conicas Banhakeia-diciembre 2022.pdf

,
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distintos
Distancia
Distancia Distancia Distancia
focos
En el siglo III A C estudio las curvas canonicas curvas obtenidas al cortar un cono
a un cono doble circular recto cuando le hacemos cortes en angulos
mediante un plano segun cada angulo de corte reciben el nombre de
y
Apolonio de perga
Circonferencia Elipse Hiperbola Parabola
Una Circonferencia
Una Elipse
El plano es
Perpendicular al eje
El plano es oblicuo al
eje y no es paralelo
a la generatriz
es un conjunto de puntos P x y en el plano donde se cumple
P C r con C centro del circulo y r radio del circulo
es un conjunto de puntos P x y en el plano donde se cumple
P F P F entre los vertices del eje mayor
con F y F los puntos fijos de la elipse llamados
1 2
= = =
+ =
l
l l
l
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g
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h
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01

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Distancia Distancia Distancia
focos
Distancia Distancia
Una es un conjunto de puntos P x y en el plano donde se cumple
F P F P entre los vertices
con F y F los
Una es un conjunto de puntos P x y en el plano donde se cumple
F P D P
F punto focal y D directriz
el plano es
paralelo al eje
Hiperbola
el plano es oblicuo al eje y
es paralelo a la generatriz
Parabola
valor absoluto
1 2
1 2
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4
02

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Distancia
dist P C r x a y b
r x a y b r
El Plano es
Perpendicular al eje
Una circonferencia es un conjunto de puntos P x y en el plano donde se cumple
P C dist P C r
con C centro del circulo r radio del circulo
Vea la imagen
x a y b r Ec de una circonferencia
CP CP
CP
CP
2 2 2 2 2
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- + - =
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h h
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03

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cos
y hallemos La ecuacion de la Elipse
El plano es oblicuo al eje y no
es paralelo a la generatriz
Una Elipse es un conjunto de puntos A x y en el plano donde se cumple
dist F A dist F A dist entre los vertices del eje mayor
siendo F y F los puntos fijos de la elipse llamados fo
Eje mayor es paralelo al eje x
Dist eje mayor y eje menor
c
vea la imagen de abajo
v v 2 2
1 2
1 2
1 2
2 2 2
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2
2
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b a
a b
a b
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04

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de donde sale esta Ec canonica
ligada a y Vertical paralela al eje y semi eje
ligada a x Horizontal Paralela al eje x semi eje
centro a b
de la imagen de la pagina anterior podemos deducir que
F a c b F a c b
tambien sabemos que a b c a b c ab ac bc
Por definicion de una sabemos que
lo que corresponde a nuestra figura dist A F dist A F eje mayor
x a c y b x a c y b
x a c y b x a c y b
x a c y b x a c y b x a c y b
x a c x a c x a c y b
x a c xa xc ac
x a c xa xc ac x a c y b
xc ac x a c y b xc ac x a c y b
xc ac x a c y b
x c a c xac xc ac
x a c xa xc ac y b
x a xa
x a xa y b
x x a a xa xa
x a xa y b
x a y b x a y b entre
el la figura de abajo se puede deducir la misma ecuacion de la elipse seguiendo los
mismos pasos con la unica diferencia que hay son los seguientes
aqui F a b c F a b c c y dist A F dist A F
x a y b
c
Elipse dist A F dist A F eje mayor
x a y b siendo a b centro de la elipse
eje mayor es paralelo al eje y eje mayor eje menor c
2 2 2
2
2
2
4 4
4 4
2 2 2
4 2 2 2 4
4 4 4 4
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
1
1
2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
2
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2
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2 2 2
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2
2
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b a b a b a a b a b
b a a b b
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a b a b
b a a b
a b
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distancia distancia distancia
distancia
distancia
distancia distancia distancia
distancia
distancia
semi eje mayor distancia centro verice V distancia centro verice V
semi eje menor distancia centro A distancia centro A
Eje mayor Eje mayor es paralelo al eje x
Eje menor Eje menor es paralelo al eje y
c focal centro foco F centro foco F
e excentricidad
vertice centro
foco centro
c
semi eje mayor distancia centro verice V distancia centro verice V
semi eje menor distancia centro A distancia centro A
Eje mayor Eje mayor es paralelo al eje x
Eje menor Eje menor es paralelo al eje y
c focal centro foco F centro foco F
e excentricidad
vertice centro
foco centro
c
Si B La elipse es horizontal
Si B La elipse es vertical
vea la imagen
vea la imagen
Ecuacion de una Elipse
x a y b
va ligado a la variable y
va ligado a la variable x
Resumen de la Elipse
2
2
2
2
1
1 2
1 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2
1 2
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2
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06

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focos
distancia
Su es de la forma generalizada
veamos de donde sale esta ecuacion
sabemos que dist A F dist A F dist entre las vertices
F a c b F a c b c x a c y b x a c y b
x a c y b x a c y b
x a c y b x a c y b
Una es un conjunto de puntos A x y en el plano tal que
distancia A F distancia A F distancia entre las vertices
siendo F y F los de la hiperbola
c focal
c
Hiperbola
vea la figura de abajo
El plano es
Paralelo al eje
Ecuacion Canonica
x a y b
Hiperbola Horizontal
F A F A
F A F A
2
2 2
2
4 4
1
1
1
1 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2
2
2
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07

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x a c xa xc ac x a c xa xc ac x a c y b
x c a c xac xc ac
x a c xa xc ac y b
x a xa
x a xa y b
x x a a xa xa
x a xa y b
x a y b x a y b dividiendo entre
ahora veamos cual es la ecuacion canonica de una
sabemos que
F a b c F a b c c x a y b c x a y b c
x a y b c x a y b c
x a y b c x a y b c
x a y b c x a y b c x a y b c
y b c yb yc bc y b c yb yc bc x a y b c
yc bc x a y b c yc bc x a y b c
yc bc x a y b c yc bc x a y b c
y c b c ybc yc bc
y b c yb yc bc x a
y b yb
y b yb x a
Recuerda
Ecuacion Canonica horizontal de una Hiperbola
Hiperbola vertical
a b c a b c ab ac bc
x a y b
dist A F dist A F dist entre las vertices
F A F A
F A F A
4 4
2 2 2 4 2 2 2 4
4 4 4 4
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
4 4
2 2 2 4 2 2 2 4
4 4 4 4
2 2 2
2 2 2
2
2
1
1
2 2 2
1
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
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2
2
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b b b b
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b b b a b b b
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B
B
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08

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distintas
distancia distancia
distancia
distancia
distancia
tan Asintotas
y y b b yb yb
y b yb x a
y b x a y b x a por
La Ecuacion de una Hiperbola se puede presentar de dos formas
la fraccion corresponde la fraccion corresponde
a la variable x Hiperbola horizontal a la variable y Hiperbola vertical
El eje mayor a la vez es al eje x El eje menor a la vez es al eje y
semi eje mayor centro vertice semi eje menor centro A
c focal foco centro e excentrecidad
vertice centro
foco centro
pendiente y b x a c
y b x a
si la fraccion contiene
x la Hiperbola su eje real es al eje x
y la Hiperbola su eje real es al eje y
x a y b y b x a
x a y b
x a y b
Ecuacion canonica de una hiperbola vertical
forma forma
Siempre va ligada a la variable x e siempre va ligada a la variable y
forma
Resumen de la Hiperbola
2 2
2
2 2
1 1
1
1 2
1
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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a a b b a b a b a b
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09

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distancia
distancia
distancia
tan Asintotas
El eje mayor a la vez es al eje y El eje menor a la vez es al eje x
semi eje mayor centro vertice semi eje menor centro A
c focal foco centro e excentrecidad
vertice centro
foco centro
pendiente y b x a c
forma
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2 1
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2
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10

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distancia distancia
y hallemos esa ecuacion canonica de la parabolica
dist A D dist A F
dist A D y b p
dist A F x a y b p
y b p x a y b p y b p x a y b p a
a y b p x a y b p
y b p yb yp bp x a y b p yb yp bp
x a yp bp x a p y b
asi que la ecuacion x a p y b es la ecuacion canonica de una parabola
vea la grafica
Una parabola es un conjunto de puntos A x y en el plano donde se cumple
F A D A siendo F el foco y D la directriz
el plano es oblicuo al eje y
y es paralelo a la generatriz
2 2 2 2 2 2
4 4 4
4
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
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11

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tambien es una parabola veamos cual seria su Ec canonica
A x y F a p b x a p y b
dist A D dist A F
dist A D x a p
dist A F x a p y b
x a p x a p y b x a p x a p y b
x a p x a p y b
x a p xa xp ap x a p xa xp ap y b
y b xp ap y b p x a
asi que la ecuacion y b p x a es la ecuacion canonica de una Parabola
En conclusion
La curva de abajo
vea la grafica
En conclusion
la Ecuacion de una parabola con vertice fuera del origen
x a p y b
p la curva se abre hacia abajo
p la curva se abre hacia arriba
la Ecuacion de una parabola con vertice fuera del origen
y b p x a
p la curva se abre hacia la Izquierda
p la curva se abre hacia la derecha
Eje vertical
a
a
Eje Horizontal
FA
2 2 2 2 2 2
4 4 4
4
4
0
0
4
0
0
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
2
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2
1
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+ + - + - = + + - - + + -
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foco
con vertice fuera del origen se puede escribir en dos formas diferentes
Lado recto pasa por el cuerda p vertice Directriz vertice foco
Conclusion Ecuacion Canonica de una Parabola
EJE VERTICAL
EJE HORIZONTAL
Lo que hay que saber sobre una Parabola
Ec Canonica x a p y b p se abre hacia arriba p se abre hacia abajo
Ec General x bx cy d c se abre hacia arriba c se abre hacia abajo
Ec Canonica y b p x a p se abre a la derecha p se abre a Izquierda
Ec General y by cx d c se abre a la derecha c se abre a Izquierda
4
4 0 0
0 0 0
4 0 0
0 0 0
2
2
2
2
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2 1
2 1
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.
y su se puede presentar de dos formas
aqui es la y
se fija en la variable de grado
si p la curva se abre en sentido del eje oy
si p la curva se abre en sentido del eje oy
aqui es la x
se fija en la variable de grado
si p la curva se abre en sentido del eje ox
si p la curva se abre en sentido del eje ox
es la ecuacion de una
es la ecuacion de un
a x b y c x d y e para ello juntamos los x por un lado y los y por el otro lado
la ecuacion queda de la forma a x c x b y d y e
ahora toca conseguir el cuadrado perfecto veamos como hacerlo
sea a x b x c para ello se utiliza o bien la
veamos un x y x y
utilizando lo juntamos los x y los y por separado
x x y y x x y y
x x y y x y
utilizando la lo juntamos los x y los y por separado
Para los x el cuadrado perfecto es x x x
Para los y el cuadrado perfecto es y y y
Por ultimo
Circonferencia de centro y radio
La Ecuacion de una Parabola
forma canonica
la forma general de las conicas es
conversion de la ecuacion general a canonica
a
b
derivada
a
b
derivada
se puede presentar en forma general o canonica
cuando esta en forma general solo una de sus variables esta al cuadrado la x o la y
y b p x a
o
x a p y b
a b vertice
ax by cx dy e
x x
Sea f x x x f x x f x x x x
x x x
x x x
x x
si es de la forma x a p y b
si es de la forma y b p x a
si a b recta
si a b circulo
si a o b parabola
si a b y a b Elipse
si a b Hiperbola
Meodo
Meodo
y y
Sea g y y y f y y f y y y y
y y y
y y y
y y
ejemplo
1
0
0
1
0
0
0
0
6 4 6 0
1
1 6 1 4 6 0 6 4 6 0
6 9 9 4 4 4 6 0 3 2 7 0
1
6 0
3 6 9
2 4 4
6 0 6 0
7 7
3 2 7
4
4
4
4
0 1
1
1
1
1
1
1
1
1 6
6 2 6 0 2 6 0 3 3
6 3 9
1 6 3 9
3 3
4
4
0
0
0 0
0
0
1
4
36
4
36
2
4
4 2 4 0 2 4 0 2 2
4 2 4
4 2 4
2 2
4 4
a b a b
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
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$
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( $ , , $
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5
6
5
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!
!
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UU !
UU !
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2
1
2
2
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+ + + + =
+ +
+ + - + =
+ + - + = + + - + =
+ + - + - + - + = + + - - =
+ + =
+ = + +
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+ = + -
+ + -
+ +
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- - -
- -
+ -
c
c
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c
c
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Y
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g
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h
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14

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supuesto
supongamos
estan
Asin
terminos
En Realidad la ecuacion general de una conica es de la forma
A x B x y C y D x E y F
las conicas que hemos estudiado hasta el momento hemos que B que los ejes
de la conica son paralelos a los ejes de coordenadas
Ahora que B a estas conicas se les llama conicas rotadas Inclinadas
es decir que sus ejes focales no son paralelos a los ejes de coordenadas sus ejes
desplazados y inclinados es decir que hay una y una de los ejes
que veamos lo que es una una y de los ejes
Los son los ejes originales si los trasladamos del punto O
al punto O h k los de la imagen se puede deducir que
y y k
x x h
siendo h k nuevo centro
En una los coeficientes lineales se anulan es decir cuando se hace una Traslacion
los de D y E de la ecuacion se anulan
En una Traslacion
y y k
x x h
Una vez remplazados en la Ec general los coeficientes de x de grado e de y de grado
deben ser nulos y la Ec se quedara de la forma x x y y
I
traslacion rotacion
Traslacion Rotacion
Traslacion de los ejes y su relacion
traslacion
I
I
I
vea la imagen
ejes azules
nuevos ejes marrones
0
0
0
0 0
1 1
0
2 2
1
1
1
1
1
2
1 1 1
2
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$
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a b c d
+ + + + + =
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+ + + =
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l l
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h
h
g
g
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15

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:
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cos
cos cos
cos cos cos
cos
cos
cos
termino
cos
cos
Los ejes son los ejes originales cuando los inclinamos de un angulo a este
movimiento se le llama los nuevos ejes
Por pitagoras
Hypotenusa x y
sen
x y
y
x y
x
Sabemos que
sen sen sen
sen sen
Por pitagoras
Hypotenusa
sen
x y
x y
x y
y
sen
x y x y
x y
x
x y
sen
x y
La ecuacion general de una conica es A x B x y C y D x E y F
Al hacer la Rotacion el B se anula en la nueva ecuacion canonica
en funcion de e
Rotacion de los ejes y su relacion
Rotacion
I
Vea la imagen
color morado
Vea la imagen
Vea la imagen
azules
color verde
color verde
A
B
A y sen
B x sen
x y
x y
y y
x y
x x
x y
x y
x y
x y
x y
0
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2 2 2
1
2
1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
+ +
+ +
$
a
a b
a b
a b a b a b
a b a b a b
b
b
a a
a a
a a
a a
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+
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-
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+ + + + + =
= +
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h
h
h
g
g
g
g
h
h
h
g
g
h
g
g
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g
g
g
g
g g
g
16

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. . . . . .
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. . . . . , ,
.
.
. . .
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. .
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. . . .
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2
. .
. . . . . .
cos cos cos
cos
eliminar termino terminos
asin
cos cos
cos cos tan
tan
tan
tan
cos
tan
tan
tan
cos
cos
tan
tan
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos
cos cos
cos cos
La ecuacion general de una conica
A B C D E F
A A sen A sen sen
A A A sen
Como en la rotacion se quiere el de x y la suma de los que tienen
debe ser nulo los que tengo en que
A sen B C sen A sen B C sen
sen C A B B A C sen A C
B
hemos obtenido una relacion de dos veces el angulo de inclinacion
pero apoyandonos en la formula
Ec general de una conica A B C D E F
aqui A B C
cateto adyacente x
cateto opuesto y
sen
aqui A B C
cateto adyacente x
cateto opuesto y
sen
Formula de Angulo de inclinacion en una rotacion
I
A sen
B
C sen
color rojo
A C
B
sen
sen sen
B B sen sen
B sen sen sen
B sen sen sen
B B sen B sen
C C sen C sen sen
C C C sen
Ejemplos
D E F D sen E sen F
D E F D D sen E E sen F
se deja asi los signos
no se simplifica los signos
x x y y x y
x x y x y x y
x x y
x y
x y
x x y y x y
x x y y x y
x x y y x y
x y
x y
x y
x x y y y x
x y x y y x
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
y y x y x x y
y y x
x y x y y x
x y x y y x
0
2
2 2 2 0 2 2 2 0
2 2 0 2 2 2
0
7 4 10 2 2 0 7 4 10
2
7 10
4
2
2
2
2
7 4 10 2 2 0 7 4 10
2
7 10
4
3
4
2
2
2
2
2
2
2
2
1 2
2
2
1 2
2
1 2
2
1
3
4
1 1 1
2
1
2
1 1
1
2
1
2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
2
1
2
1 1
1 1 1 1 1
2
1
2
1
2
1
2
1 1 1
2
1
2
1 1
1
2
1
2
1 1 1 1
1 1 1 1
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2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
+ +
+ + +
a a a a a a
a a
a a a a a a
a a a a a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
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a a a a
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a a a a a a
a a a a a a
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a a a a a a
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a a a a
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17

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distinto
terminos
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cos cos
cos
anular el termino
intersectando
intersectando
intersectando
Focos
tan tan
cos
algun
A B x y C D x E y F
Si A C Ecuacion de una Circonferencia
Si A o C Parabola Vertical si C
Horizontal si A
Si A C y mismo signo Ecuacion de una Elipse
Si A C y signo Ecuacion de una Hiperbola
Si A B C Ecuacion de una Recta
B A C Ecuacion de una Parabola
B A C Ecuacion de una Elipse inclinada
B A C Ecuacion de una Hiperbola inclinada
sustituimos k
h
en la ecuacion y los lineales los igualamos a cero
asi encontrar el valor de h y k tal que h k centro de la conica
y la Ecuacion quedara de la seguiente forma
A B C
calcular el angulo para ello utilizaremos las formulas
Sabiendo que y
sustituir
sen
sen
sen
sen
los sustituimos en asi poder B de al final quedara de forma
Lo unico malo de este metodo es que tiene muchas sustituciones y muchos calculos que
que puede llegar uno a equivocarse hay que irse con mucho cuidado en cada paso
Por lo cual yo personalmente prefiero el
Se hallan el eje focal con la circonferencia de centro el de la conica y
radio semi eje mayor
Se hallan el eje no focal con la circonferencia de centro el de la conica y
radio semi eje menor
Se hallan el eje focal con la circonferencia de centro el de la conica y
radio c
I
Si B
I
I
I
I
I
Si B
I
I
I
Cuando se hace una
I
I
G
Cuando se hace una
II
II
metodo Matricial
Vertices
Vertices Segundarios
Traslacion
Rotacion
A C
B sen
Primero
Segundo
si no es asi es que te has equivocado en calculo
x y
y y
x x
x x y y
y
x
y
x
y y x
x x y
x y
x y
La EcuacionGeneral de una conica
0
0 0 0
0
0
4 0
4 0
4 0
0
0
0
0
2
1 2
2
1
2 2
Rotacion Traslacion
1
1
1 1 1 1
1
1
2
2
2 2
1 2 2
1 1
2 2
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2
2
2 2
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g g
g
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g g
g
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4 1 2 3
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Termino
secantes
secantes
distinto
La
ecuacion
general
de
una
conica
es
una
ecuacion
de
grado
de
dos
variables
Que
se
puede
escribir
de
la
seguiente
forma
x
y
x
y
O
A
A
A
si
A
A
si
x
y
A
independiente
son
los
valores
propios
de
I
A
y
x
A
A
x
y
I
son
los
valores
propios
de
y
o
bien
o
bien
y
f
x
y
x
y
x
y
x
y
Hiperbola
Elipse
Imaginaria
Elipse
Real
Hiperbola
Elipse
Parabola
rectas
reales
Rectas
Imaginarias
rectas
coincidentes
rectas
paralelas
reales
rectas
paralelas
Imaginarias
Relacion
entre
los
coeficientes
Clasificacion
Ec
Reducida
Calculo
de
Coef
Ec
Reducida
Hiperbola
Equilatera
Circonferencia
A
A
A
A
A
A
A
A
K
K
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
de
signo
a
K
es
valor
propio
de
menor
en
valor
absoluto
es
valor
propio
el
signo
de
es
contrario
al
de
a
a
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a
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2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
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1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
01
02
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01
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22
22
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22
22
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22
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22
22
22
22
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22
22
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12
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b
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t
v
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19

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Focos :
Asintotas :
focos intersectando
distancia
interseccion
interseccion
interseccion
distan
distan
asintotas cosiderando los terminos
Solo en la Elipse e Hiperbola existen ejes focales perpendiculares
c
c semi eje menor semi eje mayor
Centro
Ejes focales de una o una
Ecuacion del eje focal de una
de una o una
Foco y Directriz de una
Vertices de una o una
Vertice de una
Directrices
Directrices
de una
se obtiene resolviendo el sistema
dy
df x y
dx
df x y
Los ejes focales son rectas que pasan por el centro y tienen la direccion de los
vectores propios asociados a y esta ligado al eje focal y al eje no focal
Es de la forma dx
df x y
dy
df x y
Los se hallan el eje focal con la circonferencia de centro
el de la conica y radio c focal
Para hallar el foco y un punto de la Directriz se hace la del eje focal
con la circonferencia de centro V vertice y radio
p
siendo p el parametro de la p
La Directriz es perpendicular al eje focal y pasa por el punto hallado antes
los puntos de de los ejes focales con la conica son los vertices de la conica
los obtendremos resolviendo los sistemas seguientes
Ecuacion del eje focal
f x y
y
Ecuacion del eje no focal
f x y
Es el punto de del eje focal y la conica
dx
df x y
dy
df x y
f x y
Son rectas Paralelas al eje no focal y tales que
c
semi eje mayor
del centro de la conica
c
semi eje de la fraccion
A x B y m A x B y n
dist
A B
m n
las se obtienen de grado de f x y
de la conica y haciendo x e y m y tambien pasan por el centro
Elipse Hiperbola
Parabola
Elipse Hiperbola
Hiperbola
Elipse
Parabola
Elipse Hiperbola
Parabola
Hiperbola
Vertices
Principales
Vertices
Segundarios
Recuerda
Recuerda
En una Parabola para la colocacion de los puntos Foco Vertice Directriz
F V D siempre van por este orden
a
a
a
a
r r r r
r r2
0
0
0
2
1
0
2
0
0
0
0 0
2
1
Elipse
Hiperbola
1 2 1 2
1
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2
11
12
11
12
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U
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U
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1 2 3
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. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
distancia
determina focos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Dada la ecuacion general x y x y
Identifica la conica y halla sus elementos
Sea la ecuacion general de una conica x y x y
identifica la conica y sus elementos
Halla la ecuacion del circulo que pasa por los puntos A B y C
identificala y cuales son sus elementos
identificala y calcula sus elementos
Halla la ecuacion de la elipse horizontal de centro
y su excentricidad y su focal es
y su excentricidad y su semi eje mayor es igual a
Halla la ecuacion de la elipse Vertical E de centro
y su semi eje mayor es y el punto E
y uno de los vertices y su excentricidad es
Sea la ecuacion canonica
x y
las coordenadas de los vertices la excentricidad centro
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4 10 25 0
6 8 9 0
3 3 12 6 12 0
1 0 3 2 1 4
9 25 36 150 36 0
4 9 8 54 49 0
1 2
5
3
3
3 4
2
1
3
1 2
5 3 3
2 6
2 2 3 4
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1
9
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1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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c
c
c
c
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c
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. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
distancia
focos
Determine focos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Halla la ecuacion de la hiperbola de centro
su excentricida es y su focal
Dada la ecuacion general x y x y identificala
Dada la ecuacion y y x que conica es vertcice foco directriz y graficala
Calcula la ecuacion de una parabola con eje focal al eje y
de vertice y que pasa por y graficala
Si los de una elipse son los puntos F y F
y su eje menor mide calcula su ecuacion
las coordenadas de los y directriz y lado recto
de la parabola cuya ecuacion es x y x
Haz un estudio de la seguiente conica E x xy y x y
Haz un estudio de la seguiente conica E x y xy x y
I
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
3 4
5 4 5
9 25 54 100 206 0
4 36 32
0 1 4 3
4 0 4 0
2
8 8 24 0
11 4 14 40 20 45 0
4 4 6 1 0
8 4 4 1 0
6 9 4 4 32 6 0
4 4 2 4 10 0
4 4 2 8 0
2 2
2
1 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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- - - - - - - - - -
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
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4
1
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. . . . . . . . . .
x y x y aqui a b ecuacion de una circonferencia
x x y y x x y y
x x y y
x y Circonferencia de centro y radio
x y x y aqui a b una circonferencia
x x y y x x y y
x x y y
Circonferencia de centro y radio
x x y y
Sea f x x x f x x f x x x x
Sea g y y y g y y g y y y x
ahora para conseguir un cuadrado perfecto desarrollaremos
x x x x x x
y y y y y y
x x y y x y x y
x y Circonferencia de centro y radio
Ejercicio
rojo
Ejercicio
n
Respuesta la ecuacion general de una conica es de la forma
ax by cx dy e si a b es la ecuacion de una circonferencia
color
n
Respuesta
color
Identifica la conica y halla sus elementos
Recueda
figura abajo en
figura abajo en morado
a
a
x y
a
a
x y
otro metodo a
4 10 25 0 1
4 10 25 0 4 10 25 0
4 4 10 25 4 0
2 5 2 2 5 2
6 8 9 0 1
6 8 9 0 6 8 9 0
6 9 9 8 16 16 9 0
6 8 9 0
6 2 6 0 2 6 0 3 3
8 2 8 0 2 8 0 4 4
3 6 9 6 3 9
4 8 16 8 4 16
6 8 9 0 3 9 4 16 9 0 3 4 4
3 4 4 3 4 4
4 25 25
9 9 16 16
0 0
2
4 10 25 0
6 8 9 0
2 5 2
3 4 4
a
b
a
b
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
4
4
2 2
2 2
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2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
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g h
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4 44444
4 6 7 8
444444 444444
A
A
23

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3
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. . . . . . . . . .
como a b que se trata de una circonferencia
x y x y x y x y x x y y
x x y y x y
es un circulo de centro y radio
x y x y x x y y
sea f x x x f x x f x x x x
sea g y y y g y y g y y y y
ahora para conseguir el cuadrado perfecto desarrollaremos
x x x
y y y
x y
x y es un circulo de centro y radio
la ecuacion general de una circonferencia es x y ax by c
C circulo
B circulo
A circulo
a b c
a b c
a c
a b c
a b c
a c
b b
a b a a
a c c
asi que la ecuacion del circulo es x y x y x y
es un circulo de centro y radio negro
y y y
y y y
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta la ecuacion general de una conica es de la forma
ax by cx dy e si a b es la ecuacion de una circonferencia
color
n
Respuesta
color
Halla la ecuacion del circulo que pasa por los puntos A B y C
Recueda
Vea abajo la grafica de morado
Vea abajo la grafica de
otro metodo
x x x
x x x
3 0
3 3 12 6 12 0 4 2 4 0 4 2 4 0
4 4 4 2 1 1 4 0 2 1 3
2 1 3
3 3 12 6 12 0 4 2 4 0
4 2 4 0 2 4 0 2 2
2 2 2 0 2 2 0 1 1
2 4 4
1 2 1
4 0 4 0 2 1 3
2 1 3 2 1 3
0
1 16 4 0
9 4 3 2 0
1 0
4 17 3
3 2 13 2
1 1
1 3 4 16 4
1 2 2 2 12 2 8 12 2
1 1 1
2 4 1 0 1 2 2
1 2 2
2 1 1
2 1 1
0 0
3 3 12 6 12 0
1 0 3 2 1 4
4 2 4
4 2 4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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distancia
distancia
x y x y como
x x y y
x x y y x x y y
x y x y
x y
e
c
c c
de
es una ya que y esta ligado al x
x y x y es
x y x y x x y y
x x y y x y
x y
x y x y
x y
e
c
c c
de
es una ya que y esta ligado al x
e excentricidad
c focal
semi eje menor
semi eje mayor dist vertice centro
centro
elipse horizontal
e excentricidad
c focal
semi eje menor
centro
elipse horizontal
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
a b y a b es una elipse
n
Respuesta
una elipse ya que y
identificala y cuales son sus elementos
identificala y calcula sus elementos
entre
9 25 36 150 36 0
9 36 25 150 36 0
9 4 25 6 36 0 9 4 4 4 25 6 9 9 36 0
9 2 36 25 3 225 36 0 9 2 25 3 225
5
2
3
3
1
5 5
4
9 25 4
5 3 5
4 9 8 54 49 0
4 9 8 54 49 0 4 2 9 6 49 0
4 2 1 1 9 6 9 9 49 0 4 1 4 9 3 81 49 0
4 1 9 3 36 9
1
4
3
1
3
1
2
3
1
3
1
2
3
1
3 3
5
4 9 5
3 2 3
3
5
2 3
2
3
1 3
9 25 0
4 9 4 9 0
9 25 36 150 36 0
4 9 8 54 49 0
225
entre
rojo
color
color
ver la grafica morado
ver la grafica
36
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
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U
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g g
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4 44444
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A
1 2 3
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4
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4 444444444444
4
1 2 3
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4 44444
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44444
4 44444
4
25

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tanto
tanto
distancia
semi eje mayor semi eje menor a b vertice
e
dist vertice centro
c dist foco centro
x y
e
c
c e
x y
tambien sabemos que c c
por lo asin queda la ecuacion
x y
Eje mayor es al eje x
Eje mayor
Eje menor
e
c c
c
x y
tambien sabemos que
c
por lo asin queda la ecuacion
x y
Ejercicio
Si
Ejercicio
n
Respuesta Elipse horizontal
x a y b
siendo
e excentricidad
dist vertice centro
dist foco centro c
semi eje menor
a b centro
n
Respuesta
y su excentricidad y su focal es
y su excentricidad y su semi eje mayor es igual a
Recuerda
vea la grafica
vea la grafica
5
3
1 2
1
1
3 3
5
5
1 2
1
25 9 16 4
5
1
4
2
1
2
2
2
1
3 2
3
3 4
1
9 4
9
4
27
2
27
3
3
2
27
4
1
1
1 2
5
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3
3 4
2
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
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2
2
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a b
a
a b
a
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b a b a b
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b b
b a
a b
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. . . . . . . . . .
determina focos
E
y b x a
E
y x
E
Elipse vertical E
y x
vertice V es un punto de la elipse
e
c
c
V E
c
c
E
y x
x y x y
elipse vertical ya que y esta ligado a la y
centro
semi eje menor
c c c
e excentricidad
dist vertice centro
dist foco centro c
V y V
F y F
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
Elipse vertical
y b x a
siendo
e excentricidad
dist vertice centro
dist foco centro c
semi eje menor
a b centro
n
Respuesta
n
Respuesta
y su semi eje mayor es y el punto E
y uno de los vertices y su excentricidad es
Sea la ecuacion canonica
x y
las coordenadas de los vertices la excentricidad centro
Recuerda Vea la grafica
1
5
2 1
1
3 3
25
1 16
1
16
25
24
24
25 16
3
50
3
50
6 2
1 2 2
4
3
4 3
6 2 2
1
3
16 4 7
16
6
7
2
1
4
1
9
4
1
2
1
3
4
1
3 2 3
1 4
2
3
9 4 5 5
3
5
1 4 3 1 1 1 4 3 1 7
1 4 5 1 4 5
1
0
1
1 2
5 3 3
2 6
2 2 3 4
4
1
9
4
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2 2 2
1 2
1 2
2
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2
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2 2 2
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a a
a a
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b
b a b b a b a
a
b
a b
b
b a
b a
b
a
b
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-
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c
c
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Asintotas
distancia
c c
e
c
x y
x y
Como a b I es la ecuacion de una Hiperbola
x y x y x x y y
x x y y x x y y
x y x y
y x y x
fraccion la de y hiperbola vertical
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
x a y b
con
c
y b x a
e excentricidad
dist vertice centro
dist foco centro c
semi eje menor eje y
semi eje mayor dist vertice centro eje x
a b centro
n
Respuesta
Halla la ecuacion de la hiperbola de centro
su excentricida es y su focal
Dada la ecuacion general x y x y identificala
La ecuacion de una Hiperbola horizontal
I
Recuerda
Vea la grafica
25 16 9 3
4
5 5
4
5
4
5
3 4
1
5
3
3
4
1
0 9 25 0
9 25 54 100 206 0 9 54 25 100 206 0
9 6 25 4 206 0 9 6 9 9 25 4 4 4 206 0
9 3 81 25 2 100 206 0 9 3 25 2 225
9
2
25
3
1
3
2
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3
1
1
1
1
3 4
5 4 5
9 25 54 100 206 0
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
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2
2 2 2
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a a a
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a b
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b b
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tanto
X
y y x es una parabola ya que solamente una variable esta al cuadrado
y y x y y x y x
y x x
ejex
vertice V foco F Directriz corta el eje x x
corte con eje x y x corte con eje y x y
la Ec es de la forma x a p y b ya que el eje focal es al eje y
su vertice es x p y
y como pasa por el punto p
por ultimo la ecuacion es de la forma x y x y
variable de grado es la y la curva se abre en sentido del eje y e como p y
es al eje y se fija en el vertice
vertice foco
corte con eje x y x imposible no corta eje x
corte con eje y x y
Ejercicio
Siempre hay que seguir este orden
p
Ejercicio
p
n
Respuesta En una Parabola
foco dentro de la curva vertice Directriz
n
Respuesta
V
Dada la ecuacion y y x que conica es vertcice foco directriz y graficala
Calcula la ecuacion de una parabola con eje focal al eje y
de vertice y que pasa por y graficala
F
I
I
y x
en sentido positivo del eje x
por lo se abre en sentido de x eje x y como es
es una parabola la variable que es de grado es la x
I I
I
I II
II
II III
III
III
Recuerda
vea la grafica
Directriz corta el eje y y
vea la grafica
eje focal
Eje focal x
4 36 32
4 36 32 4 36 32 2 32 4 36
2 36 36 36 1
1 1 9 2 8 2 1 9 10
0 36
32
9
8
0 4
8
4
0 1 0 4 1
4 3 16 4 2
0 4 1 8 1
1 0
0 8
0
2
2
2
2 2
14
15
0 1
4 36 32
0 1 4 3
0 1
4 4
2 4 9 1
1
1 1
2
0
p
2
2 2 2
2
2
2
2 2
2
2
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5
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focos tanto
focos
focos
Determine focos
F y F esto nos indica que el centro es el punto o bien como sabemos
el centro esta en medio de los por lo centro
tambien F y F nos indica que es una elipse horizontal
asin que su ecuacion canonica es
x a y b
c dist foco centro centro foco
eje menor semi eje menor
tambien sabemos que en una elipse horizontal c
dist centro vertice V y V
la euacion es
x y
x y x x x y x x y
x y x y
y como es se abre en sentido del eje y
es una parabola con el eje focal al eje y
su vertice es y su foco es directriz corta el eje y y
Lado recto es LR p
Ejercicio
Ejercicio
p
n
Respuesta En una elipse el centro esta en medio de los
n
Respuesta siempre va por ese orden en una parabola
Si los de una elipse son los puntos F y F
y su eje menor mide calcula su ecuacion
las coordenadas de los y directriz y lado recto
de la parabola cuya ecuacion es x y x
Recuerda
vea la grafica
Recuerda
vea la grafica
foco vertice Directriz
4 0 4 0 0 0
2
4 4
2
0 0 0 0
4 0 4 0
1
4 0 4 0 4
2 1
16 1 17
17 0 17 0
17 1 1
8 8 24 0 8 8 24 0 8 16 16 8 24 0
4 8 8 4
4 3 1
4 8
2
2
2 2
16
17
4 1
4 1 4
4 0 4 0
2
8 8 24 0
1 2
1 2
2
2
2
2
2 2
2 2 2 2
1 2
2 2
2 2 2
2 2
1 2
2
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eliminar terminos
asin
asin
tan
tan
cos
arctan
tan
cos sin
La ecuacion E es de la forma A x B xy C y D x E y F
B AC E es una Elipse
Para transformar E en una ecuacion canonica reducida hay que hacer dos pasos
hacer una traslacion para los lineales
Al hacer una traslacion k
h
remplazando en E
E h h k k h k
h hk k h
k
los coeficientes de y de deben ser nulos
h
k luego centro de la elipse es
calculando
que una vez hecha la traslacion E queda de la forma
Hagamos una rotacion de los ejes poder anular el coeficiente de
Antes de nada calculemos el angulo de rotacion para ello aplicamos la formula
A C
B
cat ady x
cat op y
sen
es el angulo de inclinacion respecto al eje de coordenadas
Ejercicio
h
k
n
Respuesta
h k
h k
h k
h k
h k
h k
Paso
h hk k h k
h hk k h k
Paso
II
asi poder hallar sen y errores
ojo aqui no se debe simplificar los signos
Vea la imagen
Recordad
y y
x x
x x y y x y
x x y y
x x y y
y y
x x
x x y y
x y
x x x
x
x
y y
y
y
y
0
4 4 4 11 14 0
11 4 14 40 20 45 0
11 11 4 4 14 14 40
20 45 0
11 4 14
0
2
1
7 1 2 0 150 300 0
2 8 28 20 0 1
2
2 1
5
11 4 14 5 0
2
11 14
4
3
4
1 2
2
1 5
3
5
4
5
2
5
4
2 2 63 44
1
2
2
1
18
22 4 40
22 4 40
22 4 40 0
11 4 14 40 20 45 0
4 28
20
4 28 20
4 28 20 0
1
11 4 14 40 20 45
11 4 14 40 20 45
Rotacion Traslacion
1
1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1 1
1
1
1 1
1
1
1
2 2
2 2
2 2
1
2 2
1
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2
2 2
2 2
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$
3 1
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a
a
a
a
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31

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cos
cos
s
Tan
cat ady x
cat opu y
sen
sen
sen
Remplazando en queda asi
on muchos calculos para llegar a la ecuacion reducida por este motivo prefiero la matricial
semi eje mayor semi eje menor centro
e excentrecidad
dist vertice centro semi eje mayor
dist foco centro c
c c c c e
vea la imag
II
x x y x y
y y x y x
x y x y y x y x
x y x y x y
x y
x y
x x
x
x
x x x x
y y
y
y
y y
y y
1
2
5
2
5
2 5
5
1
5
5
5
5
5
2 5
5
5
5
2 5
11
5
5
5
2 5
4
5
5
5
2 5
5
5
5
2 5
14
5
5
5
2 5
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11 4
14 5 0
5 0
15 10 5 0 3 2 1 0
3
1
2
1 1
3
3
2
2
1
2
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2 1
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1
2
1
6
6
2
2
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6 2
6 2
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25
20
25
5
25
20
25
20
25
220
25
60
25
280
25
5
25
10
25
20
25
55
25
40
25
280
25
20
25
10
25
5
25
220
25
40
25
70
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
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m m
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D
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32

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distinto
tanto
distancia
distancia
Distancia
A
x y xy x y
La matriz asociada a E las submatrices
A A A A
A A
Como A y A que E es la ecuacion conica de una
Ecuacion Reducida es de la forma x y
como es una hiperbola
es el valor propio de
signo a k
luego
por lo queda la ecuacion de la seguiente forma
x y k x y
x
y
x y
c
e
vertice centro
c foco centro
y x
x y
x y b
x y a
a b y y remplazando en
x x x luego el
A
Ejercicio n
Respuesta f x y x y x y x y
hiperbola
x y
c
e
dy
df x y
dx
df x y
centro es C
E
A
Relacion entre los coeficientes y clasificacion
Ecuacion Reducida y calculo de sus coeficientes
Semi ejes
focal c
Excentrecidad e
Centro
k k
A
A
Recuerda
A
y son los valores propios de A A I
a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a a
a
a
a
a a
a
a
a a
a
a
1 1 4 4 6 1 0
1
2
3
2
1
2
3
2
1
1
2
2
1
1
3
3
1
1
2
2
1
1 12 12 9 4 4 8 0 1 4 3 0
0 0
0 3
8
3
8
1
2
2
1
1
0
0
1
0
1
2
2
1
0 1 4 0 1 2 0 1 2 1 2 0
3
1
3 1
0 3 3
8
0
3
1 3
8
9
8
3
8 1
9
8
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8
9
32
3
8
3
4 2
2 2
4 2
2 4 6 0 2
2 4 4 0 1
4 2 6 0
4 8 8 0
6 2 0 3
1
1
1 2 3
4
4 0 2 3
8
0 3
4
19
2 2 2 0
9
8
3
8
1
3
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3
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2
0
0
3
4
3
1
4 4 6 1 0
0
X
2 2
00 11 22
00
00
2 2
2 2 2
1 1 2
1
2
2
2 2 2
2
2
2 2
2 2 2
1
22
22
22 22
22
2 2
2
2
2
2
2 2
11
11
11
11
11
12
12
12
12
12
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01 02 00
00
01
02
01 02
00
00
02
02 00
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1 2
1 2 00 00
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m m m m
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m m m
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tanto
tanto
cos
cos
cos cos
vectores propios asociados a
A I
x
y
x y
x y
se ve que
x y y x por lo
el auto espacio asciado a es E x y tal que y x
x y x x x es el auto vector asociado a
luego la pendiente del eje focal es m y como el eje focal pasa por el centro
C y x y x
A I
x
y
x y
x y
se ve que
x y y x por lo
x y y y y es el auto vector asociado a
luego la pendiente del eje no focal es m y como el eje no focal pasa por el centro
C y x y x
En el apartado anterior hemos hallado los auto vectores asociados a y
que son v y v respectivamente
v su vector unitario es u v su vector unitario es u
la matriz B B
la matriz B es de la forma
sen
sen
esto nos indica que
sen sen
Ejes focales
Eje focal
Eje no focal
Calculo de angulo de rotacion
Los ejes focales son rectas que pasan por el centro y tienen la direccion
de los vectores propios asociados a y esta ligado al eje focal y al eje no focal
y x eje focal
y x eje no focal
v
a
b
su vector unitario es u
a b
a
a b
b
angulo de rotacion
ojo
Recuerda
siempre B si da cambiamos
las columnas de posicion y problema resuelto
3
1
2
2
1
3
0
0
3
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
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2 2 0 2 1 2
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1
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1
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2
2
2
2
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0
0
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2 2 0 2 1 2
2 2 0
1
1 1 1
3
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1
3
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3
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1
3
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1
1
1
1
1
1
1
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1
2
1
1
2
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2
2
4
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1
2
1
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1
1
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1
1
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1
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1
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1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
R
R
1
2
1 2
1 1 2 2
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00
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1
2
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2
2
2
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2 2
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U
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tanto
terminos
asintotas
Asintotas :
Focos :
interseccion
cos intersectando
distancia
y x
x y xy x y
x x x x x x
x x x x x x x x x x x
luego x remplazando en
y
y
por lo los vertices son V y V
y x
x y xy x y
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x no tiene solucion
luego los vertices son
f x y x y xy x y considerando los de grado de f x y
x y xy y haciendo x e y m
m m m m
m m
m
m
y como las pasan por el centro
S S
y x
y y x x c
y x a
y x b
b x x x x x
x x
si x y
si x y
Vertices
a
b
b
a
c
d
d
f x y
y
f x y
V y V
y x y x
Los fo se hallan el eje focal con la circonferencia de centro
F
F
1
4 4 6 1 0
1 4 1 4 6 1 1 0
2 1 4 4 4 6 6 1 0 6 16 8 0 3 8 4 0
64 4 3 4 16 4 2 3
8 4
2
3
2
1
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1
2 1 3
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9
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0 9
8 8
9
56
0
9 24 28 0 24 4 9 28 24 36 28 0
4 4 6 1 0 2
4 0 1
1 4 0 4 1 0 16 4 12 2 3
2
4 2 3
2 3
2 3
2 3
1 1
3
1
3
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2
1 3
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32
3
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18
32
9
16
3
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35

2
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:
.
:
distan
recta del eje no focal y x y x
una recta paralela a es de la forma y x k
sabemos que dist c
k
k k
k k k hay dos rectas directrices
Directrices
Son rectas Paralelas al eje no focal y tales que c del centro de la conica
D y x
D y x
Vea la grafica
r
r r
r r
3
5
3
5
0
0
1 1
3
5
3
4 2
9
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3
5
2
9 4 2
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3
5
3
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3
5
3
2
3
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3
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2
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2
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+ + + +
+ + (
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36

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1
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1
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,
,
,
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.
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distinto
tanto
distancia
distancia
Distancia
A
x y xy x y
A A A A
A A
como es una hiperbola
signo a k
luego
x y k x y x y
x y
x y
c
e
vertice centro
c foco centro
x y
x y
x y
luego el
Ejercicio n
hiperbola
x y
c
e
dy
df x y
dx
df x y
centro es C
E
Recuerda
A
A
Semi ejes
focal c
Excentrecidad e
Centro
A
k k
A
A
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a
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a
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a
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0
1
0
1
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0 1 4 0 1 1 0
3
0 3 5 3
1
0 3 5 3
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5
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9
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5
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9 15
1 9 15
9 3 5
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9 3 5
11 3 8
3
11
3 5
11 8
8 2 4
2 8 4
2
8
8
2
4
4
8
2
4 64
8 32
60
40
3
2
2
8
8
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8 32
60
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2 2 2 0
3
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15
11
1
3
1
15
11
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11 8
5
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0
3
2
3
2
8 4 4 1 0
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00
00
2 2
2 2
1 1 2
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2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
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00
01
02
01 02
00
00
02
02 00
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11
11
11
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m m m
m m m m
m m
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a
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m m m
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q
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,
tanto
tanto
cos
cos
cos cos
A I
x
y
x y
x y
se ve que
x y y x por lo
x y x x x es el auto vector asociado a
C y x y x
A I
x
y
x y
x y
se ve que
x y y x por lo
luego la pendiente del eje no focal es m y como el eje no focal pasa por
el centro C y x y x y x
En el apartado anterior hemos hallado los auto vectores asociados a y
que son v y v respectivamente
v su vector unitario es u v su vector unitario es u
la matriz B B
la matriz B es de la forma
sen
sen
esto nos indica que
sen sen
Ejes focales
Eje focal
Eje no focal
Calculo de angulo de rotacion
y x eje focal
y x eje no focal
v
a
b
su vector unitario es u
a b
a
a b
b
angulo de rotacion
ojo
Recuerda
siempre B si da cambiamos
las columnas de posicion y problema resuelto
3
1
4
4
1
3
0
0
3 4
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4
4
4
4
0
0
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3
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3 3 3 3 3 3
1
4
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1 0
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4
4
4
4
4
0
0
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4 4 0 2 1 2
4 4 0
1 1
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4
0
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1
1
1
1
1
1
1
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2
1
1
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2
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2
1
2
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1
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1
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1
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R
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,
,
tanto
terminos
asintotas
Asintotas :
Focos :
interseccion
focos intersectando
distancia
y x
x y xy x y
x x x x x x
x x x x
luego x remplazando en
y
y
por lo los vertices son V y V
y x
x y xy x y
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x
no tiene solucion
luego los vertices son
f x y x y xy x y considerando los de grado de f x y
x y xy y haciendo x e y m
m m m m
m m
m
m
y como las pasan por el centro
S S
c
y x Eje focal
y y x x c
y x a
y x b
b x x x x
si x y
si x y
Vertices
a
b
b
a
c
d
d
f x y
y
f x y
V y V
y x y x
F
F
Hiperbola
Elipse
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2
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22
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22
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4 22
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6
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6
4 22
6
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6
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3
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4
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8 3
2
4 4 9
48
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40
9
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0
0 120 73 0
20 4 9 3 14400 6 28 0
8 4 4 1 0 2
8 0 1
1 8 0 8 1 0 4 4 0 2 5
2
2 5
5
5
5
3 3 9 5
1 8
2 3 9 5
11 8
3 9 5
11
3
2
3
2
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2
3
2
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6
4 22
6
4 22
6
4 22
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y x
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recta del eje no focal y x y x
sabemos que dist c
k
k
k k k k
k hay dos rectas directrices
Directrices Son rectas Paralelas al eje no focal y tales que
c
semi eje de la fraccion
A x B y m A x B y n
dist
A B
m n
D y x
D y x
Recuerda
Vea la imagen
Vea la grafica
r
r r
r r
r r r r
r r
2
2
3 3 0
0
1 1
3
3 15
11 8
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1
3 2
9 11 8
1 3 15
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3 2 2 11
11 11 5
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tanto
distancia
distancia
Distancia
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x y xy x y
A A A A
A A
A Es una
como es una Elipse
menor en valor absoluto
luego
x y k x y x y
x y
x y
c c
e
vertice centro
c foco centro
x y
x y
x y
luego el
Ejercicio n
Elipse
Elipse Real
x y
c
e
dy
df x y
dx
df x y
centro es C
E
Recuerda
A
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Semi ejes
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Excentrecidad e
Centro
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0 0
15 2000 0
0 0
000
40
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0
1
0
0 9 0 10 0
5
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0
0 0 40 0 2 8 8 4 1
2 2 2
1
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2 2
2
8 2
12 4
12
18
4
2 8
16 6
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00
1
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4
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2 2 2
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6 9 4 4 32 6 0
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00 11 22
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2 2 2 2 2
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2
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2 2
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2
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00
01
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01 02
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02
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11
11
11
11
11
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22
22
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12
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12
12
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m m m
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2
2
2
2
tanto
tanto
Focos : focos intersectando
distancia
A I
x
y
x y
x y
se ve que
x y y x por lo
C y x y x
A I
x
y
x y
x y
se ve que
x y y x por lo
luego la pendiente del eje no focal es m y como el eje no focal pasa por
el centro C y x
Pendiente del eje focal es m sea m la pendiente del eje no focal
m m m y como el eje no focal pasa por el centro
queda de la forma seguiente y x y x y x
c
y x Eje focal
y y x x c
y x a
y x b
b x x x x x x
x x x x x
y x y y
luego y
Ejes focales
Eje focal
Eje no focal
Otro Metodo
Eje no focal
y x eje focal
y x eje no focal
el eje no focal es perpendicular al eje focal y sabemos que cuando
dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es
eje no focal y x
F F
Hiperbola
Elipse
6
2
2
9 0
0
4
1
2
2
4
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0
0 1
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10
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16
1 5
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1 5
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2
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5
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0
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0 4 5
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2
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1
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5
5 4 5
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10 2 5
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5 4 5
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10 2 5
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1
2
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2
R
R
2
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2
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0
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interseccion
distan
x xy y x y
x x x
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x x x x
x
y x y
x xy y x y
x x x
x x x x x x x x x
x x
x x
y x y
luego los vertices Segundarios son
recta del eje no focal y x
sabemos que dist c
k
k k
k
hay dos rectas directrices
Vertices
a
b
b
c
d
d
Directrices
f x y
y
f x y
y x
x x x
V V
y x
x x x
A y A
c
semi eje mayor
A x B y m A x B y n
dist
A B
m n
y x
D y x
D y x
Vertices
Segundarios
Vertices
Principales
x x x
x x x x
Recuerda
Vea la grafica
r
r r
r r
r r r r
r r
2
2
4
6 4 9 4 32 6 0
6 4 9 4 32 6 0
4
81
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25
4
50
4
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0
25 50 135 0 5 10 27 0
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10 2 10
5
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15
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0 2 10
5
0 2 10
6 4 9 4 32 6 0
6 4 9 4 2 6 0
6 8 16 36 144 144 4 64 128 6 0 50 100 10 0
5 10 1 0 10 4 5 80 2 5 2 5
10
10 2 5
5
5 2 5
2 4 5
10 2 5
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5
10 2 5
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2
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5 2 10
5
10 2 10
5
5 2 10
5
10 2 10
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2 4 2 4 2 4
5
5 2 5
5
10 2 5
5
5 2 5
5
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2 4 4 5 0
2 4 4 5 0
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1
1 2
1 2 1 2
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2
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2
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2 2
2 2
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2 2 2 2
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tan
interseccion
A
x y xy x y
A A A A
A A
Ecuacion Reducida es de la forma y x
el signo de es contrario al de
luego la Ec Reducida queda Asi y x
y p x
dx
df x y
dy
df x y
x y y x
x y y x x y
Resolviendo el sistema
y x eje focal a
x y xy x y b
b x x x x x x x x x x
remplazando en a y por lo to el vertice es
Ejercicio n
Parabola
y x
Parametro de la parabola es p
Es de la forma dx
df x y
dy
df x y
y x Eje focal
dx
df x y
dy
df x y
f x y
V
E
Recuerda
A
A
A
Ecuacion del eje focal de una parabola
Vertice
A
a
a
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5 2 5 0
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0 4 2 4
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2
4 4 2 4 10 0
4 4 2 4 10 0 8 8 10 10 0 1
2
2
2 2 2 0
5
2 5
5
5
0
2
0
0
1 2
4 2 4 0 0
2
2 2
00 11 22
00
00
2
2
2
11
12
2 2
2 2 2 2
2 2
2
11
12
11
12
2 2
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00
01
02
01 02
00
00
02
02 00
01
01
2 1
2 2
1 1 2 1
11
11
11
11
11
11
11
22
22
22 22
22
22
22
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12
12
12
12
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interseccion
y x eje focal a
y x b
b x x x x x
x x
para ver que puntos son cada uno lo primero colocaremos el vertice
asi que podemos asegurar que el punto que esta antes es el
y el punto que va despues del es el
y pasa por el punto
Eje focal y x su pendiente m sea m la pendiente de la Directriz
sabemos que D eje focal m m m y como Dir pasa por
su Ecuacion queda de la forma y x y x
Foco y Directriz de una parabola
D
D
Recuerda
Para hallar el foco y la Directriz se hace la del eje focal con la circonferencia
de centro V vertice y radio
p
siendo p el parametro de la parabola
V
La Directriz es perpendicular al eje focal
D y x
F
F
x
x y
x y
2
2 1
10
5
2 1
100
5
4 1 1
20
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100
1
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1
10
10 1
10
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10
22
5
11
10
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11
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18
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11
2 2
1 2
1
2
1
2
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10
11
5
11
10
11
5
11
10
11
5
11
5
11
10
11
2
1 2
1 2
1 2
4 2 11 0
10
9
5
9
1 1
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2
2 2 2 2 2
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h
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h l
g
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46

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2
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:
:
:
: interseccion
A
x xy y x y
A A A A
A A
Ecuacion Reducida es de la forma y x
el signo de es contrario al de
luego la Ec Reducida queda Asi y x
y p x
dx
df x y
dy
df x y
x y y x
x y y x x y
x y
Resolviendo el sistema
y x eje focal a
x xy y x y b
b x x x x x x
x x x x x x x x x
x remplazando en a y y
Por ultimo el vertice es
Ejercicio n
Parabola
y x
Parametro de la parabola es p
Es de la forma dx
df x y
dy
df x y
y x Eje focal
dx
df x y
dy
df x y
f x y
V
E
Recuerda
A
A
A
Ecuacion del eje focal de una parabola
Vertice
A
a
a
a
a
a
a
a a a
a
a
a
a a
a
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a a
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a
a
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a
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a
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4 4 2 8 0
0
1
1
2
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5
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324
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99
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2
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11
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interseccion
y x eje focal a
y x b
b x x x x
x x x x
x x x x
remplazando en a y y
los puntos son
para ver que puntos son cada uno lo primero colocaremos el vertice
asi que podemos asegurar que el punto que esta antes es el
y el punto que va despues del es el
y pasa por el punto
Eje focal y x su pendiente m sea m la pendiente de la Directriz
sabemos que D eje focal m m m
y como Dir pasa por su Ecuacion es
y x y x
Foco y Directriz de una parabola
D
Directriz
D
Recuerda
Vea la grafica
Para hallar el foco y la Directriz se hace la del eje focal con la circonferencia
de centro V vertice y radio
p
siendo p el parametro de la parabola
V
La Directriz es perpendicular al eje focal
D y x
F
F
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9
100 50
9
0
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2
1
10
9
100
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99
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99
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1
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100
13
50
103
100
13
50
103
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103
100
13
50
103
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