Geometria afin con ejercicios resueltos paso a paso

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cos
Sean Los vectores u u u u v v v v A a a a B b b b
es representado por un punto
u proy v v proy u
u v u v u v
u v es el menor angulo formado entre u y v
u v u v
Sean Los puntos A a a a B b b b C c c c D d d d
Sea M ese punto medio M
a b a b a b
Sea G ese punto
G
a b c a b c a b c
es una piramide triangular
Es un poliedro regular formado por triangulos equilateros
Sea G centro de gravedad
G
a b c d a b c d a b c d
b a b a b a
v v v v
u
u
u
u
u
u
u
u v
u v
Vector definido por dos Puntos A y B
Modulo del vector v
Vector unitario del vector u
Producto Escalar de u y v
Punto Medio del segmento de extremos A y B
Baricentro de un triangulo ABC
Centro de Gravedad de un tetraedro
AB
2 2 2
3 3 3
4
4 4 4
u v
u
es
es
es
es
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 2 3 3
1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
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U
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expresa
cos
expresa paralelogramo
cos
estan
det
det tan
det
determinante
X
es representado por o bien por
w u v quiere decir que w u y w v
fuerza de lorentz q v X v y
u v u v sen u v el producto vectorial sirve para hallar Area
si u v
los vectores son paralelos es decir u v o bien u v
al menos uno de los dos vectores es cero
u v w u v w
w w w
v v v
u u u
sirve para hallar el volumen
u v w el volumen del paralelepipedo definido por los vectores u v w
u v w u v w u v w area altura s h
el n real u v la area s del que definen
los vectores u y v y w es la altura del paralelepipedo
vectores no nulos y no paralelos en el espacio en el mismo plano
o en planos paralelos Ssi el producto mixto entre ellos es cero
u v y w son coplanares Ssi u v w
u es combinacion lineal de v w z si y solo si
existen no todos nulos tal que u v w z
u v w
u v w u v y w es en el mismo plano coplanarios
u v w
Producto Vectorial
u v
v v v
u u u
i j k
v v v
u u u
i j k
es un vector
o bien
Producto Mixto
Combinacion Lineal
u v y w son Linealmente Dependiente
u v y w son Linealmente InDependiente
vea la imagen
Ejemplo
ver imagen
o bien
F B F F B
0
0 180
3
0
0
0
0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
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cos
interseccion
cos
estan
det
secantes
k
Los elementos caracteristi de una Recta son
un punto P a b c y un vector director v v v v
x y z a b c k v v v siendo
z c k v
y b k v
x a k v
siendo k
v
x a
v
y b
v
z c
A x B y C z D
Ax By Cz D
dos planos cuya es una recta
las ecuaciones implicitas son ecuaciones de
su vector director es w
A B C
A B C
i j k
B C
B C
A C
A C
A B
A B
Los elementos caracteristi de un Plano son
un punto P a b c y dos vectores directores u u u u y v v v v
x y z a b c u u u v v v siendo
z c u v
y b u v
x a u v
siendo
Ax By Cz D
v v v
u u u
x a x b x c
el vector normal es n A B C
uno de los vectores directores se puede coger como v B A
Ecuacion de un plano que pasa por un punto P a b c y tiene un vector normal n A B C es
A x a B y b C z c
Sean Dos rectas r y s Para estudiar su posicion relativa
se considera el punto A a a a r y el punto B b b b s y los vectores
directores u y v de las rectas r y s
se estudia la dependencia lineal de los vectores
b a b a b a u u u u y v v v v
Que es lo mismo que estudiar el rango de la matriz M
v v v
u u u
b a b a b a
rag M
independientes r y s no en el mismo plano r y s se cruzan
M los vectores u y v son
rag M las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales r y
las coordenadas de los vectores directores son proporcionales r y s paralelas
rag M
que las dos rectas r y s son coincidentes
Las coordenadas de los vectores u y v son proporcionales a decir
Ecuaciones de una RECTA
Ecuaciones de un
POSICION RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion Continua
Ecuacion
General
Implicita
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion
General
Implicita
Metodo
Plano
o bien
o bien
pueden darse dos casos
AB
AB
AB
0
0
0
0
0
3
0 3
2 1
2
1
3
1
R
R
R
R
2
1 2 3
1 2 3
3
2
1
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
3 3
2 2
1 1
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1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
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1 2 2
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a b a b
a b
a b
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03

5. :
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estan
det
det estan secantes
determinada
cortan
sea el punto A a a a r y el punto B b b b s
y los vectores directores u y v de las rectas r y s
proporcionales
no son
u y v
que no en el mismo plano r y s se cruzan
Si u v u v u v son linealmente independientes
Si u v u v en el mismo plano r y s
proporcionales
son
u y v
si A r y A s r y s son paralelos
si A que a r pertenece tambien a s r y s coincidentes
conocidas las Ecuaciones Implicitas de las rectas r y s su posicion relativa
viene por la discusion del sistema de Ecuaciones que forman
s
A x B y C y D
A x B y C y D
r
A x B y C y D
Ax By Cy D
para ello estudiaremos el rango de las matrices
Matrice de coeficientes M
A B C
A B C
A B C
A B C
Matriz Ampliada M
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
si rag M y rag M se cruzan
si rag M y rag M se
si rag M y rag M son paralelas
si rag M y rag M son coincidentes
Metodo
Metodo
AB AB AB
AB AB
0
0
0
0
0
0
3 4
3 3
2 3
2 2
2
3
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*
*
*
1 2 3 1 2 3
1
1
1
1
1
1
1
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1 1 1 1
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04

6. .
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secantes
Sea la recta r de la cual conocemos su vector director v y un punto A
y un plano P del cual conocemos su vector normal n
si el producto escalar de v n v n entonces hay dos posibilidades
si A P Plano la recta es paralela al plano P
si A P Plano la recta esta contenida en el plano P
si el producto escalar de v n v n recta r y Plano P son
Sean los planos P Ax By Cz D y P A x B y C z D
A
A
B
B
C
C
D
D
A
A
B
B
C
C
D
D
A
A
B
B
o bien
C
C
D
D
Posicion relativa de un una recta y un Plano
Posicion relativa de dos Planos
vea las imagen de abajo
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05

7. ,
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secantes
secantes
terminos
cortan
cortan
superficie
terminos
secante
r
A x B y C z D
Ax By Cz D
y P A x B y C z D
Matriz coeficientes M
A B C
A B C
A B C
Martiz Ampliada M
A B C D
A B C D
A B C D
si ragM ragM la recta y el plano son r P
si ragM y ragM la recta es paralela al plano r P
si ragM ragM la recta esta incluida en el plano r P
P Ax By Cz D P A x B y C z D
M
A B C
A B C M
A B C D
A B C D
Si ragM ragM P y P son P P
Si ragM y ragM P y P son paralelas P P
Si ragM ragM P y P son coincidentes P P
P Ax By Cz D P A x B y C z D P A x B y C z D
A B C A B C A B y C son llamados coeficientes de las variables
D D y D son llamados independientes
A x B y C z D
A x B y C z D
Ax By Cz D
M
A B C
A B C
A B C
M
A B C D
A B C D
A B C D
Si ragM ragM sistema compatible los planos se en un punto
Si ragM y ragM sistema incompatible pueden darse
Posicion relativa de una recta y un plano
Posicion relativa de Dos plano
Posicion relativa de Tres plano
los coeficientes de las variables
no son proporcionales
Solucion
los tres planos se dos a dos
formando una prismatica
los coeficientes de las variables de dos planos
son proporcionales y no lo son sus
independientes los coeficientes de las variables
del tercer plano no son proporcionales a los otros
Solucion
planos paralelos y otro es
dos casos
0
0
0
3
2 3
2
0 0
2
1 2
1
3 3
2 3
2
2
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06

8. .
indeterminado
cortan
indeterminado
distintos cortan
terminos
secante
terminos
Si ragM ragM sistema compatible
Los Planos se en una recta se puede dar
Si ragM y ragM el sistema es incompatible pueden darse
Si ragM ragM sistema compatible
todos los coeficientes son proporcionales
los planos son coincidentes
dos casos
dos casos
los coeficientes de las variables
no son proporcionales
Los tres Planos son y se
en una recta pertenece a un haz de Planos
los coeficientes de las variables son
proporcionales y de los
independientes
los tres planos son paralelos
dos Planos sus coeficientes son Proporcionales
y no lo son con el tercero
Dos Planos coincidentes y otro es
planos sus coeficientes son proporcionales
y con los independientes del
dos coincidentes y otro paralelo
2
1 2
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2
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distancia
modulo
modulo
modulo
modulo
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Distancia
Distancia
Distancia
Distancia
Distancia
Distancia
Distancia
sean los puntos A a a a y B b b b
dist A B b a b a b a
Hallar la entre el punto B y la recta r es calcular
dist B r
v
v
v Modulo del producto vectorial v
A r
v vector director de la recta r
Sean las rectas r A un punto a r
v vector director
s B un punto a s
v vector director
dist r s dist A s
v
v
del vector director v
del producto vectorial v
dist r s
v v
v v
del producto vectorial
del producto mixto
otra manera de calcular las dis cias
r
Sea A a a a ese punto y el plano P Ax By Cz D
dist A P
A B C
A a B a C a D Valor absoluto
Sea r la recta y P el plano
Sean P y P dos planos
entre dos Puntos
entre un Punto y una Recta
entre dos rectas paralelas
entre dos rectas que se cruzan
de un punto a un plano
de una recta a un plano
entre dos Planos
s dist r s r s dist r s r s dist r s dist A s
r P dist r P r corta al P dist r P r P dist r P dist A P
P P dist P P P corta P dist P P P P dist P P dist A P
AB
AB
AB AB
AB AB
AB
0
0 0
0 0
0 0
r
r
r r
r
r s
s
s
s
s
r s
r s
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1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
2 2 2
2 2 2
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08

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cos cos
cortan cos
r de vector director u y s de vector director v
r s Angulo r s Angulo r s
u v
u v
r y s
u v
u v
r de vector director u y P de vector normal n
r P Angulo r P Angulo r corta P sen
u n
u n
Plano P con vector normal n y P con vector normal n
P P Angulo P P Angulo P P se
n n
n n
Angulo formado por dos rectas
Angulo formado por una recta y un plano
Angulo formado por dos Planos
0 0
0 0
0 0
se cruzan
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09

11. .
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expresarse
infinitos
expresarse
Tres Puntos A B C son alineados colineales
sus coordenadas son proporcionales
vectores son colineales
que sus coordenadas son proporcionales
que uno puede en funcion del otro
que podemos representarlos sobre una misma recta
Coplanares Significa que pertenecen al mismo Plano
vectores son siempre coplanarios
Puntos siempre son coplanarios ya que dichos puntos definen una recta
por la cual pasan Planos
si u y v son colineales u v y w son coplanarios
si u v y w son colineales
los otros dos por ej w u v
que uno de ellos se puede en funcion de
que podemos representarlos en un mismo plano
w u v es un sistema
no tiene solucion no coplanarios
tiene solucion coplanario
puntos A B C son coplanares quiere decir que cualquier punto M x y z al Plano
que es la ecuacion Cartesiana de Plano
sea r y
x
z k
y
x
k cuidado muchos se creen que z
AB AC
AM AB AC AM AB AC
2
2
2
3
0 0
3
1 0 3
1
0
R
R
R
determinante
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interseccion
interseccion
Ejercicio
a
Ejercicio
Ejercicio
a
b
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
Sean los vectores u n v y w m
para que valores de m y n los vectores u v y w son linealmente dependientes
y que u sea a w
Halla la ecuacion Implicita del plano que pasa por los puntos A B y C
Deducir la ecuacion parametrica y cartesiana del plano P que contiene los tres puntos
A B y C
Halla el Punto de entre el plano y la recta r
x y z
x y z
Dada la recta r
x y z
x y z
y el punto A
el punto A r
Halla el vector director de r
hallar la ecuacion implecita del plano P a r y pasa por el punto A
calcula el punto de entre el plano P y la recta r
Sean los puntos A B y C
deducir la ecuacion cartesiana y parametrica del plano P que contiene los puntos
Hallar la ecuacion parametrica y continua de la recta r ortogonal al plano P y que pasa
por el punto A
hallar la ecuacion implicita del plano P paralelo P y pasa por el punto D
calcula la entre la recta r y el plano P
Sean dos plano P
z B
y
x
P x y z
Ecuacion Vectorial y Implicita de P
punto de y el vector director de la recta r P P
deduzca la ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es a r
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
5
6
1 3 1 0 1 1 2
3 0 1 1 2 1 2 3 1
1 2 1 2 1 3 0 2 1
2 2 0
2 3
2 8
5 2 6
2 2 1
0 1 2 1 0 1 2 5 2
3
2 9 3
1 3
1 2
2
4 2 0
2 1 3
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
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c
c
c
c
c
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secante interseccion
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
Halla las ecuaciones vectorial parametrica y continua una recta que pasa por los puntos
A y B
Pasar a parametricas las rectas seguientes r
x y
z s y
x
Hallar la ecuacion del plano que pasa por A y es perpendicular a
r
x y
z
Hallar la ecuacion implicita del plano que pasa por A y es al plano
P x y z y calcula vectores a el
Calcula el angulo que forma la recta r
x y z
con el plano
P x y z
Dado el punto P calcula la ecuacion de la recta r simetrica de r
z
y
x
respecto al punto P en forma continua
dada la recta r
z
y
x
y un punto A
Hallar la ecuacion parametrica del plano P que contiene la recta r y pasa por A
Hallar la ecuacion del plano P a la recta y pasa por el punto A
sea P x y z y la recta r contiene los puntos A y B
halla la ecuacion parametrica de la recta r
demostrar que la recta r es al plano P halla el punto I de
Ecuacion cartesiana del plano CIA sabiendo que C
1
2
1
2
3
7
8
9
10
11
12
13
14
2 1 1 1 1 2
2
3
0
1
2 3 0
1
2 1 3
2
1
1
2
3
3 1 1
2 3 1 0 2
2
3
5
1
1
1
2 5 7 11 0
1 2 2
2
1
2
1 2 2
1 2
1 2
5
3 0 2
2 3 5 0 1 2 3 3 2 1
1 2 0
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m
m
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determinar
tan
interseccion
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a
b
c
Ejercicio
a
b
c
Ejercicio
a
b
c
Ejercicio
a
b
n
n
n
n
n
n
Sea P
z
y
x
el vector v es un vector director de P
y es perpendicular a la recta r
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B
por el punto A y es al plano P
halla Ecuacion parametrica de la recta r que pasa
halla la ecuacion Implicita de P
Dado el punto A recta r
x
y
z
plano P x y z
el punto B del plano P tal que la recta AB r
Estudia la posicion relativa del plano P y la recta r
P x y z r
z k
y k
x k
siendo k
calcula la dis cia que hay entre la recta y el plano
Halla la ecuacion Parametrica e implicita del plano que contenga la recta r y es a P
Dada la recta r
x y z
Halla el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y contiene la recta r
Halla el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y es a r
Halla el plano P que contiene la recta r y paralelo a siendo P y Q
Sea el punto A y la recta r
z k
y k
x k
k
Calcula la ecuacion implicita del plano P que contiene la recta r y pasa por A
Calcula la ecuacion implicita del plano P a la recta r y pasa por A
Halla la de r y r
z n
y n
x n
n
halla la ecuacion general de la recta que pasa por P y Q
halla un punto que equidiste de P y Q y que pertenezca a la recta r
z
y
x
PQ
4
3
2
1
15
16
17
18
19
20
3 2
1 2
3 6 1
1 1 2
3 0 2
1 2 3
2
1
2 2
1
2 2 0
2 2 0 2
1
1
2
2
1
3
2
1 1 1
1 1 1
0 1 3 1 2 3
2 0 3
2 5
1 3
3 4
5 2
2 3
1 2 3 1 2 1
1
1
2
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c
c
c
c
c
c
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determinar
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a
b
Ejercicio
Ejercicio
a
b
n
n
n
n
n
n
Dado el punto P y la recta r
x z
x y z
Encuentre la ecuacion general del plano r y que la dist P
Halla la ecuacion de la recta r que pasa por el punto A y es al plano
P x y z y corta la recta r
x y z
Dadas las rectas r
x y z
s
x y z
x y z
calcula la perpendicular comun a las rectas r y s
r
z
x y
s y z
x
su posicion relativa
en caso de cortarse calcula el angulo que forman y punto de corte
Calcula la Ecuacion implicita de del plano P que pasa por A y contiene la de
los planos P x y z P x y z
Dasa las rectas r
x y z
s
x
y z
demostrar que r y s se cruzan
halla la perpendicular comun a r y s
21
22
23
24
25
26
1 1 2
2 0
2 3 0
3
3 1 2
2 3 4 0 2
1
2
2
2
2
2
3
1
2
2
1
2 2 1
1
1 0
2 0
5 0
2
1 5 3
2 3 4 1 0 7 5 3 0
1
2
2
1
2
3
3
1
1
1 2
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r r
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estan
tanto
estan
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u v y w son linealmente dependientes
m
n
n m
u w u w n m m n n m
y n m
n m
n m
n m
m m
n n n
Antes de nada hay que averiguar que los puntos no alineados para eso calculemos
los vectores y
que las coordenadas de los vectores y no son proporcionales por lo
los puntos A B C no alineados que si se puede hallar el plano que contenga los puntos
Para hallar la ecuacion cartesiana del plano se necesita un punto y un vector normal n
n
i j k
k k k
La ecuacion Implicita de un plano su forma general es A x B y C z D
siendo A B C su vector normal asi que el plano P es de la forma z D
por estar el punto A en el plano D D y por ultimo
P z P z
Otra manera de hallar la ecuacion cartesiana del plano
A
sea M x y z P plano
x y z
z
por ultimo la forma cartesiana del plano P z
Ejercicio
a
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Sean los vectores u n v y w m
para que valores de m y n los vectores u v y w son linealmente dependientes
y que u sea a w
Halla la ecuacion Implicita del plano que pasa por los puntos A B y C
vea la imagen
Metodo
Metodo
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
1 2
1 0 1
1 3
0 3 5
0 1 3 1 2 3 2 0 2 3
2 3
3 5
2 3
2 6 10
7 13 7
13
2 3 7
13
14
8
7
4
3
1 3 2 0 1 1 4 2 0 2 3 3 0 1 1 1 3 0
1
4
3
2
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0
3
1 3 0
4 2 0
12 2 10
0 0 10
0
10 0
3 0 1 10 1 0 10
10 10 0 1 0
4 2 0 1 3 0 3 0 1
0
1 3 0
4 2 0
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1 0
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2
1 2
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1 3 1 0 1 1 2
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3
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estan
tanto estan
punto
interseccion
Antes de nada hay que averiguar que los puntos no alineados para eso calculemos
los vectores y
que las coordenadas de los vectores y no son proporcionales
por lo los puntos A B C no alineados que se puede hallar el plano que
contenga los puntos luego Para hallar la ecuacion cartesiana del plano se necesita un punto
y un vector normal n
A
n
i j k
i k j k j i
i j k
La ecuacion Implicita de un plano su forma general es A x B y C z D
siendo A B C su vector normal asi que el plano P es de la forma x y z D
por estar el punto A en el plano D D
y por ultimo P x y z es la ecuacion implicita del plano
Otra forma de hallar la ecuacion implicita del plano y es la mas directa es
A
sea M x y z P
z
y
x
z
y
x
del plano P
Parametrica
Ecuacion
Ecuacion Implicita es
x y z
P x y z
hallar el de entre la recta r
x y z
x y z
y el plano P x y z
x y z
x y z
x y z
aplicando la regla de Cramer
x y z
El punto de entre la recta y el plano es I
Ejercicio
a
b
a
b
n
Respuesta
vea la imagen
Deducir la ecuacion parametrica y cartesiana del plano P que contiene los tres puntos
A B y C
Halla el Punto de entre el plano y la recta r
x y z
x y z
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
3
3 3 2 1 4 2
1
3
4
3
2
2
3
3 3 2 1 4 2 1 2 1
1 4 2
3 3 2
6 12 2 3 6 8
14 8 9 14 8 9
0
14 8 9 0
1 2 1 14 1 8 2 9 1 0 7
14 8 9 7 0
3 3 2 1 4 2 1 2 1
1 2 2
2 3 4
1 3
1 2 2
2 3 4
1 3
1 4 2
3 3 2
1 2 1
0 14 8 9 7 0
2 2 0
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14 8 9 7 0
14 8 9 7
2 2 0
2 3
14 8 9
1 2 2
1 2 1
7 8 9
0 2 2
3 2 1
5
2
20
14 7 9
1 0 2
1 3 1
5
16
20
14 8 7
1 2 0
1 2 3
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16
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4
:
det
interseccion
A r Imposible A r
r
x y z
x y z
sistema de ecuaciones de incognitas con ecuaciones
haciendo z r
x y
x y
x y
x y
x y
z
y
x
vector director de la recta es v
la ecuacion implecita del plano P a r y pasa por el punto A
se ve claramente que el vector director de la recta v
coincide con el vector normal del plano n v
la ecuacion cartesiana de un plano es de la forma
P A x B y C z D siendo A B C vector normal
asi que P x y z D como P pasa por A A P
D D asi que P x y z
Otra forma de hallarlo es sabemos que A P y n v
sea M x y z P n x y z
x y z P x y z
calcular el punto de entre el plano P y la recta r
x y z
x y z
x y z
sea B B
B
x y
z luego punto de es I
vea la imagen
Ejercicio
Dada la recta r
x y z
x y z
y el punto A
el punto A r
Halla el vector director de r
hallar la ecuacion implecita del plano P a r y pasa por el punto A
calcula el punto de entre el plano P y la recta r
n
Respuesta
AM
2 2 1
2 2 2 1 8
5 2 2 2 1 6
1 8
5 6 2 2 1
2 8
5 2 6
3 2
2 8
5 2 6
2 8
5 2 6
1 2
5 2
8 2
6 2
8
12 2 16 2
2
1
8
1 8
5 6
4
17 3
0
4
17
4
3
2
1
2
1
2
1
4
3
1 2 3 4
2 2 1
0
2 3 4 0 2 2 1
2 2 3 2 4 1 0 14 2 3 4 14 0
2 2 1 2 3 4
0 2 2 1 2 3 4 0
2 4 3 6 4 4 0 2 3 4 14 0
2 3 4 14
2 8
5 2 6
2 3 4
1 2 1
5 2 1
2 3 4 14
1 2 1 8
5 2 1 6
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58
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estan
antes de nada los puntos A B C no deben estar alineados para eso lo calculemos y
A B y C
como sus coordenadas no son proporcionales A B C no alineados
sabemos que A B y C pertenecen a P
A se puede escoger cualquiera de los puntos
Para hallar la se procede de la seguiente manera
Resolviendo se llega a la
z
y
x
Implicita es
x y z
P x y z cartesiana
Ecuacion parametrica y continua de la recta r P y que pasa por el punto A
la ecuacion vectorrial de una recta r que pasa por A y de vector director v x y z v
vector normal coincide con vector director
v n A
sea M x y z P v Ec Vect
r
z
y
x
Parametrica
Ecuacion
z
y
x
r
x y z
Ec continua
la ecuacion implicita del plano P paralelo P y pasa por el punto D
como se ve n n
n n asi que P x y z D
y como P pasa por D
entonces D D
luego P x y z
calcular la entre la recta r y el plano P
P x y z
r
z
y
x
x y z d
z c
y b
x a
d remplazando
en la ecuaciones anteriores x y z r P I
Ejercicio n
Respuesta
Ecuacion vectorial
sea M x y z P
Sean los puntos A B y C
deducir la ecuacion cartesiana y parametrica del plano P que contiene los puntos
Hallar la ecuacion parametrica y continua de la recta r ortogonal al plano P y que pasa
por el punto A
hallar la ecuacion implicita del plano P paralelo P y pasa por el punto D
calcula la entre la recta r y el plano P
Vea la imagen
vea la imagen
vea la imagen
Ecuacion Parametrica
z
y
x
AB AC
AB AC
AB AC
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1
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2 2
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1
2
3
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1
2
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det
representante
P
z B
y
x
z
y
x
dos vectores directores u y v del plano
de aqui podemos deducir un punto A y
A u v
Ecuacion Implicita u v
x y z
P x y z
la recta r P P
P x y z
P x y z
x y z
x y z
con incognitas
sistema de Ec
sea x
y y
z z
Ecuacion parametrica de r
z
y
x
vector director v y el punto I
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es a r
el vector director v de la recta r es a la vez el vector normal del plano P
asi que P x y z D pero como sabemos que P pasa por B B P
D D luego P x y z
Sea r esa recta buscada y M x y z un punto cualquiera de r el vector un vector
del vector direccion de la recta r
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
x y z
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
sea M x y z P u v Ecuacion Vectorial
n
Respuesta
M x y z r siendo es la ecuacion vectorial de r
Ecuacion Parametrica de r
Ecuacion continua de r
Sean dos plano P
z B
y
x
P x y z
Ecuacion Vectorial y Implicita de P
punto de y el vector director de la recta r P P
deduzca la ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es a r
Halla las ecuaciones vectorial parametrica y continua una recta que pasa por los puntos
A y B
b
a
b
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AB
AM
AM AB
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z la forma mas facil es cogiendo un parametro k
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y k
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z k
y k
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Ec Parametrica
s y
x
aqui no aparece z z k parametro
s
z k
y k
x k
Ec Parametrica
el plano pedido es de la forma P ax by cz d siendo a b c vector normal de P
r P v vector director de r n vector normal de P n k v k
n k k k y como n es vector normal de P y pasa por A
k k k d d k por lo P k x k y kz k
k x y z P x y z
P x y z y P el plano buscado como P P P x y z D
luego sabemos que pasa por A D D
por lo P x y z
calcular vectores a el es lo mismo que buscar dos vectores directores de P para ello
pasemos la ecuacion del plano de implicita a parametrica
haciendo x e y la ecuacion queda asi
P
z
y
x
v
v
dos vectores paralelos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Pasar a parametricas las rectas seguientes r
x y
z s y
x
Hallar la ecuacion del plano que pasa por A y es perpendicular a
r
x y
z
Hallar la ecuacion implicita del plano que pasa por A y es al plano
P x y z y calcula vectores a el
vea la imagen
2
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0
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2
2
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n v n v n v
n v n v
n v n v sen
sen
n v
n v
sen arcsen
hallaremos dos puntos A y B de la recta r a los cuales les calcularemos sus semetricos
A y B respecto al punto P una vez hallados podemos calcular la ecuacion de la recta
r ya que conocemos dos puntos suyos
r
z
y
x
x y z B
x y z A
P
fijandonos en la imagen sea A a b c B a b c
A P PA a b c a b c A
B P PB a b c a b c B
r pasa por A y B su vector director es cogiendo el punto A
sea M x y z r r
z
y
x
Ec parametrica
la ecuacion Continua de r su forma general es v
x a
v
y b
v
z c
r
z
y
x
z
y
x
x
y z
r
x y z
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula el angulo que forma la recta r
x y z
con el plano
P x y z
Dado el punto P calcula la ecuacion de la recta r simetrica de r
z
y
x
respecto al punto P en forma continua
vea la imagen
A B
A M A B
2
3
5
1
1
1 1 3 2 2 5 7 11 0 1 3 2
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1 3 2 1 3 2
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2
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2
2
1
2
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0 2 1 0
1 2 2
1 2 2 1 3 2 0 5 4 0 5 4
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1 1 2 0 5 4
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secante interseccion
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y un vector director v
podemos despejar un pt B
para hallar la ecuacion de un plano se puntos
no alineados o bien vectores directores un punto o bien un vectro normal y un punto
de la recta hemos despejado v que es a la vez un vector director del plano
es otro vector director del plano y un punto A
z
y
x
Parametrica
Ecuacion
Ec cart
x y z
P y z
P r vector normal de P es v y A P
P x y z D
P y z D
A P D D
P y z P y z
recta r contiene A y B el vector es el vector director de r
la recta r es ante al plano P y calcular el punto I de
P x y z vectro normal n r
z
y
x
v
n v r y P son r P
remplazando los valores de x y z de la recta en la Ec del plano
x y z asi que I
Sea el plano que pasa por los puntos C I y A
x y z
M x y z es combinacion lineal de y
z
y
x
x y z x y z
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
sea M x y z P v Ecuacion vectorial
n
Respuesta
sea el punto M x y z r
z
y
x
parametrica de r
es la ecuacion
vea la imagen
vea la imagen
dada la recta r
z
y
x
y un punto A
Hallar la ecuacion parametrica del plano P que contiene la recta r y pasa por A
Hallar la ecuacion del plano P a la recta y pasa por el punto A
sea P x y z y la recta r contiene los puntos A y B
halla la ecuacion parametrica de la recta r
demostrar que la recta r es al plano P halla el punto I de
Ecuacion cartesiana del plano CIA sabiendo que C
AB
AB
AB
AM AC AI
AM AC AI AM AC AI
AM AB
AM AB
1 2
1 2
5
0 2 2
5 1 1
3
2
0 2 2
2 1 1 3 0 2
2 2 1
0 2 1
3 0 2
2 1 1
0 2 2
3 2
0 2 0
0 2 2 3 0 2
0 2 2 0
2 2 0
3 0 2 2 2 0 4
2 2 4 0 2 0
1 2 3 3 2 1 2 4 2
2 3 5 0 2 1 3
3 2
2 4
1 2
2 4 2
2 1 3 2 4 2 4 4 6 2 0
2 4 0 2
3 10 7 3 10 7
1 2 0 3 10 7 1 2 3
1 2 3 0 4 3 4 8 4
0
3 3 4
2 4 8
1 0 4
0 8 12 16 16 0 2 3 4 4 0
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
1
3 2
2 4
1 2
1 2
1 2
5
3 0 2
2 3 5 0 1 2 3 3 2 1
1 2 0
r
r
r
r
r
r
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a
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a b
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m
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m m
r
r
r r
a b
m
m
m
m
a
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=- -
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-
-
- +
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- -
- + + =
- + + =
- - + = =
- + + = - + + =
- - -
- + - = -
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- - - = + - =
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- - - - - - - - - -
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c
c
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h
h
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h
h h
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det
determinada
determinar
Ecuacion Implicita de P
z
y
x
y v y pasa por A
sus vectores directores v
sea M x y z P es combinacion lineal de v y v v v
x y z
P x y z P x y z
Ecuacion parametrica de la recta r que pasa por el punto A y es al plano P
vector director de r v coincide con n vector normal de P
sea M x y z r n v r
z
y
x
r
z
y
x
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es perpendicular a la recta r
P r v n n P x y z d pero como B P d
d luego P x y z
v es un vector director de P x y z
luego v no es un vector director de P
r
x
y
z
r
x y z
pasa por y v
denotamos la recta AB por r de la cual sabemos que pasa por A y es r
r r v v v asi que la recta r queda de la seguiente manera
r
z k
y k
x k
como el punto B P y B r esto nos indica que P r B
P r
x y z
z k
y k
x k x y z k k k
k k
Sustituindo k por en x y z nos queda
x y z B
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
por Ec continua
Una recta r tiene
r
v
x a
v
y b
v
z c
A a b c r
v vector director v v v
Sea P
z
y
x
el vector v es un vector director de P
y es perpendicular a la recta r
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B
por el punto A y es al plano P
halla Ecuacion parametrica de la recta r que pasa
halla la ecuacion Implicita de P
Dado el punto A recta r
x
y
z
plano P x y z
el punto B del plano P tal que la recta AB r
vea la imagen ej apt
AM AM
AM
3 2
1 2
2 1 0 1 0 3
1 1 2
0
2 1 0
1 1 2
1 3
0 2 4 5 0 2 4 5 0
3 0 2
2 4 1
2
4
3 2
2
0 4
3 3
1 1 2
2 4 1 2 4 0 2 4 2 0
4 2 4 4 0
3 6 1 2 4 5 0
2 3 4 6 1 31 0
2
1
2 2
1
2
1
1
2
2
1
1 2 1 2 1 2
1 2 3
2 1 2
3 2
2
1 2
2 2 0
3 2
2
1 2 2 2 0 1 2 2 2 3 2 2 0
2 2 0 1
1
1 2 1 2 1 3 3 2 5 1 3 5
4
3
2
1
1
2
3
4
1
1
3 2
1 2
3 6 1
1 1 2
3 0 2
1 2 3
2
1
2 2
1
2 2 0
13 2
R
AB
AB AB AB AB
AB AB AB
AB
r
r
r
r
r
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2
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1 2 3
1 2 3
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a
a b
a b
a a a
a
a
a
a
a
a
a
a b
a b
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= - - + + = + - - =
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= - + - + = - - + =
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- - + - - =
- + - - =-
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- + = =
= - =- = + = = + = -
-
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=- +
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-
- -
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- + + =
- - - - - - - - - -
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7
:
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1
3
.
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.
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.
.
.
distintas
tanto
juntan
secantes
tan
secantes
secantes
det min
asi que para responder a esta pregunta se puede hacer de maneras
r
z k
y k
x k
r P
P x y z k k k k
r
z k
y k
x k
r
A
v
P x y z P n
v n v n
veamos si A pertenece o no al plano A P
por lo r P
r
z k
y k
x k
la pasaremos a implicita para ello necesitamos pasarla antes a continua
k
x y z
r
x y z
y z
x y
y z
x y
r
y z
x y
P x y z ahora hagamos el estudio del sistema
x y z
x y z
x y z
M M
Ejercicio
a
b
c
a
n
Respuesta
recta r en forma implicita y el plano en forma implicita cartesiana
se las ecuaciones de la recta con la del plano
M matriz d coeficientes M matriz ampliada
si ragM ragM r y P son
si ragM y ragM r P
si ragM ragM r M
Recuerda
Estudia la posicion relativa del plano P y la recta r
P x y z r
z k
y k
x k
siendo k
calcula la dis cia que hay entre la recta y el plano
Halla la ecuacion Parametrica e implicita del plano que contenga la recta r y es a P
Metodo
Metodo
Metodo
recta r
y pasa por el punto A
de vector director v
Ec Parametrica
plano P
de vector normal n
Ec cartesiana
si n v n v si A P r P
si A P r P
si n v r y P son
si la Ec de la recta r esta en forma Parametrica y Plano P en cartesiano
k n de cero r P
k cte r y P son
k k in er ado r P
3
2
1 2 2 0 2 1 2 2 0 0 6
2
1
1 2 0
1 1 1
2 2 0 2 1 1
1 1 1 2 1 1 2 1 1 0
2 1 1 1 0 2 5 0
2
1
1
1
1
2
1 1
1
1
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1
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2 0
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0 1 1
1 1 0
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R
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r
r
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r
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= - + - + = - + + - - + = =-
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+ - + = -
= - - - =- + + =
+ - + = =
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+ - =-
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distancia
distancia distancia minima
tanto
det
secantes
M ragM
M ragM
como ragM y ragM r P
la que hay entre la recta r y el plano P
cuando nos referimos a la nos referimos a la que hay
s
r
z k
y k
x k
P x y z
dist r P dist u
Ecuacion Parametrica e implicita del plano que contenga la recta r y es a P
el vector normal n de P
representa un vector director
del plano y com r
el punto A
y el vector director v de la
recta tambien es del plano
por lo ya conocemos
un punto y dos vectores
directores del plano
sea M x y z tal que n v Ecuacion vectorial de
z
y
x
z
y
x
ecuacion parametrica
Ecuacion Implicita es n v
x y z
x z y z x y y z
y z
b
c
Recuerda
vea la imagen
si r P dist r P i la r y P son dist r P
si r P dist r P
n
A a B b C c D
siendo n es la normal del plano
dist un punto a b c de la recta P Ax By Cz D
A M
A M
2 1 1
0 1 1
1 1 0
2 1 1
0 1 1
1 1 0
1 2 1 0 0 1
1 1
1 0 1 2
2 1 1 2
0 1 1 2
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0 1 2
1 0 3
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1 2 0 2 1 1
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2 1 1 2 1 0 2
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1 2
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1 1 1
2 1 1
1 2
0 1 2 2 1 2 4 0 3 3 6 0
2 0
0 0
0
R
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*
modulo
r
p
p
p
la recta
punto de
del plano
la normal
r
r
r
r r
valor absoluto
2 2 2
2
$
"
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U
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r r
r
r
r a b a b r
r
a b
a b
a b
r
a b
a b
a b
r
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- - - -
=- - + =- =
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8
:
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det
el plano P en forma cartesiana pasa por el punto A y contiene la recta r
primero veamos si A o no a la recta A r
r
x y z
A punto r
v vector director
M x y z P Plano v
A A v x y z
v
x y z
P x y z
el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y es a r
el vector director v es el
vector normal del plano P que su
forma cartesiana es
P A x B y C z D P x y z D
A P D D luego P x y z
el plano P que contiene la recta r y paralelo a siendo P y Q
P es vector director de P
r P A r tambien a P
v de r es vector director de P
M x y z P v
Ecuacion Cartesiana
x y z
x z x z
Ejercicio
a
b
c
a
b
c
n
Respuesta
Dada la recta r
x y z
Halla el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y contiene la recta r
Halla el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y es a r
Halla el plano P que contiene la recta r y paralelo a siendo P y Q
vea la imagen
vea la imagen
vea la imagen
AM A A
A A AM
AM A A
PQ
PQ PQ
A M PQ
PQ
1 1 1
1
1
2
0
3
1
1
2
2
1
3
2
2 1 2
1 2 3
1 1 1 2 1 2 1 0 1 1 2 3 1 1 1
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1 1 1
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1 1 1
1 2 3
0 2 3 0
1 1 1 1 1 2 1 3 1 0 0 2 3 0
0 1 3 1 2 3
1 3 0
1 2 3
1 3 3
2 1 2
0 3 8 0 3 8 0
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1 1 1
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R r
r
r
r r
r r r
r r
r
r
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a b a b
a b a b
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Interseccion
interseccion
r P y A P
veamos si A r para ello debe satisfacer la Ec
k
k
k
k
k
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imposible
r
z k
y k
x k
v vector dir de r
A r
A
sea M x y z P v Ecuacion vectorial del plano P
Ecuacion Implicita
x y z
P x y z
Ecuacion implicita de P a la recta r y pasa por A
como se ve en la imagen el vector
director v de la recta r coincide
con el vector normal n del plano P
tambien sabemos que A P
la forma general de un plano es
ax by cz d siendo a b c vector normal del plano
n v P x y z d
A P d d por seguiente P x y z
de r
z k
y k
x k
y r
z n
y n
x n
r r
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
n n
n remplazando en k ahora veamos si es cierto en la ecuacion
es cierto
z
y
x
I r r
Ejercicio
a
b
c
a
b
c
n
Respuesta
Sea el punto A y la recta r
z k
y k
x k
k
Calcula la ecuacion implicita del plano P que contiene la recta r y pasa por A
Calcula la ecuacion implicita del plano P a la recta r y pasa por A
Halla la de r y r
z n
y n
x n
n
vea la imagen
vea la imagen de abajo
AA
AM AA
2 0 3
3 2 5
0
2 1 3
5
1
0
3
1
2 5
1 3
3 1 5
1 0 2
2 0 3 1 0 1
3 1 5
1 0 1
2 3
0 8 1 0
3 1 5
2 0 3
0
3 1 5 3 5 0
2 0 3 3 2 0 5 3 0 9 3 5 9 0
2 5
1 3
3 4
5 2
2 3
2 5 3 4
5 2
1 3 2 3
2 5 3 4
5 2
3 3 3
2 5 3 4
5 2
1
1 5 2
4 3
2 5 3 3 4 4 13 13
3 16 13
5 8 3
2 12 10
10 3 13
3
2
1
1 3
1
2 0 3
2 5
1 3
3 4
5 2
2 3
R
R
R
r
r
r
r r
r
r
sarrus
aplicando
2
1 2
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1
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P y Q
Ecuacion Continua escogiendo el punto P Ecuacion general
r
x y z
y z
x y
r
y z
x y
sea H el punto que equidiste de P y Q y H r
z
y
x
H su forma generica es P y Q
dist H P dist H Q
no es verdad no existe ningun punto de r que equidiste de P y Q
r
x z
x y z
n
n
P
r n vector normal de coincide con el vector director de r que es v
v n n
i j k
i j k j
asi que n v
x y z D P dist P
D
D
D D
D
D
D
que hay planos que verifican las condiciones
x y z x y z
Ejercicio
a
b
a
b
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
halla la ecuacion general de la recta que pasa por P y Q
halla un punto que equidiste de P y Q y que pertenezca a la recta r
z
y
x
Dado el punto P y la recta r
x z
x y z
Encuentre la ecuacion general del plano r y que la dist P
PQ
PH
QH
PH QH
1 2 3 1 2 1 2 4 2 1 2 1
1
1
2
2
1
3
2 2 6
2 2 2
2 4
2 0
1
1
2
2 1 1 1 2 3 1 2 1
2 1 1 2 1 3 1 1 4
2 1 1 2 1 1 3 3 2
1 1 4 3 3 2
1 2 1 2 16 8 9 6 9 6 4 4
18 22
2 0
2 3 0
1 0 1
1 2 1
1 1 2
1 0 1
1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1
1 1 1
0 1 1 2 3
1 1 1
1 1 2
3
3
2
3 2 3 2 3
2 3
5
1
2
1 0 5 0
0
2
1 2 3 1 2 1
1
1
2
1 1 2
2 0
2 3 0
3
2
1
PQ PQ
r
r
r
en cruz
multiplicar
2
1
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
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a a a a a a a a a a a a
r r
r r
r r
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r r
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2
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la imagen nos ayuda a entender mejor el enunciado
para calcular la ecuacion de una recta
basta con puntos o bien un punto y un
vector director segun la imagen la mejor
opcion es hallar el punto de entre r y r
para ello hallemos el plano P que contiene la
recta r y pasa por A y al plano P
P P P x y z D como A P D D
P x y z calculemos B P r
r
x y z
k
x y z
z k
y k
x k
z k
y k
x k
sustituyendo estos valores en la
k k k k
z
y
x
B
asi que la recta pedida es la que pasa por A y B
A B y cogiendo el punto A
sea M x y z r k k r
z k
y k
x k
Ec parametrica de r
z k
y k
x k
k
x y z
r
x y z
Ec Continua
x y z
y z
x y
r
z y
x y
Ec implicita
Ejercicio n
Respuesta vea la imagen
vea la imagen
Halla la ecuacion de la recta r que pasa por el punto A y es al plano
P x y z y corta la recta r
x y z
AB
AM AB
2
3 1 2
2 3 0 3 2 6 0 5
2 3 5 0
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2 4 4 6 6 5 0 3
4
2 8 3 2 3
2 8 3 2 3
1 8 3 5 3
3
5
3
2
3
2
3 1 2 3
5
3
2
3
2
3
14
3
1
3
4 14 1 4
2 4
1
3 14
2 4
1
3 14
14
3
1
1
4
2
14
3
1
1
4
2
14
3
1
1
4
2
4 4 2
3 14 14
4 2 0
14 11 0
1
1
2
3 1 2
2 3 4 0 2
1
2
2
2
2
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2
2 2 2
2 2
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secantes
secantes
antes de nada estudiemos la posicion relativa de las dos rectas r y s
r
x y z
k r
z k
y k
x k
v
A
s
x y z
x y z
haciendo y s
y c
x z b
x z a
a z
c y
a b x
s
z
y
x
v
A
A A v v
la recta r y s son
r y s la perpendicular comun es la recta t que pasa por el punto P de r s y de
vector director v v v
i j k
i k j k i j i j k
v P r s r
z k
y k
x k
s
z
y
x
remplazando los de s en r
k k
k
k
sustituyendo en r x y z P
sea M x y z t v t
z
y
x
Ejercicio n
Respuesta
Dadas las rectas r
x y z
s
x y z
x y z
calcula la perpendicular comun a las rectas r y s
vea la imagen
PM
2
3
1
2
2
1
1 2
2
3 2
2 1 2
3 2 1
2 2 1
1
2 1 2
1
1
1 1 1 0
0 0 1
3 2 2 2 1 2 1 1 0
1 1 0
2 1 2
3 2 2
0 4 4 2 6 0 0
1 1 0
2 1 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 1
2 2 1
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2
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secantes
cos cos cos
cos
determinados
determinaremos
infinitos
determinar
r
z
x y
haciendo y k r
z
y k
x k
v
A
s y z
x
haciendo y s
z
y
x
v
A
A A
v y v no son proporcionales y r y s son
v v v v v v v v
v v
v v
v v
v v v v radianes
punto de corte igualando las ecuaciones parametricas
k
k
k
k
remplazando en una de las ecuaciones
de la se deduce que es verdad luego
z
y
x
asi que podemos concluir que r s I
el haz de los planos por P y P tiene por ecuacion
x y z x y z
el plano pedido hallando la relacion que debe existir entre y para que
el punto A satisfaga la ecuacion
x y z x y z
remplazando en
x y z x y z
x y z x y z
x y z
asi que la ecuacion Implicita de P es
P x y z
Ejercicio
a
b
a
b
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
un haz de planos es un conjunto formado por planos que tienen una recta en
comun o que son paralelos entre si
r
z
x y
s y z
x
su posicion relativa
en caso de cortarse calcula el angulo que forman y punto de corte
Calcula la Ecuacion implicita de del plano P que pasa por A y contiene la de
los planos P x y z P x y z
Recuerda
un libro las hojas son los planos y la union de las hojas la recta
1 0
2 0
1
2
1 1 0
2 0 1
5 0
2
5
2
0 1 1
2 0 5
4 0 4
0 1 1
1 1 0
4 0 4
4 4 0
1 1 0 0 1 1
0 1 0
2
1
60 3
5 1 3
2
2 2 1
3 4
1 4 3
1
4
2
2 4 1
2 3 4 1 7 5 3 0
1 5 3
2 3 4 1 7 5 3 0
2 15 12 7 25 3 3 0
6 12 0 2
2 2 3 4 1 7 5 3 0
4 6 8 2 7 5 3 0
11 7 5 0
11 7 5 0
1
1
1
4
2
1 0
2 0
5 0
2
1 5 3
2 3 4 1 0 7 5 3 0
r
r
s
s
r s
r s
r s r s r s r s
r s
r s
r s
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2
6
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estan
interseccion
r
x y z
v A
s
x
y z s
x
y
z
v A
v v
v y v no son proporcionales y como
v v son linealmente independientes que no en el mismo plano
r y s se cruzan
Sea t la recta perpendicular comun a las rectas r y s
como t r y t s vamos a hallar dos planos P contiene r y t y P contiene s y t
sea n vector director de la recta t y sabemos que t r y t s n v v
n
i j k
j k
P contiene r y t P A v n v n A
Sea M x y z P A v n A x y z
x y z
P x y z
P contiene s y t P A v n v A n
Sea M x y z P A v n A x y z
x y z
P x y z
por ultimo la recta t queda definida como la de los dos planos P y P
t
x y z
x y z
Ejercicio
a
b
a
b
n
Respuesta
Dasa las rectas r
x y z
s
x
y z
demostrar que r y s se cruzan
halla la perpendicular comun a r y s
vea la imagen
Metodo
A A
A A
M M
M M
1
2
2
1
2
3 1 2 2 2 1 3
3
1
1 3
1
1 1 3 1 1 1 1 0
3 2 3 1 2 2 3 1 1
3 1 1
1 2 2
3 2 3
6 3 12 18 6 2 5 0
3 1 1
1 2 2 5 5 0 5 5 0 1 1
1 2 2 0 1 1 2 1 3
2 1 3
0 1 1
1 2 2
2 1 3
0 4 4 0
3 1 1 1 1 0 0 1 1
1 1
0 1 1
3 1 1
1 1
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1
1
2
2
1
2
2
1
2
3
3
1
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distintos distintas
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y
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y
z
s
z
y
x
s
v
A
vamos a hallar la ecuacion del plano P que contiene la recta r y es a n P A v n
ya hallado anteriormente en el que es P P x y z ahora solo
queda calcular el punto Q P s sustituyendo los valores de la recta s en el plano P
remplazando en la recta s
z
y
x
Q
asi que de la recta t ya sabemos que pasa por Q y de vector director n
sea M x y z t n t
z
y
x
r t A s t B
las rectas r y s pasarlas a parametrica
recuerda siempre parametro
A punto generico de r en funcion del parametro
B punto generico de s en funcion del parametro
calcular en funcion de los dos parametros
v
v
v
v
dos incognitas se resuelve
sistema de dos ecuaciones con
una vez resuelto el sistema y hallado el valor de los dos parametros se sustituye en A y B
asi que ya tenemos dos puntos por los cuales pasa la recta t
Metodo
metodo
Metodo
se pone parametros a las rectas porque son rectas
vea la imagen
Pasos a seguir
QM
AB
AB
AB
AB
AB
1
2
2
1
2
3
1
2
2
1
2
3
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1 2
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1 1
1
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10
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10
11
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