1. Materia : Cálculo 1
Tema: Funciones
Observación: En los siguientes ejercicios relacionados con el tema de funciones reales se utiliza
la siguiente notación: Para una función f dada, Df denota el dominio de f; Rf el rango de f, y
f 1
la función inversa de f:
1. Sean s y p funciones reales de…nidas por s(x) =
2
5x + 1
y p(t) =
r
2t 1
t + 1
.
a Encontrar
s(x + h) s(x)
h
y simpli…car, donde h 6= 0:
b Encontrar el dominio de p
2. Dada al función g : [1=3; 8]— — — — .R
x— — — — — –.g(x) =
p
3x + 1 ,
a Probar que g es inyectiva y que no es sobreyectiva.
b Hallar g 1
, Dg 1 y Rg 1 :
c Demostrar por cálculo directo que:
g[g 1
(x)] = x 8x 2 Dg 1 y g 1
[g(x)] = x 8x 2 Dg:
3. Sean f y g funciones reales tales que f(x) = 4x para x 2 [0; 5], y g(x) =
p
x 6
para x 2 [6; 1):
a Hallar (g f)(x) y Dg f
b ¿Es g f = f g?. Justi…car
4. Dada la función
H(x) :
8
<
:
x + 5 , si 5 x < 0
4 x2
, si 0 x < 3
8 , si x 3
a Gra…car H
b Encontrar rango de H
c Encontrar H[H (0)] y H[H (4)]
d Encontrar todos los x 2 DH tales que H (x) = 0
5. Dadas
f(x) :
8
<
:
0 ; x < 0
2x ; 0 x 1
0 ; x > 1
y g(x) :
8
<
:
1 ; x < 0
x=2 ; 0 x 1
1 ; x > 1
Hallar (f g)(x); Df g y Rf g
1

2. 6. Dadas
f(x) :
x + 1 ; x < 0
x2
; x 0
y g(x) :
8
<
:
1 ; x < 0
0 ; x = 0
1 x ; x > 0
Hallar (f g)(x); Df g y Rf g
7. Dada G(x) = j3x 2j jxj+2; con x 2 ( 1; +1); exprese G(x) sin barras de valor absoluto.
8. Sea F una función de valor real tal que F(x) =
x
[3x 2]
: Encontrar DF .
9. Dada F(x) = (x 2)[x]; con x 2 [ 2; 2]: Gra…car y encontrar RF :
10. Sea H(x) = jxj + [x]; con x 2 [ 2; 2]: Gra…car y encontrar RH:
11. Sea G(x) = x[x2
]; con x 2 [0; 3]: Gra…car y encontrar RG:
a ¿es G inyectiva? ,
b ¿es G sobreyectiva? .
12. Dada al función f : [ 3; +1]— — — — .R
x— — — — — –.f(x) = jx 2j + 1
a ¿es f inyectiva? ,
b ¿es f sobreyectiva? ,
c Hallar todos los x 2 Df tales que f(2x) 4.
13. Sea f(x) = ax2
+ bx + c; con x 2 R: Encontrar los valores de a; b y c 2 R tales que
i f sea par ,
ii f sea impar ,
iii f no sea ninguna de las anteriores.
14. Existe una función que es tanto par como impar ¿cual es?.
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