geometria-banhakeia 3d

1. , , , , , , , , , , ,
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cos
exp
cos
exp log
cos
tan
det
det tan
det
det min
Sean Los vectores u u u u v v v v A a a a B b b b
b a b a b a
v v v v
u
u
u
u
u
u
u
es representada por un punto u v
u v
u proy v v proy u
u v u v u v
u v es el menor angulo formado entre u y v
u v u v
Sean Los puntos A a a a B b b b C c c c D d d d
Sea M ese punto medio M
a b a b a b
Sea G ese punto
G
a b c a b c a b c
es una piramide triangular
Es un poliedro regular formado por equilateros
Sea G centro de gravedad
G
a b c d a b c d a b c d
es representado por X o bien por
w u v quiere decir que w u y w v
fuerza de lorentz q v X v y
u v u v sen u v el producto vectorial sirve para hallar Area
si u v
los vectores son paralelos es decir u v o bien u v
al menos uno de los dos vectores es cero
u v w u v w
w w w
v v v
u u u
u v w resa el volumen del paralelepipedo definido por los vectores u v w ver imagen
u v w u v w u v w area altura s h
el n real u v resa la area s del parale ramo que definen
los vectores u y v y w es la altura del paralelepipedo
vectores no nulos y no paralelos en el espacio es en el mismo plano
o en planos paralelos Ssi el producto mixto entre ellos es cero
u v y w son coplanares Ssi u v w
u es combinacion lineal de v w z si y solo si existen
no todos nulos tal que u v w z o bien u v w
u v w u v y w es en el mismo plano coplanarios
u v w
Vector definido por dos Puntos A y B
Modulo del vector v
Vector unitario del vector u
Producto Escalar de u y v
Punto Medio del segmento de extremos A y B
Baricentro de un triangulo ABC
Centro de Gravedad de un tetraedro
Producto Vectorial
u v er ante
v v v
u u u
i j k
v v v
u u u
i j k
es un vector
Producto Mixto
Combinacion Lineal
u v y w son Linealmente Dependiente
u v y w son Linealmente InDependiente
vea la imagen
Ejemplo
AB
F B F F B
2 2 2
3 3 3
4
3 3 3
0
0 180
3
0
0
0
0
u
u v
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1
2
2
2
3
2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 2 3 3
1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
1
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Q
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Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
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V
V
Y
Y
V
V
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G
E H
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El dedo indice debe
señalar siempre al 1º
vector que multiplica,en
nuestro caso es la
Volumen de tetraedro
1/6
Proyeccion de u sobre v
Producto Escalar
G Baricentro
G Centro de Gravedad de tetraedro

2. :
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cos
int sec
cos
tan
det
sec
k k
Los elementos caracteristi de una Recta son
un punto P a b c y un vector director v v v v
x y z a b c v v v siendo
z c k v
y b k v
x a k v
siendo k
v
x a
v
y b
v
z c
A x B y C z D
Ax By Cz D
dos planos cuya er cion es una recta
las ecuaciones implicitas son ecuaciones de
su vector director es w
A B C
A B C
i j k
B C
B C
A C
A C
A B
A B
Los elementos caracteristi de un Plano son
un punto P a b c y dos vectores directores u u u u y v v v v
x y z a b c u u u v v v siendo
z c u v
y b u v
x a u v
siendo
Ax By Cz D
v v v
u u u
x a x b x c
el vector normal es n A B C
uno de los vectores directores se puede coger como v B A
Ecuacion de un plano que pasa por un punto P a b c y tiene un vector normal n A B C es
A x a B y b C z c
Sean Dos rectas r y s Para estudiar su posicion relativa
se considera el punto A a a a r y el punto B b b b s y los vectores
directores u y v de las rectas r y s
se estudia la dependencia lineal de los vectores
b a b a b a u u u u y v v v v
Que es lo mismo que estudiar el rango de la matriz M
v v v
u u u
b a b a b a
rag M
independientes r y s no es en el mismo plano r y s se cruzan
M los vectores u y v son
rag M las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales r y s son antes
las coordenadas de los vectores directores son proporcionales r y s son paralelas
rag M
que las dos rectas r y s son coincidentes
Las coordenadas de los vectores u y v son proporcionales a decir
Ecuaciones de una RECTA
Ecuaciones de un
POSICION RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion Continua
Ecuacion
General
Implicita
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion
General
Implicita
Metodo
Plano
o bien
o bien
pueden darse dos casos
AB
AB
AB
0
0
0
0
0
3
0 3
2 1
2
1
3
1
R
R
R
R
1 2 3
1 2 3
3
2
1
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
2
3 3
2 2
1 1
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
1 2 2
1 2 2
1 1 2 2 3 3
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a b a b
a b
a b
a b
a b
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Q
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Z
V
Y
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Z
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G
G
G
G
G

3. :
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tan
det
det tan sec
det min
tan
sea el punto A a a a r y el punto B b b b s
y los vectores directores u y v de las rectas r y s
proporcionales
no son
u y v
que no es en el mismo plano r y s se cruzan
Si u v u v u v son linealmente independientes
Si u v u v es en el mismo plano r y s antes
proporcionales
son
u y v
si A r y A s r y s son paralelos
si A que a r pertenece tambien a s r y s coincidentes
conocidas las Ecuaciones Implicitas de las rectas r y s su posicion relativa
viene er ada por la discusion del sistema de Ecuaciones que forman
s
A x B y C y D
A x B y C y D
r
A x B y C y D
Ax By Cy D
para ello estudiaremos el rango de las matrices
Matrice de coeficientes M
A B C
A B C
A B C
A B C
Matriz Ampliada M
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
si rag M y rag M se cruzan
si rag M y rag M se cor
si rag M y rag M son paralelas
si rag M y rag M son coincidentes
Metodo
Metodo
AB AB AB
AB AB
0
0
0
0
0
0
3 4
3 3
2 3
2 2
2
3
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*
*
*
*
1 2 3 1 2 3
1
1
1
1
1
1
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1 1 1 1
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1
1
1
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1 1 1 1
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K
K
K
K
K
K
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G
G
G
Rectas Coincidentes Rectas Paralelas
Rectas Secantes Rectas se cruzan
-
-
-
-
( Sistema Incompatible)
(Sistema Compatible Determinado)
( Sistema Incompatible )
( Sistema Compatible Indeterminado )

4. *** .
*** .
, ,
sec
sec
Posicion relativa de un una recta y un Plano
Sea la recta r de la cual conocemos su vector director v y un punto A
y un plano P del cual conocemos su vector normal n
si el producto escalar de v n v n entonces hay dos posibilidades
si A P Plano la recta es paralela al plano P
si A P Plano la recta esta contenida en el plano P
si el producto escalar de v n v n recta r y Plano P son antes
vea las imagen de abajo
Posicion relativa de dos Planos
Sean los planos P Ax By Cz D y P A x B y C z D
A
A
B
B
C
C
D
D
A
A
B
B
C
C
D
D
A
A
B
B
o bien
C
C
D
D
Los Planos son Coincidentes Los Planos son Paralelos Los Planos son antes
0
0
0 0
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l l l l l
l l l l l l l l l l l l
Q
Q
V
V
G
Recta esta contenida en el plano
Recta paralela al plano
Recta y el Plano secantes

5. ,
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.
sec
sec
min
tan
min
tan
sec sup
Posicion relativa de una recta y un plano
r
A x B y C z D
Ax By Cz D
y P A x B y C z D
Matriz coeficientes M
A B C
A B C
A B C
Martiz Ampliada M
A B C D
A B C D
A B C D
si ragM ragM la recta y el plano son antes r P
si ragM y ragM la recta es paralela al plano r P
si ragM ragM la recta esta incluida en el plano r P
Posicion relativa de Dos plano
P Ax By Cz D P A x B y C z D
M
A B C
A B C M
A B C D
A B C D
Si ragM ragM P y P son antes P P
Si ragM y ragM P y P son paralelas P P
Si ragM ragM P y P son coincidentes P P
Posicion relativa de Tres plano
P Ax By Cz D P A x B y C z D P A x B y C z D
A B C A B C A B y C son llamados coeficientes de las variables
D D y D son llamados ter os independientes
A x B y C z D
A x B y C z D
Ax By Cz D
M
A B C
A B C
A B C
M
A B C D
A B C D
A B C D
Si ragM ragM sistema compatible los planos se cor en un punto
Si ragM y ragM sistema incompatible pueden darse dos casos
los coeficientes de las variables de dos planos los coeficientes de las variables
son proporcionales y no lo son sus ter os no son proporcionales
independientes los coeficientes de las variables
del tercer plano no son proporcionales a los otros
los tres planos se cor dos a dos
planos paralelos y otro es ante formando una erficie prismatica
0
0
0
3
2 3
2
0 0
2
1 2
1
3 3
2 3
2
2
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P
P
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P''
P''
( Punto Rojo de la imagen )

6. 2
.
1
1
det min
tan
int tan
sec
min min
det min
Si ragM ragM sistema compatible in er ado
Los Planos se cor en una recta se puede dar dos casos
los coeficientes de las variables dos Planos sus coeficientes son Proporcionales
no son proporcionales y no lo son con el tercero
Los tres Planos son dist os y se cor
en una recta pertenece a un haz de Planos Dos Planos coincidentes y otro es ante
Si ragM y ragM el sistema es incompatible pueden darse dos casos
los coeficientes de las variables son planos sus coeficientes son proporcionales
proporcionales y de los ter os y con los ter os independientes del
independientes
los tres planos son paralelos dos coincidentes y otro paralelo
Si ragM ragM sistema compatible in er ado
todos los coeficientes son proporcionales
los planos son coincidentes
2
2
3
3
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P P
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mod
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tan
tan
tan
Modulo del
Dis cia entre dos Puntos
sean los puntos A a a a y B b b b
dist A B b a b a b a
Dis cia entre un Punto y una Recta
Hallar la dis cia entre el punto B y la recta r es calcular
dist B r
v
v
v producto vectorial v
A r
v vector director de la recta r
Dis cia entre dos rectas paralelas
Sean las rectas r A un punto a r
v vector director
s B un punto a s
v vector director
dist r s dist A s
v
v
ulo del vector director v
ulo del producto vectorial v
Dis cia entre dos rectas que se cruzan
dist r s
v v
v v
ulo del producto vectorial
ulo del producto mixto
otra manera de calcular las dis cias
r s dist r s r s dist r s r s dist r s dist A s
Dis cia de un punto a un plano
Sea A a a a ese punto y el plano P Ax By Cz D
dist A P
A B C
A a B a C a D Valor absoluto
Dis cia de una recta a un plano
Sea r la recta y P el plano
r P dist r P r corta al P dist r P r P dist r P dist A P
Dis cia entre dos Planos
Sean P y P dos planos
P P dist P P P corta P dist P P P P dist P P dist A P
AB
AB
AB AB
AB AB
AB
0 0
0
0 0
0 0
r
r
r r
r
r s
s
s
s
s
r s
r s
1 2 3 1 2 3
1 1
2
2 2
2
3 3
2
1 2 3
2 2 2
1 2 3
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Q
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Q
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Q
Q
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cos cos
tan cos
Angulo formado por dos rectas r de vector director u y s de vector director v
r s Angulo r s Angulo r s
u v
u v
r y s
u v
u v
Angulo formado por una recta y un plano r de vector director u y P de vector normal n
r P Angulo r P Angulo r corta P sen
u n
u n
Angulo formado por dos Planos Plano P con vector normal n y P con vector normal n
P P Angulo P P Angulo P P se cor
n n
n n
0 0
0 0
0 0
se cruzan
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a a a
a a a
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c c
c c
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exp
inf
exp
Tres Puntos A B C son alineados colineales sus coordenadas son proporcionales
vectores son colineales
que sus coordenadas son proporcionales
que uno puede resarse en funcion del otro
que podemos representarlos sobre una misma recta
Coplanares Significa que pertenecen al mismo Plano
vectores son siempre coplanarios
Puntos siempre son coplanarios ya que dichos puntos definen una recta por la cual pasan
initos Planos
si u y v son colineales u v y w son coplanarios
si u v y w son colineales
los otros dos por ej w u v
que uno de ellos se puede resarse en funcion de
que podemos representarlos en un mismo plano
w u v es un sistema
no tiene solucion no coplanarios
tiene solucion coplanario
puntos A B C son coplanares quiere decir que cualquier punto M x y z al Plano
que es la ecuacion Cartesiana de Plano
sea r y
x
z k
y
x
k cuidado muchos se creen que z
AB AC
AM AB AC AM AB AC
2
2
2
3
0 0
3
1 0 3
1
0
R
R
R
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tan
tan
tan
det
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
Sean los vectores u n v y w m
a para que valores de m y n los vectores u v y w son linealmente dependientes
y que u sea a w
Respuesta
u v y w son linealmente dependientes
m
n
n m
u w u w n m m n n m
y n m
n m
n m
n m
m m
n n n
Ejercicio n
Halla la ecuacion Implicita del plano que pasa por los puntos A B y C
Respuesta
Antes de nada hay que averiguar que los puntos no es alineados para eso calculemos
los vectores y
que las coordenadas de los vectores y no son proporcionales por lo to
los puntos A B C no es alineados que si se puede hallar el plano que contenga los puntos
Para hallar la ecuacion cartesiana del plano se necesita un punto y un vector normal n
vea la imagen
n
i j k
k k k
La ecuacion Implicita de un plano su forma general es A x B y C z D
siendo A B C su vector normal asi que el plano P es de la forma z D
por estar el punto A en el plano D D y por ultimo
P z P z
Otra manera de hallar la ecuacion cartesiana del plano
A
sea M x y z P plano
x y z
z
por ultimo la forma cartesiana del plano P z
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
1 3 1 0 1 1 2
1 2
1 0 1
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int sec
tan
tan
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Ejercicio n
Deducir la ecuacion parametrica y cartesiana del plano P que contiene los tres puntos
A B y C
Halla el Punto de er cion entre el plano y la recta r
x y z
x y z
Respuesta
Antes de nada hay que averiguar que los puntos no es alineados para eso calculemos
los vectores y
que las coordenadas de los vectores y no son proporcionales por lo to
los puntos A B C no es alineados que si se puede hallar el plano que contenga los puntos
Para hallar la ecuacion cartesiana del plano se necesita un punto y un vector normal n
vea la imagen
A
n
i j k
i k j k j i
i j k
La ecuacion Implicita de un plano su forma general es A x B y C z D
siendo A B C su vector normal asi que el plano P es de la forma x y z D
por estar el punto A en el plano D D y por ultimo
P x y z es la ecuacion implicita del plano
Otra forma de hallar la ecuacion implicita del plano y es la mas directa es
A
sea M x y z P
z
y
x
z
y
x
del plano P
Parametrica
Ecuacion
Ecuacion Implicita es
x y z
P x y z
hallar el p o de entre la recta r
x y z
x y z
y el plano P x y z
x y z
x y z
x y z
utilizando la regla de Cramer
x y z
El punto de entre la recta y el plano es I
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
1 2 1 2 1 3 0 2 1
2 2 0
2 3
3
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1 2 2
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1 2 2
1 2 1
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Ecuacion vectorial del Plano
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Ejercicio n
Dada la recta r
x y z
x y z
y el punto A
el punto A r
Halla el vector director de r
hallar la ecuacion implecita del plano P a r y pasa por el punto A
calcula el punto de er cion entre el plano P y la recta r
Respuesta
A r Imposible A r
r
x y z
x y z
sistema de ecuaciones de incognitas con ecuaciones
haciendo z r
x y
x y
x y
x y
x y
z
y
x
vector director de la recta es v
la ecuacion implecita del plano P a r y pasa por el punto A
vea la imagen
se ve claramente que el vector director de la
recta v coincide con el vector normal del plano n v
la ecuacion cartesiana de un plano es de la forma
P A x B y C z D siendo A B C vector normal
asi que P x y z D como P pasa por A A P
D D asi que P x y z
Otra forma de hallarlo es sabemos que A P y n v
sea M x y z P n x y z
x y z P x y z
calcular el punto de entre el plano P y la recta r
x y z
x y z
x y z
sea B B
B
x y
z luego punto de es I
AM
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1
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3
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2 8
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2 2 1 2 3 4
0 2 2 1 2 3 4 0
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4
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2 8
5 2 6
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1 2 1
5 2 1
2 3 4 14
1 2 1 8
5 2 1 6
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58
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1 2 8
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Ejercicio n
Sean los puntos A B y C
deducir la ecuacion cartesiana y parametrica del plano P que contiene los puntos
Hallar la ecuacion parametrica y continua de la recta r ortogonal al plano P y que pasa
por el punto A
hallar la ecuacion implicita del plano P paralelo P y pasa por el punto D
calcula la entre la recta r y el plano P
Respuesta
antes de nada los puntos A B C no deben estar alineados para eso lo calculemos y
A B y C
como sus coordenadas no son proporcionales A B C no es alineados
sabemos que A B y C pertenecen a P
A se puede escoger cualquiera de los puntos
Vea la imagen
sea M x y z P
z
y
x
z
y
x
del plano P
Parametrica
Ecuacion
Implicita es
x y z
P x y z cartesiana
Ecuacion parametrica y continua de la recta r P y que pasa por el punto A
la ecuacion vectorrial de una recta r que pasa por A y de vector director v x y z v
vea la imagen vector normal coincide con vector director
v n A
sea M x y z P v Ec Vect
r
z
y
x
Parametrica
Ecuacion
z
y
x
r
x y z
Ec continua
la ecuacion implicita del plano P paralelo P y pasa por el punto D
vea la imagen como se ve n n
n n asi que P x y z D
y como P pasa por D
entonces D D
luego P x y z
calcular la entre la recta r y el plano P
r
z
y
x
P x y z
x y z d
z c
y b
x a
d remplazando
en la ecuaciones anteriores x y z r P I
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
OA
OM OA
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Ejercicio n
Sean dos plano P
z B
y
x
P x y z
Ecuacion Vectorial y Implicita de P
punto de y el vector director de la recta r P P
deduzca la ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es a r
Respuesta
P
z B
y
x
z
y
x
dos vectores directores u y v del plano
de aqui podemos deducir un punto A y
A u v
sea M x y z P u v Ecuacion Vectorial
Ecuacion Implicita u v
x y z
P x y z
la recta r P P
P x y z
P x y z
x y z
x y z
con incognitas
sistema de Ec
sea x
b y y
a b z z
Ecuacion parametrica de r
z
y
x
vector director v y el punto I
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es a r
el vector director v de la recta r es a la vez el vector normal del plano P
asi que P x y z D pero como sabemos que P pasa por B B P
D D luego P x y z
Ejercicio n
Halla las ecuaciones vectorial parametrica y continua una recta que pasa por los puntos
A y B
Respuesta
Sea r esa recta buscada y M x y z un punto cualquiera de r el vector un vector
represen te del vector direccion de la recta r
M x y z r siendo es la ecuacion vectorial de r
z
y
x
z
y
x
Ecuacion Parametrica de r
z
y
x
z
y
x
x y z
Ecuacion continua de r
AM
AM
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AM AB
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1 2
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Ejercicio n
pasar a parametricas las rectas seguientes r
x y
z s y
x
Respuesta
r
x y
z la forma mas facil es cogiendo un parametro k
k
x y
z
z k
y k
x k
z k
y k
x k
Ec Parametrica
s y
x
aqui no aparece z z k parametro
s
z k
y k
x k
Ec Parametrica
Ejercicio n
Hallar la ecuacion del plano que pasa por A y es perpendicular a r
x y
z
Respuesta vea la imagen
el plano pedido es de la forma P ax by cz d siendo a b c vector normal de P
r P v vector director de r n vector normal de P n k v k
n k k k y como n es vector normal de P y pasa por A
k k k d d k por lo to P k x k y kz k
k x y z P x y z
Ejercicio n
Hallar la ecuacion implicita del plano que pasa por A y es al plano
P x y z y calcula vectores a el
Respuesta
P x y z y P el plano buscado como P P P x y z D
luego sabemos que pasa por A D D por lo to
P x y z
calcular vectores a el es lo mismo que buscar dos vectores directores de P para ello
pasemos la ecuacion del plano de implicita a parametrica
haciendo x e y la ecuacion queda asi
P
z
y
x
v
v
dos vectores paralelos
2
3
0
1
2 3 0
1
2
3
0
1
2
2
3
0
1
2
2
1 0
3 2
2
1 0
3 2
3 0
1
3 0
1 0
2 1 3
2
1
1
2
3
0
2 1 1
2 2 1 3
2 2 1 3 0 6 2 6 0
2 6 0 2 6 0
3 1 1
2 3 1 0 2
2 3 1 0 2 3 0
3 1 1 2 3 1 1 3 1 0 2
2 3 2 0
2
3
2
3
2
3
1 0 1 3
1 0 3 1
1 0 3
2
3 0 2
R
R
r r
2 2 2
2
2
2
2
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a b
b
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- + - = - + - =
-
- + + =
- + + = - + + =
- - + - + = =-
- + - =
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- -
c
c
c
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Q
Q Q
Q
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S
Q
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Q
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Q
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V
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V
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V
V
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G
G G
G
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b
b
b
b
b
b
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cos
cos
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
Calcula el angulo que forma la recta r
x y z
con el plano
P x y z
Respuesta
r
x y z
v P x y z n
angulo formado entre r P vea la imagen
n v n v n v
n v n v
n v n v sen
sen
n v
n v
sen arcsen
Ejercicio n
Dado el punto P calcula la ecuacion de la recta r simetrica de r
z
y
x
respecto al punto P en forma continua
Respuesta
hallaremos dos puntos A y B de la recta r a los cuales les calcularemos sus semetricos
A y B respecto al punto P una vez hallados podemos calcular la ecuacion de la recta
r ya que conocemos dos puntos suyos
r
z
y
x
x y z B
x y z A
P
fijandonos en la imagen sea A a b c B a b c
A P PA a b c a b c A
B P PB a b c a b c B
r pasa por A y B su vector director es cogiendo el punto A
sea M x y z r r
z
y
x
Ec parametrica
la ecuacion Continua de r su forma general es v
x a
v
y b
v
z c
r
z
y
x
z
y
x
x
y z
r
x y z
A B
A M A B
2
3
5
1
1
1
2 5 7 11 0
2
3
5
1
1
1 1 3 2 2 5 7 11 0 1 3 2
90
1 3 2 1 3 2
1 9 4
14 14
4
7
2
7
2
1 2 2
2
1
2
1 2 2
2
1
2
1 1 2 2
0 2 1 0
1 2 2
1 2 2 1 3 2 0 5 4 0 5 4
1 2 2 0 4 0 1 6 2 1 6 2
1 1 2 0 5 4
4 2
5
4 2
5
2
4
5
1
5
2
4
1
0
1
5
2
4
R
r
r r r
r r
r r
r
r
2 2 2 2 2 2
1 2 3
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m
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m
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a
a
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tan
sec int sec
sec int sec
sec
det
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
dada la recta r
z
y
x
y un punto A
Hallar la ecuacion parametrica del plano P que contiene la recta r y pasa por A
Hallar la ecuacion del plano P a la recta y pasa por el punto A
Respuesta vea la imagen
r
z
y
x
y un vector director v
podemos despejar un pt B
para hallar la ecuacion de un plano se necesi puntos
no alineados o bien vectores directores un punto o bien un vectro normal y un punto
de la recta hemos despejado v que es a la vez un vector director del plano
es otro vector director del plano y un punto A
sea M x y z P v Ecuacion vectorial
z
y
x
Parametrica
Ecuacion
Ec cart
x y z
P y z
P r vector normal de P es v y A P vea la imagen
P x y z D
P y z D
A P D D
P y z P y z
Ejercicio n
sea P x y z y la recta r contiene los puntos A y B
halla la ecuacion parametrica de la recta r
demostrar que la recta r es ante al plano P halla el punto I de er cion
Ecuacion cartesiana del plano CIA sabiendo que C
Respuesta
recta r contiene A y B el vector es el vector director de r
sea el punto M x y z r
z
y
x
parametrica de r
es la ecuacion
la recta r es ante al plano P y calcular el punto I de er cion
P x y z vectro normal n r
z
y
x
v
n v r y P son antes r P
remplazando los valores de x y z de la recta en la Ec del plano
x y z asi que I
Sea el plano que pasa por los puntos C I y A
x y z
M x y z es combinacion lineal de y
z
y
x
x y z x y z
AB
AM AB
AB
AM AB
AB
AM AC AI
AM AC AI AM AC AI
1 2
1 2
5
3 0 2
1
2
1
1 2
1 2
5
0 2 2
5 1 1
3
2
0 2 2
2 1 1 3 0 2
2 2 1
0 2 1
3 0 2
2 1 1
0 2 2
3 2
0 2 0
2 0 2 2 3 0 2
0 2 2 0
2 2 0
3 0 2 2 2 0 4
2 2 4 0 2 0
2 3 0 1 2 3 3 2 1
1
2
1 2 0
1 1 2 3 3 2 1 2 4 2
3 2
2 4
1 2
2
2 3 0 2 1 3
3 2
2 4
1 2
2 4 2
2 1 3 2 4 2 4 4 6 2 0
4 0 2
3 10 7 3 10 7
3 1 2 0 3 10 7 1 2 3
1 2 3 0 4 3 4 8 4
0
3 3 4
2 4 8
1 0 4
0 8 12 16 16 0 2 3 4 4 0
r
r
r
r
r
r
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a b
a b
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m
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m
m
m
m
m m
r
r
r r
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V
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13
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det
det min
det min
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
Sea P
z
y
x
el vector v es un vector director de P
y es perpendicular a la recta r
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B
por el punto A y es al plano P
halla Ecuacion parametrica de la recta r que pasa
halla la ecuacion Implicita de P
Respuesta
Ecuacion Implicita de P
z
y
x
y v y pasa por A
sus vectores directores v
sea M x y z P es combinacion lineal de v y v v v
x y z
P x y z P x y z
Ecuacion parametrica de la recta r que pasa por el punto A y es al plano P
vea la imagen vector director de r v coincide con n vector normal de P
sea M x y z r n v r
z
y
x
r
z
y
x
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es perpendicular a la recta r
P r v n n P x y z d pero como B P d
d luego P x y z
v es un vector director de P x y z
luego v no es un vector director de P
Ejercicio n
Dado el punto A la recta r
x
y
z
y el plano P x y z
er ar el punto B del plano P tal que la recta AB sea paralela a la recta r
Respuesta
la forma general de una Ec continua de r es v
x a
v
y b
v
z c
y de vector director v v v
la recta r pasa por a b c
r
x
y
z
r
x y z
y v
pasa por
denotamos la recta AB por r de la cual sabemos que pasa por A y es paralela a r
r r v v v asi que la recta r queda er ada de la seguiente manera
r
z k
y k
x k
como el punto B P y B r esto nos indica que P r B
P r
x y z
z k
y k
x k
k k
x y z k k k
por ultimo x y z B
AM AM
AM
3 2
1 2
4 3 6 1
3 1 1 2
3 0 2
2
1
1
3 2
1 2
2 1 0 1 0 3
1 1 2
0
2 1 0
1 1 2
1 3
0 2 4 5 0 2 4 5 0
2 3 0 2
2 4 1
2
4
3 2
2
0 4
3 3
3 1 1 2
2 4 1 2 4 0 2 4 2 0
4 2 4 4 0
4 3 6 1 2 4 5 0
2 3 4 6 1 31 0
1 2 3
2
1
2 2
1
2 2 0
2
1
2 2
1
2
1
1
2
2
1
2 1 2
1 2 1
1 2 3
2 1 2
3 2
2
1 2
2 2 0
3 2
2
1 2
2 2 0 1
2 2 0 1 2 2 2 3 2 2 0
1 2 1 2 1 3 3 2 5 1 3 5
R
r
r
r
r
AB
AB AB r AB AB
AB AB AB
AB
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1 2 1 2
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a b
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a
a
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a
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sec
det min
sec
tan
sec
int
tan
r P
Ejercicio n
a Estudia la posicion relativa del plano P y la recta r
P x y z r
z k
y k
x k
siendo k
b calcula la dis cia que hay entre la recta y el plano
c Halla la ecuacion Parametrica e implicita del plano que contenga la recta r y es a P
Respuesta Recuerda
si la Ec de la recta r esta en forma Parametrica y Plano P en cartesiano
k n de cero r P
k cte r y P son antes
k k in er ado r P
recta r
y pasa por el punto A
de vector director v
Ec Parametrica
plano P
de vector normal n
Ec cartesiana
si n v n v
si A P r P
si A P r P
si n v r y P son antes
recta r en forma implicita y el plano en forma implicita cartesiana
se jun las ecuaciones de la recta con la del plano
M matriz d coeficientes M matriz ampliada
si ragM ragM r y P son antes
si ragM y ragM r P
si ragM ragM r M
a asi que para responder a esta pregunta se puede hacer de maneras dist as
r
z k
y k
x k P x y z k k k k
Metodo
r
z k
y k
x k
r
A
v
P x y z P n
v n v n
veamos si A pertenece o no al plano A P
por lo to r P
Metodo
r
z k
y k
x k
la pasaremos a implicita para ello necesitamos pasarla antes a continua
k
x y z
r
x y z
y z
x y
y z
x y
r
y z
x y
P x y z ahora hagamos el estudio del sistema
x y z
x y z
x y z
M M
2 2 0 2
1
0
0 0 0
0
0
0
3
2 3
2
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2
2
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1 2 0
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2 2 0 2 1 1
1 1 1 2 1 1 2 1 1 0
2 1 1 1 0 2 5 0
2
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1
1
1
2
1 1
1
1
2
1
1
2
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1
2
2 0
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2 0
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1 1 0
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0 1 1 2
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V V V
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tan
tan min
log sec
tan
det
M ragM
M ragM
como ragM y ragM r P
b la dis cia que hay entre la recta r y el plano P
cuando nos referimos a la dis cia nos referimos a la disnacia ima que hay
por ica si r P dist r P si la r y P son antes dist r P
Recuerda si r P dist r P
n
A a B b C c D
siendo n es la normal del plano
dist un punto a b c de la recta P Ax By Cz D
r
z k
y k
x k
P x y z
dist r P dist u
c Ecuacion Parametrica e implicita del plano que contenga la recta r y es a P
vea la imagen
el vector normal n de P
representa un vector director
del plano y com r
el punto A
y el vector director v de la
recta tambien es del plano
por lo to ya conocemos
un punto y dos vectores
directores del plano
sea M x y z tal que n v Ecuacion vectorial de
z
y
x
z
y
x
ecuacion parametrica
Ecuacion Implicita es n v
x y z
x z y z x y y z
y z
A M
A M
2 1 1
0 1 1
1 1 0
2 1 1
0 1 1
1 1 0
1 2 1 0 0 1
1 1
1 0 1 2
2 1 1 2
0 1 1 2
1 1 0 3
2 1 2
0 1 2
1 0 3
2 6 2 6 3
2 3
0 0
0
2
1
1 2 0 2 2 0 2 1 1
1 2 0 2 1 1
2 1 1
2 1 1 2 1 0 2
6
6
6
1 2 0
0
2
1 2
2
1 2
0
1 1 1
2 1 1
1 2
0 1 2 2 1 2 4 0 3 3 6 0
2 0
R
* *
*
mod
p
r
r
r p r
r p r
ulo
valor absoluto
la recta
punto de
del plano
la normal
2 2 2
2
$
"
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7
1
z
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1
!
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r
r r
r
r
r a b a b r
r
a b
a b
a b
r
a b
a b
a b
r
- -
=- + - = = - = =
- - - -
=- - + =- =
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+ + + =
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+ + -
+ - +
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- = +
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-
- -
= - + + + - + + - + - = + - =
+ - =
U
U
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
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Q
Q
R
Q
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V
V
Z
V
V
Z
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V
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V
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V
V
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Z
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Z
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G
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44444444444
4 44444444444
4
P

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det
Ejercicio n
Dada la recta r
x y z
a Halla el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y contiene la recta r
b Halla el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y es a r
c Halla el plano P que contiene la recta r y paralelo a siendo P y Q
Respuesta
a el plano P en forma cartesiana pasa por el punto A y contiene la recta r
primero veamos si A o no a la recta A r
vea la imagen
r
x y z
A punto r
v vector director
M x y z P Plano v
A A v x y z
v
x y z
P x y z
b el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y es a r
vea la imagen
el vector director v es el
vector normal del plano P que su
forma cartesiana es
P A x B y C z D P x y z D
A P D D luego P x y z
c el plano P que contiene la recta r y paralelo a siendo P y Q
vea la imagen
P es vector director de P
r P A r tambien a P
v de r es vector director de P
M x y z P v
Ecuacion Cartesiana
x y z
x z x z
PQ
AM A A
A A AM
AM A A
PQ
PQ PQ
A M PQ
1
2
2
1
3
2
1 1 1
1 1 1
0 1 3 1 2 3
1 1 1
1
1
2
0
3
1
1
2
2
1
3
2
2 1 2
1 2 3
1 1 1 2 1 2 1 0 1 1 2 3 1 1 1
0
1 2 3
1 0 1
1 1 1
0 2 2 0
1 1 1
1 2 3
0 2 3 0
1 1 1 1 1 2 1 3 1 0 0 2 3 0
0 1 3 1 2 3
1 3 0
1 2 3
1 3 3
2 1 2
0 3 8 0 3 8 0
R
R
r
r
r r
r r r
r r
r
r
r
r r
2
2
$
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b
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a b a b
a b a b
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- + -
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+ + + = - + + + =
- - + - + + = = - + + =
-
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- -
- + -
= - - + = + - =
c
l
m
l
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l l l l l l l
l l l l
m
m m
m m
m
m
Y Y
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
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V
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V
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V
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G
G
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int sec
nt sec
Ejercicio n
Sea el punto A y la recta r
z k
y k
x k
k
a Calcula la ecuacion implicita del plano P que contiene la recta r y pasa por A
b Calcula la ecuacion implicita del plano P a la recta r y pasa por A
c Halla la er cion de r y r
z n
y n
x n
n
Respuesta
vea la imagen
a r P y A P
veamos si A r para ello debe satisfacer la Ec
k
k
k
k
k
k
imposible
r
z k
y k
x k
v vector dir de r
A r
A
sea M x y z P v Ecuacion vectorial del plano P
Ecuacion Implicita
x y z
P x y z
b Ecuacion implicita de P a la recta r y pasa por A vea la imagen de abajo
como se ve en la imagen el vector
director v de la recta r coincide
con el vector normal n del plano P
tambien sabemos que A P
la forma general de un plano es
ax by cz d siendo a b c vector normal del plano
n v P x y z d
A P d d por seguiente P x y z
c I er cion de r
z k
y k
x k
y r
z n
y n
x n
r r
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
n n
n remplazando en k ahora veamos si es cierto en la ecuacion
es cierto
z
y
x
I r r
AA
AM AA
2 0 3
2 5
1 3
3 4
5 2
2 3
2 0 3
3 2 5
0
2 1 3
5
1
0
3
1
2 5
1 3
3 1 5
1 0 2
2 0 3 1 0 1
3 1 5
1 0 1
2 3
0 8 1 0
3 1 5
2 0 3
0
3 1 5 5 0
2 0 3 3 2 0 5 3 0 9 3 5 9 0
2 5
1 3
3 4
5 2
2 3
2 5 3 4
5 2
1 3 2 3
2 5 3 4
5 2
3 3 3
2 5 3 4 3
5 2 2
1 1
1 5 2
4 1 3 3
2 5 3 3 4 4 13 13
3 16 13
5 8 3
2 12 10
10 3 13
R
R
R
r
r
r
r r
sarrus
aplicando
r
r
2
1 2
$
(
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a b a b
-
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=-
- =- +
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c
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Q
Q
Q
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Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
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V
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V
V
V
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G
G
G
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
a halla la ecuacion general de la recta que pasa por P y Q
b halla un punto que equidiste de P y Q y que pertenezca a la recta r
z
y
x
Respuesta
a P y Q
Ecuacion Continua escogiendo el punto P Ecuacion general
r
x y z
y z
x y
r
y z
x y
b sea H el punto que equidiste de P y Q y H r
z
y
x
H su forma generica es P y Q
dist H P dist H Q
no es verdad no existe ningun punto de r que equidiste de P y Q
Ejercicio n
Dado el punto P y la recta r
x z
x y z
Encuentre la ecuacion general del plano r y que la dist P
Respuesta
r
x z
x y z
n
n
P
r n vector normal de coincide con el vector director de r que es v
v n n
i j k
i j k j
asi que n v
x y z D P dist P
D
D
D D
D
D
D
que hay planos que verifican las condiciones
PQ
PH
QH
PH QH
1 2 3 2 1
1
1
2
1 2 3 2 1 2 4 2 1 2 1
1
1
2
2
1
3
2 2 6
2 2 2
2 4
2 0
1
1
2
2 1 1 1 2 3 1 2 1
2 1 1 2 1 3 1 1 4
2 1 1 2 1 1 3 3 2
1 1 4 3 3 2
1 2 1 2 16 8 9 6 9 6 4 4
18 22
1 1 2
2 0
2 3 0
2 0 2
2 3 0 1
1 0 1
1 2 1
1 1 2
1 0 1
1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1
1 1 1
0 1 1 2
1 1 1
1 1 2
3
3
2
3 2 3 2 3
2 3
5
1
2
PQ
en cruz
multiplicar
PQ
r
r
r
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
1
1 2
2 2 2
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a
a
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a
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a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
r r
r r
r r
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c
c
Q
Q
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Q
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Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
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Q
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Q
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Q
Q
Q
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Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
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V
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V
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V
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G
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Ejercicio n
Halla la ecuacion de la recta r que pasa por el punto A y es al plano
P x y z y corta la recta r
x y z
Respuesta vea la imagen
para calcular la ecuacion de una recta
basta con puntos o bien un punto y un
vector directorm segun la imagen la mejor
opcion es hallar el punto de entre r y r
para ello hallemos el plano P que contiene la
recta r y pasa por A y al plano P
P P P x y z D como A P D D
P x y z vea la imagen calculemos B P r
r
x y z
k
x y z
z k
y k
x k
z k
y k
x k
sustituyendo estos valores en la
k k k k
z
y
x
B
asi que la recta pedida es la que pasa por A y B
A B y cogiendo el punto A
sea M x y z r k k r
z k
y k
x k
Ec perametrica de r
z k
y k
x k
k
x y z
r
x y z
Ec Continua
x y z
y z
x y
r
z y
x y
Ec implicita
AB
AM AB
3 1 2
2 3 4 0 2
1
2
2
2
2
2
3 1 2
2 3 0 3 2 6 0 5
2 3 0 1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1
1 2 4 4 6 6 5 0 3
4
2 8 3 2 3
2 8 3 2 3
1 8 3 5 3
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2
3
2
3 1 2 3
5
3
2
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3
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3
1
3
4 14 1 4
2 4
1
3 14
2 4
1
3 14
14
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1
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3
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1
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2
14
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1
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2
4 4 2
3 14 14
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2
2 2 2
2 2
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X X V
V
V
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G
G
G
G
G
La imagen nos ayuda a
entender mejor el enunciado
22

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sec
sec
Ejercicio n
Dadas las rectas r
x y z
s
x y z
x y z
calcula la perpendicular comun a las rectas r y s
Respuesta
antes de nada estudiemos la posicion relativa de las dos rectas r y s
r
x y z
k r
z k
y k
x k
v
A
s
x y z
x y z
haciendo y s
y c
x z b
x z a
a z
c y
a b x
s
z
y
x
v
A
A A v v
la recta r y s son antes
vea la imagen
r y s antes la perpendicular comun es la recta t que pasa por el punto P de r s y de
vector director v v v
i j k
i k j k i j i j k
v P r s r
z k
y k
x k
s
z
y
x
remplazando los de s en r
k k
k
k
sustituyendo en r x y z P
sea M x y z t v t
z
y
x
PM
2
3
1
2
2
1
2 2 1
1
2
3
1
2
2
1
1 2
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3 2
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2 2 1
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1 1 1 1 1 1
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1 2
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R
r
r
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s
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b b
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b
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
Q
Q
V
V
V
V
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V
V
V V
V
V
Z
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Z
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G
G
G
G
G
G
G
23

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2
2 . .
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det min
sec
cos cos cos
cos
inf
det min
det min
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
r
z
x y
s y z
x
a er ar su posicion relativa
b en caso de cortarse calcula el angulo que forman y punto de corte
Respuesta
a r
z
x y
haciendo y k r
z
y k
x k
v
A
s y z
x
haciendo y s
z
y
x
v
A
A A
v y v no son proporcionales y r y s son antes
b v v v v v v v v
v v
v v
v v
v v v v radianes
punto de corte igualando las ecuaciones parametricas
k
k
k
k
remplazando en una de las ecuaciones
de la se deduce que es verdad luego
z
y
x
r s I
Ejercicio n
Calcula la Ecuacion implicita de del plano P que pasa por A y contiene la de
los planos P x y z P x y z
Respuesta
un haz de planos es un conjunto formado por initos planos que tienen una recta en
comun o que son paralelos entre si un libro la hojas son los planos y la union de las hojas la recta
el haz de los planos er ados por P y P tiene por ecuacion
x y z x y z
er aremos el plano pedido hallando la relacion que debe existir entre y para que
el punto A satisfaga la ecuacion
x y z x y z
remplazando en
x y z x y z
x y z x y z
x y z
asi que la ecuacion Implicita de P es
P x y z
1 0
2 0
5 0
2
1 0
2 0
1
2
1 1 0
2 0 1
5 0
2
5
2
0 1 1
2 0 5
4 0 4
0 1 1
1 1 0
4 0 4
4 4 0
1 1 0 0 1 1
0 1 0
2
1
60 3
5 1 3
2
2 2 1
3 4
1 4 3
1
4
2
2 4 1
1 5 3
2 3 4 1 0 7 5 3 0
2 3 4 1 7 5 3 0 1
1 5 3 1
2 3 4 1 7 5 3 0
15 12 7 25 3 3 0
6 12 0 2 1
2 3 4 1 7 5 3 0
4 6 8 2 7 5 3 0
11 7 5 0
11 7 5 0
r
r
s
s
r s
r s
r s r s r s r s
r s
r s
r s
r s r s
2 2 2 2
1 2
1 2
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a b a b
b b
b
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c
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2
tan
int sec
Ejercicio n
Dasa las rectas r
x y z
s
x
y z
a demostrar que r y s se cruzan
b halla la perpendicular comun a r y s
Respuesta
a r
x y z
A
v
s
x
y z s
x
y
z
A
v
v v
v y v no son proporcionales y como
v v son linealmente independientes que no es en el mismo plano r y s se cruzan
b Sea t la recta perpendicular comun a las rectas r y s vea la imagen
como t r y t s vamos a hallar dos planos P contiene r y t y P contiene s y t
sea n vector director de la recta t y sabemos que t r y t s n v v
n
i j k
j k
P contiene r y t P A v n v n A
Sea M x y z P A v n A x y z
x y z
P x y z
P contiene s y t P A v n v A n
Sea M x y z P A v n A x y z
x y z
P x y z
por ultimo la recta t queda definida como la er cion de los dos planos P y P
t
x y z
x y z
A A
A A
M M
M M
1
2
2
1
2
3
3
1
1
1
2
2
1
2
3
2 1 3
1 2 2
3
1
1 3
1
1 1 1 1 0
3 1 1
3 2 3 1 2 2 3 1 1
3 1 1
1 2 2
3 2 3
6 3 12 18 6 2 5 0
3 1 1
1 2 2 5 5 0 5 5 0 1 1
1 2 2 0 1 1 2 1 3
1 2 1 3
1
0 1 1
1 2 2
2 1 3
0 4 4 0
3 1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 1
1
0 1 1
3 1 1
1 1
0 3 3 1 0
2 3 3 1 0
4 4 0
R
R
2
2
2
r
r
s
s
r s r s
r s
r s r s
r s
r r r r
r r r
s s s s
s s s
1 2
1 1
1
2
1
2
2
1 2
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7
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a b a b
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W
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G
1
2
Primer Metodo
26

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int int
metodo
r
x y z
k
x y z
z k
y k
x k
r
v
A
s
x
y
z x
y
z
s
z
y
x
s
v
A
se pone dist os parametros a las rectas porque son dist as rectas
vamos a hallar la ecuacion del plano P que contiene la recta r y es a n P A v n
ya hallado anteriormente en el metodo que es P P x y z ahora solo
queda calcular el punto Q P s sustituyendo los valores de la recta s en el plano P
remplazando en la recta s
z
y
x
Q
asi que de la recta t ya sabemos que pasa por Q y de vector director n
sea M x y z t n t
z
y
x
metodo vea la imagen
r t A s t B
las rectas r y s pasarlas a parametrica
recuerda siempre parametro
A punto generico de r en funcion del parametro
B punto generico de s en funcion del parametro
calcular en funcion de los dos parametros
v
v
v
v
dos incognitas se resuelve
sistema de dos ecuaciones con
una vez resuelto el sistema y hallado el valor de los dos parametros se sustituye en A y B
asi que ya tenemos dos puntos por los cuales pasa la recta t
QM
AB
AB
AB
AB
AB
2
1
2
2
1
2
3
1
2
2
1
2
3
3 2
1 2
2
1 2 2
2 1 3
3
1
1 1 3
1
1 1
1
1 3
3 1 1
1 1 0
1 4 4 0
4 1 3 1 4 0 10
7
10
7
1 10
7
10
3
1 10
21
10
11
10
11
10
3
10
7
0 1 1
10
7
1
10
3
1
10
11
0
3
0
0
R
r
r
s
s
r r
s
r
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r
1
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V V
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
Z
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Z
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G G
G
G
J
Vea la imagen
Pasos a seguir