En la minería subterránea (Underground Mining) o minería superficial (Open Pit Mining) es imprescindible el uso de la Geoestadistica, para predecir la mineralizacion (leyes) en los ejes (x,y,z) de un respectivo yacimiento económicamente rentable. En esta presentación se expone que: para estimar la ley en un determinado punto de coordenadas (x,y,z) se hace uso de la Geoestadistica (Kriging) apoyado con potentes herramientas del álgebra lineal para su respectiva solución. (caso practico aplicado en mina de oro).

1. GEOESTADISTICA
APLICADO A LA MINERIA
Aplicación practica de Kriging caso Mina
de Oro, para la estimación de ley
promedio mediante parámetros
geoestadisticos.
Ing de Minas:. Ccalla Aparicio Joel
14-08-19

2. El krigeaje o krigeado, denominado también regresión en procesos Gaussianos, es un método geoestadistico de
estimación de puntos. Utiliza un modelo de variograma para la obtención de los ponderadores que se darán a cada punto
de referencias usados en la estimación esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación espacial
continúa con el mismo patrón, fue desarrollada inicialmente por Danie G. Krige a partir del análisis de regresión entre
muestras y bloques de mena, las cuales fijaron la base de la geoestadística lineal.
El kriging puede ser entendido como una predicción lineal o una forma de inferencia bayesiana, Parte del
principio: puntos próximos en el espacio tienden a tener valores más parecidos que los puntos más distantes. La técnica
de kriging asume que los datos recogidos de una determinada población se encuentran correlacionados en el espacio.
Se considera al método de kriging del tipo MELI (Mejor Estimador Lineal Insesgado) o ELIO (Estimador Lineal Insesgado
Óptimo): es lineal porque sus estimaciones son combinaciones lineales ponderadas de los datos existentes; y es
insesgado porque procura que la media de los errores (desviaciones entre el valor real y el valor estimado) sea nula; es el
mejor (óptimo) porque los errores de estimación tienen una variancia (variancia de estimación) mínima, el
término kriging abarca una serie de métodos.
Tipos de Kriging
Kriging simples
Asume que las medias locales son relativamente constantes y de valor muy semejante a la media de la población que es
conocida. La media de la población es utilizada para cada estimación local, en conjunto con los puntos vecinos
establecidos como necesarios para la estimación.
Kriging ordinario
Las medias locales no son necesariamente próximas de la media de la población, usándose apenas los puntos vecinos
para la estimación. Es el método más ampliamente utilizado en los problemas ambientales.
Cokriging
Es una extensión de las situaciones anteriores en las que dos o más variables tienen una dependencia espacial y esa
variable se estima que no se muestra con la intensidad con la que otros son variables dependientes, con estos valores y
sus dependencias para estimar la variable requiere.
Kriging

3. Ejemplo
E N Ley
Z1 300 150 15,4
Z2 450 100 11,32
Z3 500 200 9,2
Z4 600 250 8,9
Z5 450 300 10,2
Z6 400 400 11,8
Z7 300 350 13,4
Z8 150 350 10,7
Z9 100 100 12,7
Zo 250 250 Zo
Datos
Co 18 m
a 240 m
v 1
C 57 m
Se tiene un conjunto de nueve muestras de un
deposito de Oro (Au) en gr/TM, las leyes son Z1 =
15,4; Z2 = 11,32; Z3 = 9,20; Z4 = 8,90; Z5 = 10,20;
Z6 = 11,80; Z7 = 13,40; Z8 = 10,70; Z9 = 12,70. Se
requiere calcular la ley en el punto Z0, como se indica
en la figura. El variograma se ajusta al modelo
matemático del tipo esférico con efecto pepita
(nugett) C0 = 18 con un alcance a = 240 y una
meseta C = 57.
(100,100)
Se detalla las coordenadas

4. h12 = 158,114 h < a h47 = 316,228 h > a
h13 = 206,155 h < a h48 = 460,977 h > a
h14 = 316,228 h > a h49 = 522,015 h > a
h15 = 212,132 h < a h56 = 111,803 h < a
h16 = 269,258 h > a h57 = 158,114 h < a
h17 = 200 h < a h58 = 304,138 h > a
h18 = 250 h > a h59 = 403,113 h > a
h19 = 206,155 h < a h67 = 111,803 h < a
h23 = 111,803 h < a h68 = 254,951 h > a
h24 = 212,132 h < a h69 = 424,264 h > a
h25 = 200 h < a h78 = 150 h < a
h26 = 304,138 h > a h79 = 320,156 h > a
h27 = 291,548 h > a h89 = 254,951 h > a
h28 = 390,512 h > a ho1 = 111,803 h < a
h29 = 350 h > a ho2 = 250 h > a
h34 = 111,803 h < a ho3 = 254,951 h > a
h35 = 111,803 h < a ho4 = 350 h > a
h36 = 223,607 h < a ho5 = 206,155 h < a
h37 = 250 h > a ho6 = 212,132 h < a
h38 = 380,789 h > a ho7 = 111,803 h < a
h39 = 412,311 h > a ho8 = 141,421 h < a
h45 = 158,114 h < a ho9 = 212,132 h < a
h46 = 250 h > a
1: Se procede a calcular las distancias entre los puntos
h
h
h
h
h
ho1= 𝑿 𝟎 − 𝑿 𝟏
𝟐 + (𝒀 𝟎 − 𝒀 𝟏) 𝟐
En las distancias calculadas se debe tener en
cuenta la condición del alcance a = 240 m, para
aplicar el criterio de Matheron.

5. σ12 = 66,179 h < a σ47 = 75 h > a
σ13 = 73,380 h < a σ48 = 75 h > a
σ14 = 75 h > a σ49 = 75 h > a
σ15 = 73,892 h < a σ56 = 54,949 h < a
σ16 = 75 h > a σ57 = 66,179 h < a
σ17 = 72,757 h < a σ58 = 75 h > a
σ18 = 75 h > a σ59 = 75 h > a
σ19 = 73,380 h < a σ67 = 54,949 h < a
σ23 = 54,949 h < a σ68 = 75 h > a
σ24 = 73,892 h < a σ69 = 75 h > a
σ25 = 72,757 h < a σ78 = 64,479 h < a
σ26 = 75 h > a σ79 = 75 h > a
σ27 = 75 h > a σ89 = 75 h > a
σ28 = 75 h > a σo1 = 54,949 h < a
σ29 = 75 h > a σo2 = 75 h > a
σ34 = 54,949 h < a σo3 = 75 h > a
σ35 = 54,949 h < a σo4 = 75 h > a
σ36 = 74,610 h < a σo5 = 73,380 h < a
σ37 = 75 h > a σo6 = 73,892 h < a
σ38 = 75 h > a σo7 = 54,949 h < a
σ39 = 75 h > a σo8 = 62,550 h < a
σ45 = 66,179 h < a σo9 = 73,892 h < a
σ46 = 75 h > a
2: De acuerdo al criterio de Matheron se halla los valores para la matriz
𝜸 𝒉 = 𝒄𝒐 + 𝒄
3
2
𝒙
𝒉
𝒂
−
1
2
𝒙
𝒉
𝒂
3
; 0 ≤ 𝒉 ≤ 𝒂
𝜸 𝒉 = 𝒄𝒐 + 𝒄 ; 𝒉 > 𝒂
𝜸 𝒉 = σ(h)

6. 𝝈 𝟏𝟏 𝝀 𝟏 + 𝝈 𝟏𝟐 𝝀 𝟐 + 𝝈 𝟏𝟑 𝝀 𝟑 + 𝝈 𝟏𝟒 𝝀 𝟒 + 𝝈 𝟏𝟓 𝝀 𝟓 + 𝝈 𝟏𝟔 𝝀 𝟔 + 𝝈 𝟏𝟕 𝝀 𝟕 + 𝝈 𝟏𝟖 𝝀 𝟖 + 𝝈 𝟏𝟗 𝝀 𝟗 + 𝒗 = 𝝈 𝟎𝟏
𝝈 𝟐𝟏 𝝀 𝟏 + 𝝈 𝟐𝟐 𝝀 𝟐 + 𝝈 𝟐𝟑 𝝀 𝟑 + 𝝈 𝟐𝟒 𝝀 𝟒 + 𝝈 𝟐𝟓 𝝀 𝟓 + 𝝈 𝟐𝟔 𝝀 𝟔 + 𝝈 𝟐𝟕 𝝀 𝟕 + 𝝈 𝟐𝟖 𝝀 𝟖 + 𝝈 𝟐𝟗 𝝀 𝟗 + 𝒗 = 𝝈 𝟎𝟐
𝝈 𝟑𝟏 𝝀 𝟏 + 𝝈 𝟑𝟐 𝝀 𝟐 + 𝝈 𝟑𝟑 𝝀 𝟑 + 𝝈 𝟑𝟒 𝝀 𝟒 + 𝝈 𝟑𝟓 𝝀 𝟓 + 𝝈 𝟑𝟔 𝝀 𝟔 + 𝝈 𝟑𝟕 𝝀 𝟕 + 𝝈 𝟑𝟖 𝝀 𝟖 + 𝝈 𝟑𝟗 𝝀 𝟗 + 𝒗 = 𝝈 𝟎𝟑
𝝈 𝟒𝟏 𝝀 𝟏 + 𝝈 𝟒𝟐 𝝀 𝟐 + 𝝈 𝟒𝟑 𝝀 𝟑 + 𝝈 𝟒𝟒 𝝀 𝟒 + 𝝈 𝟒𝟓 𝝀 𝟓 + 𝝈 𝟒𝟔 𝝀 𝟔 + 𝝈 𝟒𝟕 𝝀 𝟕 + 𝝈 𝟒𝟖 𝝀 𝟖 + 𝝈 𝟒𝟗 𝝀 𝟗 + 𝒗 = 𝝈 𝟎𝟒
𝝈 𝟓𝟏 𝝀 𝟏 + 𝝈 𝟓𝟐 𝝀 𝟐 + 𝝈 𝟓𝟑 𝝀 𝟑 + 𝝈 𝟓𝟒 𝝀 𝟒 + 𝝈 𝟓𝟓 𝝀 𝟓 + 𝝈 𝟓𝟔 𝝀 𝟔 + 𝝈 𝟓𝟕 𝝀 𝟕 + 𝝈 𝟓𝟖 𝝀 𝟖 + 𝝈 𝟓𝟗 𝝀 𝟗 + 𝒗 = 𝝈 𝟎𝟓
𝝈 𝟔𝟏 𝝀 𝟏 + 𝝈 𝟔𝟐 𝝀 𝟐 + 𝝈 𝟔𝟑 𝝀 𝟑 + 𝝈 𝟔𝟒 𝝀 𝟒 + 𝝈 𝟔𝟓 𝝀 𝟓 + 𝝈 𝟔𝟔 𝝀 𝟔 + 𝝈 𝟔𝟕 𝝀 𝟕 + 𝝈 𝟔𝟖 𝝀 𝟖 + 𝝈 𝟔𝟗 𝝀 𝟗 + 𝒗 = 𝝈 𝟎𝟔
𝝈 𝟕𝟏 𝝀 𝟏 + 𝝈 𝟕𝟐 𝝀 𝟐 + 𝝈 𝟕𝟑 𝝀 𝟑 + 𝝈 𝟕𝟒 𝝀 𝟒 + 𝝈 𝟕𝟓 𝝀 𝟓 + 𝝈 𝟕𝟔 𝝀 𝟔 + 𝝈 𝟕𝟕 𝝀 𝟕 + 𝝈 𝟕𝟖 𝝀 𝟖 + 𝝈 𝟕𝟗 𝝀 𝟗 + 𝒗 = 𝝈 𝟎𝟕
𝝈 𝟖𝟏 𝝀 𝟏 + 𝝈 𝟖𝟐 𝝀 𝟐 + 𝝈 𝟖𝟑 𝝀 𝟑 + 𝝈 𝟖𝟒 𝝀 𝟒 + 𝝈 𝟖𝟓 𝝀 𝟓 + 𝝈 𝟖𝟔 𝝀 𝟔 + 𝝈 𝟖𝟕 𝝀 𝟕 + 𝝈 𝟖𝟖 𝝀 𝟖 + 𝝈 𝟖𝟗 𝝀 𝟗 + 𝒗 = 𝝈 𝟎𝟖
𝝈 𝟗𝟏 𝝀 𝟏 + 𝝈 𝟗𝟐 𝝀 𝟐 + 𝝈 𝟗𝟑 𝝀 𝟑 + 𝝈 𝟗𝟒 𝝀 𝟒 + 𝝈 𝟗𝟓 𝝀 𝟓 + 𝝈 𝟗𝟔 𝝀 𝟔 + 𝝈 𝟗𝟕 𝝀 𝟕 + 𝝈 𝟗𝟖 𝝀 𝟖 + 𝝈 𝟗𝟗 𝝀 𝟗 + 𝒗 = 𝝈 𝟎𝟗
𝝀 𝟏 + 𝝀 𝟐 + 𝝀 𝟑 + 𝝀 𝟒 + 𝝀 𝟓 + 𝝀 𝟔 + 𝝀 𝟕 + 𝝀 𝟖 + 𝝀 𝟗 + 𝟎 = 𝟏
3: De acuerdo al numero de muestras el sistema de ecuaciones será del orden
de 10 x 10

7. 0 66,179 73,380 75 73,892 75 72,757 75 73,380 1
66,179 0 54,949 73,892 72,757 75 75 75 75 1
73,380 54,949 0 54,949 54,949 74,610 75 75 75 1
75 73,892 54,949 0 66,179 75 75 75 75 1
73,892 72,757 54,949 66,179 0 54,949 66,179 75 75 1
75 75 74,610 75 54,949 0 54,949 75 75 1
72,757 75 75 75 66,179 54,949 0 64,479 75 1
75 75 75 75 75 75 64,479 0 75 1
73,380 75 75 75 75 75 75 75 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
54,949
75
75
75
73,380
73,892
54,949
62,550
73,892
1
4: Se procede a ordenar el sistema de ecuaciones de acuerdo a lo anterior
expuesto.
Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones existen varios métodos, en esta sección se
aplicara la potente herramienta del algebra lineal, para su respectiva solución.
.:. Método por matriz inversa
𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒏𝒙𝒎
−𝟏

8. -0,012056 0,002961 0,000538 0,001428 0,001061 0,001058 0,001478 0,001533 0,002000 0,130488
0,002961 -0,013466 0,004939 0,000412 0,000093 0,001250 0,000912 0,001417 0,001481 0,115859
0,000538 0,004939 -0,016253 0,004597 0,004571 -0,000352 0,000287 0,000822 0,000851 0,064662
0,001428 0,000412 0,004597 -0,013090 0,001569 0,000961 0,000964 0,001527 0,001632 0,124694
0,001061 0,000093 0,004571 0,001569 -0,015161 0,004665 0,001400 0,000814 0,000987 0,075742
0,001058 0,001250 -0,000352 0,000961 0,004665 -0,014370 0,004585 0,000791 0,001411 0,107573
0,001478 0,000912 0,000287 0,000964 0,001400 0,004585 -0,013995 0,003182 0,001187 0,091423
0,001533 0,001417 0,000822 0,001527 0,000814 0,000791 0,003182 -0,011916 0,001831 0,139777
0,002000 0,001481 0,000851 0,001632 0,000987 0,001411 0,001187 0,001831 -0,011379 0,149782
0,130488 0,115859 0,064662 0,124694 0,075742 0,107573 0,091423 0,139777 0,149782 -63,554904
x
54,949
75
75
75
73,380
73,892
54,949
62,550
73,892
1
-0,012056 0,002961 0,000538 0,001428 0,001061 0,001058 0,001478 0,001533 0,002000 0,130488
0,002961 -0,013466 0,004939 0,000412 0,000093 0,001250 0,000912 0,001417 0,001481 0,115859
0,000538 0,004939 -0,016253 0,004597 0,004571 -0,000352 0,000287 0,000822 0,000851 0,064662
0,001428 0,000412 0,004597 -0,013090 0,001569 0,000961 0,000964 0,001527 0,001632 0,124694
0,001061 0,000093 0,004571 0,001569 -0,015161 0,004665 0,001400 0,000814 0,000987 0,075742
0,001058 0,001250 -0,000352 0,000961 0,004665 -0,014370 0,004585 0,000791 0,001411 0,107573
0,001478 0,000912 0,000287 0,000964 0,001400 0,004585 -0,013995 0,003182 0,001187 0,091423
0,001533 0,001417 0,000822 0,001527 0,000814 0,000791 0,003182 -0,011916 0,001831 0,139777
0,002000 0,001481 0,000851 0,001632 0,000987 0,001411 0,001187 0,001831 -0,011379 0,149782
0,130488 0,115859 0,064662 0,124694 0,075742 0,107573 0,091423 0,139777 0,149782 -63,554904
5: Método por MATRIZ
INVERSA
𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒏𝒙𝒎
−𝟏
6: Para encontrar los valores Sera: 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒏𝒙𝒎
−𝟏
x 𝑻𝑰

9. 𝒁𝒐 = 𝝀1 𝒙 𝒁1 + 𝝀2 𝒙 𝒁2 + 𝝀3 𝒙 𝒁3 + 𝝀4 𝒙 𝒁4 + 𝝀5 𝒙 𝒁5 + 𝝀6 𝒙 𝒁6 + 𝝀7 𝒙 𝒁7 + 𝝀8 𝒙 𝒁8 + 𝝀9 𝒙 𝒁9
λ1 = 0,3184
λ2 = 0,0174
λ3 = 0,0299
λ4 = 0,0523
λ5 = 0,0346
λ6 = -0,0086
λ7 = 0,2941
λ8 = 0,1894
λ9 = 0,0725
v = 4,8474
Z1 = 15,4
Z2 = 11,32
Z3 = 9,2
Z4 = 8,9
Z5 = 10,2
Z6 = 11,8
Z7 = 13,4
Z8 = 10,7
Z9 = 12,7
7: Resultados
La ley en el punto Zo
esta representado por
12,981 gr/TM.
Zo = 12,981 gr/TM de Au