En este pequeño articulo se muestra una introducción a las tablas de verdad mencionando fundamentados los conectores lógicos como base de la lógica matemática y procede a trabajar con conjuntos para desarrollar habilidades con cálculos numérico y de razonamiento.

1. Nociones básicas en Teoría y Practica:
Tablas de Verdad y Conjuntos; ejemplos y ejercicios propuestos
Lic. Mynor Rios, Nicaragua.
riosmynor37@gmail.com
¿Qué es una tabla de verdad?
Fundamentalmente, una tabla de verdad es un dispositivo para demostrar
ciertas propiedades lógicas y semánticas de enunciados del lenguaje natural o de
fórmulas del lenguaje del cálculo proposicional:
Sin son tautológicas, contradictorias o contingentes ¿Cuáles son sus condiciones
de verdad? es decir, cuáles son sus conclusiones lógicas y de qué otras
proposiciones se siguen lógicamente El procedimiento para construir una tabla
de verdad es sencillo y relativamente mecánico;
Para aplicar el método de tablas de verdad a un enunciado o proposición, por lo
tanto, es necesario primero simbolizarlo, es decir, determinar qué fórmula del
lenguaje proposicional muestra su forma lógica y, luego, elaborar la tabla de
verdad de dicha formula.
Tómese, por ejemplo, el popular principio de que toda tabla tiene 2n renglones,
dónde la n corresponde al número de variables proposicionales (también
conocidas como “letras proposicionales”) que aparecen en la fórmula.
Una fórmula de n=3 variables proposicionales, por ejemplo, tendría 23=8
renglones. Pero ¿por qué es esto? La respuesta más directa es que ése es el
número de combinaciones que existen de asignaciones de valores de verdad a
cada una de las variables.
En otras palabras, porque si asignamos a cada variable uno de los dos valores de
verdad – verdadero o falso –, las posibles combinaciones son exactamente ocho.
A continuación, los conectivos lógicos:
LA NEGACIÓN.
Éste es un conectivo que sólo afecta una variable, o bien a una expresión
completa considerada como unidad. Refleja el sentido de “no” o “es falso que”
del lenguaje ordinario. Vamos a representarla con la tilde “~”. Representa la
inversión del valor de verdad de una proposición.

2. Por ejemplo, sea P = “Hoy es lunes”. Entonces ~P significa: “Hoy no es lunes”, o
“Es falso que hoy es lunes”.
La operación de la negación puede representarse con la siguiente tabla:
P ~P
V F
F V
LA CONJUNCIÓN.
Es posible conjuntar dos o más proposiciones, es decir, la conjunción es un
conectivo binario. Una conjunción es Falsa cuando cualquiera de sus
componentes es Falso. Refleja el sentido de “y”, “pero”, “que”, entre otros, del
lenguaje ordinario. Se representa por el símbolo “^”.
Por ejemplo, sea P = “Hoy es lunes” y Q = “Hoy está lloviendo”. Entonces P ^ Q
significa: “Hoy es lunes y está lloviendo”.
La operación de la conjunción puede representarse con la siguiente tabla:
P Q P^Q
F F F
F V F
V F F
V V V
LA DISYUNCIÓN.
La disyunción es también un conectivo binario. Cuando se emplea tiene al menos
tres sentidos posibles:
1. Un sentido incluyente o no exclusivo. Refleja el sentido de uno, o lo otro,
o ambos.
2. Un sentido excluyente. Refleja el sentido de uno, o lo otro, pero no

3. ambos.
3. Un sentido equivalente. Refleja el sentido de lo uno lo mismo que lo otro.
A menos que se especifique otra cosa, siempre consideraremos el sentido
incluyente de la disyunción. Por tanto, una disyunción es Falsa sólo cuando
todos sus elementos son Falsos. Se representa con el símbolo "∨”.
Por ejemplo, sea P = “Hoy es viernes” y Q = “Estoy contento”. Entonces P ∨ Q
significa: Hoy es viernes o estoy contento.
La operación de la disyunción puede representarse con la siguiente tabla:
P Q P v Q
F F F
F V V
V F V
V V V
LA IMPLICACIÓN.
Es también un conectivo binario. Tiene dos partes: antecedente y consecuente.
El antecedente es también llamado hipótesis y tesis el consecuente. Expresa
que la falsedad sí puede llevar a la verdad, pero que la verdad no puede llevar a
la falsedad. Refleja el sentido de “si...entonces...”, “sólo si...”. Se representa por
medio de una flecha: "→". Normalmente el antecedente se escribe a la izquierda
y el consecuente a la derecha de la flecha.
Por ejemplo, sea P = “Soy electo diputado de este distrito” y Q = “disminuyo los
impuestos”, P → Q significa: “Si soy electo diputado de este distrito, entonces
disminuiré los impuestos” o “Sólo si soy electo diputado de este distrito,
disminuiré los impuestos”.
La operación de la implicación puede representarse con la siguiente tabla:
P Q P → Q
F F V

4. F V V
V F F
V V V
La siguiente explicación ayuda a entender este conectivo: considerando las
proposiciones P y Q del ejemplo, si el diputado no es electo y no disminuyen los
impuestos, no puedo decir que mintió. Si no es electo y bajan los impuestos,
tampoco puedo decir que mintió. Es decir, si no es electo diputado, no puedo
saber si decía a verdad o no, y le concedo el beneficio de la duda. Si es electo
y disminuye los impuestos, dijo la verdad. Pero si es electo y no disminuye los
impuestos, es un mentiroso.
LA BICONDICIONAL.
Este conectivo también es llamado doble implicación o teorema recíproco. La
bicondicional sólo es verdadera si sus dos componentes tienen el mismo valor
de verdad, es decir, ambos son Verdaderos o ambos son Falsos. Refleja el
sentido de “si y sólo si”, “equivale a”. Se representa por medio de una flecha
doble: “↔”.
Por ejemplo, sea P = “Hoy es domingo” y Q = “Mañana será lunes”. P ↔Q
significa: “Hoy es domingo si y sólo si mañana será lunes”, o “Hoy es domingo
equivale a que mañana será lunes”.
La operación de la bicondicional puede representarse con la siguiente tabla:
P Q P ↔ Q
F F V
F V F
V F F
V V V

5. Introducción a los Conjuntos:
Los conjuntos son todos los elementos que podemos separar por
características similares o arbitrarias; se pueden ejemplificar de la
siguiente forma:
• Los miembros de una familia
• Una colección de objetos
• Un equipo de fútbol
• Una plantilla o un rebaño de ovejas
• Los pasajeros de un autobús etc.
Definición: Un conjunto es una colección de objetos bien definidos,
llamados elementos.
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas (A, B………….. X, Y, Z).
Los elementos se denotan por letras minúsculas (a , b, c…………).
Los conjuntos se representan por medio de llaves { } o diagramas.
Si A = {1, 2, 3, 4}, la relación que existe entre un número y sus elementos
es de pertinencia
1 є A ( 1 pertenece a A) 6 ¢ A ( 6 no pertenece a A )
4 є A ( 4 pertenece a A) 8 ¢ A ( 8 no pertenece a A)
B = {Los estudiantes de grupo 21}, cada uno de los estudiantes del grupo 21
pertenece al conjunto B.
Tomando como base los ejemplos anteriores podemos determinar que los
conjuntos se pueden describir por medio de 2 métodos:
1.-En el método porextensión, listamos o enumeramos todos los elementos
del conjunto separándolos por coma enumerándolo entre llaves.
Escribimos un conjunto por extensión cuando este tiene un número
reducido de elementos.

6. Ejemplo por Extensión: A = {a, e, i, o, u}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4,
5}
2.- Método por comprensión: Para escribir un conjunto por comprensión
elegimos un elemento abierto x y señalar que cumple la propiedad P (x)
finalmente encerramos toda la expresión entre llaves. A = { x/ P (x) } que
se leé “ A es el conjunto de todos los elementos de x, tales que cumplen la
propiedad P(x)” (se leé tal que).
Escribimos por comprensión cuándo él conjunto tiene un número grande
de elementos. O sea en este caso se dice una característica que es común a
cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo por compresión o
abstracción:
A = {x / x, son las vocales del alfabeto}
A = { x/ x es uno de los primeros cinco enteros positivos}
Cardinalidad y Tipos de Conjuntos.
Hay conjuntos que tienen un número de elementos a estos se les llama
finitos, y al conjunto que los elementos no se pueden contar se les llama
finitos. La Cardinalidad puede ser: Finita o Infinita.
A = {1, 2, 3,…9} finitos.
H = {x / x sean los días de la semana} finito.
L = {x / x sean los puntos de una recta} Infinito.
M = {x / x es un número entero positivo} Infinito.
Para calcular un conjunto finito A, se denota su Cardinalidad por Card(A) ó
| A |
Ejemplo1.
La Cardinalidad del conjunto A = {h, c, j, k, l, n}, Card.(A) = 6, ya que A tiene
seis elementos.

7. Ejemplo2.
B = {x/x es un numero primo y par} Card.(B) =1 ya que el # primo que es
par es 2.
Ejemplo3.
C = {a, b, a, a, b}, Card. (C) = 2, ya que C solo tiene dos elementos distintos
Igualdad de Conjuntos.
Decimos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
Para denotar que A y B son iguales escribimos A = B.
A = {x / x2 = 4}, B ={ x / x , es un número como -2 y 2}
A = {-2, 2} B = {-2 y 2} por tanto A = B.
Conjunto Vacío o Nulo.
El conjunto vacío no posee elementos y se representa por: Q = { 0 } (es
aquel que carece de elementos)
Ejemplo
1.- P = {x / x2 < 0 } = O.
2.- Q = {x / x es una consonante que pertenece al conjunto de las vocales}
3.- R = {x / x son profesores universitarios empíricos}
4.- S= { x2 +1 ═ 0 /x e Reales }= No hay ningún numero que satisfaga la
expresión.
Por lo tanto = { } El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
Conjunto Unitario.
Es aquel que posee un solo elemento.

8. Ejemplos: P = {x / x es la Capital de Nicaragua}
Q = {x / x es el número primo y par}.
R ={x / x es el Presidente de Nicaragua}.
Conjunto Universo.
Los elementos de todos los conjuntos pertenecen usualmente a un solo
conjunto fijo llamado Universo. Su representación es U.
Subconjunto: Decimos que A es subconjunto de B si cada elemento que
conforma el elemento A pertenece también al conjunto B se denota A c B
Ejemplo Si A = {2}
B = {2, 3, 5, 7, 11…}
Decimos que: A c B, Pero A y B no son iguales.
Dos conjuntos son equipotentes. Dos conjuntos finitos x, y si tienen
exactamente el mismo número de elementos que posee el conjunto.
Familia de Conjuntos y conjuntos Potencia
La familia de todos los subconjuntos se llama conjunto potencia es finito
con n elementos, entonces el conjunto Potencia tendrá 2n subconjuntos:
Ejemplo: A = {1, 2}, el total de subconjuntos es 22= 4 Por lo tanto {1, 2},
{1},
{2}, Ø.
Si A = {1, 2,} no es una familia de conjuntos pero:
Si D = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, { }, {1, 2, 3}} es una familia de
Conjunto y es el conjunto Potencia de A = {1, 2, 3},
Exprese los conjuntos dados ya sea por extensión o por comprensión Y
Diga la Cardinalidad.

9. A═ El conjunto formado por los dígitos del sistema decimal.
A═{Los dígitos del sistema decimal} ═{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,Card(A)═ 10
B={Los números enteros pares},por extensión es= {2, 4, 6,
8,10,…}Card(B)═ Finito
C = {a, e, i, o, u}, por comprensión es = {x/ x es una vocal del alfabeto}
Card(C)═5
D = {x/ x es un numero real, x2 = 0}, Rta. = {0 }
E ={ x es un numero entero entre 0 y 2},= Rta. = {0,1,2 }
F ={x es un múltiplo de 5},= Rta. ={25 }
Las operaciones que e pueden realizar con los conjuntos son:
1) Unión de conjuntos (AUB).
2) Intersección de Conjuntos. (A∩B).
3) Complemento de un conjunto. (A′).
4) Diferencia de conjunto. (A ─ B).
5) Diferencia simétrica de conjunto. (A∆B).
(AUB). Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado
por objetos que son elementos de A o de B.
(A∩B). Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto
formado por objetos que son elementos de A y de B.
(A ─ B). Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto
A - B: Es el conjunto que consiste en todos los elementos que pertenecen
a, A pero no a B.
(A∆B) Diferencia simétrica entre A y B al conjunto formado
por los elementos de la Unión, eliminando los de la intersección de Ay B.

10. Si A ∊ (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto
de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de
antemano).
A ⊆ B. En este caso A es subconjunto de B.
Los conjuntos suelen representarse gráficamente mediante "diagramas
de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.
DIAGRAMAS DE VENN: Son figuras planas cerradas, normalmente, el con
junto universal se representa por el inferior de un rectángulo y los otros por
discos incluidos en el rectángulo. Algunas veces es conveniente sombrear las
aéreas para representar al conjunto o las operaciones indicadas de conjunto.
Conjuntos Disjuntos.
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos en común. Si dos
conjuntos son disjuntos su intersección es el vacío.
Ejemplo 1
Sean U═{a, b, c, d, e f, g } , A ═{ a, c ,e ,g } , B ═{ a , b , c, d, e }, C═{b, e, f, g }
Represente gráficamente en diagrama de Venn cada una de las siguientes
operaciones.
1.- A U B Rta. ═ {a, b, c, e, g}
2.-C─B Rta. ═ {f, g}
3.- B∩C Rta. ═ {b, e}
4 .- C′ Rta. ═ {a, c, d}
5.- B∆C Rta. ═ {a, c, d, f, g}
Ejemplo 2
Dado los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {b, c, f, g, h}.

11. Determine el conjunto AUB, represente en diagrama de Venn
Solución: AUB = {a, b, c, d, e, f, g, h}
Su grafica U a f
d b g
e c h
A B
Ejemplo 3
Sean los conjuntos. U = {x | x es digito decimal}, A = {x | x es digito
impar},
B = {x | x < 5, x ∊ N}, C = {6, 7, 8, 9} y efectué las siguientes
operaciones y realice Diagramas de Venn en cada una.
a) A- B’, b) (C U B)-A, c) (A∩B) d) C-(A∆B) e) AU (B∩C) f) (A∆B) UC
Ejemplo4.- Representar en diagrama de venn:
1.- A- (BUC) ═ rojo
2.- B - (AUC) ═ amarillo
3.- C - (AUB) ═ azul
4.- (A∩B) - C ═ anaranjado
5.- (B∩C) - A ═ verde
6.- (A∩C) - B ═ violeta
7.- A∩B ∩C ═ marrón
Algebra de conjuntos. Las operaciones con conjuntos poseen propiedades
similares (pero no idénticas) a las operaciones con números. El
Propiedades que se emplean.
1. AUB = BUA conmutativa.
2. (AUB) UC = AU (BUC) Asociativa.
3. AU O = A propiedad de la
existencia de la identidad.
4. AUU = U propiedad de la existencia del
conjunto absorbente.

12. conocimiento y empleo de estas propiedades es importante, por cuanto
permite simplificar considerablemente ciertas operaciones en apariencia
complicadas.
Ejemplo 6.
Considere los conjuntos A═{1,2,4,6,7,8,9}, B═{1,3,5,7,9}, C═{2,4,6,8}.
Demuestre que (AUB) U C ═AU (BUC)
Solución:
1. AUB= {1,2,4, 6,7, 8,9} y (AUB) U C═{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
2.- BUC= {1,2,3,4,5, 6,7, 8,9} y AU(BUC) ═{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Por lo tanto
queda demostrado que: (AUB) U C ═AU (BUC)
EJERCICIOS DE AUTOPREPARACIÓN
I. Sean A═{ 3,4,5,6}, B═{ 1,2,3,4}, C═{ 1,4,6,7} Y U═{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
represente en diagrama de Venn las siguientes operaciones.
1.- A U B 2.-C─B 3.- B∩C 4 .- C′ 5.- B∆C 6.- AU C′
7.- ( B∩C )′
II.-Suponga dados los conjuntos A,B, Y C no vacios, use diagramas de
Venn para ilustrar los resultados obtenidos al efectuar operaciones
indicadas en las expresiones dadas.
1.- A U B 2.-C─B 3.- B∩C 4 .- C′ 5.- B∆C 6.- AU C′ 7.- (
B∩C )′
8.-(A′ UB′ ) ∩ C′ 9.- (AU B)′ ∩C′ 10.- (A′ ∆ B′ ) ∩ C′
III.- Dados los conjuntos, Hallar la A∩B: y represente en diagrama de
Venn
1.- A═{x/ x2 + x- 12 ═ 0}, B═{ x/ 2x - 6 ═ 0}.
2.-, A═{x/ x2 - 7x ═ 8}, B═{ x/ 2x -16 ═ 0}.

13. REFERENCIAS
Franco, J. R., Toledano, M. A., & Aguayo Flores, M. d. (2005). Fundamentos
en Matemáticas. DF, México: UNAM.
Kisbye, D. P., & L. Tiraboschi, A. (1999). ELEMENTOS DE LÓGICA Y
TEORÍA DE CONJUNTOS. Buenos Aires, Argntina.