1. Estructuras Discretas I Conjuntos Jesús J Nelo P C.I 17.227.486

2. Conjuntos Definición: Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos. Conjunto Universal Se llaconjunto universal, conjunto referencial o universo del discurso al conjunto formado por todos los elementos que estan en discusión, Se denota con la letra U Ejemplo: Consideremos el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números naturales.

3. Generalmete, los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan minúsculas como a,b,c,d,x,y,z , etc. Gráficamente al conjunto universal se denota o representa mediante un rectángulo, Cualquier otro conjunto A es representado por una región cerrada, dentro del rectángulo este tipo de grafico se le conoce como diagrama de Venn U A

4. Si x es un elemento y A es un conjunto, la expresión x Î A, se lee "x pertenece a A" o x es un elemento de A". Su negación la escribiremos así: x Ï A la cual significa que x no está en A o no pertenece a A. Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. Por Extension: Cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno. Ejemplo: A={1,3,5,7} B={a,x,y,z,w} Por Comprensión: Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada. A = {n N / 1£ n £ 5} (Todos los números naturales mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5)

5. Conjunto Potencia Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto. Ejemplo: Si tenemos un conjunto {a,b,c}: Entonces un subconjunto podría ser {a} o {b}, o {a,c}, sucesivamente,y {a,b,c} es también un subconjunto {a,b,c} y y el conjunto vacío {} es también un subconjunto de {a,b,c} Entonces todos los subconjuntos juntos harían el Conjunto Potencia P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

6. Igualdad de Conjuntos Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales. El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son igual. Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B ↔ A A = B Û A Ì B Ù B Ì A Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la definición de inclusión y de la siguiente equivalencia: (x Î A Û x Î B ) º ( x Î A Þ x Î B ) Ù ( x Î B Þ x Î A )

7. Unión e intersección de conjuntos Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjunto: A U B = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B} Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B. Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces, A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14} Propiedades de la Unión de Conjuntos Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades: i. A U A = A ii. A U U = U iii. A U f = A iv. AUB = BUA

8. Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el conjunto: A I B = { xÎ U / xÎ A Ù xÎ B} Es decir, los elementos que están en A y también están en B. Propiedades de la Intersección de Conjuntos Sean A y B conjuntos, luego se cumple: i. A I A = A , " A ii. A I U = A , donde U es el conjunto universal iii. A I f = f iv. A I B = B I A

9. Diferencia y Complemento Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B como el siguiente conjunto: A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son todos los elementos que están en A pero que no están en B. Ejemplo: Consideremos los conjuntos A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18} Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18}

14. Producto Cartesiano Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B} Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8} entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)} mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)} Nótese que Ax B ¹ Bx A Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces: A x B = F Û A = F Ú B = F A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C) Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C) Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)

15. Operaciones Generalizadas Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto. Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I. Ejemplo Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por extensión cada miembro de la familia. Solución La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales . Algunos de los miembros de la familia son: Ahora definamos la unión e intersección de una familia indizada de conjuntos:

16. Definición Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define La unión de esta familia como el conjunto La intersección de esta familia como el conjunto Partición Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si: Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X. Ejemplo Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

17. Cardinalidad Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos. Definición: Sea A un conjunto finito. Se dice que: i. El cardinal de A es 0 si A =f. ii. El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos