Cardioide Coordenadas polares Hipérbola Hiperboloides

1. Universidad Técnica
“Luis Vargas Torres”
Integrantes:
Cristhoper Jama Delgado
Asignatura:
Dibujo Técnico
Maestro:
Ing. Arcesio Ortiz
Carrera:
Ingeniería mecánica
Ciclo:
Segundo Ciclo
Año:
2014
Cardioide

2. Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a (1+cos θ), por su semejanza
con el dibujo de un corazón.
La cardioide es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es un caracol de
Pascal, cuando 2a=h.
ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
r=2a (1+cos (t)).
Por simetría se dan las ecuaciones:
r=2a (1-cos (t))
r=2a (1+sen (t))
r=2ª (1-sen(t))
Coordenadas polares
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de
coordenadas bidimensional.
En el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia, ampliamente
utilizados en física y trigonometría.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo,
y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar
(equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este
sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias
entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par
ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje
polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido anti horario y
decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o
«radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En
ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º)
Caracol de Pascal
El caracol o "limaçon" de Pascal es la concoide de una circunferencia que pase por el
polo. Es un tipo de Epitrocoide.
Por tanto, su ecuación en coordenadas polares es:
En el caso particular de h=2·a, se obtiene una cardioide:
Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja
hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas
equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:

3. Centro, O
Vértices, A y A
Distancia entre los vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es: A su vez, la de
una hipérbola vertical es:
Hiperboloides
El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de
una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido,
el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia,
cuya ecuación es
,
En el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras
que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un
hiperboloide de dos hojas.

4. Tipos de hiperboloide
Hiperboloide de una hoja
Sea el hiperboloide de una hoja de ecuación:
 El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto al origen de coordenadas.
 El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los ejes de coordenadas.
 El hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los planos coordenados.
 Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del hiperboloide son
hipérbolas.
 El hiperboloide de una hoja se extiende infinitamente.
 Una ecuación paramétrica de este hiperboloide de una hoja es:
Hiperboloide de dos hojas
Sea el hiperboloide de dos hojas de ecuación:
 El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto al origen de coordenadas.
 El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los ejes de coordenadas.
 El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los planos coordenados.
 Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del hiperboloide son
hipérbolas.
 El hiperboloide de dos hojas se extiende en -∞ ≤ x ≤ ∞; -∞ ≤ y ≤ ∞; |z| ≥ c.
 Una ecuación paramétrica de este hiperboloide de dos hojas es: