v ∈ W, u = a1t2 + b1t + (a1 + b1) y v = a2t2 + b2t + (a2 + b2),
entonces,
u + v = (a1 + a2)t2
+ (b1 + b2) + ([a1 + b1] + [a2 + b2])
= (a1 + a2)t2
+ (b1 + b2) + ([a1 + a2] + [b1 + b2]) ∈ W.

2. 2
Por otro lado, si c ∈ R,
c[at2
+ bt + (a + b)] = (ca)t2
+ (cb)t + c(a + b) = (ca)t2
+ (cb)t + ([ca] + [cb]) ∈ W.
4. Sea S = {v1, v2, . . . , vk} un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, y sea W un subespacio
de V que contiene a S. Muestre que W contiene a gen{S}.
PRUEBA: Como S ⊂ W, vi ∈ W, para todo i = 1, . . . , n, por lo tanto, aivi para cualesquiera ai ∈ F,
ası́
a1v1 + · · · + anvn ∈ W ⇒ gen{S} ∈ W.
5. ¿Cuáles de los siguientes vectores generan a R2?
(a) (1, 2), (−1, 1)
(b) (0, 0), (1, 1), (−2, −2)
PRUEBA: (a) Sea S = {(1, 2), (−1, 1)}, si v ∈ gen{S} ⇒ v = x(1, 2) + y(−1, 1) = (x − y, 2x + y). Si S
genera R2 entonces, el sistema de ecuaciones x(1, 2) + y(−1, 1) = (x − y, 2x + y) = (a, b) deberı́a tener al
menos una solución (ser consistente) para cualesquiera a, b ∈ R. Este sistema lo podemos escribir como,
1 −1
2 1
!
x
y
!
=
a
b
!
.
Si reducimos por fila la matriz tenemos,
1 −1
2 1
!
−
−
−
−
−
−
−
→
f2→f2−2f1
1 −1
0 3
!
−
−
−
−
−
→
f2→ 1
3
f2
1 −1
0 1
!
,
vemos que la matriz es no-singular, por lo tanto, el sistema tiene siempre una solución, en consecuencia
S genera a R2.
(b) Sea S = {(0, 0), (1, 1), (−2, −2)}. Si observamos el ejercicio anterior, tomamos la matriz formada por
los vectores de S,
A =
0 1 −2
0 1 −2
!
−
−
−
−
−
−
→
f2→f2−f1
0 1 −2
0 0 0
!
,
como el sistema Ax = b es inconsistente, S no genera a R2.
Nota: Fı́jese que para ver si un conjunto de vectores S en Rn genera a Rn es suficiente reducir la
matriz formada por dichos vectores, si encontramos que una fila está formada solamente por ceros, el
sistema no es consistente y S no genera Rn; si no es posible reducir la matriz de forma que una de sus
filas sea toda de ceros, S genera a Rn.
6. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R3 son linealmente dependientes? Cuando lo
sean, exprese un vector del conjunto como combinación lineal de los demás.

3. 3
(a) {(1, 2, −1), (3, 2, 5)}
(b) {(4, 2, 1), (2, 6, −5), (1, −2, 3)}
(c) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)}
(d) {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (1, 0, 1)}
SOLUCIÓN: Para probar si los vectores v1, v2, · · · , vn son L.I., hay que probar que es sistema ho-
mogéneo a1v1 + · · · + vn = 0 ⇔ a1 = · · · = an = 0.
(a) Tenemos el sistema x(1, 2, −1) + y(3, 2, 5) = 0. Este se puede reescribir como,



1 3
2 2
−1 5



x
y
!
=



0
0
0


 .
Reduciendo por filas la matriz, se tiene,



1 3
2 2
−1 5



f3→f3+f1
−
−
−
−
−
−
−
→
f2→f2−2f1



1 3
0 −4
0 8


 −
−
−
−
−
−
−
→
f3→f3+2f2



1 3
0 −4
0 0


 ,
de aquı́, −4y = 0 ⇒ y = 0, y x + 3y = 0 ⇒ x + 3(0) = 0 ⇒ x = 0. Los vectores son L.I.
(b) Tenemos el sistema x(4, 2, 1) + y(2, 6, −5) + z(1, −2, 3) = 0,



4 2 1
2 6 −2
1 −2 3


 −
−
−
−
→
f1↔f3



1 −2 3
2 6 −2
4 2 1



f3→f3−4f1
−
−
−
−
−
−
−
→
f2→f2−2f1



1 −2 3
0 10 −8
0 10 −11



−
−
−
−
−
−
→
f3→f3−f2



1 −2 3
0 10 −8
0 0 −3


 ,
usando la misma regresión hacia atrás del ejercicio anterior, x = y = z = 0, los vectores son L.I.
7. Suponga que S = {v1, v2, v3} es un conjunto linealmente independiente de vectores en un espacio
vectorial V. ¿Es el conjunto T = {w1, w2, w3}, donde w1 = v1 + v2, w2 = v1 + v3 y w3 = v2 + v3
linealmente dependiente o linealmente independiente? Justifique su respuesta.
SOLUCIÓN: Debemos probar que xw1 + yw2 + zw3 = 0 ⇔ x = y = z = 0.
xw1 + yw2 + zw3 = x(v1 + v2) + y(v1 + v3) + z(v2 + v3)
= xv1 + xv2 + yv1 + yv3 + zv2 + zv3
= (x + y)v1 + (x + z)v2 + (y + z)v3,

4. 4
por lo tanto, x + y = 0, x + z = 0, y + z = 0, y ası́,
x + y = 0 ⇒ x = −y
x + z = 0 ⇒ −y + z = 0 ⇒ z = y
y + z = 0 ⇒ y + y = 0 ⇒ 2y = 0 ⇒ y = 0,
de aquı́, x = 0, y = 0, z = 0. T es L.I.