1. JORGE PATRICIO BODERO CADENA
SEGUNDO CICLO DE INGENIERÍA MECÁNICA
¿QUÉ ES CARDIODIE?
Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a (1+cos θ), por su
semejanza con el dibujo de un corazón.
La cardioide es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es
un caracol de Pascal, cuando 2a=h.
¿QUÉ ES UNA HIPERBOLOIDE?
El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de
una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del
eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de
referencia, cuya ecuación es
,
En el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo,
mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la
hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.
Ecuaciones del hiperboloide
EcuaciónCartesiana

2. JORGE PATRICIO BODERO CADENA
SEGUNDO CICLO DE INGENIERÍA MECÁNICA
Generaciónde un hiperboloide.
Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar
en el sistema de coordenadas , cuyos ejes son los de simetría. Sean
X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:
Es decir
.
Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:
La ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1,
luego:
Si se gira alrededor del eje Y, de vector director , entonces se otorga a la
tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la
misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:
Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director , entonces
Z aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:
Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay
dos negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x, y,
z, se obtiene una de estas dos ecuaciones:
(Una hoja) (Dos hojas)
Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya
ecuación es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado
en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la
superficie), de la forma:
Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la
dirección de los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y
en los z por c. Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.