Este documento describe un proyecto educativo sobre fractales y la sucesión de Fibonacci. El proyecto se llevará a cabo con estudiantes de 6to año y consistirá en varias etapas que incluyen investigación, actividades prácticas utilizando aplicaciones y herramientas digitales, y la creación de una exhibición final sobre fractales. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor las matemáticas y su relación con la naturaleza a través de un enfoque práctico y colaborativo.

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La Aventura de la
Complejidad
Johana Burgos
Instituto de Formación Docente N°41
2018
Redin Alejandra

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Tabla de contenido
Introducción.......................................................................................................................3
Desarrollo...........................................................................................................................4
Contexto, Etapa Educativa y
Participantes…………………………………………..4
Objetivos del
Proyecto….……………………………………………………………...4
Contenido curricular por
materia………………………………………………………4
Metodología didáctica …………………………………………………………………5
Etapas de
trabajo……………………………………………………………………….6
Requisitos materiales y humanos…………………………………………………..20
Temporización………………………………………………………………………..20
Artefactos y herramienta digitales………………………………………………….21
Producción Final………………………………………………………………………22
Socialización ……………………………………….…………………………………………23
Evaluación………………………………………………………………………………………24
Conclusión………………………………………………………………………………………26
Fuentes Consultadas………………………………………………………………………….27

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INTRODUCCIÓN
Este Proyecto recibe el nombre de “La aventura de la Complejidad1”, ya que tiene como
finalidad que los alumnos a través de diferentes experiencias logren establecer diversas
relaciones entre la Naturaleza y la Matemática.
Se analizarán la sucesión de Fibonacci, así como también la presencia de Fractales a
nuestros alrededores.
Antecedentes
El matemático italiano Fibonacci tropezó con la famosa sucesión que lleva su nombre. La
humanidad más tarde encontró esta sucesión de Fibonacci en diversas manifestaciones
de la naturaleza, desde el patrón de crecimiento de un helecho hasta el trino de las aves,
la disposición de los pétalos en las flores, la estructura del caparazón de ciertos moluscos
y la espiral de una galaxia en el universo, por nombrar solo algunos entre cientos de
ejemplos. La sucesión de Fibonacci es una de las formas matemáticas para encontrar el
denominador común entre los patrones y los diseños de la naturaleza.
Los fractales y la teoría del caos han contribuido a revelar de manera sencilla estructuras
complejas de la naturaleza que parecían escaparse al lenguaje de las matemáticas
tradicionales, desde el plegado del genoma humano hasta la distribución de las galaxias,
desde los ritmos cardíacos hasta al movimiento extraño de pequeños satélites en el
sistema solar.
Ilustración 1Collage de Fractales CC BY-SA 3.0
1
Nombre original, tomado de la Setmana de la Ciència.

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DESARROLLO
I) Contexto, Etapa Educativa y Participantes
El método ABP parte de la idea de que el estudiante aprende de un modo más
adecuado cuando tiene la posibilidad de experimentar, ensayar o, sencillamente,
indagar sobre la naturaleza de fenómenos y actividades cotidianas. Así, las
situaciones problema que son la base del método se basan en situaciones complejas
del mundo real.
Al mismo tiempo permite que todos los alumnos puedan aprender, de manera
inclusiva, construyendo socialmente el conocimiento.
En base a lo anterior, este proyecto tiene como destinatarios a los alumnos de 6° año
de secundaria. Los cuales encuentran en la etapa final de la educación secundaria, y
han percibido a la Matemática como una materia abstracta. Mi objetivo es cambiar la
concepción antes de finalizar el año, y cerrar este proyecto con una muestra abierta a
la institución.
Se dispondrá un trabajo en grupos, los cuales documentaran su proceso de
aprendizaje a través de un blog. Atravesando por las diferentes puestas, tendrán como
objetivo final hacer una presentación al resto de la institución.
II) Objetivos del Proyecto
• Ofrecer una enseñanza que contribuya al desarrollo de habilidades y
competencias que no quedan satisfechas con una enseñanza más tradicional
• Dar respuesta a necesidades específicas de apoyo educativo
• Motivar al alumnado y mejorar su autoestima
• Promover un aprendizaje crítico y activo y aprender a pensar
• Aumentar la implicación y la autonomía
• Trabajo en equipo. Actitudes y valores
• Comunicación: argumentación y presentación de información.

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III) Contenido Curricular por Materia
• Matemática: Sucesión de Fibonacci, Noción de fractales
• Biología: EJE: en relación con el flujo de la información genética
• Tic: Realidad aumentada, redes sociales educativas
• Arte: En relación con las prácticas de las artes visuales y su
contexto
Metodología Didáctica:
Metodologías Descripción
Flipped Classroom El principal objetivo de esta metodología es
optimizar el tiempo en clase dedicándolo, por
ejemplo, a atender las necesidades especiales de
cada alumno, desarrollar proyectos cooperativos o
trabajar por proyectos.
ABP El ABP permite a los alumnos adquirir
conocimientos y competencias clave a través de la
elaboración de proyectos que dan respuesta a
problemas de la vida real. Partiendo de un problema
concreto y real, en lugar del modelo teórico y
abstracto tradicional, parecen evidentes las mejoras
en la capacidad de retener conocimiento por parte
del alumnado, así como la oportunidad de
desarrollar competencias complejas como el
pensamiento crítico, la comunicación, la
colaboración o la resolución de problemas.
Aprendizaje
Cooperativo
En el aprendizaje cooperativo, el objetivo final es
siempre común y se va a lograr si cada uno de los
miembros realiza con éxito sus tareas. Por su parte
en el Aprendizaje Individual el alumno se focaliza en
conseguir sus objetivos sin tener que depender del

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resto de compañeros.
Aprendizaje
Basado en el
pensamiento
Este es el objetivo del thinking-based learning o
aprendizaje basado en el pensamiento (TBL),
desarrollar destrezas del pensamiento más allá de
la memorización, desarrollar un pensamiento eficaz.
IV) Etapas del trabajo
1° Etapa: Creación de Blog
En la primera etapa, se dará la consiga de formar grupos de 4 o 5 integrantes. Los
cuales deberán armar un blog cada uno, en el cual se volcará un informe por cada
puesta realizada.
2° Etapa: Investigación
Ilustración 2 Screenshot de un buscador propio
En esta etapa del trabajo de dará la consigna de investigar las relaciones que existen
entre las matemáticas y la naturaleza. Lo cual llevará a que varías ramas tiene una
relación con los fractales y la sucesión de Fibonacci.

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3° Etapa: Salida del colegio/investigación
Ilustración 3 Screenshot de Google Maps EES N°15, San José
Esta etapa contará con salir a los alrededores de la Institución, en busca de esas
relaciones que han investigado y documentarlo mediante una fotografía. (Lo cual
quedará documentado en el blog)
4° Etapa: Exploración I
La primera parte de la exploración se dará en el contexto de la página web:
“WOLFRAM”, en donde se podrá ver cómo es la secuencia de los siguientes fractales:
1. El Copo de Koch
Ilustración 4 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones 1°Parte

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Ilustración 5 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones 2° Parte
Ilustración 6 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones Parte Final

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Ilustración 7 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones
2. La curva de Koch
Ilustración 8 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones Parte 1°

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Ilustración 9 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones Parte 2
Ilustración 10 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones Parte3

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3. L a curva de Peano
Ilustración 11 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones Parte 1
Ilustración 12 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones Parte 2

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Ilustración 13 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones Parte 3
4. Un octaedro
Ilustración 14 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones

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15 Screenshot de la página de Wolfram demostraciones
5°Etapa: Exploración II
La segunda parte corresponderán al uso de las siguientes aplicaciones:
A. Test Fractal: analizar un fractal
Ilustración 16 Screenshot de la Aplicación(personal)

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B. Fractal Art: Creación de fractales
Ilustración 17 Screenshot de la aplicación (personal)
6° Etapa: QR Y WallaMe
En esta etapa se les enseñará a como crear un código QR, y como usar WallaMe.
En este momento comenzará la preparación de la muestra final.
Ilustración 18Screenshot de la Presentación/publicidad de WallaMe

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Ilustración 19 Screenshot de la aplicación(personal)
7° Etapa: Creación de Objetos para ver Hologramas a través del celular.
Los chicos tendrán una clase para la creación de un holograma 3D, siguiendo los
siguientes pasos y con simples elementos.
Materiales: 1 tapa de Cd, un cutter, una hoja, un lápiz, y una regla.
Pasos:
1. Hacer un molde, como figura en la imagen a continuación.
Ilustración 20 Foto de Pinterest

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2. Calcar el molde en la tapa de CD.
Ilustración 21 Foto Propia Holograma en Partes
3. Cortar los moldes con cúter, y pegar las partes con silicona. Quedando como
resultado final, la siguiente imagen:
Ilustración 22 Foto Propia Holograma finalizado

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8° Etapa: PREFACTALES 3D
Se les asignará para la muestra la creación de PREFRACTALES en 3D. Cada grupo
tendrá uno diferente. En los cuales encontraremos:
• El triángulo de Sierpinski
Ilustración 23 Imagen del video "fractales" de ISFD 41
• La esponja de Menger
Ilustración 24 Imagen del video "fractales" de ISFD 41

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• El triangulo de Sierpinski cortado.
Ilustración 25 Imagen del video "fractales" de ISFD 41
• Menger Inverso
Ilustración 26 Imagen del video "fractales" de ISFD 41

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• Tetraedro de Koch
Ilustración 27 Imagen del video "fractales" de ISFD 41
9° Etapa
Cada equipo será responsable de crear un código QR para cada PREFRACTAL. Así
como también crearan códigos QR, con videos para poder apreciar los hologramas con
fractales. Una manera distinta para apreciar el maravilloso mundo de la Naturaleza
Fractal.

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Ilustración 28 Foto propia de los QR correspondientes a la esponja de Menger y Sierpinski
10° Etapa Final
Colgaran carteles digitales en diversas partes del salón, brindándole a los visitantes de la
muestra información acerca de los fractales, ya sea por medio de texto o imágenes.
Ilustración 29 Foto propia de la aplicación de WallaMe
En la muestra, los alumnos de 6° año expondrán a través de imágenes sus creaciones de
fractales en 2D, construidas por medio de las aplicaciones trabajadas en clase.
V) Requisitos materiales y humanos:

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• Solicitud/Permiso para poder llevar a los chicos fuera de la institución.
• Acompañamiento de preceptores.
• Celulares/ Netbooks.
• Acceso a Internet
• Cartulinas/ hojas A4.
• Plasticola, tijeras, cúter.
• Tapas de Cd.
• Silicona.
VI) Temporización
Este proyecto se llevará a cabo durante el segundo trimestre, ya que se necesita que
los chicos tengan tiempo para ir trabajando con el blog, e ir subiendo cada meta que
se consiga. El fin de blog, será documentar a través de fotos e informes su
experiencia.
Como actividad final los alumnos de 6°año organizarán una muestra abierta a la
Institución y a la comunidad.
VII) Artefactos y herramientas digitales.
1° FASE DISEÑO
Actividades Artefactos Digitales Herramientas
Presentación de la idea principal
a los compañeros de la
institución
Documento colaborativo Google Drive
Conformación del grupo de
docentes
Documento Colaborativo Google Drive
Primer prototipo Documento colaborativo Google Drive/Presentaciones
Búsqueda en lo externo Repositorio de presentaciones,
Plataforma de intercambio de
experiencias educativas.
Twitter/ G+/ Facebook/Slideshare
Replanificación Documento colaborativo/Red
social
Facebook, G+, Hangout
2° FASE DESARROLLO

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Actividades Artefactos Digitales Herramientas
Plantear el tema/ creación del
Blog
Blog Blogger
Investigación Paginas Web EducAr entre otras.
Establecer relaciones entre lo
investigado y la Naturaleza
mediante imágenes.
Dispositivos
Blog
Cámaras fotográficas / Blogger
Actividades en la web,
Experiencia en el Blog
Página web/Blog Wolfram/Blogger
Actividades en dispositivos
celulares/tablets.
Dispositivos celulares/Blog Netbook
Celular
Tablet
Blogger
Compartir datos a través de
diferentes medios
Realidad aumentada/código de
barras bidimensional
Código QR, WallaME
Creación de un Holograma Tutoriales YouTube
3° FASE DIFUSIÓN
Actividades Artefactos Digitales Herramientas
Publicación de la Fecha de la
Muestra Abierta a la comunidad
Redes sociales Facebook/ Pagina web de la
Institución
Armado de la Muestra Aplicaciones móviles/ Realidad
aumentada/Hologramas
Art Fractales/WallaMe/QR
/Hologramas/YouTube
Redacción personal de la
experiencia en el armado de la
Muestra
Blog Blogger
Redacción personal de la
experiencia completa
Blog Blogger
Presentación del docente sobre
los momentos del Proyecto
Documentos Compartidos Google Drive/
Presentaciones
VIII) Producción Final
Como Producción final, se espera que la Muestra Institucional este compuesta por el
contenido en el Área de Matemática, referido a Fractales. Este proyecto trabajado
durante el segundo trimestre va a contar con el manejo de nuevas Tic incorporadas a
la hora de platear un contenido y exponerlo, compartirlo con la sociedad escolar.

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Socialización
I) En base a tres movimientos
A. Dentro del Aula
El aprendizaje centrado dentro del aula se basa en el aprendizaje cooperativo. Ya que
en todo momento se tiene como objetivo que los alumnos trabajen en grupos, y que
cada integrante tenga un papel a desarrollar dentro de él.
El aprendizaje en este enfoque depende del intercambio de información entre los
estudiantes, los cuales están motivados tanto para lograr su propio aprendizaje como
para acrecentar los logros de los demás. Uno de los precursores de este nuevo
modelo educativo fue el pedagogo norteamericano John Dewey, quien promovía la
importancia de construir conocimientos dentro del aula a partir de la interacción y la
ayuda entre partes en forma sistemática.
Las principales ideas en el aprendizaje cooperativo se pueden definir en:
• Formación de grupos: Estos son grupos heterogéneos, idealmente de 4
miembros con diversos niveles de competencia, donde se debe construir una
identidad de grupo, práctica de la ayuda mutua y la valorización de la
individualidad para la creación de una sinergia.
• Interdependencia positiva: Es necesario promover la capacidad de
comunicación adecuada entre el grupo, para el entendimiento de que el objetivo
es la realización de producciones y que estas deben realizarse de forma
colectiva.
• Responsabilidad individual: El resultado como grupo será finalmente la
consecuencia de la investigación individual de los miembros. Esta se apreciará
en la presentación pública de la tarea realizada.
• Participación equitativa. El trabajo que hay que realizar se distribuye entre todos
los componentes del equipo de forma equitativa (proporcionada a las
posibilidades de cada uno).
• Interacción simultánea. En la resolución de la tarea todos los estudiantes
dialogan, contrastan sus pareceres y toman decisiones consensuadas.

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B. Hacia fuera del aula
Con respecto al aprendizaje hacia fuera del aula, se enfoca en el desarrollo de
propuestas de investigación, aprendizaje-servicio o emprendimiento.
El trabajo de los alumnos con respecto a esta temática se basa en realizar una
investigación que tiene como protagonista a dos palabras: La Naturaleza y La
Matemática. La cual está atravesada por una serie de contenidos que se relacionan,
así como también la experiencia de estar en contacto con “eso” que se investiga.
Aprendizaje Basado en Investigación (ABI) es un enfoque didáctico que permite hacer
uso de estrategias de aprendizaje activo para desarrollar en el estudiante
competencias que le permitan realizar una investigación creativa en el mundo del
conocimiento. Su propósito es vincular los programas académicos con la enseñanza.
Esta vinculación puede ocurrir ya sea como parte de la 2 misión institucional de
promover la interacción entre la enseñanza y la investigación, como rasgo distintivo de
un programa curricular, como parte de la estrategia didáctica en un curso, o como
complemento de una actividad específica dentro de un plan de enseñanza.
Sus objetivos son:
Promover que los alumnos, durante sus años de estudio sean capaces de desarrollar
las habilidades y competencias necesarias para investigar, como son: lectura y
pensamiento crítico, análisis, síntesis, autodirección, capacidad de trabajar por cuenta
propia, liderazgo, innovación, creatividad, utilización adecuada de los recursos
disponibles en biblioteca y medios electrónicos entre otras, con la finalidad de
involucrarlos en el proceso de descubrimiento científico dentro del trabajo del aula en
sus disciplinas específicas, cualquiera que sea su área.
C. Hacia dentro del aula
Esta etapa es para construir “comunidad de aprendizaje” a partir de la participación de
agentes externos en el proceso de aprendizaje.
En este proyecto se toma a las siguientes aplicaciones para la construcción de la
comunidad del aprendizaje: Blogger, WallaMe, Wolfram, Test FRACTAL, QR, y
Aumentaty.

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Evaluación
La evaluación estará presente desde la primera clase que respecta al proyecto, ya que
quedará documentado en el blog personal toda actividad llevada a cabo en el aula.
Del proceso el docente obtendrá 3 calificaciones:
• Con respecto al uso del Blog
• Una calificación grupal
• Y por último será evaluada la presentación final en la muestra abierta a la
comunidad.
Criterios de Evaluación:
• Se tendrá en cuenta el trabajo individual, así como también el trabajo grupal
en los aspectos cooperativo y colaborativo.
• La regularidad en la entrega de las publicaciones del blog.
• El enriquecimiento proporcionado, al igual que la creatividad expuesta en el
blog.
• Predisposición a la hora de proponer cada actividad.
• Seguimiento personal de cada alumno durante el proyecto

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Conclusión
El ABP vista como una auténtica exigencia de los “nuevos tiempos” y como la
necesidad de adaptar nuestra enseñanza a nuestros nuevos modos de vida
(globalización, mercado laboral competitivo, uso intensivo de las TIC, etc.). termina
siendo una declaración explícita en relación con la responsabilidad de ofrecer una
enseñanza acorde con los retos que acometerán nuestros estudiantes en su vida
futura.
Cambiar el método de “como aprendo”, en esta nueva era digital es imposible evitarlo.
Si se quiere una practica enriquecida, en donde los alumnos trabajen acorde a su
generación y aprovechando las herramientas que nos brindan las Tic, el docente
dispone de murales de opiniones y diversos proyectos, los cuales pueden seguir de
guía a la hora de querer llevar esta nueva metodología al aula.
Si retomo lo planteado en la introducción, afirmo que este proyecto puede hacer que el
alumno salga de esa forma de aprender tradicional por la cual paso toda su vida
escolar y se predisponga a esta nueva forma de aprender. En donde el docente es la
figura que acompaña y guía en el proceso de aprendizaje-enseñanza.

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Fuentes consultadas
• Maguregui, C. (26/06/2017). “Las matemáticas se descubrieron o se inventaron”.
EducAr. Recuperado de: https://www.educ.ar/recursos/132016/las-matematicas-se-
descubrieron-o-se-inventaron
• Trujillo, F. (01/03/2013). “Qué aporta el aprendizaje basado en proyectos y cuáles
son las principales dificultades”. Fernando Trujillo. Recuperado de:
http://fernandotrujillo.es/abpintef-que-aporta-principales-dificultades/
• Redín, A. (07/06/2014). “Las TIC en ABP: artefactos digitales”. Web Conectada.
Recuperado de: http://webconectada.tumblr.com/post/88078355412/las-tic-en-abp-
artefactos-digitales
• Torres, A. (S.F). “Aprendizaje Basado en la Investigación, Técnicas Didácticas”.
Dirección de investigación e innovación educativa. Recuperado de:
http://www.itesca.edu.mx/documentos/desarrollo_academico/Metodo_Aprendizaje_
Basado_en_Investigacion.pdf
• Maguregui, C. (21/06/2017). “La matemática incrustada en la inmensa variedad de
formas de vida”. EducAr. Recuperado de: https://www.educ.ar/recursos/132013/la-
matematica-incrustada-en-la-inmensa-variedad-de-formas-de-vida
• Redín, A. (10/2018). “Claves del aprendizaje basado en proyectos, ABP (PBL en
inglés)”. Recuperado de:
https://drive.google.com/file/d/1FgYpcRqxPGZcffP6BTLcZKlymYiZJ8rD/view
• Rebato, C.(01/02/15). “Diez bellísimos ejemplos de fractales en la naturaleza”.
Gizmodo. Recuperado de: https://es.gizmodo.com/diez-bellisimos-ejemplos-de-
fractales-en-la-naturaleza-1677114869
• Mazzini, C. “FRACTALES”. I.S.F.D. N°41. Adrogué.