Este documento describe la naturaleza de las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una variable dependiente con sus derivadas respecto a una o más variables independientes. Las clasifica como ordinarias o parciales dependiendo del número de variables independientes, y según su orden y si son lineales o no lineales.

1. NATURALEZA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Se entiende por Ecuación diferencial cualquier ecuación en la que interviene una
variable dependiente y sus respectivas derivadas con respecto a una o más variables
independientes. Se clasifican de acuerdo al tipo, orden y linealidad.
Clasificación según el tipo:
Ecuación diferencial Ordinaria: Es una ecuación que contiene sólo derivadas
ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable
independiente.
Ejemplos:
𝑑𝑦
𝑎. + 7𝑦 = −9
𝑑𝑥
𝑏. 5𝑥 + 6𝑦 𝑑𝑥 − 3𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑐. 2 − 6 + 5𝑦 = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ecuación diferencial Parcial: Ecuación que contiene las derivadas parciales de
una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes.
Ejemplos:
𝜕𝑢
𝑎. + 12𝑦 = −5
𝜕𝑦
𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝑏. + 𝑦 = 𝑢
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 𝜕𝑢
𝑐. 2 − 6 2 + 5 =0
𝑑𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑡
Clasificación según el orden:
El orden de la mayor derivada en la ecuación diferencial, es el orden de la
ecuación.
Ejemplos:

2. 𝑑𝑢
𝑎. + 3𝑦 = −1 Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
𝑑𝑦
𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝑏. + 𝑦3 = 𝑢 Es una ecuación diferencial parcial de primer orden
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕3 𝑢 𝜕2 𝑢 𝜕𝑢 5
𝑐. 3
−3 +4 = 0 Es una ecuación diferencial parcial de tercer orden
𝑑𝑥 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡
Clasificación según la linealidad o no linealidad:
Una ecuación diferencial es lineal si puede expresarse de la forma
𝑑𝑛 𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦
𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎 𝑛 −1 𝑥 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎 𝑜 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥
Además, una ecuación diferencial es lineal si cumple:
a. La variable dependiente junto con todas sus derivadas son de primer
grado.
b. Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente.
Una ecuación que no cumpla estas condiciones se dice que no es lineal.
Ejemplos:
a. 𝑥 𝑑𝑦 + 5𝑦 𝑑𝑥 = 0 Es una ecuación lineal de primer orden
b. 𝑦´´ + 3𝑦´ + 8𝑦 = 0 Es una ecuación lineal de segundo orden
𝑑3 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
c. 𝑥4 3
− 𝑥2 + 5𝑥 − 3𝑦 = 𝑒 𝑥 Es una ecuación lineal de
𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
tercer orden
d. 𝑦𝑦 ´´ + 5𝑦´ = 𝑥 No es ecuación lineal, puesto que el
coeficiente de la segunda derivada depende de y.
𝑑3 𝑦
e. + 7𝑦 2 = 0 No es ecuación lineal, el exponente de la variable
𝑑𝑥 3
𝑦 es diferente de uno.