Limites-continuidad-derivabilidad por Banhakeia

LIMITES
** Limite de una funcion es saber cual es el valor de la funcion acercandonos a cierto valor.
** lim
x"3
f x^ h = 7 A quiere decir que cuando x se acerca a 3 la funcion f x^ h = y se acerca a 7
** Definición:
lim
x"a
f x^ h = b
las definiciones de abajo no es obligatorio que f x^ h este definida en x = a
** lim
x"a
f x^ h = b , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x - a 1 d ( f x^ h - b 1 f" ,
** lim
x"a+
f x^ h = b , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; a 1 x 1 a + d ( f x^ h - b 1 f" ,
** lim
x"a-
f x^ h = b , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; a - d 1 x 1 a ( f x^ h - b 1 f" ,
** lim
x"a
f x^ h =+3 , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x - a 1 d ( f x^ h 2 f" ,
** lim
x"a
f x^ h =-3 , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x - a 1 d ( f x^ h 1-f" ,
** lim
x"+3
f x^ h = cte , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 2 d ( f x^ h - cte 1 f" ,
** lim
x"-3
f x^ h = cte , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 1-d ( f x^ h - cte 1 f" ,
** lim
x"+3
f x^ h =+3 , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 2 d ( f x^ h 2 f" ,
** lim
x"+3
f x^ h =-3 , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 2 d ( f x^ h 1-f" ,
** lim
x"-3
f x^ h =+3 , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 1-d ( f x^ h 2 f" ,
** lim
x"-3
f x^ h =-3 , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 1-d ( f x^ h 1-f" ,
se empieza por f x^ h - b 1 f AA hasta llegar a x - a 1 g f^ h
luego si d = g f^ h & se cumple lim
x"a
f x^ h = b
Los pasos a seguir por resolver un limite por definicion
1 cogemos f x^ h - b =
transformar
S g x^ h x - a
2 sacar Dg por ejemplo Dg = R - c,d" ,
3 sacar d1 =
2
1
a - d
2
1
a - c
* 4 A se coge el nº mas pequeño sea ese nº h
si Dg = R A le damos un valor al azar a 0 1 d1 # 1
4 asi que x - a 1 d1 ( x - a 1 h (- h 1 x - a 1 h
5 por ultimo acotar g x^ h sabiendo que - h 1 x - a 1 h
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA

Recuerda estas formulas
** a $ 0 siempre ; -a = a ; a = 0 , a = 0 ; a.b = a . b
b
a
=
b
a
siendo b ! 0 ; a
2
= a
2
= a
2
; a + b # a + b ; a - b # a - c + c - b
a - b $ a - b ; a # b ,- b # a # b si b fuera negativo A seria imposible
a $ b , a #- b 0 b # a si b fuera negativo A seria verdad siempre
** an
- bn
= a - b^ h an-1
+ an-2
b + an-3
b2
+ an-4
b3
+ .........................^ h
** an
+ bn
= a + b^ h an-1
- an-2
b + an-3
b2
- an-4
b3
+ .... - ... + ........^ h
observacion de las potencias = n - 1/
mas adelante haremos algunos ejercicios para entenderlo mejor
Formulas de limites
1 lim
x"a
f x^ h6 @n
= lim
x"a
f x^ h7 A
n
2 lim
x"a
f x^ h ! g x^ h6 @ = lim
x"a
f x^ h ! lim
x"a
g x^ h
3 lim
x"a
f x^ h.g x^ h6 @ = lim
x"a
f x^ h.lim
x"a
g x^ h
4 lim
x"a g x^ h
f x^ h
=
lim
x"a
g x^ h
lim
x"a
f x^ h
5 lim
x"a
k.f x^ h6 @ = k.lim
x"a
f x^ h siendo k = Cte.
6 lim
x"a
k = k siendo k = Cte.
7 lim
x"a
f x^ h6 @g x^ h
= lim
x " a
f x^ h7 A
lim
x"a
g x^ h
8 lim
x$a
fog x^ h6 @ = f lim
x"a
g x^ h7 A si f es continua en g x^ h
9 lim
x"a
f x^ hn
= lim
x"a
f x^ hn
cuidado con D f si n es par
10 lim
x"a
logb
f x^ h7 A = logb
lim
x"a
f x^ h7 A cuidado con D f
11 lim
x"a
sen f x^ h6 @ = sen lim
x"a
f x^ h7 A , lo mismo pasa con cos , tag , cotg , arcsen ....etc.
Indeterminaciones
como resolverlos
1
0
0
a) si no hay raices cuadradas,factorizamos
b)si hay raices cuadradas,utilezaremos el conjugado
c)aplicar regla de l´hopital
2
3
3
a) se divide el numerador y el denominador por el x de mayor grado (potencia)
b)si son exponentes divideremos por el exponente de de mayor base
c) regla de l´hopital
3 3 - 3
a) en la mayoria de los casos basta con efectuar el calculo
b)en raices cuadradas basta con multiplicar por el conjugado
c) si son exponentes,se multiplica por el exponente de mayor base
d) aplicar regla de l´hopital,antes hay que transformarlo en caso
1 ó 2 aplicando estas formulicas que son interesantes
a-b =
ab
1
b
1 -
a
1
, ab =
b
1
a
, a-b = ab
b
1 -
a
1
` j

4 13
Aplicar la formula : lim
x " a
f(x)6 @
g(x)
= 13
= e lim
x"a
g(x). f(x)-17 A# -
5 00
y 30
Aplicar la formula : lim
x " a
f(x)6 @
g(x)
= e lim
x"a
g(x)Lnf(x)7 A
6 0.3
pasar la expresion que da 0 al denominador ,por las formulas
que hay arriba,y luego resolverlo por el metodo del caso 2
** En los limites de indeterminación siempre hay que buscar la manera de convertirlos en
0
0
o bien
3
3
para despues factorizar , aplicar l´hopital...
CONTINUIDAD
** Definición:
**
la función f es continua,cuando podemos dibujar la grafica de f sin realizar ningún salto.
lim
x"a
f x^ h = b , 7f 2 0 ,d 2 0 / f x^ h - b 1 f cuando x - a 1 d
** f x^ h es continua en el punto x = a ,
3 lim
x"a
f x^ h = f a^ h = cte
2 7 lim
x"a
f x^ h = cte
1 7 f x^ h = cte d RZ
[

]]]]]]
]]]]]]
** f x^ h es continua a la derecha en x = a Ssi lim
x"a+
** f x^ h es continua a la izquierda en x = a Ssi lim
x"a-
** f x^ h es continua en el punto x = a , lim
x"a+
f x^ h = lim
x"a-
** fog x^ h es continua en x = a si g x^ h es continua en x = a y f x^ h es continua en g a^ h
** todas las funciones seguientes son continuas sobre su D f
polinomicas , racionales , raices , trigonometricas , inversas , exponenciales , logaritmecas
** Propiedades
** la y/ la de% un nº limitado de funciones continuas en un intervalo es a su vez una función continua.
** el cociente de dos funciones continuas en un intervalo es también una función continua en ese intervalo,excepto
en los puntos que anulan el denominador.
** Teorema de Bolzano
f a^ h.f b^ h 1 0
de distinto signo
1 2 344444444 44444444
f x^ h continua en a,b6 @
4 ( 7 c d a,b@ 6/f c^ h = 0
DERIVABILIDAD
** Definición:
f es derivable en x = a , 7 k d R/lim
x"a x - a
f x^ h - f a^ h
= k
o bién
lim
h"0 h
f a + h^ h - f a^ h
= k
** Teorema:
si f es derivable sobre el intervalo I ( f es continua sobre I
si f es derivable en x = a ( f es continua en x = a
% 1reciproco es falso.
** Derivabilidad a la derecha
lim
h"0+ h
f a + h^ h - f a^ h
= lf a+
^ h
o bién
lim
x"a+ x - a
f x^ h - f a^ h
= lf a+
^ h
Z
[

]]]]]]]]
]]]]]]]]

** Derivabilidad a la Izquierda
lim
h"0- h
f a + h^ h - f a^ h
= lf a-
^ h
o bién
lim
x"a- x - a
f x^ h - f a^ h
= lf a-
^ h
Z
[

]]]]]]]]
]]]]]]]]
** f es derivable en x = a , lf a+
^ h = lf a-
^ h ,es decir cuando ambas tienen valores
finitos iguales o bién ambos son infinitos de igual signo.
** Regla de L´hopital AA Mas bién de BERNOULLI
sean f y g dos funciones continuas y definidas en a,b6 @,derivables en a,b^ h y sea c d a,b^ h/f c^ h = g c^ h = 0
lim
x " c g x^ h
f x^ h
= lim
x " c lg x^ h
lf x^ h
= lim
x " c llg x^ h
llf x^ h
= = lim
x " c g n^ h
x^ h
f n^ h
x^ h
mientras f y g sean n veces continuas y derivables la regla de L´hopital se puede aplicar n veces
Tabla de Derivadas
1 y = k cte^ h ( ly = 0
2 y = f x^ h6 @n
( ly = n. f x^ h6 @n-1
. lf x^ h
3 y = k.f x^ h ( ly = k. lf x^ h
4 y = f x^ h ! g x^ h ( ly = lf x^ h ! lg x^ h
5 y = f x^ h.g x^ h ( ly = lf x^ h.g x^ h + f x^ h. lg x^ h
6 y =
g x^ h
f x^ h
( ly =
g x^ h6 @2
lf x^ h.g x^ h - f x^ h. lg x^ h
7 y = fog x^ h ( ly = lf og x^ h6 @. lg x^ h
8 y = f-1
x^ h ( ly =
lf of-1
x^ h
1
9 y = loga
f x^ h ( ly =
f x^ h
lf x^ h
Ln a^ h
1
10 y = a
f x^ h
( ly = a
f x^ h
. lf x^ h.Ln a^ h
11 y = e
f x^ h
( ly = e
f x^ h
. lf x^ h
12 y = senf x^ h ( ly = cosf x^ h. lf x^ h
13 y = cosf x^ h ( ly =- senf x^ h. lf x^ h
14 y = tagf x^ h ( ly =
cos
2
f x^ h
1
lf x^ h = 1 + tag
2
f x^ h6 @. lf x^ h
15 y = cotgf x^ h ( ly =
sen
2
f x^ h
-1
lf x^ h =- 1 + cotg
2
f x^ h6 @. lf x^ h
16 y = arcsenf x^ h ( ly =
1 - f x^ h6 @2
1
lf x^ h
17 y = arcosf x^ h ( ly =
1 - f x^ h6 @2
-1
lf x^ h
18 y = arctagf x^ h ( ly =
1 + f x^ h6 @2
1
lf x^ h
19 y = arcotgf x^ h ( ly =
1 + f x^ h6 @2
-1
lf x^ h
20 y = f x^ h6 @g x^ h
A para esta formula se utiliza eLna
= a
asi que y = eln f x^ h7 A
g x^ h
= eg x^ hLnf x^ h
AA solo queda aplicar formulas anteriores
--------------------
Recordad: a.b2n
= a2n
. b2n
a2n
. b2n
= a.b2n
a.b
2n+1^ h
= a
2n+1^ h
. b
2n+1^ h
b
a2n
=
b2n
a2n
b2n
a2n
=
b
a2n
b
a
2n+1^ h
=
b
2n+1^ h
a
2n+1^ h
el sentido de la igualdad va según el sentido de las flechas negras

** Ejercicio 1 demostrar que si existe lim
x"a
f x^ h es unico
sea lim
x"a
f x^ h = l1 y lim
x"a
f x^ h = l2
lim
x"a
f x^ h = l1 + 6f 2 0,7 d 2 0 / x - a 1 d & f x^ h - l1 1 f A
lim
x"a
f x^ h = l2 + 6f 2 0,7 d 2 0 / x - a 1 d & f x^ h - l2 1 f B
ahora l1 - l2 = l1 - f x^ h + f x^ h - l2 a + b # a + b -a = a
luego l1 - l2 = l1 - f x^ h + f x^ h - l2 # l1 - f x^ h + f x^ h - l2 = f x^ h - l1 + f x^ h - l2
por ultimo como f x^ h - l1 1 f y f x^ h - l2 1 f asi que l1 - l2 1 2f &
2
1
l1 - l2 1 f
pero como sabemos que f 2 0 y l1 - l2 $ 0 lo que & l1 - l2 = 0 + l1 - l2 = 0 + l1 = l2
En conclusion el limite es único siempre hay una sola solucion^ h
--------------------
** Ejercicio 2
demuestra que lim
x"-1 x + 1
x
2
- 1
=- 2
en este ejercicio la función f x^ h =
x + 1
x
2
- 1
su dominio D f = R - -1" , asi que
lim
x"-1 x + 1
x
2
- 1
=- 2 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d Df ; x - -1^ h 1 d (
x + 1
x
2
- 1 - -2^ h 1 f% /
6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d Df ; x + 1 1 d
llegada
6 7 8444444 444444
(
x + 1
x
2
- 1 + 2 1 f
Comienzo
6 7 84444444444 4444444444
A de aqui hay que hacer aparecer x + 1
x + 1
x
2
- 1 + 2 =
x + 1
x
2
- 1 + 2x + 2
=
x + 1
x
2
+ 2x + 1
=
x + 1
x + 1^ h2
= x + 1 1 f
luego cogiendo d = f queda demostrado el limite
--------------------
** Ejercicio 3
demuestra que lim
x"2
2x
2
- x + 2^ h = 8
Recuerda:
a 1 b 1 c ,
c
1
1
b
1
1
a
1
siendo
a , b , c de mismo signo
abc ! 0
%
a 1 b ,
b
1
1
a
1
siendo
a , b de mismo signo
ab ! 0
%
en este ejercicio la función f x^ h = 2x
2
- x + 2 su dominio D f = R asi que
lim
x"2
2x
2
- x + 2^ h = 8 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d Df ; x - 2 1 d ( 2x
2
- x + 2 - 8 1 f" ,
6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d Df ; x - 2 1 d
llegada
6 7 8444444 444444
( 2x
2
- x - 6 1 f
Comienzo
6 7 84444444444 4444444444
A de aqui hay que hacer aparecer x - 2
2x
2
- x - 6 = x - 2^ h 2x + 3^ h = x - 2 2x + 3
g x^ h
1 2 34444 4444
1 f I A como ya tenemos x - 2 vamos a acotar g x^ h
fijandonos en Dg = R cogeremos un valor de d al azar siendo 0 1 d # 1 , cojamos d = 1 , se puede coger
2
1
,
3
1
,
7
1
,
10
1
.... etc.
cogiendo d = 1 y x - 2 1 d = 1 ,- 1 1 x - 2 1 1 A a nosotros nos interesa acotar 2x + 3^ h
x - 2 1 d = 1 ,- 1 1 x - 2 1 1,
X2
@
- 2 1 2x - 4 1 2,
+7
@
5 1 2x + 3 1 9 ,- 9 1 5 1 2x + 3 1 9
,- 9 1 2x + 3 1 9 , 2x + 3 1 9
Por último I x - 2 2x + 3
g x^ h
1 2 34444 4444
1 f , x - 2 .9 1 f , x - 2 1
9
f
luego cogiendo d = minimo 1,
9
f# - queda demostrado el limite
--------------------

** Ejercicio 4
demuestra que lim
x"2
4x + 1^ h = 3
en este ejercicio la función f x^ h = 4x + 1 su dominio D f =
4
-1
, + 38 8 asi que
lim
x"2
4x + 1^ h = 3 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d Df ; x - 2 1 d ( 4x + 1 - 3 1 f# -
6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d Df ; x - 2 1 d
llegada
6 7 8444444 444444
( 4x + 1 - 3 1 f
Comienzo
6 7 844444444444 44444444444
A de aqui hay que hacer aparecer x - 2
4x + 1 - 3 = 4x + 1 - 3^ h
4x + 1 + 3^ h
4x + 1 + 3^ h
=
4x + 1 + 3^ h
4x + 1 - 9^ h
= 4
4x + 1 + 3^ h
x - 2^ h
= 4 x - 2
4x + 1 + 3^ h
1
g x^ h
1 2 3444444444 444444444
1 f I
I A como ya tenemos x - 2 vamos a acotar g x^ h A para ello sabemos que 4x + 1 2 0
4x + 1 2 0 , 4x + 1 2 0 , 4x + 1 + 3 2 3 , 0 1
4x + 1 + 3
1
1
3
1
,
3
-1
1
4x + 1 + 3
1
1
3
1
,
,
4x + 1 + 3^ h
1
1
3
1
luego I 4 x - 2
4x + 1 + 3^ h
1
g x^ h
1 2 3444444444 444444444
1 f , 4 x - 2
3
1
1 f , x - 2 1
4
3f
luego cogiendo d =
4
3f
queda demostrado el limite
--------------------
** Ejercicio 5
demuestra que lim
x"1 x - 2
x - 3
= 2
en este ejercicio la función f x^ h =
x - 2
x - 3
su dominio D f = R - 2" , asi que
lim
x"1 x - 2
x - 3
= 2 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d Df ; x - 1 1 d (
x - 2
x - 3 - 2 1 f$ .
x - 2
x - 3 - 2 1 f +
x - 2
x - 3 - 2x + 4
1 f +
x - 2
-x + 1
1 f +
x - 2
- x - 1^ h
1 f ,
-a = a
A
x - 2
x - 1
1 f + x - 1
x - 2
1
g x^ h
6 7 8444 444
1 f I
Ahora pasemos a acotar g x^ h A Dg = R - 2" ,
sabemos que x - 1 1 d =
2
1
a
1
?
- b
2
?
=
2
1
,
2
-1
1 x - 1 1
2
1
,
-1
@
2
-3
1 x - 2 1
2
-1
+
+ 2
-3
1 x - 2 1
2
-1
+- 2 1
x - 2
1
1
3
-2
A mucho cuidado aqui
+ - 2 1
x - 2
1
1
3
-2
1 2 ,
x - 2
1
1 2
luego I x - 1
x - 2
1
1 f , x - 1 .2 1 f , x - 1 1
2
f
luego cogiendo d = minimo
2
1
,
2
f
$ . queda demostrado el limite
--------------------
** Ejercicio 6
demuestra que lim
x"1 2x - 1^ h 3x - 4^ h
1
=- 1
lim
x"1 2x - 1^ h 3x - 4^ h
1
=- 1 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d Df ; x - 1 1 d (
2x - 1^ h 3x - 4^ h
1 - -1^ h 1 f' 1
6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d Df ; x - 1 1 d
Final
6 7 8444444 444444
(
2x - 1^ h 3x - 4^ h
1 + 1 1 f
Inicio
6 7 844444444444444444 44444444444444444
1
2x - 1^ h 3x - 4^ h
1 + 1 =
2x - 1^ h 3x - 4^ h
6x
2
- 11x + 5
=
2x - 1^ h 3x - 4^ h
6x - 5^ h x - 1^ h
= 6x - 5
2x - 1
1
3x - 4
1
g x^ h
6 7 8444444444444444 444444444444444
x - 1
2 Dg = R -
2
1
,
3
4
$ .

3 d1 =
2
1
1 -
3
4
=
6
1
2
1
1 -
2
1
=
4
1
* AA se coge el nº mas pequeño
6
1
4 asi que x - 1 1
6
1
(-
6
1
1 x - 1 1
6
1
5 acotamos g x^ h
* 6x - 5 AA sabemos que -
6
1
1 x - 1 1
6
1
(
# por 6
A
- 1 1 6x - 6 1 1 (
+1a cada lado
A
0 1 6x - 5 1 2 ( 6x - 5 1 2
*
2x - 1
1
AA sabemos que -
6
1
1 x - 1 1
6
1
(
# por 2
A
-
3
1
1 2x - 2 1
3
1
(
+1a cada lado
A
3
2
1 2x - 1 1
3
4
( 4
3
1
2x - 1
1
1
2
3
(
2x - 1
1
1
2
3
*
3x - 4
1
AA sabemos que -
6
1
1 x - 1 1
6
1
(
# por 3
A
-
2
1
1 3x - 3 1
2
1
(
-1a cada lado
A
-
2
3
1 3x - 4 1-
2
1
(- 2 1
3x - 4
1 1-
3
2
(
3x - 4
1
1 2
por ultimo
2x - 1^ h 3x - 4^ h
1 + 1 = 6x - 5
2x - 1
1
3x - 4
1
x - 1 1 2
2
3
2 x - 1 = 6. x - 1 1 f ( x - 1 1 6
f
asi que d = minimo valor
6
1
,
6
f
$ .
--------------------
Indeterminación
0
0
** Ejercicio 7
calcula I = lim
x"4 x - 4
x
4
- 256
1º metodo
I = lim
x"4 x - 4
x
4
- 256
=
4 - 4
4
4
- 256
=
0
0
F.I
I = lim
x"4 x - 4
x
4
- 256
= lim
x"4 x - 4
x
2
- 16^ h x
2
+ 16^ h
; E = lim
x"4 x - 4^ h
x - 4^ h x + 4^ h x
2
+ 16^ h
< F = lim
x"4
x + 4^ h x
2
+ 16^ h6 @ = 8.32 = 256
2º metodo
I = lim
x"4 x - 4
x
4
- 256
=
4 - 4
4
4
- 256
=
0
0
F.I A aplicando l´Hopital
I = lim
x"4 x - 4
x
4
- 256
=
H
?
lim
x"4 1
4x
3
= 4. 4^ h3
= 256
--------------------
** Ejercicio 8
calcula I = lim
x"3 x
2
- 9
x
2
- 3x
1º metodo
I = lim
x"3 x
2
- 9
x
2
- 3x
=
9 - 9
9 - 9
=
0
0
F.I
I = lim
x"3 x
2
- 9
x
2
- 3x
= lim
x"3 x - 3^ h x + 3^ h
x x - 3^ h
= lim
x"3 x + 3^ h
x
=
6
3
=
2
1
2º metodo
I = lim
x"3 x
2
- 9
x
2
- 3x
=
9 - 9
9 - 9
=
0
0
I = lim
x"3 x
2
- 9
x
2
- 3x
=
H
?
lim
x"3 2x
2x - 3
=
6
6 - 3
=
6
3
=
2
1
--------------------

** Ejercicio 9
calcula I = lim
x"2 x - 2
e
x
- e
2
I = lim
x"2 x - 2
e
x
- e
2
=
2 - 2
e
2
- e
2
=
0
0
F.I aplicando l´Hopital
I = lim
x"2 x - 2
e
x
- e
2
=
H
?
lim
x"2 1
e
x
= lim
x"2
e
x
= e
2
--------------------
** Ejercicio 10
calcula I = lim
x"1 x
2
- 1
1 - x
1º metodo A aplicando Factorizando
I = lim
x"1 x
2
- 1
1 - x
=
0
0
F.I
I = lim
x"1 x
2
- 1
1 - x
= lim
x"1 x - 1^ h x + 1^ h
1 - x
= lim
x"1 x - 1^ h x + 1^ h x + 1^ h
- x - 1^ h
=
4
-1
2º metodo A aplicando l´Hopital
I = lim
x"1 x
2
- 1
1 - x
= lim
x"1 2x
2 x
-1
= lim
x"1 4.x. x
-1
=
4
-1
3º metodo A aplicando conjugado
I = lim
x"1 x
2
- 1
1 - x
= lim
x"1 x
2
- 1
1 - x
1 + x
1 + x
= lim
x"1 x - 1^ h x + 1^ h 1 + x^ h
- x - 1^ h
= lim
x"1 x + 1^ h 1 + x^ h
-1
=
4
-1
--------------------
** Ejercicio 11
calcula I = lim
x"1 x - 1
x3
- 1
I = lim
x"1 x - 1
x3
- 1
=
0
0
F.I
1º metodo A aplicando a
3
- b
3
= a - b^ h a
2
+ ab + b
2
^ h
x - 1 = x
33
- 1
3
= x3
^ h
3
- 1^ h3
= x3
- 1^ h x
23
+ x3
+ 1^ h
I = lim
x"1 x - 1
x3
- 1
= lim
x"1 x3
- 1^ h x
23
+ x3
+ 1^ h
x3
- 1
= lim
x"1 x
23
+ x3
+ 1
1
=
3
1
2º metodo A aplicando L´Hopital
I = lim
x"1 x - 1
x3
- 1
= lim
x"1 1
3. x
23
1
= lim
x"1 3. x
23
1
=
3
1
3º metodo A aplicando Haciendo cambio de variable
Recuerda an
= an
1
A a1
= a , an
existe Ssi
a d R+
si n par
a d R si n impar
'
sacamos el minimo común multiplo de indices de las raices m.c.m 1,3^ h = 3
asi que el cambio de variable es t
3
= x (
t
3
" 1 & t " 1
x " 1
% luego I queda de la seguiente forma
I = lim
x"1 x - 1
x3
- 1
= lim
t"1 t
3
- 1
t
33
- 1
= lim
t"1 t
3
- 1
t - 1
= lim
t"1 t - 1^ h t
2
+ t + 1^ h
t - 1
= lim
t"1 t
2
+ t + 1^ h
1
=
3
1
--------------------
** Ejercicio 12
calcula I = lim
x"2 x
2
- 2x3
x
2
+ x - 6
I = lim
x"2 x
2
- 2x3
x
2
+ x - 6
=
0
0
F.I

metodo A haciendo cambio de variable
para esta clase de ejercicios lo 1 es sacar minimo común multiplo de las indices raices^ h
m.c.m 2,3^ h = 6 A asi que el cambio sera de t
6
= x - 2
x"2
D
&
x " 2^ h & x - 2^ h
t6
6 7 8444 444
" 0
< F
& t
6
" 0^ h & t " 0^ h
x = t
6
+ 2
*
I = lim
x"2 x
2
- 2x3
x
2
+ x - 6
= lim
x"2 x x - 2^ h3
x - 2^ h x + 3^ h
= lim
t"0 t
6
+ 2^ ht
63
t
6
t
6
+ 2 + 3^ h
= lim
t"0 t
2
t
6
+ 2^ h3
t
3
t
6
+ 2 + 3^ h
= lim
t"0 t
6
+ 2^ h3
t t
6
+ 2 + 3^ h
I =
23
0. 5
= 0 , t
3
= t
2
.t = t
2
t " t
2
es positivo
--------------------
** Ejercicio 13
calcula I = lim
x"0 x.cosx
senx 1 + cosx^ h
I = lim
x"0 x.cosx
senx 1 + cosx^ h
=
0
0
F.I
I = lim
x"0 x.cosx
senx 1 + cosx^ h
= lim
x"0 cosx - x.senx
cosx 1 + cosx^ h - sen
2
x
=
1
2
= 2
2º metodo
I = lim
x"0 x.cosx
senx 1 + cosx^ h
= lim
x"0 x
senx
cosx
1 + cosx^ h
= 1
1
2
= 2
--------------------
** Ejercicio 14
calcula I = lim
x"0 senx
e
x
- e-x
I = lim
x"0 senx
e
x
- e-x
=
0
0
F.I
I = lim
x"0 cosx
e
x
+ e-x
=
1
1 + 1
= 2
2º metodo A lim
x"0 x
a
x
- 1
= Lna
I = lim
x"0 senx
e
x
- e-x
= lim
x"0 senx
e-x
e
2x
- 1^ h
= lim
x"0 senx
e-x
e
2x
- 1^ h
2x
2x
= lim
x"0 senx
2x
2x
e
2x
- 1^ h
e-x
= 2.1.1.1 = 2
--------------------
** Ejercicio 15
calcula I = lim
x"0 1 + x3
- 1
1 + x - 1
I = lim
x"0 1 + x3
- 1
1 + x - 1
=
0
0
F.I
1º metodo A Haciendo cambio de variable es muy parecido al ejercicio 11^ h
6
= 1 + x (
t
6
" 1 & t " 1
x " 0
I = lim
x"0 1 + x3
- 1
1 + x - 1
= lim
t"1 t
63
- 1
t
6
- 1
= lim
t"1 t
2
- 1
t
3
- 1
= lim
t"1 t - 1^ h t + 1^ h
t - 1^ h t
2
+ t + 1^ h
= lim
t"1 t + 1^ h
t
2
+ t + 1^ h
=
2
3
2º metodo A aplicando a
3
- b
3
= a - b^ h a
2
+ ab + b
2
^ h
1 + x^ h - 1 = 1 + x^ h33
- 1
3
= 1 + x^ h3
^ h
3
- 1^ h3
= 1 + x^ h3
- 1^ h 1 + x^ h23
+ 1 + x^ h3
+ 1_ i ,
, 1 + x^ h3
- 1 =
1 + x^ h23
+ 1 + x^ h3
+ 1_ i
1 + x^ h - 1
=
1 + x^ h23
+ 1 + x^ h3
+ 1_ i
x
1 + x^ h - 1 = 1 + x^ h22
- 1
2
= 1 + x^ h2
^ h
2
- 1^ h2
= 1 + x^ h2
- 1^ h 1 + x^ h2
+ 1^ h

, 1 + x^ h - 1 =
1 + x^ h + 1^ h
1 + x^ h - 1
=
1 + x^ h + 1^ h
x
I = lim
x"0
1 + x^ h23
+ 1 + x^ h3
+ 1_ i
x
1 + x^ h + 1^ h
x
= lim
x"0 1 + x^ h + 1^ h
1 + x^ h23
+ 1 + x^ h3
+ 1_ i
=
2
3
--------------------
** Ejercicio 16
calcula I = lim
x"1 x4
- 1
x3
- 1
I = lim
x"1 x4
- 1
x3
- 1
=
0
0
F.I
Haciendo cambio de variable es muy parecido al anterior^ h
12
= x (
t
12
" 1 & t " 1
x " 1
I = lim
x"1 x4
- 1
x3
- 1
= lim
t"1 t
124
- 1
t
123
- 1
= lim
t"1 t
3
- 1
t
4
- 1
= lim
t"1 t - 1^ h t
2
+ t + 1^ h
t
2
- 1^ h t
2
+ 1^ h
= lim
t"1 t - 1^ h t
2
+ t + 1^ h
t - 1^ h t + 1^ h t
2
+ 1^ h
=
3
4
--------------------
** Ejercicio 17
calcula I = lim
x"a x - a
x - a
siendo a $ 0
I = lim
x"a x - a
x - a
=
0
0
F.I
1º metodo A aplicando el conjugado
I = lim
x"a x - a
x - a
= lim
x"a x - a
x - a
x + a
x + a
< F = lim
x"a x - a^ h x + a^ h
x - a
= lim
x"a x + a^ h
1
=
2 a
1
2º metodo A Factorizando
I = lim
x"a x - a
x - a
= lim
x"a x - a^ h x + a^ h
x - a
< F = lim
x"a x + a^ h
1
; E =
2 a
1
2º metodo A l´Hopital
I = lim
x"a x - a
x - a
= lim
x"a 1
2 x
1
= lim
x"a 2 x
1
=
2 a
1
--------------------
** Ejercicio 18
calcula I = lim
x"0 bx
sen ax^ h
I = lim
x"0 bx
sen ax^ h
=
0
0
F.I
1º metodo A l´Hopital
I = lim
x"0 bx
sen ax^ h
=
H
?
lim
x"0 b
a.cos ax^ h
=
b
a
2º metodo
I = lim
x"0 bx
sen ax^ h
= lim
x"0 ax
sen ax^ h
bx
ax: D = lim
x"0 ax
sen ax^ h
b
a: D =
b
a
--------------------
** Ejercicio 19
calcula I = lim
x"1 x - 1
x
2
- 1 + x - 1
I = lim
x"1 x - 1
x
2
- 1 + x - 1
=
0
0
F.I

I = lim
x"1 x - 1
x
2
- 1 + x - 1
= lim
x"1 x - 1
x
2
- 1
+ lim
x"1 x - 1
x - 1
= lim
x"1 x - 1
x
2
- 1 + lim
x"1 x - 1
x - 1
x + 1
x + 1
( 2
I = lim
x"1 x - 1^ h
x - 1^ h x + 1^ h
+ lim
x"1 x + 1^ h x - 1
x - 1
' 1 = lim
x"1
x + 1 + lim
x"1 x + 1^ h x - 1
x - 1^ h
2
) 3
I = lim
x"1
x + 1 + lim
x"1 x + 1^ h
x - 1
= 2 +
2
0
= 2
--------------------
** Ejercicio 20
calcula I = lim
x"-3 x
3
+ 2x
23
x
2
+ 2x - 3
I = lim
x"-3 x
3
+ 2x
23
x
2
+ 2x - 3
=
0
0
F.I
Recuerda: a
2n+1^ h
=- -a
2n+1^ h
I = lim
x"-3 x
3
+ 2x
23
x
2
+ 2x - 3
= lim
x"-3 x
2
x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ h
A sea f x^ h =
x
2
x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ h
hagamos la tabla para saber cual es el campo de existencia de x + 3^ h x - 1^ h
x - 3 - 3 1 + 3
x - 1 - - 0 +
x + 3 - 0 + +
x - 1^ h x + 3^ h + 0 - 0 +
x + 3^ h x - 1^ h existe Ssi x d -3, - 3@ @, 1, + 36 6 luedo D f = -3, - 3@ 6, 1, + 36 6
I = lim
x"-3 x
2
x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ h
= lim
x"-3 x + 3^ h3
x + 3
x
23
x - 1
I = lim
x"-3- - - x + 3^ h3
- x + 3^ h
x
23
- x - 1^ h
= lim
x"-3-
- - x + 3^ h6
x
23
- x - 1^ h
= 0
33
2
= 0
lim
x"-3+ x
2
x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ h
no existe porque la función f x^ h =
x
2
x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ h
no esta definida en 3+
--------------------
Indeterminación
3
3
** Ejercicio 21
calcula I = lim
x"3 x + 3
x
2
+ 1 - x + 2
I = lim
x"3 x + 3
x
2
+ 1 - x + 2
=
3
3 - 3
F.I
I = lim
x"3 x + 3
x
2
+ 1 - x + 2
= lim
x"3
x 1 +
x
3
` j
x
2
1 +
x
2
1
a k - x 1 -
x
2
` j
= lim
x"3
x 1 +
x
3
` j
x 1 +
x
2
1
a k - x 1 -
x
2
` j
I =
lim
x"-3
x 1 +
x
3
` j
-x 1 +
x
2
1
a k - x 1 -
x
2
` j
= lim
x"-3
1 +
x
3
` j
- 1 +
x
2
1
a k - 1 -
x
2
` j
=
1
-1 - 1
=- 2
lim
x"+3
x 1 +
x
3
` j
x 1 +
x
2
1
a k - x 1 -
x
2
` j
= lim
x"+3
1 +
x
3
` j
1 +
x
2
1
a k - 1 -
x
2
` j
=
1
1 - 1
= 0
Z
[

]]]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]]]]
--------------------

** Ejercicio 22 anoto 3 =!3^ h
calcula I = lim
x"3 la x
m
+ lb x
m-1
+ lc x
m-2
+ ..............
ax
n
+ bx
n-1
+ cx
n-2
+ ..............
I = lim
x"3 la x
m
+ lb x
m-1
+ lc x
m-2
+ ..............
ax
n
+ bx
n-1
+ cx
n-2
+ ..............
,cuando x"3
ojo sólo
I = lim
x"3 la x
m
ax
n
= lim
x"3 la
a
x
n-m
= lim
x"3 la
a
x
k
Si k = 0 A I =
la
a
Si k par A I =
la
a +3^ h
Si k Impar A I =
la
a
!3^ h A depende del signo de
la
a
--------------------
** Ejercicio 23
calcula I = lim
x"+3 x
Lnx^ h3
I = lim
x"+3 x
Lnx^ h3
=
3
3
F.I
1º metodo recordad: lim
a"+3 a
Lna
= 0
I = lim
x"+3 x
Lnx^ h3
= lim
x"+3 x3
^ h
3
Lnx^ h3
= lim
x"+3 x3
Lnx
c m
3
= lim
x"+3 x3
Ln x3
^ h
3
e o
3
=
I = lim
x"+3 x3
3.Ln x3
^ h
d n
3
= 3
3
. lim
x"+3 x3
Ln x3
^ h
d n
3
= 27.0
3
= 0
2º metodo A cambio de variable x = u
3
,
u
3
A+3 , u A+3
x A+3
%
I = lim
x"+3 x
Lnx^ h3
= lim
u"+3 u
3
Lnu
3
^ h3
= lim
u"+3 u
3
3.Lnu^ h3
= 3
3
lim
u"+3 u
Lnu
` j
3
= 27.0
3
= 0
I = lim
x"+3 x
Lnx^ h3
=
H
?
lim
x"+3 x
3. Lnx^ h2
=
H
?
lim
x"+3 x
3.2. Lnx^ h
=
H
?
lim
x"+3 x
3.2
=
+3
6
= 0
--------------------
** Ejercicio 24
calcula I = lim
x"+3 x x - x
2
+ x + 1^ h
x + x + 1
I = lim
x"+3 x x - x
2
+ x + 1^ h
x + x + 1
=
+3 +3 - 3^ h
+3
F.I
el 1º paso es convertir el denominador en un solo 3 para ello utilizaremos su conjugado.
I = lim
x"+3 x x - x
2
+ x + 1^ h
x + x + 1
= lim
x"+3 x
3
- x
3
+ x
2
+ x^ h
x + x + 1
=
I = lim
x"+3 x
3
- x
3
+ x
2
+ x^ h
x + x + 1
x
3
+ x
3
+ x
2
+ x^ h
x
3
+ x
3
+ x
2
+ x^ h
= lim
x"+3 x
3
- x
3
- x
2
- x^ h
x + x + 1^ h x
3
+ x
3
+ x
2
+ x^ h
I = lim
x"+3 -x
2
- x^ h
x
4
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x
4
+ x
3
+ x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ x
I = lim
x"+3
x
2
-1 -
x
1
` j
x
2
+ x
2
1 +
x
1 +
x
2
1 + x
2
1 +
x
1 + x
2
1 +
x
2 +
x
2
2 +
x
3
1
I = lim
x"+3 -1 -
x
1
` j
1 + 1 +
x
1 +
x
2
1 + 1 +
x
1 + 1 +
x
2 +
x
2
2 +
x
3
1
=
-1
4
=- 4
--------------------
** Ejercicio 25
calcula I = lim
x"+3 x3
Ln 3x - 2^ h

1º metodo
I = lim
x"+3 x3
Ln 3x - 2^ h
= lim
x"+3 x3
Ln x. 3 -
x
2
` j8 B
= lim
x"+3 x3
Lnx + Ln 3 -
x
2
` j
I = lim
x"+3 x3
Lnx +
x3
Ln 3 -
x
2
` j
> H = lim
x"+3 x3
Lnx + lim
x"+3 x3
Ln 3 -
x
2
` j
= lim
x"+3 x3
Ln x3
^ h
3
+ lim
x"+3 x3
Ln 3 -
x
2
` j
I = 0 +
+3
Ln3
= 0 + 0 = 0
I = lim
x"+3 x3
Ln 3x - 2^ h
=
H
?
lim
x"+3
3 x
23
1
3x - 2
3
= lim
x"+3 3x - 2
9 x
23
= lim
x"+3
x 3 -
x
2
` j
9 x
3
x
1
` j
3
=
I = lim
x"+3
x 3 -
x
2
` j
9x.
x
1
` j
3
= lim
x"+3
3 -
x
2
` j
9.
x
1
` j
3
=
3 - 0
9.0
= 0
--------------------
** Ejercicio 26 Recordad: I = lim
x"3
a
x
=
si x "-3
si 0 1 a 1 1 ( I =+3
si a 2 1 ( I = 0
$
si x "+3
si 0 1 a 1 1 ( I = 0
si a 2 1 ( I =+3$
Z
[

]]]]]
]]]]
calcula I = lim
x"+3 a
x-1
a
2x+1
+ b
x
siendo a 2 b 2 1 y a,b^ h d N2
I = lim
x"+3 a
x-1
a
2x+1
+ b
x
=
si x A-3 ( I =
0
0
F.I
si x A+3 ( I =
+3
+3
F.I
* el 1º paso es dividir por el exponente de mayor base
I = lim
x"+3 a-1
a
x
a.a
2x
+ b
x
= lim
x"+3 a
x
a-1
a
x
a.a
x
+
a
x
b
x
a k
= lim
x"+3 a-1
a.a
x
+
a
x
b
x
=0
A
f p
= lim
x"+3
a
2
a
x
= a
2
+3^ h =+3
--------------------
Indeterminación 1
3
, 0.3
** Ejercicio 27 Recordad: I = lim
x"a
f x^ h6 @g x^ h
= 1
3
( I = e
lim
x"a
g x^ h f x^ h-1_ i7 A
calcula I = lim
x"0
cosx + senx^ hx
1
I = lim
x"0
cosx + senx^ hx
1
= 1
3
F.I
I = e
lim
x"0
x
1 cosx+senx-1^ h
como lim
x"0 x
cosx + senx - 1^ h
=
0
0
apliquemos la regla de l´Hopital
lim
x"0 x
cosx + senx - 1^ h
=
H
?
lim
x"0 1
-senx + cosx^ h
= 1 por último
I = e
1
= e
--------------------
** Ejercicio 28
calcula I = lim
x"3 7x
7x - 2` j
x
I = lim
x"3 7x
7x - 2` j
x
= lim
x"3
1 -
7x
2
` j
x
= 1
3
F.I
1º metodo
I = lim
x"3
1 -
7x
2
` j
x
= e
lim
x"3
x 1-
7x
2 -1d n
= e
lim
x"3
- 7
2d n
= e- 7
2
=
e
27
1

2º metodo Recordad: lim
f x^ h"3
1 +
f x^ h
1
a k
f x^ h
= e
I = lim
x"3
1 -
7x
2
` j
x
= lim
x"3
1 +
-2
7x
1
e o
x
= lim
x"3
1 +
-2
7x
1
e o
-2
7x
> H
7
-2
= e- 7
2
=
e
27
1
--------------------
** Ejercicio 29
calcula I = lim
x"1 x + 2
2x + 1
` jx-1
1
I = lim
x"1 x + 2
2x + 1
` jx-1
1
= 1
3
F.I
1º metodo A I = lim
x"a
f x^ h6 @g x^ h
= 1
3
( I = e
lim
x"a
g x^ h f x^ h-1_ i7 A
I = lim
x"1 x + 2
2x + 1
` jx-1
1
= e
lim
x"1x-1
1
x+2
2x+1 -1d n
= e
lim
x"1x-1
1
x+2
x-1d n
= e
lim
x"1 x+2
1d n
= e3
1
= e3
2º metodo A lim
f x^ h"3
1 +
f x^ h
1
a k
f x^ h
= e
I = lim
x"1 x + 2
2x + 1
` jx-1
1
= lim
x"1
1 +
x + 2
2x + 1 - 1` jx-1
1
= lim
x"1
1 +
x + 2
x - 1
` jx-1
1
=
I = lim
x"1
1 +
x - 1
x + 2
1
e o
x-1
x+2
x+2
x-1
x-1
1
= lim
x"1
1 +
x - 1
x + 2
1
e o
x-1
x+2
> H
x+2
x-1
x-1
1
I = lim
x"1
1 +
x - 1
x + 2
1
e o
x-1
x+2
> H
lim
x"1 x+2
x-1
x-1
1
= e3
1
= e3
--------------------
** Ejercicio 30
calcula I = lim
x"1
tg
4
rx
_ i
tg
2
rx
I = lim
x"1
tg
4
rx
_ i
tg
2
rx
= 1
3
F.I
I = lim
x"1
tg
4
rx
_ i
tg
2
rx
= e
lim
x"1
tg
2
rx tg
4
rx -1c m
lim
x"1
tg
2
rx
tg
4
rx - 1_ i = 3.0 F.I A
es pasarlo a la forma
0
0
o
3
3
y luego utilizar l´Hopital
cuando tenemos una indeterminación de esta forma
)
lim
x"1
tg
2
rx
tg
4
rx - 1_ i = lim
x"1
tg
2
rx
1
tg
4
rx - 1_ i
= lim
x"1
cotg
2
rx
tg
4
rx - 1_ i
A Aplicando l´Hopital
= lim
x"1
sen
2
2
rx
-1
2
r
cos
2
4
rx
1
4
r
=
2
-1
lim
x"1
cos
2
4
rx
sen
2
2
rx
=
2
-1
2
2
c m
2
1
=- 1 luego I = e-1
--------------------

** Ejercicio 31
calcula I = lim
x" 2
r
1 + r - 2x^ htgx
I = lim
x" 2
r
1 + r - 2x^ htgx
= 1
3
F.I
I = lim
x" 2
r
1 + r - 2x^ htgx
= e
lim
x" 2
r
tgx 1+r-2x-1^ h
lim
x"
2
r
tgx r - 2x^ h = 3.0 F.I A lim
x"
2
r
tgx r - 2x^ h = lim
x"
2
r
tgx
1
r - 2x^ h
= lim
x"
2
r cotgx
r - 2x^ h
A aplicar l´Hopital
= lim
x"
2
r
sen
2
x
-1
-2
= lim
x"
2
r
2sen
2
x = 2 luego I = e
2
--------------------
** Ejercicio 32
calcula I = lim
x"1
2 - x^ htg
2
rx
I = lim
x"1
2 - x^ htg
2
rx
= 1
3
F.I
I = lim
x"1
2 - x^ htg
2
rx
= e
lim
x"1
tg
2
rx 2-x-1^ h
= e
lim
x"1
tg
2
rx 1-x^ h
lim
x"1
tg
2
rx
1 - x^ h = 3.0 F.I A lim
x"1
tg
2
rx
1 - x^ h = lim
x"1
tg
2
rx
1
1 - x^ h
= lim
x"1
cotg
2
rx
1 - x^ h
A aplicar l´Hopital
= lim
x"1
sen
2
2
rx
-
2
r
-1
=
r
2
lim
x"1
sen
2
2
rx
=
r
2
luego I = er
2
--------------------
Indeterminación 3
0
, 0
0
Recordad: I = lim
x"a
f x^ h6 @g x^ h
=
0
0
3
0
' ( I = e
lim
x"a
g x^ hLn f x^ h_ i7 A
** Ejercicio 33
calcula I = lim
x"0
cotagx^ hsenx
I = lim
x"0
cotagx^ hsenx = 3
0
F.I
I = e
lim
x"0
senx.Ln cotagx^ h
A lim
x"0
senx.Ln cotgx^ h = 0.3 F.I
lim
x"0
senx.Ln cotgx^ h = lim
x"0
senx
1
Ln cotgx^ h
=
H
?
lim
x"0
sen
2
x
-cosx
cotgx
1
sen
2
x
-1
= lim
x"0 -cosx
-tgx
= lim
x"0 cos
2
x
senx
= 0
luego I = e
0
= 1
--------------------
** Ejercicio 34
calcula I = lim
x" 2
r 1 - senx
1
` j
cotgx
I = lim
x" 2
r 1 - senx
1
` j
cotgx
= 3
0
F.I
I = e
lim
x"
2
r
cotgx.Ln
1-senx
1c m
A lim
x" 2
r
cotgx.Ln
1 - senx
1
` j = 0.3 F.I

lim
x" 2
r tgx
1
Ln1 - Ln 1 - senx^ h6 @% / =- lim
x" 2
r tgx
Ln 1 - senx^ h
=
H
?
- lim
x" 2
r
cos
2
x
1
1 - senx
-cosx
=
= lim
x" 2
r 1 - senx
cos
3
x
=
0
0
=
H
?
lim
x" 2
r -cosx
-3cos
2
x.senx
= lim
x" 2
r
3cosx.senx = 0
luego I = e
0
= 1
--------------------
** Ejercicio 35
calcula I = lim
x"+3
e-x
^ hx
1
I = lim
x"+3
e-x
^ hx
1
= 0
0
F.I
I = lim
x"+3
e-x
^ hx
1
= e
lim
x"+3x
1 .Ln e-x^ h
A lim
x"+3 x
1
.Ln e-x
^ h = lim
x"+3 x
1 -xLn e^ h6 @ = lim
x"+3
-1^ h =- 1
luego I = e-1
--------------------
** Ejercicio 36
calcula I = lim
x"+3 1 + x
2
` jLnx
2
I = lim
x"+3 1 + x
2
` jLnx
2
= 0
0
F.I
I = lim
x"+3 1 + x
2
` jLnx
2
= e
lim
x"+3Lnx
2 Ln
1+x
2d n
lim
x"+3 Lnx
2
Ln
1 + x
2
` j = 2 lim
x"+3 Lnx
Ln
1 + x
2
` j
= 2 lim
x"+3 Lnx
Ln2 - Ln 1 + x^ h
=
+3
+3
=
H
?
2 lim
x"+3
x
1
1 + x
-1
=- 2 lim
x"+3 1 + x
x
=- 2 lim
x"+3 x
x
=- 2
luego I = e-2
--------------------
** Ejercicio 37
calcula I = lim
x"0
x.sen
x
1
, J = lim
x"3
x.sen
x
1
** I = lim
x"0
x.sen
x
1
si x " 0 ,
x
1
" 3 y sen
x
1
no admite ningún limite x " 0 ,lo unico que sabemos
es que esta a cot ada -1 # sen
x
1
# 1` j en conclusión x.sen
x
1
" 0
por último lim
x"0
x.sen
x
1
= 0
** J = lim
x"3
x.sen
x
1
, J = lim
x"3
x
1
sen
x
1
haciendo cambio variable a =
x
1
a " 0
x " 3 ,
x
1
" 0(
J = lim
x"3
x
1
sen
x
1
= lim
a"0 a
sena
= 1
--------------------

** Ejercicio 38
se considera la función f x^ h =
-2x - 1 si x #- 1
x
2
si - 1 1 x 1 0
senx si x $ 0
)
estudiar en los puntos 0 y - 1 la continuidad de f x^ h
Respuesta :
f x^ h =
-2x - 1 si x #- 1 3
x
2
si - 1 1 x 1 0 2
senx si x $ 0 1
Z
[

]]]]]
]]]]
Continuidad en x = 0
f x^ h es continua en x = 0 Ssi lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0-
f x^ h = f 0^ h
f 0^ h " nos encontramos en la ecuación 1 ( f 0^ h = sen0 = 0
x " 0+ " nos encontramos en la ecuación 1 ( lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0+
senx = 0
x " 0- " nos encontramos en la ecuación 2 ( lim
x"0-
f x^ h = lim
x"0-
x
2
= 0
como lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0-
f x^ h = f 0^ h = 0 , f x^ h es continua en x = 0
Continuidad en x =- 1
f x^ h es continua en x =- 1 Ssi lim
x"-1+
f x^ h = lim
x"-1-
f x^ h = f -1^ h
f -1^ h " nos encontramos en la ecuación 3 ( f -1^ h =- 2 -1^ h - 1 = 1
x "- 1+ " nos encontramos en la ecuación 2 ( lim
x"-1+
f x^ h = lim
x"-1+
x
2
= 1
x "- 1- " nos encontramos en la ecuación 3 ( lim
x"-1-
f x^ h = lim
x"-1-
-2x - 1^ h = 1
como lim
x"-1+
f x^ h = lim
x"-1-
f x^ h = f -1^ h = 1 , f x^ h es continua en x =- 1
--------------------
** Ejercicio 39
f x^ h =
2 si x = 1
x
2
- 1
x - 1
si x ! 1
*
estudia la continuidad de f
Respuesta :
f x^ h =
2 si x = 1 2
x
2
- 1
x - 1
si x ! 1 1
*
en los ejercicios donde aparece el valor absoluto lo 1º es quitarlo
x - 1 =
x - 1 si x # 1
x - 1 si x $ 1
$ ,pero se observa en la ecuación 1 que x ! 1 asi que x - 1 =
x - 1 si x 1 1
x - 1 si x 2 1
$
luego la f queda de la seguiente forma : f x^ h =
2 si x = 1
x
2
- 1
-x + 1
si x 1 1
x
2
- 1
x - 1
si x 2 1
Z
[

]]]]]]]
]]]]]]] =
2 si x = 1 c
x + 1
-1
si x 1 1 b
x + 1
1
si x 2 1 a
Z
[

]]]]]]]
]]]]]]]
sabemos que una funcion cte y una funcion lineal son continuas en todo R,y como f es el cociente
de dos funciones continuas en R ( f es continua en R excepto en los puntos que anulen el denominador -1^ h
asi que nos queda por estudiar la continuidad en x = 1
f x^ h es continua en x = 1 Ssi lim
x"1+
f x^ h = lim
x"1-
f x^ h = f 1^ h
f 1^ h = 2 , lim
x"1+
f x^ h = lim
x"1+ x + 1
1
=
2
1
, lim
x"1-
f x^ h = lim
x"1- x + 1
-1
=
2
-1
lim
x"1+
f x^ h ! lim
x"1-
f x^ h ! f 1^ h ( f no es continua en x = 1
por último f es continua en R - -1,1" ,
--------------------

** Ejercicio 40
f x^ h =
x
r
si x $ r
sen x + b^ h si 0 1 x 1 r
a x - 1^ h2
si x # 0Z
[

]]]]]
]]]]]
Halla el valor de a y b para que f sea continua en R
Respuesta:
f x^ h =
x
r
si x $ r
sen x + b^ h si 0 1 x 1 r
a x - 1^ h2
si x # 0Z
[

]]]]]
]]]]]
las funciones a x - 1^ h2
, sen x + b^ h y
x
r
son continuas en todo su dominio
luego los únicos puntos de posible discontinuidad es el salto entre las funciones
para comprobar si la funcion es continua en dichos puntos se evalúan los limites laterales
y la función en los puntos.
continuidad en x = 0
f 0^ h = a 0 - 1^ h2
= a , lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0+
sen x + b^ h = senb , lim
x"0-
f x^ h = lim
x"0-
a x - 1^ h2
= a
para que f sea continua en x = 0 , f 0^ h = lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0-
f x^ h , a = senb
continuidad en x = r
f r^ h =
r
r
= 1 , lim
x"r-
f x^ h = lim
x"r-
sen x + b^ h = sen r + b^ h =- senb , lim
x"r+
f x^ h = lim
x"r+ x
r
= 1
para que f sea continua en x = r , f r^ h = lim
x"r-
f x^ h = lim
x"r+
f x^ h , 1 =- senb
en conclución
-1 = senb
a = senb
$ ( a =- 1 , senb =- 1 = sen
2
-r
+
b = r +
2
r + 2kr
b =
2
-r + 2kr
*
b = r +
2
r + 2kr
b =
2
-r + 2kr
* + b =
2
-r + 2kr con k d Z
--------------------
** Ejercicio 41
f x^ h =
b si x = 0
x
2
tg
2
rx
si x ! 0
*
halla el valor de b para que f sea continua en x = 0
Respuesta:
f x^ h =
b si x = 0
x
2
tg
2
rx
si x ! 0
*
, f continua en x = 0 , lim
x"0
f x^ h = f 0^ h
lim
x"0
f x^ h = lim
x"0 x
2
tg
2
rx
lim
x"0 x
2
tg
2
rx
= lim
x"0
r
2
r
2
x
2
tg
2
rx
= lim
x"0
r
2
r.x
tgrx
` j
2
= r
2
lim
x"0 r.x
tgrx
a k
2
=
lim
x"0 r.x
tgrx
= lim
x"0 rx
cosrx
senrx
= lim
x"0 rx.cosrx
senrx
= lim
x"0 rx
senrx
cosrx
1
` j = lim
x"0 rx
senrx
lim
x"0 cosrx
1
= 1.1 = 1
lim
x"0
f x^ h = r
2
, f 0^ h = b
luego para que f sea continua b debe valer r
2
--------------------

** Ejercicio 42
f x^ h =
2b si x = 0
x
2
e
x
- e
ax
+ x
2
si x ! 0
*
halla los valores de a y b para que f sea continua en x = 0
Respuesta:
para que la función sea continua en x = 0 , lim
x"0
f x^ h = f 0^ h
lim
x"0
f x^ h = lim
x"0 x
2
e
x
- e
ax
+ x
2
=
0
0
lim
x"0 x
2
e
x
- e
ax
+ x
2
=
H
?
lim
x"0 2x
e
x
- ae
ax
+ 2x
=
0
1 - a
A 1 - a = 0 + a = 1 asi poder seguir aplicando Hopital^ h
lim
x"0 2x
e
x
- ae
ax
+ 2x
=
H
?
lim
x"0 2
e
x
- a
2
e
ax
+ 2
=
a=1
?
lim
x"0 2
e
x
- e
x
+ 2
= 1 , f 0^ h = 2b
lim
x"0
f x^ h = f 0^ h , 2b = 1 , b =
2
1
--------------------
** Ejercicio 43
f x^ h =
-2x - 1 si x #- 1
x
2
si - 1 1 x 1 0
senx si x $ 0
)
Estudiar la derivabilidad de f en x = 0 y x =- 1
Respuesta:
f x^ h =
-2x - 1 si x #- 1
x
2
si - 1 1 x 1 0
senx si x $ 0
)
( lf x^ h =
-2 si x #- 1
2x si - 1 1 x 1 0
cosx si x $ 0
*
utilizando la definición $ f
derivabilidad en x = 0
derivada por la derecha
lim
x"0+ x - 0
f x^ h - f 0^ h
= lim
x"0+ x - 0
senx - sen0
= lim
x"0+ x
senx
= 1
derivada por la Izquierda
lim
x"0- x - 0
f x^ h - f 0^ h
= lim
x"0- x - 0
x
2
- sen0
= lim
x"0- x
x
2
= 0
luego la función no es derivable en x = 0 por no coincidir ambas derivadas.
derivabilidad en x =- 1
derivada por la derecha
lim
x"-1+ x - -1^ h
f x^ h - f -1^ h
= lim
x"-1+ x + 1
x
2
- 1
= lim
x"-1+
x - 1^ h =- 2
derivada por la Izquierda
lim
x"-1- x - -1^ h
f x^ h - f -1^ h
= lim
x"-1- x + 1
-2x - 1 - 1
= lim
x"-1- x + 1
-2x - 2
=- 2
luego la función es derivable en x =- 1 por coincidir ambas derivadas.
utilizando $ lf
lf 0^ h = 1 , lf 0+
^ h = 1 , lf 0-^ h = 0 ( f no es derivable en x = 0
lf -1^ h =- 2 , lf -1+^ h =- 2 , lf -1-^ h =- 2 ( f es derivable en x =- 1
--------------------
** Ejercicio 44
f x^ h =
x
Ln 1 + x^ h
si x 2 0
x
2
+ bx + c si x # 0
* es derivable en x = 0
Respuesta:
f x^ h =
x
Ln 1 + x^ h
si x 2 0
x
2
+ bx + c si x # 0
*
para que f sea derivable en x = 0 antes tiene que ser continua en x = 0

continuidad en x = 0
f 0^ h = c , lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0+ x
Ln 1 + x^ h
=
0
0
aplicando l´Hopital
= lim
x"0+ 1
1 + x
1
= lim
x"0+ 1 + x
1
= 1
lim
x"0-
f x^ h = lim
x"0-
x
2
+ bx + c^ h = c
Por último f es continua en x = 0 Ssi f 0^ h = lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0-
f x^ h ( c = 1
derivabilidad en x = 0
lim
x"0+ x - 0
f x^ h - f 0^ h
= lim
x"0+ x
x
Ln 1 + x^ h
- 1
= lim
x"0+ x
2
Ln 1 + x^ h - x
=
0
0
aplicar l´Hopital
= lim
x"0+ 2x
1 + x
1 - 1
= lim
x"0+ 2x
1 + x
1 - 1 - x
= lim
x"0+ 2x
1 + x
-x
= lim
x"0+ 2 1 + x^ h
-1
=
2
-1
lim
x"0- x - 0
f x^ h - f 0^ h
= lim
x"0- x
x
2
+ bx + 1 - 1
= lim
x"0- x
x
2
+ bx
= lim
x"0-
x + b^ h = b
luego para que f sea derivable en x = 0 (
c = 1
b =
2
-1
)
--------------------
** Ejercicio 45
sea la función f x^ h =
0
x
x
x si x ! 0*
¿ es continua en x = 0 ?
calcula función reciproca f-1
Respuesta:
el primer paso es hacer desaparecer el valor absoluto,asi que la función queda de la forma seguiente:
f x^ h =
0 si x 2 0
x
-x -x =- -x si x 1 0
x
x
x = x si x 2 0
Z
[

]]]]]
]]]]] , la función es continua en x = 0 Ssi f 0^ h = lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0-
f x^ h
f 0^ h = 0 , lim
x"0+
f x^ h = lim
x"0+
x = 0 , lim
x"0-
f x^ h = lim
x"0-
- -x = 0 , luego f es continua en 0
función reciproca f-1
de f
f x^ h = y ,
- -x = y +- x = y
2
si y # 0
x = y + x = y
2
si y $ 0
) ,
x =- y
2
si y # 0
x = y
2
si y $ 0
( ,
x =- y.y si y # 0
x = y.y si y $ 0
%
f x^ h = y , x = y y = f-1
y^ h
por último f-1
x^ h = x x
--------------------
** Ejercicio 46
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = Ln ax
2
+ bx + c^ h
Respuesta: Recuerda: y = f x^ h6 @n
& ly = n f x^ h6 @n-1
. lf x^ h , y = Ln f x^ h6 @ & ly =
f x^ h
1
lf x^ h
lf x^ h =
ax
2
+ bx + c
1
ax
2
+ bx + c^ hl=
ax
2
+ bx + c
1
ax
2
+ bx + c^ h2
1
7 Al
lf x^ h =
ax
2
+ bx + c
1
2
1
ax
2
+ bx + c^ h2
1 -1
8 B ax
2
+ bx + c^ hl
lf x^ h =
ax
2
+ bx + c
1
2
1
ax
2
+ bx + c^ h- 2
1
8 B 2ax + b^ h =
ax
2
+ bx + c
1
2 ax
2
+ bx + c
1
2ax + b^ h
lf x^ h =
ax
2
+ bx + c
1
2 ax
2
+ bx + c
2ax + b
=
2 ax
2
+ bx + c^ h
2ax + b
--------------------

** Ejercicio 47
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = x x x
3
Respuesta:
f x^ h = x x x
3
= x.x3
1
. x 2
1
^ h3
1
= x.x3
1
. x6
1
= x
1+
3
1 + 6
1
= x 2
3
( lf x^ h =
2
3
x 2
3 -1
=
2
3
x
--------------------
** Ejercicio 48
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = tg a^ hx
Respuesta: Recuerda: a
f x^ h
6 @l= a
f x^ h
lf x^ h Ln a^ h
f x^ h = tg a^ hx
( lf x^ h =
cos
2
a^ hx
1
a^ hx
6 @l=
cos
2
a^ hx
1
a^ hx
lna
--------------------
** Ejercicio 49
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = Ln x^ hx
Respuesta: Recuerda: f x^ h.g x^ h6 @l= lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ h
f x^ h = Ln x^ hx
, f x^ h = x.Ln x^ h ( lf x^ h = Ln x^ h + x
x
1
= Ln x^ h + 1
--------------------
** Ejercicio 50
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = tg x^ h6 @sen2x
Respuesta: a = e
Lna
y = tg x^ h6 @sen2x
, y = e
Ln tg x^ h7 A
sen2x
= e
sen2x.Ln tg x^ h7 A
ly = e
sen2x.Ln tg x^ h7 A
. sen
2
x.Ln tg x^ h6 @6 @l= tg x^ h6 @sen2x
2senx.cosx.Ln tg x^ h6 @ + sen
2
x.
tgx
1
cos
2
x
1
: D
ly = tg x^ h6 @sen2x
sen2x.Ln tg x^ h6 @ + tg
2
x.
tgx
1: D
ly = tg x^ h6 @sen2x
Ln tg x^ h6 @sen2x
+ tgx6 @
--------------------
** Ejercicio 51
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = cosx^ hcosx
6 @x
Respuesta:
y = cosx^ hcosx
6 @x
, y = cosx^ hx.cosx
, y = e
Ln cosx^ hx.cosx
= e
x.cosx.Ln cosx^ h
ly = e
x.cosx.Ln cosx^ h
x.cosx.Ln cosx^ h6 @l= cosx^ hx.cosx
cosx.Ln cosx^ h + x cosx.Ln cosx^ h^ hl6 @ ,
ly = cosx^ hx.cosx
cosx.Ln cosx^ h + x -senx.Ln cosx^ h +
cosx
cosx -senx^ h7 A$ .
ly = cosx^ hx.cosx
Ln cosx^ hcosx
+ Ln cosx^ h-x.senx
- x.senx" ,
ly = cosx^ hx.cosx
Ln cosx^ hcosx
cosx^ h-x.senx
6 @ - x.senx" ,
ly = cosx^ hx.cosx
Ln cosx^ hcosx-x.senx
- x.senx^ h
--------------------
** Ejercicio 52
halla la derivada nésima de y =
x + 1
1
, z =
x - 1
1
, w =
x
2
- 1
-2
Respuesta:
y = x + 1^ h-1
ly =- x + 1^ h-1-1
= -1^ h1
x + 1^ h-1-1
A- x + 1^ h-2
lly = -1^ h -2^ h x + 1^ h-1-2
= -1^ h2
2 x + 1^ h-1-2
A 2 x + 1^ h-3
llly = 2 -3^ h x + 1^ h-4
= -1^ h3
2.3 x + 1^ h-1-3
A- 6 x + 1^ h-4

lllly = 24 x + 1^ h-5
= -1^ h4
2.3.4 x + 1^ h-1-4
se puede deducir de una forma generalizada que ly
n
= -1^ hn
n! x + 1^ h-1-n
1
para estar seguros debemos comprobar ly
n+1^ h
ly
n+1^ h
= -1^ hn
n! -n - 1^ h x + 1^ h-2-n
= -1^ hn+1
n + 1^ h! x + 1^ h-2-n
lo que demuestra que la formula 1 esta bién generalizada
z = x - 1^ h-1
lz =- x - 1^ h-1-1
= -1^ h1
x - 1^ h-1-1
A- x - 1^ h-2
mz = -1^ h -2^ h x - 1^ h-1-2
= -1^ h2
2 x - 1^ h-1-2
A 2 x - 1^ h-3
nz = 2 -3^ h x - 1^ h-4
= -1^ h3
2.3 x - 1^ h-1-3
A- 6 x - 1^ h-4
mmz = 24 x + 1^ h-5
= -1^ h4
2.3.4 x + 1^ h-1-4
se puede deducir de una forma generalizada que lz
n
= -1^ hn
n! x - 1^ h-1-n
2
se demuestra de la misma forma que la anterior.
se observa que w = y - z , lw
n
= ly
n
- lz
n
asi que
lw
n
= -1^ hn
n! x + 1^ h-1-n
- -1^ hn
n! x - 1^ h-1-n
= -1^ hn
n! x + 1^ h-1-n
- x - 1^ h-1-n
6 @
lw
n
= -1^ hn
n!
x + 1^ h1+n
1 -
x - 1^ h1+n
1
; E = -1^ hn
n!
x
2
- 1^ h1+n
x - 1^ h1+n
- x + 1^ h1+n
< F

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