Unidad 2 analisis de presiones

1
UNIDAD 2
EFICIENCIA DE
DESPLAZAMIENTO
MACROSCOPICO DE UNA
INYECCION LINEAL DE AGUA
Profesor: Freddy H. Escobar, Ph.D.
INTRODUCCION
La eficiencia de recobro total de cualquier proceso de
desplazamiento se da por el producto de la eficiencia de
desplazamiento microscópica ES y la eficiencia macroscópica (o
volumétrica) de desplazamiento, Ev (o C )
• Microscópica es una medida de que tan bien el fluido
desplazante desplaza el petroleo residual
• Macroscópica es una medida de que tan bien el fluido
desplazante contacta las partes de la roca que contienen
crudo. Está compuesto por 2 términos:
2
– Eficiencia de barrido areal, ES
– Eficiencia de barrido Vertical, C

2
INTRODUCCION
Principios Básicos
DESPLAZAMIENTO MICROSCOPICO DE FLUIDOS INMISCIBLES
AGUA Y PETROLEO SON  I NMISCIBLES BAJO CUALQUIER CONDICION DE YACIMIENTO O SUPERFICIE
 GAS Y PETROLEO SON INMISCIBLES CUANDO LA PRESION DEL YACIMIENTO ES MENOR A LA NECESARIA PARA ALCANZAR
MISCIBILIDAD INSTANTANEA O POR CONTACTOS MULTIPLES
PRINCIPIOS QUE GOBIERNAN LA INTERRELACION ROCA FLUIDOS
© TENSION INTERFACIAL (INTERFASE FLUIDO - FLUIDO).
© MOJABILIDAD (INTERACCION ROCA - FLUIDO).
© PRESION CAPILAR ( MEDIDA DE LA CURVATURA DE DOS
FASES EN EL MEDIO POROSO
Principios Básicos
INTRODUCCION
Factores que Afectan la Recuperación de Petróleo
Eficiencia Areal
de Barrido (Ea)
Inyector
Productor
Eficiencia Vertical
de Barrido (Eh)
Eficiencia de
Desplazamiento (Ed)
F.R.  Ea x Eh x Ed

3
INTRODUCCION
Principios Básicos
Ea = AREA CONTACTADA POR EL FLUIDO DESPLAZANTE
AREA TOTAL
Eficiencia Areal de Barrido
Eh = AREA SECCION CONTACTADA POR EL FLUIDO DESPLAZANTE
AREA TOTAL DE LA SECCION
Eficiencia Vertical de Barrido
COREFLOODS Ev = 1
Eficiencia Volumétrica de Barrido
BUCKLEY LEVERETT
Ev =
VOLUMEN DE PETROLEO CONTACTADO POR EL FLUIDO DEZPLAZANTE
VOLUMEN DE PETROLEO ORIGINALMENTE EN EL YACIMIENTO
Ev = Ea x Eh
Eficiencia Microscópica de Desplazamiento
Ed = VOLUMEN DE PETROLEO CONTACTADO MOVILIZADO
VOLUMEN DE PETROLEO CONTACTADO
INTRODUCCION
Término usado para describir la eficiencia de un
proceso de inyección de agua en un volumen
especifico de roca del yacimiento, los procesos de
desplazamiento casi siempre varían con el tiempo,
por lo tanto la eficiencia de desplazamiento
microscópico también varían con el tiempo.
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m. MÉTODOS DE RECOBRO 6

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SOLUCIONES DE ESTADO ESTABLE
EN SISTEMAS LINEALES
Flujo estable Lineal
Para flujo lineal en una dimensión:
Si se asume flujo incompresibilidad ( constante) y
 viscosidades constantes se tiene:
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Se bombea agua y aceite a través de un medio poroso
homogéneo con porosidad, , diámetro D, y longitud L .
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En x = 0 Po = Poi
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En x = 0 Pw = Pwi
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En x = L Po = PoL Pw = PwL
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Integrando ambos lados:
Aplicando la condición de frontera en x = 0,
Asumiendo que la Sw es uniforme a lo largo del
corazón, entonces ko sería independiente de x
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En forma similar.
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EFECTOS TERMINALES CAPILARES
(Capillary end effects)
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CAPILLARY END EFFECTS
Esto ocurre bajo ciertas
condiciones especiales
en el laboratorio
Considere el flujo en
estado estable de agua
y petróleo a través de
un medio poroso
Las 2 fases se
encuentran en equilibrio
capilar
La diferencia entre las curvas de presión de
agua y petróleo está dada por la curva de
presión capilar y la saturación de agua
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En el extremo del corazón, las 2 fases tienen presiones
prácticamente iguales, lo que ocasionan un cambio
abrupto de la presión capilar desde un valor finito a un
valor casi cero (afuera del corazón).
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20/03/2014 4:27 p.
Las condiciones de frontera para ambas fases en
x = L son:
Pc = 0 PwL = PoL = PL
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Se estableció para estado estable que……
De donde…..
De la definición de presión capilar:
Pc = Po - Pw
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Derivando la definición de Pc
La curva de presión capilar es función de la
saturación de agua, Pc=Pc (Sw) y haciendo uso de
la regla de la cadena:
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Derivando la definición de Pc
La integral se resuelve gráfica o
numéricamente.
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ECUACIÓN DE AVANCE FRONTAL PARA
DESPLAZAMIENTO LINEAL INESTABLE
El desplazamiento de un
fluido por otro ocurre bajo
estado inestable puesto
que la saturación de
fluidos cambia con el
tiempo (pistón)
Esto causa cambios en las
permeabilidades relativas
con consecuentes cambios
de presión o velocidad de
las fases
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ECUACIÓN DE AVANCE FRONTAL
Condiciones iniciales
Las saturaciones de agua y petróleo inicialmente
son uniformes
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Vida media de la inyección
Hay desplazamiento de crudo. Un frente de agua abrupto
se desarrolla (gradiente de saturación abrupto). Agua y
aceite fluyen simultáneamente detrás del frente. No hay
flujo de agua delante del choque ya que kw0.
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Ruptura, irrupción (Breakthrough)
El agua alcanza el otro extremo en el
yacimiento, formándose el punto de ruptura.
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Tarde en la inyección
La fracción de agua en el extremo se incrementa
a medida que se desplaza el petróleo.
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27
Sor
Agua
Aceite
Swi
Desplazamiento tipo pistón
Frente
ACgounan acteo wnantearta
Distancia en el yacimiento
28
Agua
Desplazamiento tipo pistón con fugas
Saturación
Saturación
Inicial de
crudo
Banco
De agua
inyectada
Distancia en el yacimiento
Aceite
Agua Connata
Sor
Frente

15
29
Saturación
Gas atrapado
Distancia
P < Pb
Banco
agua
Banco
crudo
Yacimiento
inafectado
Agua Aceite
Gas libre
inicial
Acua connata
-El gas libre se redisuelve en crudo a medida que P
-La respuesta del WF ocurre despues del llenado
-Entre más depletado el yacimiento, más tiempo toma el llenado
MÉTODOS PARA PREDECIR EL
COMPORTAMIENTO EN ESTADO
INESTABLE
Método de Buckley-Leverett
(técnica gráfica)
Solución numérica del sistema de
ecuaciones diferenciales y parciales
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MODELO DE BUCKLEY-LEVERETT
SI EL FLUJO ES EN UNA DIMENSION, ESTAS
ECUACIONES SE REDUCEN A….
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Multiplicando ambas ecuaciones por el área, se tiene:
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Puesto que q = VA
El modelo de Buckley-Leverett considera que
tanto el agua como el petróleo son
incompresibles. Asuma, además, que la
porosidad es constante:
20/03/2014 4:28 p.
Sumando estas ecuaciones, se tiene:
El modelo de Buckley-Leverett considera que
tanto el agua como el petróleo son
incompresibles. Asuma, además, que la
porosidad es constante:
20/03/2014 4:28 p.

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Puesto que So +Sw = 1, entonces:
qo + qw = qt = constante, esto implica que aunque
la rata de cada fase varía, la rata volumétrica total
permanece constante. Defina el flujo fraccional de
una fase, f , como la fracción volumétrica de la
fase que esta fluyendo en x , t :
20/03/2014 4:28 p.
El flujo fraccional es un balance volumétrico,
luego fo +fw = 1. Retome la siguiente ecuación:
Puesto que qt es constante a lo largo del dominio:
La saturación de agua
en el medio poroso en
cuestión es función de
dos variables indepen-dientes:
x y t .
Sw = Sw (x , t )
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Para una saturación particular de agua, Sw, su
derivada dSw es 0, luego:
x /tSw es la velocidad a la cual la saturación, Sw,
se mueve a través del medio poroso. Asuma que fw
es únicamente función de la saturación de agua….
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fw = fw (Sw)
Cancelando (Sw /x )t y rearreglando:
20/03/2014 4:28 p.

20
Este ecuación es la ecuación de Buckley-
Leverett (también, llamada ecuación de
avance frontal) y expresa que en un proceso
de desplazamiento li-neal,
cada saturación de
agua se mueve a través
medio poroso a una velocidad que
puede calcularse a partir de la derivada del
flujo fraccional con respecto a la saturación
de agua. Para su desarrollo se asumió:
20/03/2014 4:28 p.
Flujo incompresible
El flujo fraccional de agua
es únicamente función de
la saturación de agua
No hay transferencia de
masa entre las fases
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ECUACION DE FLUJO FRACCIONAL
De la definición de flujo fraccional, qw = fw*qt
qo = (1- fw) * qt
Se puede representar flujo estable lineal con fluidos
incomprensibles de la siguiente manera:
Aplicando la ley de Darcy, considerando  como el
ángulo en grados formado sobre el plano horizontal…
20/03/2014 4:28 p.
qo = (1 - fw) * qt
qw = fw*qt
20/03/2014 4:28 p.

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qo = (1 - fw) * qt
qw = fw*qt
20/03/2014 4:28 p.
Restando estas dos ecuaciones:
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De la definición de presión capilar y arreglando:
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20/03/2014 4:28 p.

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Hay un rango de saturaciones donde fw y
fw no pueden ser calculadas usando la Ec.
anterior, luego es conveniente asumir
Pc /x =0, luego:
20/03/2014 4:28 p.
20/03/2014 4:28 p.

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La representación de la razón de las permeabilidades
efectivas en coordenadas semilogarítmico natural, resulta
en una curva con una porción recta que obedece a la
ecuación exponencial:
Además, según Larson, cada una de las permeabilidades relativas
puede representarse por las siguientes funciones de Sw:
kro = 1 (1-Sw)m
krw = 2 (Sw)n
Donde 1, 2, m y n son constantes de ajuste.
20/03/2014 4:28 p.
Si se sustituyen estos valores en la ecuación de flujo
fraccional y despreciando la presión capilar se tiene:
20/03/2014 4:28 p.

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Esta ecuación se deriva con respecto a la saturación suponiendo que
las viscosidades, razón de factores volumétricos, caudal de inyección
y las densidades son constantes, para obtener
20/03/2014 4:28 p.
Esta ecuación se deriva con respecto a la saturación suponiendo que
las viscosidades, razón de factores volumétricos, caudal de inyección
y las densidades son constantes, para obtener
20/03/2014 4:28 p.

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Si el ángulo  = 0, entonces,
20/03/2014 4:28 p.
Permite visualizar
procesos de
desplazamiento
inmisciibles como WF
y los efectos relativos
de las diferentes
rocas, fluidos y
propiedades
operacionales en la
eficiencia del
desplazamiento
Es un modelo
usado para
determinar la
fracción de agua
del fluido total en
una posición
particular y un
tiempo dado en
WF lineal
La posición y
tiempo del valor
de fw se
obtienen
determinando la
historia de
saturacion para
esa posicion
Se usa para
determinar el
movimiento
de los frentes
de estos
20/03/2014 4:28 p.
fluidos
Es difícil
cuantificar la
magnitud real de
las fuerzas
capilares (si no
imposible) por lo
tanto se omiten
de la ecuacion.

28
55
Avance frontal vs. Bypass
• Hay ciertamente una realidad en los procesos físicos
relacionados con recobro, pero hay diferentes formas de
interpretar y modelar la realidad
• Hay dos métodos para describir los modelos de
desplazamiento: Avance frontal (AF) y Bypass (bordear)
56
Avance frontal vs. Bypass
• Casi toda la literatura se basa en el AF. Sin
embargo, el de bordeo es más general y capaz de
representar todos los aspectos del desplazamiento.
• Considere recobro térmico donde la zona barrida
contiene una cantidad significante de vapor fluyente
y donde la destilación juega un papel importante
para mejorar la calidad el crudo. En condiciones de
bordeo hay mayor área superficial entre la zona
barrida y no barrida que en el AF
• El modelo de bordeo es más difícil de aplicar,
excepto con simulación

29
Fuerzas viscosas vs. gravitacionales
• Usualmente se consi-dera
57
el desarrollo de
bordeo debido solo a
boyancia
• La figura muestra el
efecto de las fuerzas
viscosas / gravitacio-nales
en la forma de un
desplazamiento radial
con vapor cerca al pozo
inyector.
s: steam
SOLUCION DE AVANCE FRONTAL
Los dos fluidos
inmiscibles se
consideran
incomprensibles
Roca mojada por agua
y flujo
monodimensional
Limitaciones:
Medio poroso
homogéneo e
isotrópico
Saturaciones iniciales
uniforme a lo largo del
dominio
20/03/2014 4:28 p.

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La posición de xSw de cualquier saturación Sw
puede obtenerse por integración de….
como fw/Sw, es solo función de Sw se puede integrar
directamente:
SiWi =qt*t
Si fw/Sw puede determinarse con exactitud de un gráfico de
fw vs. Sw la localización de todas las saturaciones podrían
determinarse siempre y cuando la distancia xSw ≤ L .
20/03/2014 4:28 p.
20/03/2014 4:28 p.

31
Lo que realmente
ocurre es la
formación de un
banco o frente de
choque que toma
lugar entre los
valores bajos de Sw
hasta el punto de
máxima velocidad
Dicho comporta-miento
es física-mente
imposible pues
indica que en determi-nado
punto del
yacimiento coexisten
múltiples saturaciones
de agua
Hay una dificultad
matemática para hallar
la posición de xSw, lo
que puede apreciarse
en la curva de flujo
fraccional típica, puesto
que existe un punto de
inflexión que indica que
la derivada (fw/Sw vs.
Sw) dará un máximo
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SOLUCION DE WELGE
Esta última solución fue propuesta por Welge, de
modo que cuando:
Swi  Sw  Swf
Swf  Sw  1 – Sor
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METODO DE WELGE
Este consiste en integrar la distribución de saturación
sobre la distancia desde el punto de inyección hasta el
frente, obteniendo la saturación promedia de agua…..
20/03/2014 4:28 p.
METODO DE WELGE
La situación descrita está dada a un tiempo de flujo,
antes de la ruptura de agua en el pozo productor,
correspondiente a una cantidad de agua inyectada.
A dicho tiempo, la máxima saturación de agua
es, Sw = 1 –Sor , se ha movido a la distancia x 1,
Swf
20/03/2014 4:x 28 1 p.
x m. MÉTODOS DE RECOBRO 2
64

33
METODO DE WELGE
su velocidad es proporcional a la pendiente de
curva de flujo fraccional evaluada para la máxima
saturación, la cual es pequeña pero finita. La
saturación de agua, Swf , situada en el frente de
inundación se localiza a una distancia x medida
desde 20/03/2014 2 m. el 4:28 punto p.
de inyección.
MÉTODOS DE RECOBRO 65
METODO DE WELGE
Aplicando un balance de materia:
Se puede obtener una ecuación para expresar la saturación
de agua promedia detrás del frente de inundación
mediante integración directa del perfil de saturación (área
bajo la curva):
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METODO DE WELGE
Area bajo la curva?
Recuerde que..
20/03/2014 4:28 p.
METODO DE WELGE
Para un volumen dado de agua inyectada y
para Sw ≥ Swf, la ecuación anterior puede
escribirse como:
20/03/2014 4:28 p.

35
METODO DE WELGE
Sustituyendo
20/03/2014 4:28 p.
METODO DE WELGE
Sustituyendo
20/03/2014 4:28 p.

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METODO DE WELGE
1
20/03/2014 4:28 p.
METODO DE WELGE
Sustituyendo
20/03/2014 4:28 p.

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METODO DE WELGE
20/03/2014 4:28 p.
METODO DE WELGE
20/03/2014 4:28 p.

38
METODO DE WELGE
20/03/2014 4:28 p.
METODO DE WELGE
20/03/2014 4:28 p.

39
METODO DE WELGE
20/03/2014 4:28 p.
METODO DE WELGE
En la cual tanto fw como su derivada se evalúan a
la saturación del frente de inundación, Swf .
Igualando con…
20/03/2014 4:28 p.

40
METODO DE WELGE
En la cual tanto fw como su derivada se evalúan a
la saturación del frente de inundación, Swf .
Igualando con…
20/03/2014 4:28 p.
METODO DE WELGE
Para satisfacer esta ecuación, la
tangente a la curva de flujo fraccional
desde el punto (Swc, 0) debe tener un
punto tangencial con coordenadas (Swf ,
fwf ) y la tangente extrapolada debe
interceptar la línea fw = 1 en el punto
( ,1).
La determinación de Swf , fwfy se
hace gráficamente.
20/03/2014 4:28 p.

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METODO DE WELGE
20/03/2014 4:28 p.
METODO DE WELGE
20/03/2014 4:28 p.

42
METODO DE WELGE
Haciendo zoom….
20/03/2014 4:28 p.
20/03/2014 4:28 p.

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METODO DE WELGE
20/03/2014 4:28 p.
CALCULO DE Np
Antes de la ruptura en el pozo productor,
la ecuación de avance frontal, puede
usarse para determinar las posiciones de
los planos de saturación constante de
agua, para Swf < Sw < 1 – Sor , a medida
que el frente se mueve a lo largo del
yacimiento.
20/03/2014 4:28 p.

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CALCULO DE Np
En la ruptura, la ecuación se usa
diferentemente para estudiar el efecto de
de agua en el pozo
incremento de saturación
productor. El caso x = L, la ecuación de
avance frontal se puede expresar como:
20/03/2014 4:28 p.
CALCULO DE Np
Donde Swe es la saturación de agua actual en
el pozo productor y WiD es el número de
volúmenes porosos de agua inyectados
(adimensional) sabiendo que:
1 PV =L A 
20/03/2014 4:28 p.

45
CALCULO DE Np
20/03/2014 4:28 p.
CALCULO DE Np
Antes de la ruptura, los cálculos de recobro de
petróleo son triviales. El recobro de petróleo es
simplemente igual al volumen de agua
inyectado y no existe producción de agua. Justo
en la ruptura el frente de inundación (Swf= )
alcanza el pozo productor y el corte de agua se
incrementa súbitamente desde 0 a ,
lo cual es un fenómeno frecuentemente
observado en el campo y donde el ingeniero
confirma la existencia del frente de choque.
20/03/2014 4:28 p.

46
CALCULO DE Np
En este momento
puede interpretarse
en términos de
Para dar
20/03/2014 4:28 p.
CALCULO DE Np
En la anterior ecuación, todos los
volúmenes están dados en volúmenes
porosos adimensionales. En particular, la
rata de inyección adimensional es qi /LA
(PV por unidad de tiempo) lo que facilita
los cálculos del tiempo al cual ocurre la
ruptura:
20/03/2014 4:28 p.

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CALCULO DE Np
Después de la ruptura, L permanece
constante en….
y Swe y fwe se incrementan gradualmente a
medida que el frente avanza en el
yacimiento. Durante esta fase el cálculo de
recobro de aceite es algo más complejo y
requiere de la aplicación de la Ec. de Welge...
20/03/2014 4:28 p.
CALCULO DE Np
Después de la ruptura, L permanece
constante en….
y Swe y fwe se incrementan gradualmente a
medida que el frente avanza en el
yacimiento. Durante fase el cálculo de
recobro de aceite es algo más complejo y
requiere de la aplicación de la Ec. de Welge...
20/03/2014 4:28 p.

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CALCULO DE Np
Restando Swc de ambos lados se tiene…
20/03/2014 4:28 p.
PROCEDIMIENTO
Trace la curva de flujo fraccional, si es necesario
use efectos gravitacionales, pero desprecie el
gradiente de presión capilar, Pc /x.
Trace la tangente a esta curva en Sw=Swc, fw=0. El
punto de tangencia tiene coordenadas Sw=Swf=Swbt ,
fw = fwbt y la extrapolación de esta línea a fw=1 da
la saturación promedia de agua detrás del frente de
choque o inundación, Sw = Swe. Estime el recobro
de crudo en la ruptura.
20/03/2014 4:28 p.

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PROCEDIMIENTO
Trace la tangente a esta curva en Sw=Swc, fw=0. El
punto de tangencia tiene coordenadas Sw=Swf=Swbt ,
fw = fwbt y la extrapolación de esta línea a fw=1 da
la saturación promedia de agua detrás del frente de
choque o inundación, Sw = Swe. Estime el recobro
de crudo en la ruptura.
20/03/2014 4:28 p.
PROCEDIMIENTO
20/03/2014 4:28 p.

50
PROCEDIMIENTO
Escoja Swe como variable independiente,
permite que su valor se incremente
gradualmente, es decir, 5 % por encima
de la saturación de ruptura. Cada punto en
la curva de flujo fraccional, para Swe > Swbt ,
tiene coordenadas Swe, fwe y usando….
20/03/2014 4:28 p.
PROCEDIMIENTO
Para cada nuevo valor de Swe se determina
gráficamente la Sw correspondiente y el
recobro de aceite se calcula mediante:
El inverso de la pendiente de la curva de flujo
fraccional da WiD. Esto permite que una escala
de tiempo de anexe al recobro puesto que:
WiD = qiD * tiD
20/03/2014 4:28 p.

51
PROCEDIMIENTO
Alternativamente, este ecuación puede
usarse directamente para determinar el
recobro de petróleo mediante la
estimación de fwe yWiD de la curva de
flujo fraccional para cada valor
escogido de Swe.
20/03/2014 4:28 p.
CONSIDERACIONES ADICIONALES
Cálculos de producción e inyección
Antes de la ruptura.
Se hace la evaluación para diferentes tiempos,
distanciados uno del otro por un intervalo constante.
20/03/2014 4:28 p.

52
Después de la ruptura.
Los cálculos se hacen para saturaciones promedio de
agua detrás del frente menores a (1 - Sor ), con
intervalos de 0.05.
El agua producida será:
La relación Agua-aceite producida es:
20/03/2014 4:28 p.
Después de la ruptura.
20/03/2014 4:28 p.

53
Recordando la Ec. de fw sin considerar los factores volumétricos:
Defina el flujo fraccional, en superficie como: Reemplazando Darcy
Si la Pc 0, entonces Po/x = Pw/x, luego:
20/03/2014 4:28 p.
Simplificando:
Dividiendo el nume-rador
y denominador
por krw /w, resulta:
Multiplicando por Bw,
se tiene:
20/03/2014 4:28 p.

54
El flujo estable, horizontal, tipo pistón ocurrirá cuandoM < 1.
Ms , la movilidad del frente de choque, es un parámetro para
caracterizar la estabilidad del desplazamiento de Buckley-
Leverett:
En la cual las permeabilidades relativas en el numerador se
evalúan a la saturación del frente de choque, Swf. El
desplazamiento de Buckley-Leverett será estable siMs < 1. Si
no se satisface esta condición habrá severo acanalamiento
viscoso de agua a través del crudo e irrupción prematura de
agua.
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FACTORES QUE AFECTAN LA CURVA DE fw
Mojabilidad
20/03/2014 4:28 p.

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Angulo de buzamiento, la dirección de flujo y la mojabilidad
20/03/2014 4:28 p.
Mojabilidad y viscosidad del crudo
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EFECTO DE LA MOJABILIDAD EN
EL RECOBRO
20/03/2014 4:28 p.
EJERCICIO
1. Dados:
h = 20 ft Ancho: 300 ft L = 1000 ft
 = 15% Bo =Bw = 1 Swc = 36.3 %
qi = 338 B/D de agua o = 2 cp w = 1 cp
Sor = 20.5
a) Cuánto tarda el frente de agua en llegar a la mitad de la longitud
del yacimiento?
b) Haga la curva de saturación de agua vs. x al tiempo mencionado
anteriormente es decir cuando el frente inundó los primeros 500 ft
del yacimiento usando le método de Buckley-Leverett
c) El mismo caso anterior pero usando la técnica de Welge
d) Producción después de la ruptura real (L=1000 ft)
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57
Sw kro krw
0.363 1 0
0.38 0.902 0
0.4 0.795 0
0.42 0.696 0
0.44 0.605 0.001
0.46 0.522 0.003
0.48 0.445 0.006
0.5 0.377 0.011
0.52 0.315 0.018
0.54 0.26 0.028
0.56 0.21 0.042
0.58 0.168 0.06
0.6 0.131 0.084
0.62 0.099 0.113
0.64 0.073 0.149
0.66 0.051 0.194
0.68 0.034 0.247
0.7 0.021 0.31
0.72 0.011 0.384
0.74 0.005 0.47
0.76 0.002 0.57
0.795 0 0.78
Con la Ec. de fw…
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Sw kro krw fw
0.363 1 0 -
0.38 0.902 0 -
0.4 0.795 0 -
0.42 0.696 0 -
0.44 0.605 0.001 0.0033
0.46 0.522 0.003 0.0114
0.48 0.445 0.006 0.0263
0.5 0.377 0.011 0.0551
0.52 0.315 0.018 0.1026
0.54 0.26 0.028 0.1772
0.56 0.21 0.042 0.2857
0.58 0.168 0.06 0.4167
0.6 0.131 0.084 0.5619
0.62 0.099 0.113 0.6954
0.64 0.073 0.149 0.8032
0.66 0.051 0.194 0.8838
0.68 0.034 0.247 0.9356
0.7 0.021 0.31 0.9672
0.72 0.011 0.384 0.9859
0.74 0.005 0.47 0.9947
0.76 0.002 0.57 0.9982
0.795 0 0.78 1.0000
20/03/2014 4:28 p.

58
EJERCICIO
20/03/2014 4:28 p.
EJERCICIO
No se puede mostrar la imagen en este momento.
20/03/2014 4:28 p.

59
Sw kro krw fw fw/Sw
0.363 1 0 - 0.032566681
0.38 0.902 0 - 0.053943495
0.4 0.795 0 - 0.097551899
0.42 0.696 0 - 0.175992322
0.44 0.605 0.001 0.0033 0.316139523
0.46 0.522 0.003 0.0114 0.563510971
0.48 0.445 0.006 0.0263 0.990702416
0.5 0.377 0.011 0.0551 1.700173304
0.52 0.315 0.018 0.1026 2.799732708
0.54 0.26 0.028 0.1772 4.309368009
0.56 0.21 0.042 0.2857 5.983740559
0.58 0.168 0.06 0.4167 7.211319262
0.6 0.131 0.084 0.5619 7.335678619
0.62 0.099 0.113 0.6954 6.281062579
0.64 0.073 0.149 0.8032 4.63620668
0.66 0.051 0.194 0.8838 3.063752733
0.68 0.034 0.247 0.9356 1.880629098
0.7 0.021 0.31 0.9672 1.102922042
0.72 0.011 0.384 0.9859 0.629673221
0.74 0.005 0.47 0.9947 0.353999913
0.76 0.002 0.57 0.9982 0.19730037
0.795 0 0.78 1.0000 0.070205992
a) El tiempo en que tarda el frente de
agua en llegar a la mitad de la
longitud del yacimiento toma lugar a
500 ft, de la ecuación de B-L.
Luego se determina la posición de la
partícula a t = 77.4 días para los
diferentes valores de fw/Sw.
20/03/2014 4:28 p.
Sw kro krw fw fw/Sw xSw
0.363 1 0 - 0.032566681 5.32
0.38 0.902 0 - 0.053943495 8.80
0.4 0.795 0 - 0.097551899 15.92
0.42 0.696 0 - 0.175992322 28.72
0.44 0.605 0.001 0.0033 0.316139523 51.60
0.46 0.522 0.003 0.0114 0.563510971 91.97
0.48 0.445 0.006 0.0263 0.990702416 161.69
0.5 0.377 0.011 0.0551 1.700173304 277.49
0.52 0.315 0.018 0.1026 2.799732708 456.95
0.54 0.26 0.028 0.1772 4.309368009 703.34
0.56 0.21 0.042 0.2857 5.983740559 976.61
0.58 0.168 0.06 0.4167 7.211319262 1,176.97
0.6 0.131 0.084 0.5619 7.335678619 1,197.26
0.62 0.099 0.113 0.6954 6.281062579 1,025.14
0.64 0.073 0.149 0.8032 4.63620668 756.68
0.66 0.051 0.194 0.8838 3.063752733 500.04
0.68 0.034 0.247 0.9356 1.880629098 306.94
0.7 0.021 0.31 0.9672 1.102922042 180.01
0.72 0.011 0.384 0.9859 0.629673221 102.77
0.74 0.005 0.47 0.9947 0.353999913 57.78
0.76 0.002 0.57 0.9982 0.19730037 32.20
0.795 0 0.78 1.0000 0.070205992 11.46
20/03/2014 4:28 p.

60
EJERCICIO
b) Construya la curva de saturación de agua vs. x al tiempo
mencionado anteriormente es decir cuando el frente inundó los
primeros 500 ft del yacimiento usando le método de Buckley-Leverett
20/03/2014 4:28 p.
EJERCICIO
c) Grafique Sw vs x pero usando la técnica de
Welge
Los cálculos se hacen desde la saturación de
ruptura hasta 1-Sor. De la Swf hacia abajo se deja
constante. Es decir….
20/03/2014 4:28 p.

61
0.363 1 0 - 0.032566681 5.32
0.38 0.902 0 - 0.053943495 8.80
0.4 0.795 0 - 0.097551899 15.92
0.42 0.696 0 - 0.175992322 28.72
0.44 0.605 0.001 0.0033 0.316139523 51.60
0.46 0.522 0.003 0.0114 0.563510971 91.97
0.48 0.445 0.006 0.0263 0.990702416 161.69
0.5 0.377 0.011 0.0551 1.700173304 277.49
0.52 0.315 0.018 0.1026 2.799732708 456.95
0.54 0.26 0.028 0.1772 4.309368009 703.34
0.56 0.21 0.042 0.2857 5.983740559 976.61
0.58 0.168 0.06 0.4167 7.211319262 1,176.97
0.6 0.131 0.084 0.5619 7.335678619 1,197.26
0.62 0.099 0.113 0.6954 6.281062579 1,025.14
0.64 0.073 0.149 0.8032 4.63620668 756.68
0.66 0.051 0.194 0.8838 3.063752733 500.04
0.68 0.034 0.247 0.9356 1.880629098 306.94
0.7 0.021 0.31 0.9672 1.102922042 180.01
0.72 0.011 0.384 0.9859 0.629673221 102.77
0.74 0.005 0.47 0.9947 0.353999913 57.78
0.76 0.002 0.57 0.9982 0.19730037 32.20
0.795 0 0.78 1.0000 0.070205992 11.46
20/03/2014 4:28 p.
0.363 1 0 - 0.032566681 500.04
0.38 0.902 0 - 0.053943495 500.04
0.4 0.795 0 - 0.097551899 500.04
0.42 0.696 0 - 0.175992322 500.04
0.44 0.605 0.001 0.0033 0.316139523 500.04
0.46 0.522 0.003 0.0114 0.563510971 500.04
0.48 0.445 0.006 0.0263 0.990702416 500.04
0.5 0.377 0.011 0.0551 1.700173304 500.04
0.52 0.315 0.018 0.1026 2.799732708 500.04
0.54 0.26 0.028 0.1772 4.309368009 500.04
0.56 0.21 0.042 0.2857 5.983740559 500.04
0.58 0.168 0.06 0.4167 7.211319262 500.04
0.6 0.131 0.084 0.5619 7.335678619 500.04
0.62 0.099 0.113 0.6954 6.281062579 500.04
0.64 0.073 0.149 0.8032 4.63620668 500.04
0.66 0.051 0.194 0.8838 3.063752733 500.04
0.68 0.034 0.247 0.9356 1.880629098 306.94
0.7 0.021 0.31 0.9672 1.102922042 180.01
0.72 0.011 0.384 0.9859 0.629673221 102.77
0.74 0.005 0.47 0.9947 0.353999913 57.78
0.76 0.002 0.57 0.9982 0.19730037 32.20
0.795 0 0.78 1.0000 0.070205992 11.46
20/03/2014 4:28 p.

62
EJERCICIO
20/03/2014 4:28 p.
EJERCICIO
B-L (Rigurosa)
Welge
20/03/2014 4:28 p.

63
20/03/2014 4:28 p.
EJERCICIO
20/03/2014 4:28 p.
d) Producción después de la ruptura real (L=1000 ft)

64
En la gráfica de fw vs Sw,
se halla para diferentes
Sw promedio, los
valores de Swe y fwe
correspondientes.
20/03/2014 4:28 p.
EJERCICIO
Sw Swe fwe NpD Np, bbl WiD WOR Wp, bbl Wi, bbl t, días
0.7 0.6599 0.8835 0.337 54016.03 0.344 7.58 55198.56 163.31
0.703 0.6785 0.9331 0.34 54496.88 0.367 13.95 5176.73 58819.07 174.02
0.713 0.6824 0.941 0.35 56099.73 0.519 15.95 23960.06 83212.34 246.19
0.741 0.7174 0.9843 0.378 60587.71 1.502 62.69 176474.99 240733.70 712.23
0.75 0.7281 0.9906 0.387 62030.28 2.326 105.38 121231.14 372747.77 1102.80
0.758 0.7362 0.9938 0.395 63312.56 3.510 160.29 170333.73 562548.47 1664.34
0.766 0.7474 0.9966 0.403 64594.84 5.476 293.12 290697.90 877795.82 2597.03
20/03/2014 4:28 p.

65
EJERCICIO
Sw Swe fwe NpD Np, bbl WiD WOR Wp, bbl Wi, bbl t, días
0.7 0.6599 0.8835 0.337 54016.03 0.344 7.58 55198.56 163.31
0.703 0.6785 0.9331 0.34 54496.88 0.367 13.95 5176.73 58819.07 174.02
0.713 0.6824 0.941 0.35 56099.73 0.519 15.95 23960.06 83212.34 246.19
0.741 0.7174 0.9843 0.378 60587.71 1.502 62.69 176474.99 240733.70 712.23
0.75 0.7281 0.9906 0.387 62030.28 2.326 105.38 121231.14 372747.77 1102.80
0.758 0.7362 0.9938 0.395 63312.56 3.510 160.29 170333.73 562548.47 1664.34
0.766 0.7474 0.9966 0.403 64594.84 5.476 293.12 290697.90 877795.82 2597.03
20/03/2014 4:28 p.
DESPLAZAMIENTO BAJO
FLUJO SEGREGADO
20/03/2014 4:28 p.

66
FLUJO SEGREGADO
En la zona inundada, el
agua fluye sola en
presencia de aceite
residual (kw=k *krw ’) en la
zona no inundada el
aceite fluye en presencia
de agua connata
(ko=k*kro ’)
En cualquier punto
de la interfase de los
fluidos las presiones
de agua y aceite se
asumen iguales
Esto significa que
hay una interfase
distinta con una zona
sin presión capilar
El flujo segregado asume que
el desplazamiento es
gobernado por equilibrio
vertical, puesto que no hay
zona de presión capilar, la
gravedad es la única
responsable por la distribución
instantánea de fluidos en la
dirección inclinada
20/03/2014 4:28 p.
20/03/2014 4:28 p.

67
FLUJO SEGREGADO
La condición de desplazamiento establece
que el ángulo entre la interfase de los
fluidos y la dirección de flujo deben
permanecer constantes a lo largo de todo
el desplazamiento. De modo que:
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Esto solo se satisface a
ratas de inyección cuando
la fuerza de la gravedad,
resultante de , actúa
para tratar de mantener
la interfase horizontal y
en el caso extremo cuando
la rata se reduce a cero,
resultará una interfase
horizontal
A altas ratas de inyección
las fuerzas viscosas
empujando los fluidos a
través del yacimiento,
prevalecerán sobre el
componente de la fuerza
de gravedad actuando en
la dirección hacia abajo
del buzamiento resultando
un desplazamiento
inestable
Debido al  el
agua corre por
debajo del crudo
formando una
lengua de agua
conllevando a una
ruptura prematura
20/03/2014 4:28 p.

68
FLUJO SEGREGADO
El desplazamiento inestable ocurrirá para la
condición limitante que:
Si existe desplazamiento incompresible y estable,
en todos los puntos de la interfase, el petróleo y
agua deberán tener la misma velocidad.
Aplicando Darcy a cualquier punto de la interfase
en la dirección x, se tiene:
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
El desplazamiento inestable ocurrirá para la
condición limitante que:
Si existe desplazamiento incompresible y estable,
en todos los puntos de la interfase, el petróleo y
agua deberán tener la misma velocidad.
Aplicando Darcy a cualquier punto de la interfase
en la dirección x, se tiene:
20/03/2014 4:28 p.

69
FLUJO SEGREGADO
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Puesto que
20/03/2014 4:28 p.

70
FLUJO SEGREGADO
Puesto que
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Derivando….
Como se verá en la siguiente figura, dy es negativo:
20/03/2014 4:28 p.

71
FLUJO SEGREGADO
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
20/03/2014 4:28 p.

72
FLUJO SEGREGADO
Puesto que qt = ut A y sacando factor
común Sen θ, resulta:
Multiplicando la ecuación anterior por
k*krw ’/μw se tiene:
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Rescribiendo:
Puesto que M = λw /λo y definiendo el número
gravitacional (adimensional) como:
20/03/2014 4:28 p.

73
FLUJO SEGREGADO
Despejar la pendiente de la interfase:
M es constante (rata fija), G es una constante +.
La inclinación de la interfase dy /dx asume un valor
fijo. Para desplazamiento estable dy /dx debe ser
una constante negativa y ésto impone la condición
de estabilidad de modo que:
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Caso límite, cuando dy /dx = 0, el agua correrá
por debajo del petróleo en forma de una lengua
de agua. Para que dy /dx sea cero:
20/03/2014 4:28 p.

74
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
De modo que usando esta condición en la
ecuación del número gravitacional, se tiene el
caudal crítico:
20/03/2014 4:28 p.

75
FLUJO SEGREGADO
La relación de movilidad también influye en
el desplazamiento como puede observarse
en….
a)M > 1
Es la condición física más común. El
desplazamiento es estable si G > M -1, en
cuyo caso β <θ e inestable siG <M -1.
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
20/03/2014 4:28 p.

76
FLUJO SEGREGADO
b)M = 1
Esta es una condición de relación de
movilidad muy favorable para la cual no hay
tendencia que el agua pase al crudo. Para
M = 1 el desplazamiento es incondicional-mente
estable, por lo tanto β = 0 y la
interfase yace horizontalmente en el
yacimiento.
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
c)M < 1
Esta relación de movilidad también conduce
a desplazamiento incondicionalmente esta-ble,
pero en este caso β > 0
20/03/2014 4:28 p.

77
FLUJO SEGREGADO
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Si el desplazamiento es
estable Np=Np (Wi , t ) se
usan consideraciones
geométricas.
Alternativamente, intentar
reducir la descripción de
desplazamiento y luego
hacer los cálculos usando
la teoría del
desplazamiento de BL
Esta idea es valiosa
porque es general
y podría aplicarse
en desplazamiento
estable o inestable
Para esto,
considere el
desplazamiento
general segregado
en un yacimiento
lineal…..
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78
FLUJO SEGREGADO
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
El flujo segregado es un
problema 2D. Para tratar
de reducir la descripción a
una dimensión es
necesario promediar las
saturaciones y las
permeabilidades relativas
sobre el espesor del
yacimiento
Luego, el flujo
puede describirse
como si ocurriera a
lo largo de la línea
central del
yacimiento
En un punto
cualquiera en el
camino del
desplazamiento, sea b
el espesor fraccional
del agua, de modo
que b = y /h
El promedio de
saturación de agua
sobre el espesor del
yacimiento en el
punto x es:
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79
FLUJO SEGREGADO
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Puesto que Sor y Swc son constantes, esta ecuación
indica que b  Sw. La permeabilidad promedia
relativa del agua sobre el espesor puede
describirse como:
Cuando krw (Sw=Swc)=0 y krw (Sw=1-Sor)=krw ’
krw ’ es el valor terminal o final de la permeabilidad relativa al
agua.
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80
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Haciendo el mismo tratamiento para el aceite:
0
Siendo kro ’ el valor terminal de kro.
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81
FLUJO SEGREGADO
La curva de flujo fraccional
puede graficarse usando las
funciones lineales de
permeabilidad relativa. Esta
curva no tendrá punto de
inflexión porque no hay
frente de choque para flujo
segregado. Todos los puntos
sobre la curva de flujo
fraccional se usan para los
cálculos de recobro después
de la ruptura.
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FLUJO SEGREGADO
de la ruptura.
20/03/2014 4:28 p.

82
FLUJO SEGREGADO
de la ruptura.
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Las ecuaciones en una dimensión para el flujo de
aceite y agua en condiciones de flujo segregado
en un yacimiento horizontal son:
A es el área seccional y Po
o > Pw
o son la presión del
o y w referidas a la línea central de yacimiento.
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83
FLUJO SEGREGADO
y es el espesor real cubierto por
agua; entonces y=bh , puesto que en
la interfase Po=Pw el gradiente de
presión resultante de la diferen-ciación
y substracción de estas
ecuaciones es:
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
y es el espesor real cubierto por
agua; entonces y=bh , puesto que en
la interfase Po=Pw el gradiente de
presión resultante de la diferen-ciación
y substracción de estas
ecuaciones es:
20/03/2014 4:28 p.

84
FLUJO SEGREGADO
Para desplazamiento horizontal e inestable la
aproximación que usualmente se hace es que el
ángulo de la interfase, dy /dx, es pequeño y por lo
tanto el gradiente de la diferencia de presión de la
fase puede despreciarse.
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FLUJO SEGREGADO
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85
FLUJO SEGREGADO
Restando….
Puesto que qt =qo +qw, entoncesqo =qt - qw , luego…
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Puesto que
20/03/2014 4:28 p.

86
FLUJO SEGREGADO
Puesto que
Como el gradiente de la diferencia de presión de la
fase puede despreciarse dPc
o/dx =0, despejando fw:
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Multiplique la ecuación anterior por
20/03/2014 4:28 p.

87
FLUJO SEGREGADO
M es la relación de movilidades terminales.
Hasta el momento de la ruptura el recobro de
aceite es simplemente igual a la cantidad
acumulada de agua inyectada. Después de la
ruptura, sea be el espesor fraccional de agua en
el pozo productor, luego:
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FLUJO SEGREGADO
20/03/2014 4:28 p.

88
FLUJO SEGREGADO
WiD es la inyección de agua acumulada expresada en
volúmenes móviles de crudo donde:
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FLUJO SEGREGADO
El recobro de crudo puede expresarse en movilidades
como:
20/03/2014 4:28 p.

89
FLUJO SEGREGADO
El recobro de crudo puede expresarse en movilidades
como:
Expresada en MOV’s…
Sustituyendo las variables be y fwe resulta:
Todos los volúmenes están enMOV’’s.
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Esto se aplica para desplazamiento horizontal bajo
condiciones de flujo inestable segregado (M > 1).
En la ruptura NpD= WiD , con esta condición se despeja NpD:
Esto demuestra que en el caso límite de M = 1, ocurre
desplazamiento estable tipo pistón para lo cual NpD = 1.
Similarmente, cuando la cantidad total de aceite ha sido
recuperada NpD =1 (MOV) y sustituyendo esto en
20/03/2014 4:28 p.

90
FLUJO SEGREGADO
Estas ecuaciones demuestran el
significado de la relación de M
para caracterizar el recobro de
aceite bajo condiciones de flujo
segregado.
El caso más general de desplazamiento inestable
en un yacimiento buzante (G < M-1), la ecuación
de flujo fraccional es:
20/03/2014 4:28 p.
FLUJO SEGREGADO
Si G = 0 (horizontal) se reduce
En ruptura cuandoNpD=WiD da:
Para la máxima eficiencia
de recobro, (NpD =1)
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91
EJEMPLO
1. Calcule el recobro adimensional NpD y asuma que el
desplazamiento es segregado, para un yacimiento cuyos
datos son:
 0.18 q 1000 bl/dia
Swc 0.2 Ancho 625 ft
Sor 0.2 k 2D
 o 5 w 1.04
 w 0.5  o 0.81
h 40 ft Bo 1.3
L 2000 ft Bw 1
Sw krw kro Sw krw kro
0.2 0 0.8 0.5 0.075 0.163
0.25 0.002 0.61 0.55 0.1 0.12
0.3 0.009 0.47 0.6 0.132 0.081
0.35 0.02 0.37 0.65 0.17 0.05
0.4 0.033 0.28 0.7 0.208 0.027
0.45 0.051 0.22 0.75 0.251 0.01
0.8 0.3 0
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EJEMPLO
Calcule la movilidad:
Determine NpDbt (en ruptura)
que va a ser igual al WiD , en
MOV y PV; que es el valor
mínimo.
Se halla el valor máximo.
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RANGO

92
EJEMPLO
Para calcular los diferentes
valores de NpD, se usan valores
entre el máximo y mínimoWiD :
NpD y t se calculan con las
siguientes fórmulas:
0.16 PV  WiD  2.25 PV
0.267 MOV  WiD  3.75 MOV
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EJEMPLO
WiD (MOV) NpD (MOV) WiD (PV) NpD (PV) t, años
0.267 0.2669999 0.160 0.1602 0.70349724
0.3 0.2986619 0.180 0.179197 0.79044633
0.5 0.4504047 0.300 0.270243 1.31741056
1 0.6810849 0.600 0.408651 2.63482111
1.5 0.8157878 0.900 0.489473 3.95223167
2 0.9008093 1.200 0.540486 5.26964223
3 0.9848014 1.800 0.590881 7.90446334
3.75 1 2.250 0.6 9.88057917
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93
EJEMPLO
Si el yacimiento tiene un ángulo de buzamiento, , de 25º
(ver figura), cual es el caudal crítico para desplazar el crudo
desde debajo de la formación?. Compare los tiempos de
ruptura y recobro en la ruptura cuando se inyectan 1000 bbl
de agua y cuando se inyecta el 90 % del caudal crítico.
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EJEMPLO
Se determina el caudal crítico
Se calcula el valor máximo.
Se determina el número
gravitatorio:
G = 1.43 < (M-1) = 2.75, lo que indica que el flujo es inestable. Se
calcula el NpD para ese ángulo en el punto de ruptura que es el valor
mínimo deNpD= WiD
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EJEMPLO
Ahora, los cálculos se realizan entre 0.259 PV y 0.926 PV:
Se calcula el tiempo con:
20/03/2014 4:28 p.
EJEMPLO
WiD (MOV) NpD (MOV) WiD (PV) NpD (PV) t, años
0.431 0.431 0.2586 0.2586 1.135254
0.5 0.49715508 0.3 0.29829305 1.317
0.75 0.69725019 0.45 0.41835011 1.9755
1 0.84692073 0.6 0.50815244 2.634
1.25 0.94993598 0.75 0.56996159 3.2925
1.543 0.99999997 0.9258 0.59999998 4.064262
20/03/2014 4:28 p.

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EJEMPLO
Se determina el nuevo qcrit crítico cuando se inyecta el 90 (520*0.9);
Ahora se calcula el nuevo G:
G = 1.287 < (M-1) = 2.75, lo que indica que el flujo es inestable. Se
calcula el NpD para ese ángulo en el punto de ruptura que es el valor
mínimo deNpD= WiD
20/03/2014 4:28 p.
EJEMPLO
El ángulo de la interfase se halla de:
El volumen de crudo sin contactar es:
20/03/2014 4:28 p.

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EJEMPLO
El recobro se estima de:
La cantidad de crudo que bordea el pozo y no se produce es:
20/03/2014 4:28 p.
EJEMPLO
ye NpD (MOV) WiD (MOV) NpD (PV) WiD (PV) t, años
0 0.78586724 0.78586724 0.47152034 0.47152034 4.42286081
10 0.87955032 0.89293362 0.52773019 0.53576017 5.02543041
20 0.94646681 1 0.56788009 0.6 5.628
30 0.9866167 1.10706638 0.59197002 0.66423983 6.23056959
40 1 1.21413276 0.6 0.72847966 6.83313919
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