1. UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO
DE
MANABÍ
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y
ADMISION
PROYECTO DE AULA DE
MATEMÁTICA
INTEGRANTES:
TEMA:
Ángulos y
sus Medidas
Pinto Rivero José Antonio
Alvia Anchundia Luis
DOCENTE:
ING. CARLOS ANCHUNDIA BETANCOURT
ÁREA:
CIENCIAS E INGENIERÍA.
CARRERA:
PARALELO:
INGENIERÍA CIVIL.
2014 - 2015

2. TRIGONOMETRÍA
La trigonometría es una rama de las matemáticas
que fue desarrollada por astrónomos griegos,
quienes consideraban al cielo como el interior de una
esfera.
Aún cuando su significado etimológico nos indica
que se relaciona con la medición de los triángulos,
sus aplicaciones son muy diversas ya que estas
técnicas son usadas para medir distancias a
estrellas próximas, entre puntos geográficos y en
sistemas de navegación por satélites.

3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
θ)
<
EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE
OBTIENE GIRANDO UN RAYO
ALREDEDOR DE SU ORIGEN.
POSITIVO
B
)
<
SENTIDO DE GIRO HORARIO
A
OA : LADO INICIAL
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE
α ) NEGATIVO
<
O

4. Son
aquellos
ángulos
trigonométricos que se
caracterizan por tener su
lado inicial sobre el
semieje positivo abscisas,
su vértice coincide con el
origen del sistema de
coordenadas y sus lados
final se ubica en cualquier
parte del plano cartesiano.
L.F.
Y L.I :Lado inicial
L.F :Lado final
0 : Vértice
o
L.F
L.I

5. Reglas de conversión

7. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
SISTEMA
SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
1
GRADO :
o
MINUTO :
1
'
SEGUNDO :
1
"
EQUIVALENCIAS
1 = 60 1 = 60 1 = 3600
o
'
'
"
o
1vuelta= 360
"
o

8. LOS ÁNGULOS Y SUS
MEDIDAS

9. 
En nuestro entorno siempre que
vemos una intersección entre líneas
rectas observamos la presencia de
ángulos

10. ¿Qué es un ángulo?

Ángulo es la parte de un plano
comprendida entre dos semirrectas
que tienen el mismo punto de
origen.
Ángulo
convexo
Ángulo cóncavo

11. Tipos de Ángulos








Ángulo convexo
Ángulo cóncavo
Ángulo nulo
Ángulo llano.
Ángulo completo
Ángulo agudo.
Ángulo recto
Ángulo obtuso

12. CONCEPTO Y ELEMENTOS
DE
ÁNGULOS
Clasificación
1- Por su
medida
Convex
o
Cóncav
o
Nulo
2- Por su
posición
Adyacent
e
Consecutivo
Llano
Complet
o
Agudo
Recto
Obtuso
2- Por la
relación de sus
angulos
Suplementari
o
Complementa
rio
s
Opuesto por
el vértice

13. OBSERVA EL ÁNGULO QUE FORMA EL RAYO OA
CON EL EJE X.
0º
O
X
A
Los rayos OA y
OX forma
un ángulo de 0º.

14. OBSERVA LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO
EL RAYO OA GIRA HACIA CADA UNO DE LOS EJES.
90º
A
O
X
Los rayos OA y OX
forman ángulo de 90º.

15. OBSERVA LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO
EL RAYO OA GIRA HACIA CADA UNO DE LOS EJES.
180º A
O
X
Los rayos OA y OX
forman ángulo de 180º.

16. OBSERVA LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO
EL RAYO OA GIRA HACIA CADA UNO DE LOS EJES.
O
A
Los rayos OA y OX
270º forman ángulo de 270º.
X

17. OBSERVA LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO
EL RAYO OA GIRA HACIA CADA UNO DE LOS EJES.
O
A 360º
X
Los rayos OA y OX
forman ángulo de 360º.

18. 1.
De acuerdo con su medida, pueden ser:
1.1 ÁNGULO CONVEXO
1.2 ÁNGULO CÓNCAVO
Son ángulos que miden entre 0º
y 180º.
Son ángulos que miden
entre180º y 360º

19. 1.3 Ángulo nulo
Mide 0º
1.4 Ángulo llano
Mide 180º.
1.5 Ángulo de una vuelta
completa
Mide 360º.

20. 1.6 Ángulo agudo
mide entre 0º y 90º
1.7 Ángulo recto
Mide 90º
1.8 Ángulo obtuso
Mide entre 90º y 180º.

21. 2. De acuerdo con la posición de sus lados:
2.1 Ángulos adyacentes
os ángulos AOB y BOC son adyacentes.
Son dos ángulos
adyacentes porque tienen
el vértice y un lado en
común, el lado en común
es intermedio
2.2 Ángulos consecutivos
Los ángulos POA, AOB y
BOQ son consecutivos.
Son dos o más ángulos
adyacentes.

22. EJEMPLO:
Observa la gráfica; si el ángulo AOB mide 27º y el ángulo
AOC mide 95º, entonces cuánto mide el ángulo BOC.
Solución:
El ángulo AOC mide 95º,
95º
entonces, la suma de las
medidas de los ángulos AOB y
BOC es 95º.
Es decir:
Ángulo AOB + ángulo BOC = 95º
Reemplazando el valor del ángulo AOB, tenemos:
27º + ángulo BOC = 95º
Ángulo BOC = 95º - 27º = 68º
Ángulo BOC = 68º
Ángulo BOC = 68º

23. 2.3 Ángulos opuestos por el vértice
O
Dos rectas
cruzadas
en un punto en
común ( O)
formarán ángulos
congruentes:
medida del ángulo a = medida del ángulo c
medida del ángulo b = medida del ángulo d

24. EJEMPLO:
Observa la gráfica; si el ángulo 1 mide 35º, cuánto mide el
ángulo 2 y cuál será el valor de x:
Solución:
Xº
X
35º
35º
X
º
Por ángulo opuesto por el
vértice :
medida del ángulo 1 = medida del ángulo 2
Si el ángulo 1 = 35º entonces:
Medida del ángulo 2 = 35º
Dos rectas cruzadas forman 4 ángulos cuya suma de sus medidas es 360º.
El ángulo que mide Xº tiene como ángulo opuesto otro ángulo que
mide también Xº , entonces:
35º + 35º + x + x = 360º
2x =360º-70º
2x=290º
X = 145º

25. 3. De acuerdo a la suma de sus ángulos:
3.1 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
medida ángulo 1 + medida ángulo 2 = 90º
Los ángulos 1 y 2 son complementarios porque suman 90º.
Son dos ángulos complementarios cuyas medidas suman 90º.

26. 3.2 ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Los ángulos 1 y
2 son
suplementarios
porque suman
180º.
medida ángulo 1 + medida ángulo 2 = 180º
Son dos ángulos suplementarios cuyas medidas suman 180º.

27. EJEMPLO:
Observa la gráfica. Indica cuál es el complemento y el
suplemento del ángulo BOM.
Solución:
M
35º
Observando la gráfica:
La medida del ángulo BOM = 35º
El complemento del ángulo BOM
es el ángulo MOC, cuya medida es:
ángulo BOM + ángulo MOC = 90º
ángulo MOC = 90º - ángulo BOM
ángulo MOC = 90º - 35º = 55º
El complemento del ángulo BOM = 35º es el ángulo MOC = 55º
El suplemento del ángulo BOM es el ángulo MOA, cuya medida es:
ángulo BOM + ángulo MOA = 180º
ángulo MOA = 180º - ángulo BOM
ángulo MOA = 180º - 35º = 145º
El suplemento del ángulo BOM = 35º es el ángulo MOA = 145º

28. 1.
Indica cuál es la medida del ángulo
AOB:
B
C
O
a. 27º
b. 26º
c. 161º
d. 158º

29. 2. Indica cuál es la medida del ángulo
AOC:
B
C
O
a. 110º
b. 70º
c. 31º
d. 80º

30. 3. Indica cuál es la medida del ángulo
DOC:
B
C
O
a. 60º
b. 110º
c. 50º
d. 70º

31. 4. Indica cuál es la medida de los ángulos EOD
y EOB respectivamente:
B
C
O
a. 120º y
153º
b. 60º y
150º
c. 120º y
33º
d. 60º y
153º

32. 1. Observa los ángulos AOM y MOB
respectivamente. Clasifícalos según su medida.
a. Obtuso y
agudo
b. Recto y agudo
c. Agudo y
obtuso
d. Agudo y
cóncavo

33. 2. Observa los ángulos COB y AOB
respectivamente. Clasifícalos según su medida.
a. Obtuso y
llano
b. Convexo y
llano
c. Cóncavo y
agudo
d. Cóncavo y
llano

34. 3. Observa los ángulos POQ y AOQ
respectivamente. Clasifícalos según su medida.
a. Obtuso y
llano
b. Llano y
convexo
c. Recto y
obtuso
d. Llano y obtuso

35. 4. Observa los ángulos MOS ; MOR y NOR
respectivamente. Clasifícalos según su medida.
a. Llano ;
b. Recto,
c. Recto,
d. Recto, obtuso
convexo y agudo convexo y agudo cóncavo y agudo
y nulo

36. 5. Observa los ángulos POS ; SON y SOR
respectivamente. Clasifícalos según su medida.
a. Obtuso ,
agudo y agudo
b. Convexo,
agudo y recto
c. Obtuso, recto
y agudo
d. Cóncavo,
recto y agudo