Presentación Slideshare (Medidas de Tendencia). Estadística MV Autor: Alexis Melendez 20764378

1. MEDIDAS DE TENDENCIA
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Sede Barcelona
Ingeniería en mantenimiento mecánico
Estadística
Autor:
Alexis Melendez C.I: 20.764.378
Sección MV

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central son cifras estadísticas que buscan
resumir en un solo valor a un conjunto de datos. Representan un
centro en torno al cual se encuentran ubicados los valores. Las mas
utilizadas son la media, la mediana y la moda. Son importantes porque
permiten:
- Encontrar un valor representativo
- Condensar información
- Hacer comparaciones
- Hacer análisis estadísticos mas profundos basados en estas medidas

3. PROMEDIOS MATEMÁTICOS
• Media aritmética: es un promedio estándar que a menudo se denomina promedio.
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
La media aritmética del arreglo 2,4,6,8,10,11 es:
𝑥 =
𝑖=1
6
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 11
6
= 6.8333
TIPOS DE PROMEDIOS

4. • Media ponderada: se emplea cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una
importancia relativa o peso respecto de los demás datos.
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 𝑤𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑤𝑖
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑦 𝑤𝑖 𝑠𝑢𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠
Por ejemplo: si se sabe que en un salón de clases hay 18 hembras y 25 varones, y que el promedio
de notas de las hembras es de 15.3431 y el promedio de nota de los varones es de 12.4423, ¿cuál es
el promedio de notas del salón?
El promedio de notas del salón es:
𝑥 =
(15.3431 ∗ 18) + (12.4423 ∗ 25)
18 + 25
= 13.6566

5. • Media geométrica: es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos
de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto, entre otros.
𝑥 =
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
Por ejemplo: una empresa quiere saber la proporción de mujeres en los diferentes departamentos. Para
ello se recoge el porcentaje de mujeres en los cinco principales departamentos.
La media de los porcentajes es:
𝑥 =
5
32.6 ∗ 53.5 ∗ 28.9 ∗ 48.2 ∗ 67.4 = 43.94%

6. • Media armónica: si Xi son los valores de una media aritmética, entonces la media armónica será el reciproco
de la media aritmética de los recíprocos. Es recomendada para promediar velocidades.
𝐻 =
𝑛
𝑖=1
𝑛 1
𝑥𝑖
Por ejemplo: se esta estudiando la velocidad promedio de los vehículos en una vía de longitud d. Para estudiar
este parámetro se necesitan un numero n de vehículos que realicen el recorrido bajo condiciones semejantes
en un tiempo ti, entonces:
𝑣 =
𝑑
𝑡
=
𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛 𝑡𝑖
𝑛
𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖 = 𝑑, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑣 =
𝑑
𝑖=1
𝑛 𝑡𝑖
𝑛
=
𝑛𝑑
𝑖=1
𝑛
𝑡𝑖
𝑡𝑖 =
𝑑𝑖
𝑣𝑖
=
𝑑
𝑣𝑖
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑣 =
𝑛𝑑
𝑖=1
𝑛 𝑑
𝑣𝑖
=
𝑛
𝑖=1
𝑛 1
𝑣𝑖
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑖, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝒗 =
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏 𝟏
𝒗𝒊

7. • Media cuadrática: es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable. Es la raíz
cuadrada de la media aritmética del cuadrado de los valores. Se emplea para determinar el valor
eficaz de una corriente alterna o la velocidad de un gas ideal
𝑥 𝑅𝑀𝑆 =
2
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2
𝑛
• Media generalizada: también conocidas como medias de Holder, son una abstracción de las
medias cuadráticas, aritméticas, geométricas y armónicas. Se agrupan en la siguiente expresión:
𝑥 𝑚 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑚
1
𝑚
𝑚 → ∞ 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑚 = 2 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎,
𝑚 = 1 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑚 → 0 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎,
𝑚 = −1 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑚 → −∞ 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

8. PROMEDIOS ESTADÍSTICOS
• Media poblacional: valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.
• Media muestal: se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una
variable aleatoria.
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
=
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥 𝑛
𝑛

9. La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por 𝑀 𝑂 . Su calculo es muy
sencillo y de facil interpretacion. Su valor es independiente de la mayor parte de los datos por lo
que es muy sensible a variaciones muestrales, puede haber mas de una moda en caso de que dos o
mas valores presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).
Ejemplo: las edades de los alumnos de primer grado de la escuela ABC son: 5,5,5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,
7, 7, 8.
La distribución es unimodal, hay un solo valor con una frecuencia máxima, en este caso la edad 6
años es la mas frecuente en primer grado (7 alumnos).
MODA
Edad Frecuencia absoluta
5 3
6 7
7 2
8 1

10. MEDIANA
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuándo estos están ordenados. Se
representa con 𝑀𝑒. Si hay 𝑛 cantidad de términos 𝑥𝑖 en una distribución, la mediana esta dada por:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = 𝑥(𝑛+1)
2
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 (𝑛 𝑝𝑎𝑟) =
𝑥 𝑛
2
+ 𝑥 𝑛
2+1
2
Para el ejemplo anterior ordenamos los datos y determinamos la mediana:
𝑥1 = 5 𝑥2= 5 𝑥3 = 5 𝑥4 = 6 𝑥5 = 6 𝑥6 = 6 𝑥7 = 6
𝑥8 = 6 𝑥9 = 6 𝑥10 = 6 𝑥11 = 7 𝑥12 = 7 𝑥13 = 1
𝑛 = 13
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = 𝑥 𝑛+1
2
= 𝑥 13+1
2
= 𝒙 𝟕 = 𝟔

11. Muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes
puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media; cuanto mayor sea ese valor mayor sera la
variabilidad o dispersion.
• Rango: es la diferencia entre el valor maximo y valor minimo en un grupo de numeros aleatorios. Ej:
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Series simples
Xi Fi
23 2
24 4
25 6
28 2
30 2
38 1
Rango = 38 – 23 = 15
Series agrupadas
Intervalo Xi Fi
[0-5) 2.5 3
[5-10) 7.5 1
[10-15) 12.5 5
[15-20) 17.5 6
[20-25) 22.5 9
[25-30) 27.5 2
Rango = Limite superior – Limite inferior 30 – 0 = 30

12. • Varianza: mide la dispersion de los de los valores respecto a un valor central (media). Es el cuadrado de la
desviación estándar.
Series simples:
𝜎2 =
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖
Series agrupadas:
𝜎2=
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2
𝑓𝑖
𝑛
− 𝑥2
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑓 𝑖
𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑠
𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒
𝑓 𝑖
𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑛

13. • Desviación estándar: informa sobre la dispersion de los datos respecto al valor de su media, cuanto mayor
sea su valor, mas disperses estarán los datos.
Series simples:
𝜎 =
2
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖
Series agrupadas:
𝜎 =
2
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2 𝑓𝑖
𝑛
− 𝑥2
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑓 𝑖
𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑠
𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒
𝑓 𝑖
𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖 𝑥𝑖
𝑛

14. • Coeficiente de variación: permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus
medias sean positivas. Esta dado por la siguiente expresion:
𝐶. 𝑉 =
𝜎
𝑥
100%
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝜎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟
𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎

15. Ejemplo (series simples): determinar la varianza, la desviacion estandar y el coeficiente de variacion de la
siguiente serie: 23, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 28, 28, 30, 30, 38.
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝜎2 =
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖
=
223.0588
17
= 𝟏𝟑. 𝟏𝟐𝟏𝟏
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝜎 =
2
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑖
= 𝟑. 𝟔𝟐𝟐 𝐶. 𝑉 =
𝜎
𝑥
100% =
3.622
17
𝑥100% = 𝟐𝟏%
Series simples
Xi Fi Xi*Fi Xi-x ̅ Fi(Xi-x ̅)^2
23 2 46 -3.2353 20.9343
24 4 96 -2.2353 19.9862
25 6 150 -1.2353 9.1557
28 2 56 1.7647 6.2284
30 2 60 3.7647 28.3460
38 1 38 11.7647 138.4083
∑ 17 446 223.0588
x ̅ 26.2353

16. Ejemplo (series agrupadas): determinar la varianza, la desviación estandar y el coeficiente de variacion de la serie mostrada en la
tabla:
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝜎2 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2 𝑓𝑖
𝑛
− 𝑥2 =
𝟖𝟕𝟔𝟐. 𝟓
𝟐𝟔
− 𝟏𝟔. 𝟗𝟐𝟑𝟏 𝟐 = 𝟓𝟎. 𝟔𝟐𝟕𝟗
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝜎 ==
2
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2 𝑓𝑖
𝑛
− 𝑥2 = 𝟕. 𝟏𝟏𝟓𝟑 𝐶. 𝑉 =
𝜎
𝑥
100% =
7.1153
16.9231
𝑥100% = 𝟒𝟐. 𝟎𝟒%
Series agrupadas
Intervalo Xi Fi Xi*Fi (x^2)*f
[0-5) 2.5 3 7.5000 18.7500
[5-10) 7.5 1 7.5000 56.2500
[10-15) 12.5 5 62.5000 781.2500
[15-20) 17.5 6 105.0000 1837.5000
[20-25) 22.5 9 202.5000 4556.2500
[25-30) 27.5 2 55.0000 1512.5000
∑ 26 440 8762.5000
x ̅ 16.9231

17. MEDIDAS DE POSICIÓN
Dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo numero de elementos. Es necesario ordenar los datos
de menor a mayor antes de calcular las medidas de posicion.
• Cuartiles: son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro
partes iguales. Para determinar los cuartiles:
𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑄𝑖: 𝑗 =
𝑖 𝑥 𝑛 + 1
4
, 𝑖 = 1, 2, 3
𝑆𝑖 𝑗 𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑄𝑖 = 𝑥𝑗
𝑆𝑖 𝑗 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑒𝑛𝑑𝑒𝑎 𝑎 𝑗 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑄𝑖 =
𝑥𝑗 + 𝑥𝑗+1
2
E 𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎 𝑗 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑄𝑖 = 𝑥𝑗

18. • Percentiles: son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles
dan los valores correspondientes 1%, 2%, 3%, …, 99% de los datos, es decir, nos indican el
porcentaje de datos que se encuentran por debajo del percentil calculado. Se indican con 𝑃𝑘
donde 𝑘 es el percentil que se desea conocer. Es necesario ordenar los datos antes de calcularlos,
están dados por la siguiente expresión:
𝑃 𝐾 =
𝑘𝑛
100
,
Ejemplo: hallar los cuartiles y los percentiles 30% 60% y 90% de la siguiente serie: 50, 100, 150,
200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, 650, 700, 750, 800, 850, 900, 950, 1000.
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑄1: 𝑗 =
1 𝑥 20 + 1
4
= 5.25 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑄1 = 𝑥5 = 250
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑄2: 𝑗 =
2 𝑥 20 + 1
4
= 10.5 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑄2 =
𝑥10 + 𝑥11
2
= 525
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑄3: 𝑗 =
3 𝑥 20 + 1
4
= 15.75 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑄3 = 𝑥16 = 800

19. 𝑃30% =
30𝑥20
100
= 6 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃30% = 𝑥6 = 300
𝑃60% =
60𝑥20
100
= 12 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃60% = 𝑥12 = 600
𝑃90%=
90𝑥20
100
= 18 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃90% = 𝑥18 = 900
CONCLUSIÓN
Las medidas de tendencia central, dispersión y posición proporcionan herramientas para el análisis y
procesamiento de datos. Al manejar cantidades masivas de información las medidas de tendencia
central como la media, mediana y moda permiten condensar información, encontrar valores
representativos y hacer comparaciones. Las medidas de dispersión por su parte son necesarias para
determinar la confiabilidad de un promedio y para controlar y medir la variabilidad de una serie. Por
último las medidas de posición ayudan a caracterizar las distribuciones de frecuencias de las variables
mediante pocos valores números. Estas medidas arrojan una serie de resultados que permiten al
investigador llegar a conclusiones sobre la materia de estudio.

20. Medidas de tendencia central. (s.f). En Wikipedia. Recuperado el 17 de marzo de 2017 de https://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_tendencia_central
Karuna. What is the importance of Measures of Central Tendency in Statistics? Recuperado de http://www.preservearticles.com/
Media Geométrica. Recuperado de http://www.universoformulas.com
¿Por qué usar la media armónica?. Recuperado de https://statisticalissues.wordpress.com
Medidas de dispersión. (s.f). En Wikipedia. Recuperado el 17 de marzo de 2017 de https://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_dispersi%C3%B3n
Significance Of Measuring Dispersion. Recuperado de http://www.tutorhelpdesk.com
Medidas de Posición. Recuperado de http://www.ditutor.com
María Belda. Medidas de posición. Recuperado de http://www.monografias.com
BIBLIOGRAFÍA