Estas diapositivas nos dan un enfoque mejor sobre los volúmenes de sólidos de revolución y del método del disco así como también del anillo desde el punto de vista de las integrales.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
SEMANA 11
Unidad III
Carole H. O.
 Volúmenes de sólidos de revolución:
Método del disco, anillo y corteza cilíndrica.

2. Cálculo de volúmenes de solidos de revolución
Se llaman solidos de revolución al solido obtenido por la rotación de una región 𝑅
alrededor de una recta L no contenida en ella.

3. VOLUMEN DE SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
1) Por secciones planas paralelas. Método del Disco.
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [ , ]
a b , supongamos que
( ) 0; [ , ]
f x x a b
   . Si V es el volumen en unidades cúbicas del sólido que se obtiene al
rotar alrededor del eje X, la región limitada por la curva ( )
y f x
 , el eje X, y las rectas x a

y x b
 , entonces:
2
( ( ))
b
a
V f x dx

  ........(1)

4. X
a b
Y
O x
f(x)
f
Veamos gráficamente:
a b
O x
X
a b
Y
O x
A(x)
Y=f(x)
f(x)
Las secciones planas transversales resultan ser discos de radio ( )
f x , las que tienen área
de sección ( )
A x igual a: 2
( ) ( ( )) ; [ , ]
A x f x x a b

   Donde su volumen viene dado por
(1).
X
a b
Y
O x
A(x)
Y=f(x)
f(x)
Las secciones planas transversales resultan ser discos de radio ( )
f x , las que tienen área
de sección ( )
A x igual a: 2
( ) ( ( )) ; [ , ]
A x f x x a b

   Donde su volumen viene dado por
(1).

5. Ejemplos:
X
1 2
Y
O
y = x2
a) Calcular el volumen del sólido limitado por 2
y x
 , el eje X y las rectas 1
x  y 2
x 
cuando gira alrededor del eje X.
Solución:
2
2 2 5
2 2 4
1 1 1
31
( )
5 5
x
V x dx x dx
   
   
 
X
1 2
Y
O
y = x2
) Calcular el volumen del sólido limitado por 2
y x
 , el eje X y las rectas 1
x  y 2
x 
cuando gira alrededor del eje X.
olución:
2
2 2 5
2 2 4
1 1 1
31
( )
5 5
x
V x dx x dx
   
   
 
Solución:
X
1 2
Y
O
y = x2
a) Calcular el volumen del sólido limitado por 2
y x
 , el eje X y las rectas 1
x  y 2
x 
cuando gira alrededor del eje X.
Solución:
2
2 2 5
2 2 4
1 1 1
31
( )
5 5
x
V x dx x dx
   
   
 

6. X
2
Y
O
y = x2
- 2x
Solución:
2
( ) 2
f x x x
  ; ( )
f x está debajo del eje X, las secciones transversales circulares tienen
radio ( )
f x
 . Por lo tanto: 2 2
( ) ( ( )) ( ( )) ; [ , ]
A x f x f x x a b
 
    
2
2 2
0
16
( 2 )
15
V x x dx
 
  

X
2
Y
O
y = x2
- 2x
Solución:
2
( ) 2
f x x x
  ; ( )
f x está debajo del eje X, las secciones transversales circulares tienen
radio ( )
f x
 . Por lo tanto: 2 2
( ) ( ( )) ( ( )) ; [ , ]
A x f x f x x a b
 
    
2
2 2
0
16
( 2 )
15
V x x dx
 
  

Solución:
X
2
Y
O
y = x2
- 2x
a) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región comprendida
entre la curva 2
2
y x x
  y el eje X, alrededor del eje X.
Solución:
2
( ) 2
f x x x
  ; ( )
f x está debajo del eje X, las secciones transversales circulares tienen
adio ( )
f x
 . Por lo tanto: 2 2
( ) ( ( )) ( ( )) ; [ , ]
A x f x f x x a b
 
    
b)

7. 2) Método del anillo
Si el sólido de revolución es generado por la rotación alrededor del eje X de la región
encerrada entre dos curvas continuas, ( )
y f x
 y ( )
y g x
 , desde x a
 hasta x b
 ,
donde [ , ] : ( ) ( ) 0
x a b f x g x
    ó ( ) ( ) 0
f x g x
  entonces la sección transversal es
una corona circular (o anillo) cuya área ( )
A x es una diferencia de áreas de dos discos
concéntricos: 2 2
( ) [( ( )) ( ( )) ]; [ , ]
A x f x g x x a b

    de modo que el volumen del sólido
generado está dado por la fórmula:
2 2 2
[( ( )) ( ( )) ]
b
a
V f x g x dx

 

Volumen de revolución por rotación de un área entre dos curvas, alrededor del eje X.

8. X
a b
Y
O x
Y=f(x
)
Y=g(x)
Y A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
evolución por rotación de un área entre dos curvas, alrededor del eje X.
X
a b
O x
Y=f(x
)
Y=g(x)
X
a b
Y
O x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
x
a b
Volumen de revolución por rotación de un área entre dos curvas, alrededor del eje X.

9. X
-1
Y
O
y = x2
+1
2
y = x+3
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X, la región acotada
por 2
1
y x
  y la recta 3
y x
 
Solución:
Las intersecciones de 2
1
y x
  y 3
y x
  son: ( 1,2);(2,5)

2
2 2 2
1
(( 3) ( 1) )
V x x dx


   

Ejemplo:
Solución:
X
-1
Y
O
y = x2
+1
2
y = x+3
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X, la región acotada
por 2
1
y x
  y la recta 3
y x
 
Solución:
Las intersecciones de 2
1
y x
  y 3
y x
  son: ( 1,2);(2,5)

2
2 2 2
(( 3) ( 1) )
x x dx

   
X
-1
Y
O
y = x2
+1
2
y = x+3
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X, la región acotada
por 2
1
y x
  y la recta 3
y x
 
Solución:
Las intersecciones de 2
1
y x
  y 3
y x
  son: ( 1,2);(2,5)

2
-1 O
Las intersecciones de 2
1
y x
  y
2
2 2 2
1
(( 3) ( 1) )
V x x dx


   


10. Volúmenes de revolución de sólidos generados por rotación de áreas planas alrededor
de ejes paralelos al eje X.
a b
x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
c
Teorema.- Dada una región encerrada entre dos curvas continuas ( )
y f x
 y ( )
y g x
 ,
desde x a
 hasta x b
 , tales que [ , ] : ( ) ( )
x a b f x g x c
    ó ( ) ( )
f x g x c
 
Y que se hace rotar alrededor de la rectay c
 .
a b
x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
c
Teorema.- Dada una región encerrada entre dos curvas continuas ( )
y f x
 y ( )
y g x
 ,
desde x a
 hasta x b
 , tales que [ , ] : ( ) ( )
x a b f x g x c
    ó ( ) ( )
f x g x c
 
Y que se hace rotar alrededor de la rectay c
 .
X
a b
x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
O
c
b
a x
da una región encerrada entre dos curvas continuas ( )
y f x
 y ( )
y g x
 ,
hasta x b
 , tales que [ , ] : ( ) ( )
x a b f x g x c
    ó ( ) ( )
f x g x c
 
rotar alrededor de la rectay c
 .
Entonces la sección transversal es una corona circular que ti
2 2
( ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
A x f x c g x c x a b

     
De modo que el volumen V del sólido de revolución genera
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ]
b
a
V f x c g x c

   

ces la sección transversal es una corona circular que tiene área:
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
f x c g x c x a b

     
odo que el volumen V del sólido de revolución generado está dado por:
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }
b
a
V f x c g x c dx

   

Entonces la sección transversal es una corona circular que tien
2 2
( ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
A x f x c g x c x a b

     
De modo que el volumen V del sólido de revolución generado
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }
b
a
V f x c g x c d

   

tonces la sección transversal es una corona circular que tiene área:
2 2
( ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
x f x c g x c x a b

     
e modo que el volumen V del sólido de revolución generado está dado por:
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }
b
a
V f x c g x c dx

   


11. X
2
1
Y
O
y = 1
1
y = 2x - x2
y = x3
Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región encerrada por las gráficas de
3
y x
 y 2
2
y x x
  alrededor de la recta 1
y 
Solución:
Ejemplo:
Solución:
X
2
1
Y
O
y = 1
1
y = 2x - x2
y = x3
lar el volumen del sólido generado al rotar la región encerrada por las gráficas de
3
x
 y 2
2
y x x
  alrededor de la recta 1
y 
ución:
ersecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
2
1
O
Intersecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
0 1
2 2 3 2
2 0
{[2 1] [ 1] } {
V x x x dx
 

     
 
Intersecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
0 1
2 2 3 2 3 2 2 2
2 0
704
{[2 1] [ 1] } {[ 1] [2 1] }
35
V x x x dx x x x dx
  


           

 
ecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
1
2 2 3 2 3 2 2 2
0
704 31 1439
[2 1] [ 1] } {[ 1] [2 1] }
35 70 70
x x x dx x x x dx
  
 
           
 
 


12. 3) Método de la Corteza Cilíndrica
Sea f una función en [ , ]
a b , con ( ) 0; [ , ]
f x x a b
   y sea R la región limitada por
( )
y f x
 , el eje X, ;
x a x b
  ; el volumen del sólido de revolución obtenida al rotar la
región alrededor de eje Y es:
2 ( )
b
a
V xf x dx

 
2 ( )
b
a
V xf x dx

 
X
a b
Y
O
( )
y f x

R
Observaciones:

13. X
Y
O a b
x = c
Observaciones:
i) Si R es la región limitada por ( ); ( ); ; ; ( ) ( )
y f x y g x x a x b f x g x
     , el
volumen de revolución obtenido al rotar la región R alrededor del eje Y.
2 ( ( ) ( ))
b
a
V x f x g x dx

 

ii)
2 ( )( ( ) ( ))
b
a
V x c f x g x dx

  

R
X
Y
O a b
x = c
Observaciones:
i) Si R es la región limitada por ( ); ( ); ; ; ( ) ( )
y f x y g x x a x b f x g x
     , el
volumen de revolución obtenido al rotar la región R alrededor del eje Y.
2 ( ( ) ( ))
b
a
V x f x g x dx

 

ii)
2 ( )( ( ) ( ))
b
a
V x c f x g x dx

  

R Y x = c
2 ( )( ( ) ( ))
b
a
V c x f x g x dx

  

R
X
Y
O
a b
x = c
2
V 
R
f(x)
f(x)
g(x)
g(x)

14. X
4
Y
O
y = -x2
+ 6x + 8
2
a) Hallar el volumen del sólido encerrado por la región plana encerrada por la curva
2
6 8
y x x
   y el eje X, al girar alrededor del eje Y.
Solución:
2
6 8
y x x
   Intersección con el eje X: (2,0) y (4,0)
4 4
Ejemplos:
Solución:
X
4
Y
O
y = -x2
+ 6x + 8
2
a) Hallar el volumen del sólido encerrado por la región plana encerrada por la cur
2
6 8
y x x
   y el eje X, al girar alrededor del eje Y.
Solución:
2
6 8
y x x
   Intersección con el eje X: (2,0) y (4,0)
X
4
Y
O
y = -x2
+ 6x + 8
2
en del sólido encerrado por la región plana encerrada por la curva
8 y el eje X, al girar alrededor del eje Y.
ntersección con el eje X: (2,0) y (4,0)
4
3 2

15. X
Y
O
x = 1
1
y = x3
a) Sea C el arco de la curva 3
; [0,1]
y x x
  , halle el volumen del sólido de revoluc
obtenido al rotar C alrededor de la recta 1
x  .
Solución:
1
3
0
2 (1 )
10
V x x dx


  

X
Y
O
x = 1
1
y = x3
a) Sea C el arco de la curva 3
; [0,1]
y x x
  , halle el volumen del sólido de revolución
obtenido al rotar C alrededor de la recta 1
x  .
Solución:
1
3
0
2 (1 )
10
V x x dx


  

Solución:
X
Y
O
x = 1
1
y = x3
a) Sea C el arco de la curva 3
; [0,1]
y x x
  , halle el volumen del sólido de revolución
obtenido al rotar C alrededor de la recta 1
x  .
Solución:
1
3
0
2 (1 )
10
V x x dx


  

b)

16. 0
3
1
2 ( 2)( ) ) 2
x x x dx
 

   

X
Y
1
O
-1
y = x3
y = x
-2
a) Hallar el volumen del sólido formado al rotar alrededor de la recta 2
x   , la reg
plana limitada por: y x
 y 3
y x

0
3
1
2 ( 2)( )
V x x x dx


  

X
Y
1
O
-1
y = x3
y = x
-2
a) Hallar el volumen del sólido formado al rotar alrededor de la recta 2
x   , la región
plana limitada por: y x
 y 3
y x

0
3
1
2 ( 2)( )
V x x x dx


  

0
3
1
2 ( 2)( ) ) 2
x x x dx
 

   

c)
Solución:
X
Y
1
O
-1
y = x3
y = x
-2
a) Hallar el volumen del sólido formado al rotar alrededor de la recta 2
x   , la región
plana limitada por: y x
 y 3
y x

0
3
1
2 ( 2)( )
V x x x dx


  

0
1

17. a) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la parábola y = 𝑎𝑥 − 𝑥2
; 𝑎 > 0
sobre el eje X.
Ejercicios:
𝑉𝑋 = 𝜋
0
𝑎
(𝑎𝑥 − 𝑥2)2 𝑑𝑥
= 𝜋
0
𝑎
(𝑎2
𝑥2
− 2𝑎𝑥3
+ 𝑥4
) 𝑑𝑥
Solución
Veamos el intervalo en que la parábola intersecta al eje X
𝑎𝑥 − 𝑥2 = 0 → 𝑥(𝑎 − 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑎
= 𝜋
𝑎2𝑥3
3
−
2𝑎𝑥4
4
+
𝑥5
5
0
𝑎
=
𝜋𝑎5
30

18. b) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar sobre el eje X la región
limitada por la curva y = 𝑒𝑥
, las rectas 𝑥 = 0 e y = e.
𝑉𝑋 = 𝜋
0
1
(𝑒2 − 𝑒2𝑥) 𝑑𝑥
Solución:
El intervalo para la curva y = 𝑒𝑥 es 0; 1
= 𝜋 𝑒2𝑥 −
𝑒2𝑥
2
0
1
=
𝜋(𝑒2+1)
2
= 𝜋 𝑒2
−
𝑒2
2
+
1
2

19. c) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la región comprendida
entre las curvas 𝑔 𝑥 = 𝑥2 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 alrededor de la recta 𝑦 = 4. La intersección de
las curvas son los puntos (0,0) , (1,1); como 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) en 0,1 entonces:
𝑉𝑦=4 = 𝜋
0
1
2(4) 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥4 − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋
0
1
𝑥4 − 8𝑥2 − 𝑥 + 8 𝑥 𝑑𝑥
Solución
𝑉𝑦=4 = 𝜋
𝑥5
5
−
8
3
𝑥3
−
𝑥2
2
+
16
3
𝑥3/2
0
1
= 𝜋
1
5
−
8
3
−
1
2
+
16
3
=
71
30
𝜋 𝑢3
• Si la recta 𝐿: 𝑦 = 𝑐 esta por debajo de la región R, entonces
𝑉
𝑦=𝑐 = 𝜋
𝑎
𝑏
(𝑓 𝑥 − 𝑐 2
− 𝑔 𝑥 − 𝑐 2
)𝑑𝑥
= 𝜋
𝑎
𝑏
(𝑓2 𝑥 − 𝑔2 𝑥 − 2𝑐 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥