trigonometria septiembre 2022 kada.pdf

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cos
tan
cos
cos
cos
cos
cot
cos
Rectangulo
coseno
sen hipotenusa
opuesto
c
a
hipotenusa
adyacente
c
b
adyacente
opuesto
b
a
a b c b c
b a c a c
c a b a b
sirve cuando conocemos lados o lados y el angulo comprendidos entre ellos
sen
a
sen
b
sen
c
r
sirve cuando conocemos angulos y un lado o lados y el angulo opuesto a uno de ellos
recuerda que radianes grados para convertir radianes en grados o viceversa
z a b z a b
sen
a b
b
a b
a
tan a
b
b
a
Circulo Trigonometrico
coloreado en rojo
Triangulo
Teorema del
Teorema del seno
coloreado en azul sen
Aplicando Pitagoras
ver imag
ver imag
ver imag
2
2
2
3 2
2
2 2
180
2 2 0
0 0
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
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A
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8
6 B
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01

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seno
tan tan cot
sec sec
diminutivo
sin rectangulo
cos cos
tan cot cot
sec cosec cosec
inferior
cos
co
co
co
linterna
linterna
linterna
linterna
Se dice que dos angulos y son
Suplementarios
Complementarios
las palabras
seno
es el de complementario
Veamos en un triangulo la sumatoria de los angulos es de
a que en un triangulo
y son complementarios es decir
sen h
x
y
x
y
h
Para poder entender bien las imagenes de abajo recuerda que
en el circulo cogeremos un angulo poco extenso y de radio
la se va moviendo solamente sobre el eje x
la su cometido es alumbrar la barra de acero para que esta proyecte una sombra
sobre el eje y sen
la se va moviendo solamente sobre el eje y
la su cometido es alumbrar la barra de acero para que esta proyecte una sombra
sobre el eje x
co
Como hallar las razones trigonometricas de un angulo cualesquiera
roja
roja
ver imagen
Vea la imagen
Azul
Azul
180
90 2
180
90
90
90
90
1
,
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$
$
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a b
a b r
a b
r
r
a b b a
a b a
a b a
a b a
+ =
+ =
= -
= = = -
= = = -
= = = -
=
c
c
c
c
c
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c
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02
ángulo
pequeño

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cos cos
cos cos
sen sen
sen sen
2 2
2 2
r
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r
a a
r
a a
r
a a
- = - =
+ = + =-
b
b
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b
b
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l
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g
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g
03

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;
;
cos
cos
linterna
linterna
cos
linterna
cos
linterna
sen
de la barra cae en eje y
la sombra
de la barra cae en eje x
la sombra
sen
la sombra
la sombra
sen
roja
sen
roja
Azul
Azul
ver imagen
ver imagen
5 6
6 6
a a
a a
r a
r a
r a
r a
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= =
-
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-
+
+ -
- -
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g
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04

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cos
cos
linterna
linterna
cos
linterna
cos
linterna
sen
la sombra
la sombra
sen
la sombra
la sombra
sen
roja
sen
roja
Azul
Azul
ver imagen
ver imagen
2
3
2
3
2
3
2
3
6 6
6 5
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r
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b
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c
c
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m
m
m
05

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2
3
4
1 2
1 2
.
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos
cos cos cos
tan
tan
cos cos
cos
cos cos cos cos
cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos
sen
tan
n de dedos que quedan libres a la izquierda del indicado
n de dedos que quedan libres a la derecha del indicado
n de dedos que quedan libres a la izquierda del indicado
n de dedos que quedan libres a la derecha del indicado
sen a b sen a b a sen b
a b a b sen a sen b
a b a b sen a sen b
a b
tan a tan b
tan a tan b
a b
tan a tan b
tan a tan b
deducir las del apartado de abajo
tambien de estas formulas podemos
Para su demostracion vea el
sen a sen b a b a b
sen a b sen a b sen a b
a b a b a b
a sen b sen a b sen a b
sen a sen b sen
a b a b
sen a sen b a b
sen
a b
a b a b
sen
a b
a b sen
a b
sen
a b
trigo llegaremos al miembro
el miembro y utilizando identidades
para su demostracion elevamos al cuadrado
Ejemplo para entenderlo
ejercicio
Tabla de valores mas significativos
Propiedades
60
2 2
1
60
2 2
3
60
1
3
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
1
36
4 3
4 3
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$
$
$
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c
c
c
c
c
c
c
c
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6
6
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b
b
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b
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b
b
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06

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cot
cos cos cos cos
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cos
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cos
cos
cos
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cos cos
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cos
cos
cot
cos cos cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
suplementarios
tangente
importantisimas
cos cos
cot cot
sena a tan a tan a
a
sen a a sen a sen a a a a sen a
tan a
tan a
tan a
tan a
a
a
sen a
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sen
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tan a a
sen a a sen a a sen a a
tan
a
a
a
tan a tan b
tan a tan b
sen a b
sen a b
tan
a b
a b
sen a sen b
a b c a b
a b
tan
tan
b a c a c
a c
tan
tan
c b a b c
b c
tan
tan
tiene mismo seno
los angulos
tiene mismo coseno
los angulos opuestos
tiene la misma
angulo de media vuelta
formulas
sen a sen b
a b k k
a b k k
a b
a b k k
a b k k
tan a tan b
a b k k
a k
b k
a b
a b k k
a k
b k
Como Resolver Ecuaciones trigonometricas
1 1 1 1
1
1 2 2 2
2
1
2
1
1
1
1
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
2 2
1
2 2
1
2 1
1
1 1 1 1
2 1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Z
Z
Z
Z
Z
Z
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
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d
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d
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3 3
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a b
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a b
b c
b c
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r r
r
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supongamos
cos cos
cos
cos cos cos cos
cos
cos
coseno
cos cos
cos
cos cos cos
cos
cos terminos
termino
cos cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos
cos cos
cos constante
tan
coseno
n
Son de la forma
una de las formas de resolverlo es la seguiente
dividir la ecuacion entre la o bien entre la que dividamos por
sen x a
b
x a
c
sen x tan x a
c
siendo tan a
b
sen x
sen
x a
c
sen x sen x a
c
utilizando las formulas sen x a
c
o no tiene solucion imposible de resolver
a
c
la transformaremos en sen
luego sen x sen
x k
x k
con k
son de la forma que cuando sustituimos seno por y viceversa nos queda la misma ecuacion
sen x x si remplazamos sen por y viceversa queda de la seguiente
forma x sen x que es exactamente igual que la original es simetrica
para este tipo de ecuaciones se resuelven haciendo cambio de variable
x y y sen y
sen x sen y y sen y
utilizando formulas
Es una ecuacion de la forma f senx x donde f es un polinomio donde los
son de tipo con para cada del polinomio
E sen x x sen x x
sen x es de grado x es de grado sen x x es de grado
lo que se hace en esta clase de ecuaciones es dividir por el o por el sen
en el ejemplo anterior podemos por x ya que x
x k
x k
x k
y resulta que no es una solucion de la ecuacion por lo seguiente podemos por
sen x x sen x x
x
sen x x sen x x
x
tan x tan x tan x tan x haciendo cambio variable y ta x
y y ecuacion de segundo grado facil seguir
Ecuaciones Armonicas
a b c a b c
a b a
Si a
c
a
c
Si a
c
Ecuaciones Simetrica
A
Ecuaciones Homogeneas
Observacion
sen x x siendo
a b a b sen a sen b
a b a b sen a sen b
sen a b sen a b sen b a
sen a b sen a b sen b a
sen x x a b es
Muy Impor te
Donde sirve el teorema de seno no sirve el teorema de y viceversa
Antes de resolver ecuacion trigonometrica tenemos que mirar antes su campo de existencia
En ecuaciones trigonometricas mucho cuidado en simplificar
se factoriza y despues se resuelve
I
I
I
I
I
I
Ejemplo
x y
jemplo
2
2
1
1
4 2
2
4 2
2
0
3 0
2 3 2 1 1 2
0
2 2
2 2
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3 0 3 0
3 0
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08

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coseno tangente cotangente
cos
supongamos cos
cos cos
cos
superiores estan
superiores estan
cos cos
cos
Para resolver esta clase de inecuaciones se utiliza dos metodos
Se resuelve por las graficas para ello es necesario conocer las graficas de las funciones
seno de memoria abajo van sus graficas
Resolver por circulo trigonometrico recordad que es el eje x es el eje y
Para entender mejor como utilizar los dos metodos ve a los ejercicios
hacemos cambio de variable y ax b
imposible resolverlo ya que y
solucion
que c
cambiamos la desigualdad por igualdad y
y k
y k
sabemos que el eje x asi que en el eje x colocamos el valor de c y trazamos una al eje y
la solucion seria todos los valores a que encima del circulo
hacemos cambio de variable y ax b
es exactamente igual al anterior lo unico que cambia es colocar el valor de en el eje y seno
y hacer una desde este punto al eje x y todos los valores que quedan encima del
la solucion seria todos los valores a que encima
Inecuaciones Trigonometricas
Si tuvieramos ax b c y c
c
Si tuvieramos sen ax b c sen y c
c
c
c
Primer metodo
Segundo metodo
sen
si c
si c
si c
color verde
color verde
48 49 50
1 1
2
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dominio
coseno
cos arccos arccos cos
arccos arccos
tangente cot
notan tangente cotangente
arccot arccot cot arccot
arccot cot
arccos arccot arccsc arcsec
arccsc arcsec arccos arccos
arccot arcsec arccosec
arcsec arcsec
arccosec arccosec
arccos cos
arccotan cotan
Algunas interesantes
Antes de nada debemos saber para que una funcion tenga inversa tiene que ser primero biyectiva
Para que la funcion seno sea biyectiva debemos restringer su de definicion a
y su inversa es anotada asi o bien
sen arcsen x x si x arcsen sen x x si x
arcsen x arcsen x x
a se le hace igual restringiendo su D y la inversa se anota o bien
x x si x x x si x
x x x
La funcion para que sea biyectiva su D mientras a la su D
y se asi para la o bien para la o bien
arctan x arctan x x x x x x x x
tan arctan x x x arctan tan x x si x x x si x
x arcsen x x arctan x x x
x arcsen x x x arcsen x x x
arctan x x x x x x
x x x
x x
Funciones Inversas Trigonometricas
Arcsen sen
arctan tan
identidades muy
ver imagen de abajo
vea las graficas
vea las graficas
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1 1 2 2
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0
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2
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2 2
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R
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d
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d d
d
d
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cot tan
cot tan
cos
cos
tan
tan
cos
sec
tan cos
tan tan
sec tan
tan cot
cos
cos
cos
cos
cos
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Demostrar que x x
x x
sen x
Demostrar que x
sen x
sen x
x
Demostrar que
x
x
x
Demostrar que x
x
sen x
x
Demostrar que x sen x x sen x
Demostrar que
x x
sen x
sen x
Demostrar que x x
sen x x
Demostracion del teorema del seno
sen
a
sen
b
sen
c
Demostracion del teorema del coseno
a b c b c
b a c a c
c a b a b
Resuelve la ecuacion trigonometrica sen x
Resuelve la ecuacion trigonometrica sen x x
Resuelve la ecuacion trigonometrica x
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2
3
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1
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2
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2 2 2
2 2 2
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a
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c
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cos
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cot tan
cos cos
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cos cos
cos cos
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tan
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
I
Ejercicio
a b
Ejercicio
Ejercicio
E
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Resuelve la ecuacion trigonometrica x x
Resuelve la ecuacion trigonometrica sen x sen x
Resuelve las ecuaciones seguientes sen x x sen x x
Calcula el do io de definicion de f tal que f x
x x
x
Resuelve la Ecuacion sen x x sen x x
Resuelve la Ecuacion sen x
Desde lo alto de un edificio se ve un perro en el suelo con un angulo de depresion de
si dicho edificio tiene una altura de mts
A que dis cia se encuentra el perro del edificio
Un observador se encuentra en lo alto de la torre a mts de altura y formando un angulo
con la horizontal respecto del perro de y de respecto a la tortuga
a que dis cia se encuentra el perro de la tortuga
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1
4 2 0
3 3 0
3 3
2 0
4 1
3
1
5 2 3 0
2
3
60
45
80
6 3
2
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Resuelve la seguiente Ecuacion sen x sen x
Resuelve la seguiente Ecuacion x x
Resuelve la seguiente Ecuacion x x sen x
Resuelve la seguiente Ecuacion sen x x
Resuelve la seguiente Ecuacion E sen x x sen x x
Resuelve la seguiente Ecuacion E sen x x
Resuelve
y
x
x y
Resuelve
x y
sen x y
Resuelve
x y
sen x y
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2
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cos cos cos
cos cos cos
cos cos
cos cos
arccos
arccos arccos
arccos arccos
cot arccos
arccos
arccos arccos
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Demostrar que
a b a b sen a sen b
a b a b sen a sen b
Conocidos los tres angulos de un triangulo es posible resolver el triangulo
calcula arcsen sen
Resuelve la ecuacion arcsen x
Resuelve la ecuacion x arcsen x
Resuelve la ecuacion x x
Resuelve la ecuacion E x x
Resuelve la ecuacion x
Resuelve la ecuacion arcsen x x
Resuelve la ecuacion E x
Resuelve la ecuacion E arctan x arctan x
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3 2
2
2
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1
2 3
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1 3
4
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cos
cos
cos cos
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cos
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Resuelve la Ecuacion x
Resuelve la Inecuacion sen x
Resuelve la Inecuacion tag x
Resuelve la Inecuacion x
Resuelve la Inecuacion sen x x sen x x
Resuelve la Inecuacion sen x senx
Resuelve la Inecuacion
x x
x
I
x
Resuelve la Inecuacion x sen x
1
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50
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1 2 3 0
3 3 3 0
1 2 2 0
1 2 3 0
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2 6 2
1
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3
2 0
2 5 3
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0
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3 3
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1
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Ejercicio
Ejercicio
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exp
cot tan
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cos
cos
cos
cos cos
cos cot
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tan
cos
cos cos tan
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cot tan
cot tan
cos
cos
cos
cos
tan
tan
cos
sec
tan cos
Para la demostracion de igualdades es mejor empezar por la resion
mas desarrollada suele funcionar al tambien tener muy bien memorizadas las formulas
x x
x x
sen x
x
x
sen x
sen x
x
x
sen x
sen x x
x sen x
sen x x
x sen x
x sen x
x sen x
x sen x sen x sen x sen x
Como sabemos que sen x x sen x x
sen x sen x x x
x
sen x
sen x
x
De igual forma se puede demostrar
x
x
x
sen x
x
sen x
x
x sen x
x
x sen x
x sen x x
x
x
x
x
x
x
sen x
x sen x x
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x
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sen x
sen x x
sen x
x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta sen x x x
sen x
x
x
x
sen x
n
Respuesta
n
Respuesta x x sen x x
x
n
Respuesta
Observacion
Recuerda
Recuerda
Demostrar que x x
x x
sen x
Demostrar que x
sen x
sen x
x
sen x
x
x
sen x
Demostrar que
x
x
x
Demostrar que x
x
sen x
x
Otro metodo
90
1 1 2
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1 1 2
1 1
1 1 1 1
1
1
1
1 1
1
1
2
2 1
1
1 2
1
1
1
1
1
1 2
1
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
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En el triangulo sen a
h
h a sen
En el triangulo sen c
h
h c sen
c sen a sen
sen
a
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c
En el triangulo sen a
h
h a sen
En el triangulo sen b
h
h b sen
b sen a sen
sen
a
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de y se deduce que
sen
a
sen
b
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c
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Demostrar que x sen x x sen x
Demostrar que
x x
sen x
sen x
Demostrar que x x
sen x x
Demostracion del teorema del seno
sen
a
sen
b
sen
c
Otro metodo
1
1
2
1
1
2
1
1 2
1
1
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1
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1
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234
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345
135
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8
1
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2 2
2
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2
2
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2
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2 2
2 2
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2 2 2
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x
x c
por pitagoras tenemos
c x h
En el triangulo
b y x y b x y b c
En el triangulo
a h y h b c h b c b c
a b b c a b b c c a b c b c
En el triangulo
a
y
y a
por pitagoras tenemos
a y h
En el triangulo
b y x x b y x b a
En el triangulo
c x h b a h
b a a b h
c b a b
c b a b a c a b a b
Para su demostracion se dan los mismos pasos cambiando h de posicion
Resuelve la ecuacion trigonometrica sen x
sen x sen x sen
x k
x k
k
x
k
x
k
k
luego el conjunto de soluciones es S
k k
k
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta sen a sen b
a b k
a b k
Demostracion del teorema del coseno
a b c b c
b a c a c
c a b a b
a b c b c
c a b a b
b a c a c
c c h
h c
a a h
a h
ver imagen
Recuerda
figura
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124
1 4
2 4
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x x k
x x k
x k
x k
x k
x k
k
luego el conjunto de soluciones es S k k k
Antes de nada se mira el campo de existencia de la ecuacion
x existe si y solamente si x x
x k
x k
k
se ve que va dando saltos de en
x k x
k
k
Ahora resolvamos la ecuacion siendo x
k
k
x x
x
k
x k
x
k
x
k
k
Ahora averiguemos para que valores de k
k k
para poder excluirlos de la solucion
k k
absurdo
por ultimo el conjunto de soluciones de la ecuacion es S
k
k
Calculemos campo de existencia
x y x tienen mismo deno ador que es x y ya se ha calculado en el ejercicio
asi que x
k
k
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta a b
a b k
a b k
k k ya que k
n
Respuesta
n
Respuesta x
x
x
sen x
Recuerda
vea la imagen
Recuerda
Resuelve la ecuacion trigonometrica x
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
6 3
2
2 2
6 3
2
6 3
2
2 2
2 2 0 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 2
4 2
2 3 2 3
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2 3
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6 2
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2 2 2 12
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cos cos cos cos
cos cos
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cos cos cos cos
cos
cos cos
cos
Ahora resolvamos el ejercicio sabiendo que x con k
x x
x
sen x
x sen x x
sen x x sen x x sen x x x sen x
sen x x x x sen x x
sen x x
x
sen x x
x
x
sen x
x
x
x
x k
k
x k
k
la solucion azul se ha
quedado en
porque va dando saltos
de en ejercicio
veamos para que valores de k la exclusion coincide con la solucion
Con k k luego si vale la solucion
Con k k k luego si vale la solucion x k
Y por ultimo el conjunto de soluciones S k k con k
sen x x sen x x sen x x sen x x
sen x x sen x x
x
x k
x k
sen x sen x k
x k
de en
va dando saltos
de en
va dando saltos
x
k
x
k
k
k
Ejercicio
sen x x sen x sen x x x x sen x
x k
x k x k
k
k x k
n
Respuesta
x k
x k
x k
Recordemos que
observacion
x k
x k x k
el para entre x debe ser x
si fuera al reves x estamos en
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3 2 2 1 3 2
2
2
1
1 3 2 1 2
3 2 1 2 3 2
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4 2
4 2
4 2
4 2
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2 2
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a solucion sen
se puede dividir entre x ya que
sen x sen x sen x sen x sen x
x sen x sen x x sen x x sen x
x x
x x k
x x k
k absurdo
x k
x k con k
Por ultimo el conjunto de soluciones es S k con k
sen x x sen x x
x
sen x
x x k con k
Por ultimo el conjunto de soluciones es S k k
sen x x sen x x sen x x
sen x
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x sen x sen x sen x sen
x k
x k
x k
x k
x k x k
siendo k Por ultimo el conjunto de soluciones es S k k
sen x
sen
x sen x sen x
sen x sen
x k
x k
x k
x k
con k
Por ultimo el conjunto de soluciones es S k k con k
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Resuelve la ecuacion trigonometrica sen x sen x
Metodo
Metodo
de en
va dando saltos
0
2
3
2
3
2
3
4 2 0 4 4 2 0
2
2
2
2
2
2 2
0 2
2
2
2
0
2
2 2
2 2
0 2 2
4
4
4
3 3 0 3
3
3
3
3
3
3
1
6 6 6
6
3 3 0 3
3
0 6 0
6
6
0 6 6 0 6 0
6 0 2
6 0 2
6 2
6 2
6 6
6
3 3
3
1
1 6 1
6
6
1 6 6 6
6 2 6
6 3 2
6 3 2
2 2
6 2
6 2 2 2
15
16
17
4 2 0
3 3 0
3 3
1
2
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cos cos cos cos cos
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cos
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cos cos
cos cos cos
cot tan
cos cos
cos cos
sen y y sen y y sen y sen y sen
sen y y y sen y y y
calculemos campo de existencia x existe Ssi x
x existe Ssi sen x
de en
va dando saltos
de en
va dando saltos
con k ahora resolvamos la Ecuacion sabiendo que x
k
k
x x
sen x
x
x
sen x
x x sen x sen x
x x
x k
x k
x k con k
Pero como hemos demostrado antes que para resolver la ecuacion debe ser x
k
k
por consiguiente la Ecuacion no tiene solucion
sen x x
sabemos que sen x
x
sen x x asi que es imposible que sen x x
luego la ecuacion no tiene solucion S
sen x x Es una ecuacion simetrica ya que sustituyendo sen y sen
la no varia asi que haciendo cambio de variable x y asi que
y k
y k
x k
x k
x k
x k con k
luego el conjunto de soluciones es S k k con k
Ejercicio
I
I
I
I
Ejercicio
a b
a
a
b
b b
n
Respuesta
sen x sen x k
x k
x k
x
k
n
Respuesta
x
x k
x k x k
x k
Resuelve las ecuaciones seguientes sen x x sen x x
Metodo
4 4 1 4 4 4 4 1
2
2
2
2
1 2 1
2
1
2
2
4
1
0
2 2 0
2 2
2 0 2
2
0 2 2 0
2 0 2
2 2
2 2
2
2
2
4
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1 1
2 2 4
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4
4 2
4 2
4 4 2
4 4 2
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2 2
2 2 2
18
2 0 0 2 2
2 2
2
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2 2
2 2
2
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X X X X
a b a b a b
sen a sen b sen
a b a b
a b sen
a b
sen
a b
sen a sen b sen
a b a b
sen x x x x x x x x
x x
x k
x k
x k
x k
con k luego S k k
la funcion f existe Ssi x x
x x x x x x x x k
x x k
x k
x k
x k
x
k
con k
Luego D k
k
con k
sen x x sen x x Homogenea pq
es una ecuacion
grado sen x x
grado x
grado sen x
asi que se puede dividir entre x o bien sen x nosotros la vamos entre x
Antes comprobemos que las soluciones de x no es la solucion de la ecuacion
x x x k ahora comprobamos este resultado en
sen sen
luego
x
sen x
x
x
x
sen x x
x x
haciendo cambio de variable y x queda de la seguiente manera y y
y
x
x
x
x
x k
x k
con k conjunto de soluciones es S k k con k
Ejercicio
Ejercicio
E
E
E
E
E
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula el do io de definicion de f tal que f x
x x
x
Resuelve la Ecuacion sen x x sen x x
Metodo
Metodo
Recordad
k k
recuerda que
recuerda
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
2
2
2
2 1
2 4 4 1 4 2
1
2
2
4
4 4 2
4 4 2
2 2
2
2 2 2
3 0
3 0 3 3
3 2
3 2
2 2
4 2
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4 2
2 4 2
5 2 3 0
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0
0 0 2
5 2 2 2 3 2 2 5 1 2 0 3 1 0 5 0
5 2
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3 3 4 5 2
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arccos arccos
arccos
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arccos
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arccos cos arccos cos
tan
cos cos
tan
cos cos
arccos
arccos
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X X X X
sen x x sen x x la dividiremos entre sen x x
Antes comprobemos que las soluciones de sen x x no es la solucion de
sen x x visto antes que no lo es
sen sen
luego sen x x x x x
x
x x x x ya hemos llegado a la misma ecuacion
del metodo luego se sigue lo mismo
sen x sen x sen
x k
x k
x k
x k
luego x k x k x
Desde lo alto de un edificio se ve un perro en el suelo con un angulo de depresion de
si dicho edificio tiene una altura de mts
A que dis cia se encuentra el perro del edificio
Aplicando el teorema de angulos congruentes
Viendo la imagen de enfrente
x
x
x mts edificio y el perro
dis cia entre
sen x sen x k
E
E
Ejercicio
Ejercicio
x x k
n
Respuesta
x arcsen x
n
Respuesta
Resuelve la Ecuacion sen x
Metodo
Recordad
En esta clase de problemas de trigonometria es muy impor te entenderlo y hacer un dibujo de el
ver Imag
5 2 3 0
0
0
5 2 3 0 5 0 2 1 3 0 1 2 0
5 2 3 0 5 2
1
3
5 2 3 5 3 2 0
1
2
3
3
3 2
3 2
3 2 2 2
3 2 2 2
3 2 3 2 2
1
60
45
60
45 45 60
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22 5
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0 0 0 0
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cos cos tan cot cot tan
cos
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tan
tan cot
tan cos cot
cos
tan cot tan tan
cos cos
tan
tan cot
sen x x x sen x x x x x
viendo la imagen podemos deducir que
x y
y
x x mts que es la dis cia que separa el perro de la tortuga
sen x sen x sen x sen x
x x k
x x k
x k
x k
x k
x
k
con k luego conjunto de S
k
k con k
Antes de nada hallemos campo de existencia llamemos x x
x existe Ssi x x existe Ssi sen x
x x
k
con k vea el ejercicio n
sen x x k con k
x x x x x x k x
k
con k
veamos si hay coincidencia con el campo de existencia
k
k
k
k imposible ya que k no hay coincidencia
k k k k k
k imposible ya que k
por ultimo podemos asegurar que S
k
k
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
I
n
Respuesta
n
Respuesta
sen x sen x x x
n
Respuesta
Un observador se encuentra en lo alto de la torre a mts de altura y formando un angulo
con la horizontal respecto del perro de y de respecto a la tortuga
a que dis cia se encuentra el perro de la tortuga
Resuelve la seguiente Ecuacion sen x sen x
vea la imagen
Recordad
Recordad 2 2 2 2
80 6 80 2
3
40 3
80 3 80 2
1
40
40 3 40 29 28
2 2
2 2
2 2
2
3 2
2 1
3
2
3
2
2 1
2
2 2 0 0
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6 3 4 2 6
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arctan
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cos cos cos cos cos
cos cos cos cos
cos
cos cos cos
cos cos cos
tan cos
tan
cos
cos
cos cos
cos cos
tan tan
cos cos
tan
llamemos x x antes de resolver hallemos el campo de existencia
x existe Ssi x k ahora resolvamos la ecuacion para x k
haciendo cambio de variable y x y y y
x x k es una solucion ya que es k
x x k rd k es una solucion ya que es k
luego el conjunto de soluciones es S k k con k
x x sen x x x sen x sen x
x x sen x x x x
x x x x
haciendo cambio de variable t x t t t
t x x
x k k
x k k
k x k
t x x
x k
x k
k
luego el conjunto de soluciones es S k k k con k
campo de existencia para que se pueda resolver la ecuacion
x debe existir x x k
sen x x sen x
x
sen x
sen x x sen x no se puede simplificar
sen x x sen x sen x x
x
x k
x k
x k
x k x k k x k k
luego el conjunto de soluciones es S k con k
Ejercicio
a
a
a
Ejercicio
Ejercicio
a
a
Par
Impar
Par
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
sen x sen
x k
x k
x k
x k
x k
Resuelve la seguiente Ecuacion x x sen x
Resuelve la seguiente Ecuacion sen x x
4 3 0
2 2
4 3 0 2
4 4
1
3
1 4 4 2
3 3 1 25 2
4 3
5 7 2 2 4 5 7 2 4
5 7 2 5 7 3 1 2
10 5 5 0 2 1 0
2 1 0 4
1 9
2
1
1
1
2 2 1
2 2 1
2 1
2
1
3
3 2
3 2
3 2 3 2 2 1
1
0 2
0 1 0
1 0
2
2
2
2 2
1
1
27
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1
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Z
Z
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n impar
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2 2 2 2
2 2 2 2
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cos cos cos cos cos
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cos cos cos cos
cos cos
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cos cos
cos cos
cos cos
x x x x x x
x
x k k
x k k x k
k
luego el conjunto de soluciones es S k k
antes de nada calculemos sen x x sen x x sen x x
sen x x sen x x sen x x sen x x sen x x
haciendo cambio variable t sen x x
t t t t t sen x x
sen x x
sen x x sen x sen x sen
x k
x k
x k
sen x x sen x sen x imposible ya que sen a
se observa que la ecuacion no varia si entercambiamos los senos por enos y viceversa
por consiguiente la ecuacion es simetrica asi que podemos resolverla haciendo cambio de variable
sen x sen y sen y sen y sen y y
sen x sen y y sen y y sen y y sen y y
sen y y sen y y
x y y sen sen y y sen y
x y sen y y sen y sen y y sen y y
sen y y sen y y asi que
sen x x sen y y sen y y sen y y sen y y
sen y y
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta a a sen a a a
x x k
x k
x k
k
n
Respuesta sen a sen a a
x y
Resuelve la seguiente Ecuacion E sen x x sen x x
E
E
E sen x x sen x x
E
E
Recordad
Recordad
Metodo
Metodo
1 2 1
1 2 2 0 2 0 1 0
1
2 2 1
2 2 1
2
2 1 2
2 1 0 2 1 0 4
1 9
2
1
1
2
1 2
2
1 2 1 2 2 2 2
2 2 2
4
2
1 2 1 2 2 1 1
4
4 4 4 2
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16
4
2 4
1 1 2
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1
1 4 4
4 4 4 2
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2
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2 4
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1 4 4
4
1
1 4 4 4
1
1 4 4
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1 4
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2 2 2 1
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1 2 2 0
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2 2 2 4 4 2 2
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sen x x y sen y y sen y y sen y
por lo to sen x x sen x x sen y y y sen y
sen y y y sen y sen y y sen y
sen y y
y imposible
sen y
sen y sen x
sen x sen
x k
x k
x k x k con k
sen x x sen x sen x x sen x x x
asi que sen x x sen x x sen x x
sen x sen x sen x
sen
sen
sen x sen
x k
x k
x k
x k
con k
sen x sen
x k
x k
x k
x k
con k
luego el conjunto de soluciones es S k k k k con k
y
x
x y
y
y
x y
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
a b a a b ab b sen x x sen a sen a a
n
Respuesta
Resuelve la seguiente Ecuacion E sen x x
E
Resuelve
y
x
x y
Recordad
2
2
2
2
2
1
2
1
1 4 2
1
4 1 0 4 2 0
2 1 0
2 1 0
0
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4 2
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4 4
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3 3 16
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1 3 16
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1 2
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1 3
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1 2
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1
4
3 2
2
3
3
2
3
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2 3 2 3 2
2 3 2
3
6
2 3
2 3 2
2 3 2
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6 3 3
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1
3
2
1
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3 3 1 2 2
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7
2
1
3
4
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2 2 2 2 2 2 2
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2
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y sen sen y y y sen y y
sen y sen y sen
y k
y k
y k
y k
y k
luego x y x k x k siendo k
Por ultimo el conjunto de soluciones es S x y k k con k
x y
sen x y
x y
x y k
x y k
sen x y sen
x y k
x y k
x y k
x y k
x y k
x k k x n con n
x y k
x y k
x k k x h con h
x e y tienen cons tes dist as resamoslos con la misma cons te
x y k y k x k h y k h
y h con h
asi que el conjunto de soluciones es S x y h h con h
mucho cuidado en despejar los valores de x e y de las ecuaciones
porque las dos cuen como si fuera una sola ecuacion con dos incognitas
Ejercicio n
Respuesta
Resuelve
x y
sen x y
Observacion
3
3
2
1
3
2
1 3
2
1
2 3 0
3 3 0 2
2
1
2
3
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6 2
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2 2
2 3
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2 3
6 2
2 2
2 3 2
2 2 2 2 2 2 6 3
2
3
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2
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4
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cos cos
cos
x y
x y k
x y k
x y k
x y k
sen x y sen
x y k
x y k
x y k
x y k
asi que tenemos sistemas de ecuaciones
x y k
x y k
x k k x n con n
x y k y k n y k n y n
luego una de las soluciones es S x y n n con n
x y k
x y k
x k k x n con n
x y k
x y k
x k k x n con n
x y k
x y k
x k k x n con n
luego la solucion final es S S S S S
Ejercicio n
Respuesta
Resuelve
x y
sen x y
4
2
1
3
3 2
3 2
3 2
3 2
2
1
6
6 2
6 2
6
5
2
6 2
4
3 2
6 2
2 2 2 4
6 2 6 2 4 12 2 12
4 12
3 2
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2 2 2
6 2 6 2 2 2
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5
2
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6
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2 6
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1
1 1 2 2
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1
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k n
k n
k n
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n
n
n
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6 7 8
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4
6 7 8
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4
6 7 8
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4
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cos cos cos
cos cos cos
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a i sen a b i sen b a b sen a sen b i sen a b a sen b
Luego
a b a b sen a sen b
e
a b i sen a b
e e a i sen a b i sen b
a i sen a b i sen b a b sen a sen b i sen a b a sen b
Luego
a b a b sen a sen b
No porque existen initos triangulos semejantes a uno dado con identi angulos
a
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
c
como no se puede aplicar arcsen sena a asi que en este caso lo primero es calcular
la resion erna es decir sen luego arcsen
arcsenx senarcsenx sen x verificando arcsen
Ejercicio
formula de Euler
Ejercicio
Ejercicio
mucho cuidado en hacer que arcsen sen
Ejercicio
n
Respuesta e x i sen x
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Demostrar que
a b a b sen a sen b
a b a b sen a sen b
Conocidos los tres angulos de un triangulo es posible resolver el triangulo
calcula arcsen sen
Resuelve la ecuacion arcsenx
Recordad
ver imagen de enfrente
2 2
2 2
0 0 0
3 2 6 2
1
3 2
1
3 6 2
36
37
3
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.
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r r
r
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arccos arccos
arccos arccos cos arccos cos arccos
cos cos arccos arccos arccos
sup arccos cos cos arccos arccos
cos arccos
arccos arccos
arccos arccos
arccos arccos
arccos arccos
cos
arccos
arccos
x arcsen x x arcsen x
x sen arcsen x x x x x
Resuelve la ecuacion x x
x x x x
x x sen x sen x sen x
ongamos que x x x y sen x sen x
aplicando pitagoras x h h x
la ecuacion queda de la seguiente forma
x
x
x x x
x x x x x
ahora solo queda verificar cual de ellos es el verdadero
ar
Resuelve la ecuacion E x x
si x x x
si x x x
asi que de la ecuacion E x x se deduce que x
sea x x x x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta a sen a
n
Respuesta
n
Respuesta
Resuelve la ecuacion x arcsen x
Recuerda
ver imagen del triangulo para entenderlo
de x
vea la grafica
2 2
2 0 0
2
3
2
3
2
3
2 3 3 2
1
2
3
1
1 1
2 2 2
3
1 3 3 1
9 3 1 12 3 4
1
2
1
1
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1
3 3
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0 0 2
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cos cos cos cos
arccos arccos arccos arccos
arccos cos cot
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arccos cos cos
arccos cos
arccos
arccos
cot arccos
arccos
Por pitagoras se halla que h x h x
E como
sen sen x x x x
x x x
x x x x x x x x
x como x x
verificando
sea x x y E
h por pitagoras luego x
arcsen x x sen arcsen x sen arc x x sen arc x
sea x x
Por pitagoras podemos decir que sen x luego x x
elevando al cuadrado queda x x x x
la solucion es porque arcsen
no es una solucion porque arcsen
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Resuelve la ecuacion x
Resuelve la ecuacion arcsen x x
vea imagen triangulo
vea imagen triangulo
1 4 1
3 3 2 2
3 2 1 4 1 2
1
1 4 1 2
1
2
1 4 1 2
1
2 1 5 4 4
1
2 4 3 4
3
2
1
0 2
1
2 2
1
2
1 1 2
1
3 3
3
2
13
13
2
13
2 13
1 1
1 2 1 2
2
2
2
2
2
2
2
4 4
2
2
2
2
2
2
4 4
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4
3
2
2 2
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2 2 2
2 2 2
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2 4 2 4 2
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arccos arccos cos arccos cos arccos arccos
cos cos cos
arccos arccos
arccos arccos
arctan
x x sea
x
x x
verificando con queda
E arctan
x
x x
x
x x
tan porque
E x x x x
x
arctan x arctan x sea
arctan x tan x
arctan x tan x
tan tan
tan tan
tan tan
x
x x
igual que el anterior sale x
arctan x arctan x arctan arctan x x
x x
arctan
arctan
x x
arctan
x x
x x
x x x luego la solucion es x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
arctan a arctan b arctan a b
a b
tan a b
tan a tan b
tan a tan b
n
Respuesta
Resuelve la ecuacion E x
Otro metodo
Recuerda
2 1 2 2
1
2 1 2 2
1
2
1
2 1 2 2 1 2 1 2 2
1
1 2
1
2 2
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2
1
2
1
2
1
2 2
1
3
2
3
2
1 6
2 3
4 1 6
2 3
4 1 4 2 2
5 1 6 6 5 1 0 25 4 6 1 49 7
12
5 7
6
1
1
2 3
4 3 3
2 2
4 4 1
1
1 6
2 3
1
6
1
1
1 3
4
1
1
3
4
1
1
3
4
1
1
3
4
4 4 4 3
4 4 1 0 2 1 0 2
1
45
46
1 1
4
2 1 2 2
1
2 3
4
3
4
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2
2
1 2
2 2
2 2 2
2
2
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2 2
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2 2
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2 2
3
2
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6 7 8
444444 444444 6 7 8
444444 444444
35

,
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, ,
,
,
,
,
, , ,
:
cos
cos cos cos
cos cos
cos int
cos
cos cos
cos cos
cos
como la funcion eno es periodica con un periodo
de todas las otras soluciones pueden obtenerse
sumando los multiplos enteros de a estas soluciones
x x haciendo cambio variable a x a
a
a k
a k
a k
a k
Ahora en la grafica de eno en el ervalo colocaremos los puntos y en el eje x
y dibujaremos la recta y como a la solucion son son todos los puntos de la grafica
que se encuentren por encima de la recta de abajo solucion
a x a x
k x k k x k
k
x
k k
x
k
con k
S
k k k k
con k
x haciendo cambio variable a x a
a
a k
a k
a k
a k
asi que dibujamos el circulo con los ejes x a e y en x a colocamos el punto y desde este
punto trazamos una paralela al eje y que corta el circulo en y seguiendo el sentido
positivo del circulo vea la imagen de abajo la solucion es
resulta absurdo
ya que
seguiendo el sentido
por eso lo descompone en
a x a x
k x k k x k
k
x
k k
x
k
con k
S
k k k k
con k
Ejercicio n
Respuesta
y
y
flechas azules
flechas azules
Resuelve la Ecuacion x
Metodo
Metodo
utilizando la grafica
vamos a trabajar en sentido
positivo por eso hagamos
desaparecer los angulos
vea la imagen
utilizando circulo trigonometrico
utilizaremos circulo
en sentido
angulos
color verde
2
2
1 2 5 0 5
2
1
5
2
1
3
3 2
3 2
2 3 2
3 2
0 2
3 3
5
0 5 3 3
5
5 2
0 2 5 3 2 3
5
2 5 2 2
5
2
15 5
2
3 5
2
5
2
5
2
5
2
15 5
2
3 5
2
5
2
5
2
5
2
1
5
2
1
3
3 2
3 2
3
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2
3 2
3
5
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3
5
3
3
5
3
3
5
3
3
5
3 0 3 3
5 2
0 5 3 3
5
5 2
0 2 5 3 2 3
5
2 5 2 2
5
2
15 5
2
3 5
2
5
2
5
2
5
2
15 5
2
3 5
2
5
2
5
2
48
2
1
2
1
2
1
2
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2
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2
1
1 2 5 0
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1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
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2
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
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r
r
r
r
r
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r
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r
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r r
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r r r r r r r
r r r r r r r
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36

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1
5
.
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:
3
2
e
int sec
p
el
la grafica
sen x sen x sen a siendo a x
Ahora pasemos de desigualdad a igualdad para hallar los puntos de corte entre las funciones
sen a y asi que sen a sen a sen
a k
a k
a k
a k
Ahora cogemos la grafica de la funcion seno el eje x lo representamos como eje a y en el eje y
dibujaremos la recta y la er cion de ambas funciones son
sen a siendo a x
k x k
k
x
k
con k
Circulo trigo
haciendo exactamente lo mismo que el metodo hasta llegar a
a k
a k
con k Z
ahora en el circulo el eje y seria eje a
la funcion seno
porque tenemos
y trazamos la recta y
los puntos de corte entre la recta y circulo
son y todo lo que queda encima de perteneciendo al circulo es la solucion
or ultimo k a x k
k
x
k
con k Z
Ejercicio
la solucion es lo colorado en rojo
n
Respuesta
Metodo
Metodo
vea la grafica de enfrente
ver imagen
1 2 0 3
2
1
3
2
1
2
1
6
6 2
6 2
6
5
2
6 2
6 2
1
6
5
2
1
3
6 2 3 6
5
2
8 3
2
18 3
2
1
6
5
2
6 2
2
1
6 6
5
6 2 3 6
5
2 18 3
2
18
5
3
2
4
2
1
2
1
2
1
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1
2
1
1 2 0
1
Z
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d
d
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1 1
1 1 1 1
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r
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r
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2
n n n n
n n
n
ngente
n ,
n
ea
tan
tan
int
tan
int int
tan sin
etodo
etodo
como la funcion es periodica con un
periodo de todas las otras soluciones pueden
obtenerse sumando los multiplos enteros de
a estas soluciones
ta x ta x ta x ta cambio variable a x
ta a ta
a k
a k
k Z
en la grafica de gente eje x eje a y dibujareos la recta y
y los puntos de interseccion entre la ta e y luego todos los puntos de la grafica
de ta que se encuentren por debajo de y son la solucion
cogeremos el ervalo ya que la ta es periodica de periodo trabajaremos en el lado
ta a x
viendo la grafica la solucion es lo
a k x k k x k
k
x
k k
x
k
siendo k
cogiendo el sentido y tambien sabemos que la funcion es periodica de periodo
asi que nos vamos a eresar solamente en el ervalo hay que tener cuidado en
ya que en este punto la funcion tiene una a tota vertical no esta definida
v la
a k x k k x k
k
x
k k
x
k
siendo k
Ejercicio
coloreado en rojo
n
Respuesta
Resuelve la Inecuacion tag x
M
M
resolviendo por la grafica
ver la grafica
resolviendo por circulo trigo
imagen
3 3 3 0 3 3
3
3
1
3 6 3
6
2
6
3
3
3
3
3
3
0
3 3
3
0 6 2 3 6 2 3
3 18 3 6 3 3 3
0
2
0 6 2 3 6 2 3
3 18 3 6 3 3 3
0
3 3 3 0
1
Z
Z
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+
+
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5
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1
1
1
1
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sin
int
la
sen x sen x sen a
sen a sen sen sen
a k
a k
k
a k
a k
como voy a coger el sentido del circulo a que los angulos deben de ser positivos
a k
a k
a k
a k
k
segun el circulo podemos asegurar que
las son las soluciones
k a k
k x k
k x k
S x k k con k
utilizando grafica de la funcion seno
como la funcion seno es periodica con un periodo de todas las otras soluciones
pueden hallarse sumando los multiplos enteros de a estas soluciones
cogeremos el ervalo positivo sentido
del apartado de arriba sabemos que y sena
a k
a k
k
segun la grafica podemos concluir que
la solucion es lo
k a k
k x k
k x k
Ejercicio
I
I
coloreado en rojo
n
Respuesta
flechas azules
sena
Metodo
Metodo
vea la figura
vea la grafica de abajo
1 2 2 0 2
2
1
2
1
2
1
6 6 6
7
6
7
2
6
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2
6 2
6
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2
2 6 2
6
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2
6 2
6
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2
6
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2 6 2
6
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2 6 2
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12
12
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12
2
2
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2
1
6 2
6
7
2
6
7
2 6 2
6
7
2 6 2
12
7
12
5
2
1
1 2 2 0
1
2
11
11
2
11
11
11
11
11
2
11
11
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Z
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1 1
1
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39

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cos cos cos
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cos cos cos cos
cos
cos
int
cos
cos
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x x a
Ahora hallemos los puntos de er cion entre las funciones x y y
x
a k
a k
k
trabajaremos en el sentido del circulo que los angulos deben de ser positivos
a k
a k
a k
a k
k
segun el circulo podemos asegurar que
las son las soluciones
k a k
k x k
k
x
k
S x
k k
con k
utilizando la grafica de la funcion eno
como la funcion eno es periodica con un periodo de todas las otras soluciones pueden hallarse
los multiplos enteros de a estas soluciones cogeremos el ervalo positivo sentido
del apartado de arriba sabemos que y a
a k
a k
k
segun la grafica podemos concluir que
la solucion es lo
a k x k
k
x
k
S x
k k
con k
Ejercicio
I
I
n
Respuesta
flechas azules
a
Metodo
Metodo
vea la figura
coloreado en verde
1 2 3 0 3 2
1
2
1
3 2
1
3 2
1
3 3 3
2
3
2
2
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2
2 3
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2
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3
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2 3 3
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2
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2
3
2
9
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3
2
9
2
3
2
9
4
3
2
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2
1
1 2 3 0
1
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Z
Z
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5 5
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cos
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int sec cos
cos cos sin
int
int sec cos
cos cos sin
int
int
cos
cos
cos
cos
cos
x
x
o bien
x
o bien
hallemos los puntos de er cion entre las funciones x y y
x
x k
x k
k
trabajaremos en el sentido
del circulo a que
los angulos deben de ser
x k
x k
x k
x k
viendo el circulo podemos asegurar que
las son las soluciones y
seguiendo el sentido de las flechas
resulta ser el ervalo absurdo
ya que asi que para que tenga
sentido se descompone en
Podemos concluir que
x k k k k k
hallemos los puntos de er cion entre las funciones x y y
x
x k
x k
a que los angulos deben de ser
trabajaremos en el sentido del circulo
x k
x k
x k
x k
k
resulta ser el ervalo
mirando la imagen podemos asegurar que
x k k siendo k
por ultimo S es la union de los ervalos
del apartado y
Ejercicio
I
I
I
n
Respuesta
x
x
flechas azules
flechas azules
Metodo
x
vea la figura
x
vea la figura
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
4
4 2
4 2
2 4 2
4 2
3
7
2
4 2
3
7
4
3
7
4
0 4 3
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0 2 4 2 3
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2 2 2
2
2
2
2
4
4 2
4 2
2 4 2
4 2
4 2
4 2
4 4
4 2 4 2
1 2
2
1
1
2
53
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2
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2
2
1
1
2
2
2
2
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cos
cos
int
cos
cos
cos
cos
int sec
cos
cos
int sec
utilizando la grafica de la funcion
como la funcion eno es periodica con un periodo de todas las otras soluciones
pueden hallarse los multiplos enteros de a estas soluciones
cogeremos el ervalo positivo sentido
del apartado anterior del ejercicio sabemos que
x
x k
x k
segun la grafica podemos concluir que la solucion es lo
x k k k k siendo k
del apartado anterior del ejercicio sabemos que
x
x k
x k
por lo seguiente x k k siendo k
por ultimo S x k k k k k k
x
eno y la recta y
Puntos de er cion entre la funcion
x
eno y la recta y
Puntos de er cion entre la funcion
Metodo
coloreado en verde
coloreado en verde
2
2
0 2
2
2
3
7
2
4 2
0 2 4 2 3
7
2 2 2
2
2
4 2
4 2
4 2 4 2
0 2 4 2 4 2 4 2 3
7
2 2 2
2
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int sec cos
cos cos sin
cos
cos
int
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cos
x a
Ahora hallemos los puntos de er cion entre las funciones a y y
a
a k
a k
k a que los angulos deben de ser positivos
trabajaremos en el sentido del circulo
a k
a k
a k
a k
k
viendo el circulo son las soluciones y seguiendo
el sentido positivo de las flechas la solucion
es absurdo ya que
asi que para que tenga sentido
lo que se hace es descomponerlo
fijandonos en la imagen podemos asegurar que
a k k k k k
k a k k a k
k x k k x k
k x k k x k
k x k k x k
como la funcion es periodica de periodo todas las otras soluciones pueden hallarse
sumando los multiplos enteros de a estas soluciones cogeremos el ervalo sentido
del apartado anterior del ejercicio sabemos que a y a
a k
a k
a k k k k siendo k
x k k k k siendo k
Ejercicio
I
I
n
Respuesta
flechas azules
Metodo
Metodo
vea la figura
coloreado en verde
2 6 2
1
2
1
2
1
2
1
3
3 2
3 2
2 3 2
3 2
3
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2
3 2
3
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3 3
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0 2 3 2 3
5
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0 2 3 2 3
5
2 2 2
0 2 2 6 3 2 3
5
2 2 6 2 2
6 2 2 2 2 6
11
2 2 6
13
2
12 4 12
11
12
13
2
2 0 2
2
1
2
1
3
5
2
3 2
0 2 3 2 3
5
2 2 2
12 4 12
11
12
13
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1
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cos cos cos
cos
int sec
int
int
cos cos
I
sen x x sen x x sen x x sen x x
sen x x sen x sen a
Ahora hallemos los puntos de er cion entre las funciones sen a e y
sen a sen sen
a k
a k
a k
a k
trabajaremos en el sentido del circulo los angulos deben de ser positivos
a k
a k
a k
a k
k
seguiendo el sentido positivo de las flechas
fijandonos en la imagen se concluye que
a k k siendo k
k x k
k
x
k
x
k k
siendo k
utilizando la grafica de la funcion seno
como la funcion seno es periodica T todas las otras soluciones pueden hallarse
los multiplos enteros de a estas soluciones cogeremos el ervalo positivo sentido
del apartado anterior sabemos que y sen a
a k
a k
k
a k k k x
k k
k
Ejercicio
I
coloreado en rojo
n
Respuesta
sen a
flechas azules
sen a
Resuelve la Inecuacion sen x x sen x x
Metodo
Metodo
vea la figura
8
3
2 2 2 8
3
2 4
3
2 2
2 2
3
2 2 2
2
3
4
2
3
2
3
2
3
2
3
3 3
3 2
3 2
3 2
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2
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2
3 2
3 2 3 2 3 2 12 2
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3
2
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2
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Anteriormente
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int sec
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sen x sen x
sen x sen x sen x
sen x
sen x sen x
sen x sen x sen x senx
sen x
sen x Ahora hallemos los puntos de er cion entre las funciones sen x e y
sen x sen
x k
x k
a k
a k trabajaremos en el sentido
del circulo los angulos
deben de ser positivos
fijandonos en la imagen concluye que
x k k siendo k
utilizando la grafica de la funcion seno
como la funcion seno es periodica con todas las otras soluciones pueden hallarse
sumando los multiplos enteros de a estas soluciones cogeremos el sentido
hemos hallado que y sen x
x k
x k
k
x k k siendo k
Ejercicio
coloreado en rojo
n
Respuesta
sen x
flechas azules
sen x
Resuelve la Inecuacion sen x senx
Metodo
Metodo
vea la figura
2 0
2 8
49
8
49
0 2
2 2
7
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6 2
6 2 6 2
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2
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cos
cos cos
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Antes de nada hallemos campo de existencia
x existe Ssi x
x x x x
x
x x
x x
x x x ya que x
x x
x k
x k
en sentido
a trabajar
como vamos
x k
x k
x k
x k
k
Ahora resolvamos la inecuacion
x x
x
x x ya que x
x x x x
Ahora hallemos los puntos de er cion entre las funciones x e y
x del apartado anterior
x k
x k
k
viendo el circulo se concluye que las
son las soluciones y
seguiendo el sentido de las
flechas la solucion es
absurdo ya que asi que
para que tenga sentido habra
que descomponerlo fijandonos
en la imagen podemos asegurar que
x k k k k k
Ejercicio
x k nuestra restreccion
x k
x k
k nuestra restreccion
la restriccion
se e ina por
n
Respuesta
x
x
flechas azules
x x
x
I
Metodo ya que x restriccion
vea la figura
0
2 5 3 0 2 5 8
25
8
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2
2 2
5
2 2
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2 2
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2 5 3 0 3 2
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0
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1
2
1
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3 3
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2 2 2
2 1
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3 2
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int
cos
cos
utilizando la grafica de la funcion eno
como la funcion eno es periodica con T todas las otras soluciones pueden hallarse
los multiplos enteros de a estas soluciones cogeremos el ervalo sentido
del apartado anterior del ejercicio sabemos que y x
x k
x k
x k k k k k
Metodo
x
coloreado en verde
2
2 0 2
2
1
3
5
2
3 2
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2 3
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2 2 2
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Antes de nada hallemos campo de existencia para ello x al mismo tiempo su D
x
sen x
x k
x k
k
sabemos que x x x es x
la funcion es periodica de asi que basta en trabajar en el sentido
resolviendo por el circulo trigonometrico
la solucion seria de resulta que estamos trabajando en y como
la solucion es luego la solucion general es k k k
resolviendo por grafica de
los puntos de interseccion entre la grafica ta e y queda n excluidos
y todos los puntos de la grafica de ta que debajo de y son la solucion
cogeremos el ervalo ya que la ta es periodica de periodo trabajaremos en sentido
x y x k
x k
k
x k k k
Ejercicio n
Respuesta
x y x k
x k
k
x
metodo
metodo
vea la figura de abajo
ver la grafica
coloreado en verde
0
0
0
2
1 1 2 1 0 1 0
0
2 0 0
2 0 2 2
0
0
0
0
2
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48

nos
,
,
, T ,
. , .
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9
:
cos cos cos
cos cos cos
int sec cos
cos cos sin
cos
cos
cos
cos cos
cos
I
x sen x x sen x x sen x
x sen sen x x
hallemos los puntos de er cion entre las funciones a e y
a
a k
a k
k
trabajaremos en el sentido
del circulo a que los angulos
deben de ser positivos
a k
a k
viendo el circulo indica que las son las soluciones y seguiendo
el sentido de las flechas la solucion
es periodo es de
k a k k x k
k x k x k k k
como la funcion es periodica con todas las otras soluciones pueden hallarse
los multiplos enteros de a estas soluciones cogeremos sentido
del apartado anterior sabemos que y
x k k k
Ejercicio
I
n
Respuesta
a
a k
a k
k
flechas azules
a a
a k
a k
Resuelve la Inecuacion x sen x
Metodo
Metodo
vea la figura
coloreado en verde
3 1 3 1 2
3
2
1
1
6 6 2
1
6 2
1
2
1
2
1
3
3 2
3 2
2 3 2
3 2
3 3 2
3 2 3 2 3 2 6 3 2
6 2 2 2 6 2 2
3
2
2
2 0 2
6 2 2
3
2
5
2
1
3
5
2
3 2
2
1
2
1
3
5
2
3 2
3 1
1
2
5
5 5
3
Z
Z
Z
Z
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+ + +
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d d
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r
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r
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q
q
q
q
q
q
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u
u
u
u
u
u
49

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0
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,
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.
,
tan tan
tan
tan tan tan
tan int
tan
int
tan
tan
sentido
x a
Hallemos los puntos de entre las funciones e y
a a
a k
a k
k
como la funcion es periodica de T reduciremos el ervalo de trabajo a
k a k
k x k
k
x
k
los puntos de interseccion entre la grafica de tan e y quedaran excluidos
y todos los puntos de la grafica de tan que se encuentren por debajo de y son soluciones
cogeremos el ervalo ya que la tan es periodica T trabajaremos en
a y a k
a k
k
k a k
k
x
k
k
Ejercicio n
Respuesta
metodo
metodo
ver la grafica
coloreado en verde
2 0 0
0
0
2
0
0
0 2
0 2 2
2 4 2
0
0
0
0
2
0
2 2 4 2
60
2 0
1
2
Z
Z
Z
a x
2
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tan tan tan tan
tan int
tan
intervalo
tan
tan
sentido
x x x
x k
x k
k
como la funcion es periodica de T reduciremos el ervalo de trabajo a
k x k
los puntos de interseccion entre la grafica de la tan e y quedaran excluidos
y todos los puntos de la grafica de tan que se encuentren por encima de y son la solucion
cogeremos el ya que la tan es periodica de T trabajaremos en
x y
x k
x k
k
viendo la grafica la solucion es lo k x k
Ejercicio n
Respuesta
metodo
metodo
ver la grafica
coloreado en verde
3 3 3
3
6
2
6
0
6 2
3
3
3
3
0
3
3
2
6
6 2
61
3 3
1
2
Z
Z
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1 1
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51

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contradictorio
T
.
T
Metodo
cos
cos
cos cos
cos cos cos
cos cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
sea f x
x
sabemos que x
x x
x
al ser
x x
existe D
x
sen x
x
sen x x
sen x
senx
x
sen x
sen x
x sen x
sen x
x x
sen x
x x
sen x
x
x
x
x
x
x
x
x
hallemos de las funciones sen x e y
sen x sen x sen
x k
x k
x k
x k
x k k la funcion seno es periodica de
cogiendo en sentido del circulo
Sol
hallemos de las funciones cos x e y
cos x cos x cos
x k
x k
x k
x k k la funcion cos es periodica
de cogiendo en sentido del circulo
Sol
Ejercicio
Campo de existencia
x x b
b b x
x
b cosx
flechas rojas S k k
n
Respuesta
sen x a
a senx
flechas azules S k k
x
sen x
1 2
1 1 2
1
2 2
1
1 2
1
1 2 1 2
1
0 2
1
1 2 2
3
1 2 0 1 2
1 2 0 1 2 1 2
0
1 2
0
2 2
0
2 2 1
0
2 0
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2 1 0
0
2 1 0
0
2
1
0
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1
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0 2
0 2
2
2
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0
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2
3
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2 2
2
2
2 0 2
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2
1
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0
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1
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Z
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+
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5
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1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
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# #
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r
r
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r r
r r
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r
r
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r r
r r
r r r
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52

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cos
coseno
cos hallemos de las funciones cos x e y
cos x cos x cos
x k
x k
x k
x k
x k
x k la funcion cos es periodica
de T cogiendo
Cogiendo sentido del circulo
Sol
Por ultimo la solucion general seria S
solucion done coinciden los tres colores
S k k k
resolver por grafica
Es la mas facil solamente dibujar las funciones de seno y en el mismo eje de coordenadas
S k k k
b x
S
rojo
Vea la grafica de abajo
flechas verdes S k k
S
verde
S
azul
Metodo
2
1
2
1
3 3
3
2
2
3
2
2
2 3
2
2
3
2
2
3
4
2
3
2
2
2 0 2
2 2 3
2
2
2 2 3
2
2
2
1
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2
2 3
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