trigonometria + 50 ejercicios resueltos

1. .
.
.
;
;
,
. . .
. . .
. . .
,
cos
cot
tan
cos
cos
cos cos
cos
tan
cos
cos
cos
Este teorema sirve cuando conocemos lados o lados y el angulo comprendidos entre ellos
Este teorema sirve cuando conocemos angulos y un lado o lados y el angulo opuesto a uno de ellos
recuerda que para convertir radianes en grados o viceversa
Aplicando Pitagoras
z a b z a b
sen
a b
b
a b
a
tag a
b
g b
a
Triangulo Rec gulo
Teorema del eno
Teorema del seno
Circulo Trigonometrico
la parte coloreada en rojo k k
sen hipotenusa
opuesto
h
a
hipotenusa
adyacente
h
b
adyacente
opuesto
b
a
a b c b c A
b a c a c B
c a b a b C
senA
a
senB
b
senC
c
la parte coloreada en azul k k sen
sen sen
3 2
2 2
180
2 2 2 2 0
2 2 0
2
2
2
0 2 2 0
0 0
rad Grados
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(
A
A
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r
a a
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r
r a
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a
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r r r a
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-
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= + -
= + -
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vea ejercicio 2-8
vea ejercicio 2-9
+
+
-
sentido negativo
sentido positivo
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2. ,
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.
sup
cos
cos int cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
cos int cos
cos cos
cos cos cos cos
cos cos
cos cos cos cos
cos
cos int cos
sup
u
u
u
angulos son complementarios si la suma de los dos angulos es grados
angulos son lementarios si la suma de los dos angulos es grados
Para hallar el seno eno del angulo escogeremos el angulo que se acerca a que es o
y con el signo de seno o eno seg n a que ervalo ya visto antes eje x eno eje y seno
sen sen es pq
sen z
a
a b
a
luego sen
es pq
z
b
a b
b
sen luego sen
sen sen es pq
sen z
a
a b
a
luego sen
es pq
z
b
a b
b
sen luego sen
Para hallar el seno eno del angulo escogeremos el angulo que se acerca a que es o
y con el signo de seno o eno seg n a que ervalo ya visto antes eje x eno eje y seno
es pq
z
a
a b
a
luego
sen sen es pq
sen z
b
a b
b
sen luego sen sen
sen sen es pq
sen z
b
a b
b
sen luego sen sen
es pq
z
a
a b
a
luego
Para hallar el seno eno del angulo escogeremos el angulo que se acerca a que es o
y con el signo de seno o eno seg n a que ervalo ya visto antes eje x eno eje y seno
seguir los mismos pasos hechos anteriormente
Angulos complementarios y lementarios
2 90
2 180
2 2
2
2 2 2 0
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 0
2
2 2 2 2 2
2
2 2
0
0
2 2
2
3
2
3
2
3
eje x
Z radio circulo
eje y
2 2
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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d !
5 d
5 d
5 d
6
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6
5 d
6
6
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z
z
z
z
r
a
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b c
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r r
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r
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r a r b c
r a
r a r a r a
r r
b a r a a
r a r a r a r
b a r a a
r a r a r a r
c a r a a
r a r a r a
r r
c a r a a
r
a
r
b c
r
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- = - - -
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K
K
1 2 3
444
4 444
4

3. sen
tag
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,
,
,
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.
.
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cos cos
sup
cos
cos cos cos cos
cos
cot cot
cos
cos
cos
cos
cos
tan
cos cos
cos cos
cos cos cos
cos cos cos
tan
tan
cos cos
cos
cos cos cos cos
cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos
cos
los dedos que quedan libres a la izquierda del dedo indicado
sen
los dedos que quedan libres a la derecha del dedo indicado
tag
los dedos que quedan libres a la izquierda del dedo indicado
los dedos que quedan libres a la derecha del dedo indicado
la mejor forma de hallar lo de los angulos complementarios y lementarios
es imaginar un circulo y aplicando lo anterior mentalmente teniendo en cuenta que eje x y eje y sen
De aqui se deduce que
Propiedades
sen a a sen a sena a a a sen a
tag a
tag a
taga
tag a
a
a
sen a
tag
sen a
a
a
a
tag a a
a
Tabla de valores mas significativos
formulas impor tisimas
sen a b sena b a senb
sen a b sena b a senb
a b a b sena senb
a b a b sena senb
a b taga tagb
taga tagb
a b taga tagb
taga tagb
sena senb a b a b
sena b sen a b sen a b
a b a b a b
a senb sen a b sen a b
sena senb sen
a b a b
sena senb
a b
sen
a b
a b
a b
sen
a b
a b sen
a b
sen
a b
sena a taga
60
3 2
60
3 2
60
3
1 2 2 2
2
1
2
1
1
1
1 1
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
0
0
0
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2 2 2
3 3
# # # # # #
r
r
r
= =
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+ -
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b
b
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a
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b
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b
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b
b
b
b
b
b
b
b
b

4. .
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. . ,
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. . ,
. :
sup
cos
tan
cot cos cos cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
lg
cos cos
cot cot
angulos lementarios tiene mismo sen
los angulos opuestos tienen mismo
angulo de media vuelta tiene la misma gente
taga a sena a sen a a sen a a
tag
a
a
a
taga tagb
taga tagb
sen a b
sen a b
tag
a b
a b
sena senb
a b c a b
a b
tag
tag
b a c a c
a c
tag
tag
c b a b c
b c
tag
tag
Sea n un numero de lados de un poligono regular la medida de sus angulos es n
n
Como Resolver Ecuaciones trigonometricas
A unas Formulas Interesantes
sena senb
a b k k
a b k k
los
a b
a b k k
a b k k
taga tagb
a b k k
a k
b k
a b
a b k k
a k
b k
1 1 1 1
2 1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Z
Z
Z
Z
Z
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2 2 2 2
2
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,
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cos
cos cos
cos cos
cos
cos cos
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cos cos cos
cos
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cos tan min
cos cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos
cos cos
tan
cos
Son de la forma
una de las formas de resolverlo es la seguiente
dividir la ecuacion entre la a o bien entre la b ongamos que dividamos por a
sen x a
b
x a
c
sen x tag x a
c
siendo tag a
b
sen x
sen
x a
c
sen x sen x a
c
utilizando una de estas formulas sen x a
c
a
c
o a
c
no tiene solucion imposible de resolver
a
c
a
c
la transformaremos en sen
luego sen x sen
x k
x k
con k
son de la forma que cuando sustituimos seno por eno y viceversa nos queda la misma ecuacion
ejemplo senx x si remplazamos sen por y viceversa queda de la seguiente
forma x senx que es exactamente igual que la original es simetrica
para este tipo de ecuaciones se resuelven haciendo cambio de variable x y
x y y seny
senx sen y y seny
utilizando formulas
Es una ecuacion de la forma f senx x donde f es un polinomio donde los ter os son de
tipo sen x x con a b es cons te para cada ter o del polinomio
Ejemplo sen x x senx x
sen x es de grado x es de grado senx x es de grado
lo que se hace en esta clase de ecuaciones es dividir por el o por el sen
en el ejemplo anterior podemos dividir por x ya que x
x k
x k
x k
y resulta que no es una solucion de la ecuacion por lo seguiente podemos por
sen x x senx x
x
sen x x senx x
x
tag x tag x tag x tag x haciendo cambio variable y tag x
y y ecuacion de segundo grado facil seguir
Ecuaciones Armonicas
Si
Si
Ecuaciones Simetrica
A
Ecuaciones Homogeneas
Observacion
a sen x b x c siendo a b c
a b a b sena senb
a b a b sena senb
sen a b sena b senb a
sen a b sena b senb a
Muy Impor te
Donde sirve el teorema de seno no sirve el teorema de eno y viceversa
Antes de resolver ecuacion trigonometrica tenemos que mirar antes su campo de existencia
En ecuaciones trigonometricas nunca se simplifica se factoriza y despues se resuelve
I
I
I
I
I
I
1 1
1 1
2
2
1 1
1 1
4
4 2
2
4 2
2
0
3 0
2 3 2 1 1 2
0
2 2
2 2
2
2
3 0
3 0
3 0 3 0
3 0
1
0
Z
a b
a b a b
A
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
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1 2
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a r b r
a b r
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X
X
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b
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b
b
b
b
b
6 7 8
44444444444444444444444 44444444444444444444444

6. , , ,
,
.
.
***
cos tan cot
cos
cos cos
cos
sup cos
cos cos
cos
sup tan
sup tan
Para resolver esta clase de inecuaciones se utiliza dos metodos
Se resuelve por las graficas para ello es necesario conocer las graficas de
seno eno gente angente de memoria abajo van sus graficas
Resolver por circulo trigonometrico recordad que eno es el eje x seno es el eje y
Para entender mejor como utilizar los dos metodos ve a los ejercicios
Si tuvieramos ax b c hacemos cambio de variable y ax b y c
si c imposible resolverlo ya que y
si c solucion
si c ongamos que c
cambiamos la desigualdad por igualdad y
y k
y k
sabemos que el eje x asi que en el eje x colocamos el valor de c y trazamos una paralela al eje y
la solucion seria todos los valores eriores a c que es encima del circulo
Si tuvieramos sen ax b c hacemos cambio de variable y ax b seny c
es exactamente parecido al anterior lo unico que cambia es colocar el valor de c en el eje y seno
y hacer una paralela desde este punto al eje x y todos los valores que quedan encima del c
la solucion seria todos los valores eriores a c que es encima
Inecuaciones Trigonometricas
Primer metodo
Segundo metodo
38 39 40
1 1 1
1
1 1
2
2
R
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& +
" ,
2 2
2
1
2 2
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b
b r
b r
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-
-
- =
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= +
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Q
Q
Q
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V
V
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V
V
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Muy Importante leerlo atentamente

7. , .
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min
cos arccos cos
cos arccos arccos cos arccos arccos
tan cot
tan tan cot cot cot
cot cot cot cot
cot cot
arccos cot csc sec csc
sec arccos arccos cot
sec arccos sec sec
arccos arccos
lg int
nada primero
asi
Antes de debemos saber para que una funcion tenga inversa tiene que ser biyectiva
Para que la funcion seno sea biyectiva debemos restringer su do io de defnicion a
y su inversa es anotada asi Arcsen o bien sen ver imagen de abajo
sen arcsenx x si x arcsen senx x si x arcsen x arcsen x x
a la funcion eno se le hace igual restringiendo su D y la inversa se anota o bien
x x si x x x si x x x x
La funcion gente para que sea biyectiva su D mientras a la angente su D
y se no para la gente arctag o bien tag para la angente arc ag o bien ag
arctag x arctagx x arc ag x ar agx x ag arc ag x x
tag arctagx x x arctag tagx x si x arc ag agx x si x
x arcsenx ar agx arctagx arc x arc x arc x arcsen x
arc x x arcsenx x x arctagx arc agx x
arc x ecx x arc x arc x
ec x ec x
Funciones Inversas Trigonometricas
A unas identidades muy eresantes
2 2
1 1 2 2
1 1
0
1 1 0 1 1
2 2
0
2 2 0
2 2 2
1
1
2
1 1
2
2
1 1 1 1
1 1
R R R
R
R
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f f
1
1
1 1
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d
d d d
d
d d
d d .
d .
6
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6 6 6
6
6 6
6 6 3 3
6 3 3
1 1 1 1
# # # #
# # # #
r r
r r
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r r r
r r
r
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- =- - - +
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
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8. demostrar que cotagx + tagx
cotag - tagx
= 1 - 2sen
2
x
cotagx + tagx
cotag - tagx
=
senx
cosx +
cosx
senx
senx
cosx -
cosx
senx
=
senx cosx
cos
2
x + sen
2
x
senx cosx
cos
2
x - sen
2
x
= cos
2
x - sen
2
x = 1 - 2sen
2
x
--------------------
demostrar que cosx
1 - senx
=
1 + senx
cosx
sabemos que cos
2
x + sen
2
x = 1 + 1 - sen
2
x = cos
2
x + 1 - senx
^ h 1 + senx
^ h = cosx.cosx
+
cosx
1 - senx
=
1 + senx
cosx
de igual manera se puede demostrar
senx
1 - cosx
=
1 + cosx
senx
--------------------
demuestre
1 + tag
2
x
1 - tag
2
x
= cos2x
1 + tag
2
x
1 - tag
2
x
=
1 +
cos
2
x
sen
2
x
1 -
cos
2
x
sen
2
x
=
cos
2
x
cos
2
x + sen
2
x
cos
2
x
cos
2
x - sen
2
x
= cos
2
x - sen
2
x = cos2x
--------------------
demuestre
1+ secx
tagx
=
senx
1 - cosx
1 + secx
tagx
=
1 +
cosx
1
cosx
senx
=
cosx
1 + cosx
cosx
senx
=
1 + cosx
senx
1 - cosx
1 - cosx
=
1 - cos
2
x
senx 1 - cosx
^ h
=
=
sen
2
x
senx 1 - cosx
^ h
=
senx
1 - cosx
--------------------
demuestre tag
2
x - sen
2
x = tag
2
x . sen
2
x
tag
2
x - sen
2
x =
cos
2
x
sen
2
x - sen
2
x =
cos
2
x
sen
2
x - sen
2
x.cos
2
x
=
cos
2
x
sen
2
x 1 - cos
2
x
^ h
=
cos
2
x
sen
2
x sen
2
x
= tag
2
x . sen
2
x
--------------------
secx - tagx
^ h2
1 - senx
= 1 + senx
secx - tagx
^ h2
1 - senx
=
sec
2
x - 2.secx.tagx + tag
2
x
1 - senx
=
cos
2
x
1 -
cos
2
x
2senx +
cos
2
x
sen
2
x
1 - senx
=
=
sen
2
x - 2senx + 1
1 - senx
^ hcos
2
x
=
senx - 1
^ h2
1 - senx
^ h 1 - sen
2
x
^ h
=
1 - senx
^ h2
1 - senx
^ h2
1 + senx
^ h
= 1 + senx
--------------------
tagx+cotagx= senx.cosx
1
tagx + cotagx =
cosx
senx +
senx
cosx
=
senx.cosx
sen
2
x + cos
2
x
=
senx.cosx
1
O bién
senx.cosx
1
=
senx.cosx
sen
2
x + cos
2
x
=
senx.cosx
sen
2
x +
senx.cosx
cos
2
x
=
cosx
senx +
senx
cosx
= tagx + cotagx
--------------------
Observación
Para demostrar igualdades es mejor empezar por la expresión mas desarrollada
suele funcionar al 90%, y tener bién memorizada las formulas trigonometricas
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
2-7

9. Demostración del teorema de coseno.
a
2
= b
2
+ c
2
- 2.b.c.cos a
^ h sabemos que
cos a
^ h =
c
x
+ x = c.cos a
^ h A Tri. Izq.
^ h
b = y + x + y = b - c.cos a
^ h
En Triangulo derecho
a
2
= y
2
+ h
2
= b - c.cos a
^ h
6 @2
+ h
2
a
2
= b
2
+ c
2
.cos
2
a
^ h - 2.b.c.cos a
^ h + h
2
En Triangulo Izquierdo
c
2
= x
2
+ h
2
= c
2
.cos
2
a
^ h + h
2
a
2
= b
2
+ c
2
.cos
2
a
^ h - 2.b.c.cos a
^ h + h
2
+ a
2
- c
2
= b
2
- 2.b.c.cos a
^ h + a
2
= b
2
- 2.b.c.cos a
^ h + c
2
+ a
2
= b
2
+ c
2
- 2.b.c.cos a
^ h
---------
c
2
= a
2
+ b
2
- 2.a.b.cos b
^ h sabemos que
cos b
^ h =
a
y
+ y = a.cos b
^ h Tri.Derec.
^ h
b = y + x + x = b - a.cos b
^ h
En Triangulo Izquierdo
c
2
= x
2
+ h
2
= b - a.cos b
^ h
6 @2
+ h
2
= b
2
+ a
2
.cos
2
b
^ h - 2.b.a.cos b
^ h + h
2
a
2
= y
2
+ h
2
= a
2
cos
2
b
^ h + h
2
+ c
2
- a
2
= b
2
- 2.a.b.cos b
^ h + c
2
= a
2
- 2.a.b.cos b
^ h + b
2
+ c
2
= a
2
+ b
2
- 2.a.b.cos b
^ h
---------
b
2
= a
2
+ c
2
- 2.a.c.cos c
^ h
para su demostración se dan los mismos pasos cambiando h de posición.ver imagen
-------------------
Demostración del teorema de seno.
sena
a
=
senc
b
=
senb
c
viendo el triangulo
senb =
a
h
+ h = a.senb
sena =
c
h
+ h = c.sena
*
+ c.sena = a.senb +
sena
a
=
senb
c
1
viendo el triangulo
sena =
b
l
h
+ l
h = b.sena
senc =
a
l
h
+ l
h = a.senc
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+ b.sena = a.senc +
sena
a
=
senc
b
2
de 1 y 2 se deduce que
sena
a
=
senc
b
=
senb
c
-------------------
resuelve sen 5x
^ h =
2
1
sen 5x
^ h =
2
1
+ sen 5x
^ h = sen
6
r
+
5x = r -
6
r + 2kr
5x =
6
r + 2kr
* +
5x =
6
5r + 2kr
5x =
6
r + 2kr
* +
x =
6
r + 2kr
x =
30
r + 2kr
* k d Z
el conjunto de soluciones es S =
30
r + 2kr-,
6
r + 2kr
#
$ . , k d Z
--------------------
2-8
2-9
2-10

10. resuelve sen x
^ h = cos 2x
^ h
sen x
^ h = cos 2x
^ h + cos
2
r - x
_ i = cos 2x
^ h +
2
r - x =- 2x + 2kr
2
r - x = 2x + 2kr
* +
x =
2
-r + 2kr
-3x =
2
-r + 2kr
+
x =
2
-r + 2kr
x =
6
r +
3
2kr
* con k d Z
*
el conjunto de soluciones es S =
6
r +
3
2kr
.,
2
-r + 2kr
#
$ . , k d Z
--------------------
resuelve tag 2x
^ h = 3
1º miramos el campo de existencia de la ecuación:
tag 2x
^ h existe Ssi cos 2x
^ h ! 0 + 2x !
2
r + kr + x !
4
r +
2
kr
con k d Z
Ahora resolvamos la ecuacion siendo x !
4
r +
2
kr
con k d Z
tag 2x
^ h = 3 + tag 2x
^ h = tag
3
r
_ i + 2x =
3
r + kr + x =
6
r +
2
kr
con k d Z
ahora averiguemos para que valores de k
4
r +
2
kr
=
6
r +
2
kr
para excluirlo de las soluciones.
4
r +
2
kr
=
6
r +
2
kr
+
4
1 +
2
k
=
6
1 +
2
k
+
4
1
=
6
1
absurdo.
por último el conjunto de soluciones es S =
6
r +
2
kr
$ ., k d Z
--------------------
*** Ejercicio 6: resuelve 3 tag 2x
^ h = sec 2x
^ h + 1
recuerda: seca =
cosa
1
; cosec =
sena
1
1º calcular campo de existencia de la ecuación
tag 2x
^ h existee Ssi cos 2x
^ h ! 0 y sec 2x
^ h existe Ssi cos 2x
^ h ! 0
cos 2x
^ h = 0 + cos 2x
^ h = cos
2
r
_ i +
2x =-
2
r + 2kr
2x =
2
r + 2kr
* +
x =-
4
r + kr
x =
4
r + kr
+
* x =
4
r +
2
kr
con k d Z
Ahora resolvamos el ejercicio con x !
4
r +
2
kr
con k d Z
3 tag 2x
^ h = sec 2x
^ h + 1 + 3
cos 2x
^ h
sen 2x
^ h
=
cos 2x
^ h
1 + 1 + 3 sen 2x
^ h = 1 + cos 2x
^ h
+ 2 3 senx.cosx = cos
2
x + sen
2
x + cos
2
x - sen
2
x , cos
2
x + sen
2
x = 1 , sen 2x
^ h = 2senx.cosx ,cos 2x
^ h = cos
2
x - sen
2
x
+ 2 3 senx.cosx - 2cos
2
x = 0 + cosx 2 3 senx - 2cosx
^ h = 0 +
+
2 3 senx - 2cosx = 0
cosx = 0
' +
2 3 senx = 2cosx
cosx = 0
' +
cosx
senx
=
3
1
cosx = 0
* +
tagx =
3
1
cosx = 0
* +
+
tagx =
3
1
+ tagx = tag
6
r
+ x =
6
r + kr con k d Z A
6
r + kr =
4
r +
2
kr
+ k =
6
1
b Z & x =
6
r + kr
cosx = 0 +
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
+ x =
2
r + kr
porque va dando saltos de r en r
6 7 8
444444 444444
con k d Z A
2
r + kr =
4
r +
2
kr
+ k =
2
-1
b Z & x =
2
r + kr
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
por último el conjunto de soluciones es S =
6
r + kr
# -, 2
r + kr
# -, k d Z
--------------------
resuelve senx + cosx
^ h2
= 1
senx + cosx
^ h2
= 1 + sen
2
x + cos
2
x + 2senx.cosx = 1 + 1 + 2.senx.cosx = 1 + senx.cosx = 0 +
+
cosx = 0 = cos
2
r
+
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
+ x =
2
r + kr con k d Z
*
senx = 0 = sen0 +
x = r - 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
+
x = r + 2kr
x = 2kr
+ x = kr con k d Z
$
$
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
por último el conjunto de soluciones es S = kr
" , , 2
r + kr
# -, k d Z
--------------------
2-11
2-12
2-13
2-14

11. resuelve sen
4
r - x
_ i+ 2 senx = 0
sen
4
r - x
_ i+ 2 senx = 0 + sen
4
r
cosx - cos
4
r
senx + 2 senx = 0 +
2
2
cosx -
2
2
senx +
2
2 2
senx = 0 +
+
2
2
cosx +
2
2
senx = 0 + cosx + senx = 0 + cosx =- senx + tagx =- 1 = tag
4
-r
+
+ x =
4
-r + kr con k d Z
por último el conjunto de soluciones es S =
4
-r + kr
# -, k d Z
--------------------
resuelve - 3.senx + 3 .cosx = 0
1º metodo
- 3.senx + 3 .cosx = 0 + senx -
3
3
cosx = 0 + senx -
3
1
cosx = 0 +
+ senx - tag
6
r
cosx = 0 + senx -
cos
6
r
sen
6
r
cosx = 0 + cos
6
r
senx - sen
6
r
cosx = 0 +
+ sen x -
6
r
_ i = 0 + sen x -
6
r
_ i = sen0 +
x -
6
r
= r - 0 + 2kr
x -
6
r
= 0 + 2kr
* +
x -
6
r
= r + 2kr
x -
6
r
= 2kr
* con k d Z
+
x =
6
7r + 2kr
x =
6
r + 2kr
* + x =
6
r + kr con k d Z poque las soluciones van dando saltos de r en r
luego el conjunto de soluciones es S =
6
r + kr
# - , k d Z
2º metodo
- 3.senx + 3 .cosx = 0 + senx =
3
3
cosx +
cosx
senx
=
3
3
=
3
1
+ tagx = tag
6
r
+ x =
6
r + kr con k d Z
--------------------
resuelve 3.senx+ cosx = 3
3 .senx + cosx = 3 + senx +
3
1
cosx = 1 + senx + tag
6
r
cosx = 1 +
+ cos
6
r
senx + sen
6
r
cosx = cos
6
r
+ sen x +
6
r
_ i = cos
6
r
+ sen x +
6
r
_ i = sen
2
r -
6
r
_ i = sen
3
r
+
+
x +
6
r
= r -
3
r + 2kr
x +
6
r
=
3
r + 2kr
* +
x =
2
r + 2kr
x =
6
r + 2kr
* con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
6
r + 2kr
# - , 2
r + 2kr
# - con k d Z
resuelve cotg 2x
^ h + tag x
^ h = 0 I
1º campo de existencia de cotg 2x
^ h A cos 2x
^ h ! 0
6 @y de tag x
^ h A cos x
^ h ! 0
6 @
cos 2x
^ h = 0 = cos
2
r
+
2x =-
2
r + 2kr
2x =
2
r + 2kr
* +
x =-
4
r + kr
x =
4
r + kr
+ x =
4
r +
2
kr
* con k d Z
cos x
^ h = 0 = cos
2
r
+
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
* + x =
2
r + kr con k d Z
Ahora resolvamos la ecuación I siendo x b
2
r + kr
# - , x =
4
r +
2
kr
$ . con k d Z
cotg 2x
^ h + tag x
^ h = 0 +
sen 2x
^ h
cos 2x
^ h
+
cos x
^ h
sen x
^ h
= 0 + cos 2x
^ hcos x
^ h + sen 2x
^ hsen x
^ h = 0 + cos 2x - x
^ h = 0 = cos
2
r
+
cosx = cos
2
r
+ x =
2
r + kr con k d Z
Pero como hemos demostrado en campo de existencia que x b
2
r + kr
# - , x =
4
r +
2
kr
$ . ( la ecuación I no tiene solución
2-15
2-16
2-17
2-18

12. resuelve senx + cosx = 1 i
1º metodo Recordad: 2kr =- 2kr con k d Z
i es una ecuación simetrica ya que sustituindo sen A cos y cos A sen i no varia
asi que hacemos cambio de variable x = y +
4
r
luego i + senx + cosx = 1 + sen y +
4
r
_ i+ cos y +
4
r
_ i = 1
+
2
2
cosy + seny
^ h +
2
2
cosy - seny
^ h = 1 + 2
2
2
cosy = 1 + cosy =
2
1
=
2
2
+ cosy = cos
4
r
+
+
y =-
4
r + 2kr
y =
4
r + 2kr
* +
x -
4
r
=-
4
r + 2kr
x -
4
r
=
4
r + 2kr
* +
x = 2kr
x =
2
r + 2kr
( k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
2
r + 2kr
# - , 2kr
" , con k d Z
2º metodo Recordad: sena + senb = 2sen
2
a + b
cos
2
a - b
sena - senb = 2sen
2
a - b
cos
2
a + b
cosa + cosb = 2cos
2
a + b
cos
2
a - b
cosa - cosb =- 2sen
2
a + b
sen
2
a - b
senx + cosx = 1 + cos
2
r - x
_ i+ cosx = 1 + 2.cos
2
2
r - x + x
_ i
cos
2
2
r - x - x
_ i
= 1 +
+ 2.cos
4
r
cos
4
r - x
_ i = 1 + 2
2
2
cos
4
r - x
_ i = 1 + cos
4
r - x
_ i =
2
1
=
2
2
= cos
4
r
+
+
4
r - x =-
4
r + 2kr
4
r - x =
4
r + 2kr
* +
-x =-
2
r + 2kr
-x = 2kr
) +
x =
2
r + 2kr
x = 2kr
) con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
2
r + 2kr
# - , 2kr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 13: Calcula el dominio de f x
^ h =
cos3x + cosx
x + 1
f x
^ h existe si y sólo si cos3x + cosx ! 0
cos3x + cosx = 0 + cos3x =- cosx = cos r - x
^ h +
3x =-r + x + 2kr
3x = r - x + 2kr
$ +
2x =-r + 2kr
4x = r + 2kr
$ +
+
x =
2
-r + kr
x =
4
r +
2
kr
* con k d Z luego D f = R -
2
-r + kr
# -,
4
r +
2
kr
$ . siendo k d Z
8 B
--------------------
*** Ejercicio 14: resuelve 5.sen
2
x - 2cos
2
x - 3.senx.cosx = 0 a
5.sen
2
x - 2cos
2
x - 3.senx.cosx = 0 es una ecuación homogenea de grado 2 podemos dividir por cos
2
x
ya que las soluciones de cosx = 0 + x =
2
r + kr A no es la solucion de la a
comprobando 5.sen
2
2
r - 2.cos
2
2
r - 3.sen
2
r
cos
2
r
= 5 ! 0
a + 5
cos
2
x
sen
2
x - 2
cos
2
x
cos
2
x - 3
cos
2
x
senx.cosx
=
cos
2
x
0
+ 5 tag
2
x - 2 - 3 tagx = 0 +
+ 5 tag
2
x - 3 tagx - 2 = 0 cambio variable tagx = y
+ 5y
2
- 3y - 2 = 0 3= -3
^ h2
- 4 5
^ h -2
^ h = 49 ( 3 = 7
y =
10
3 ! 7
=
5
-2
1
) (
tagx =
5
-2
+ x = 21,80º + k.180º
tagx = 1 + x =
4
r + kr
* sabemos que r = 180º
+
x -
25
3r + kr
x =
4
r + kr
* con k d Z , luego el conjunto de soluciones es S =
4
r + kr
# - , 25
3r + kr
$ . con k d Z
--------------------
2-19
2-20
2-21

13. *** Ejercicio 15: resuelve sen arccosx
^ h =
2
3
Recordad:
2
-r
# arccosx #
2
r
,
2
-r
# arcsenx #
2
r
1º buscamos cúal es el angulo de seno que nos da
2
3
que es sen
3
r
asi que sen arccosx
^ h = sen
3
r
sen arccosx
^ h = sen
3
r
+
arccosx = r -
3
r + 2kr
arccosx =
3
r + 2kr
* +
arccosx =
3
2r + 2kr Ab
2
-r
,
2
r
7 A
arccosx =
3
r + 2kr Ad
2
-r
,
2
r
7 A
*
luego arccosx =
3
r + 2kr + cos arccosx
^ h = cos
3
r + 2kr
_ i + x = cos
3
r
=
2
1
--------------------
*** Ejercicio 16:
Desde lo alto de un edificio se ve un perro en el suelo con un angulo de
depresión de 60º,si dicho edificio tiene una altura de 45 mts.
¿a que distancia se encuentra el perro del edificio?
en esta clase de ejercicios de trigonometria es muy impotante entender el ejercico y hacer un esquema de el.
aplicando el teorema de angulos congruentes ver imag.
^ h
viendo la imagen de enfrente podemos concluir que
cos60º =
45
x
+ x = 45.cos60º +
+ x = 45
2
1
= 22,5 mts A que es la distancia entre el edificio y el perro
--------------------
*** Ejercicio 17:
Un observador que se encuentra en lo alto de la torre,a 80 mts de altura,y formando un angulo con
la horizontal respecto del perro de
6
r
y de
3
r
respecto a la tortuga.
¿a que distancia se encuentra el perro de la tortuga?
viendo la imagen podemos deducir que
x + y = 80 cos
6
r
= 80
2
3
= 40 3 mts
y = 80 cos
3
r
= 80
2
1 = 40 mts
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
x = 40 3 - 1
^ h = 29,28mts A es la distancia que separa el perro de la tortuga.
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

14. *** Ejercicio 18: Resuelve sen2x =- senx
Recordad: sen -x
^ h =- senx , cos -x
^ h = cosx
sen2x =- senx + sen2x = sen -x
^ h +
2x = r - -x
^ h + 2kr
2x =- x + 2kr
% +
x = r + 2kr
x =
3
2kr
)
luego el conjunto de soluciones es S =
3
2kr
$ . , r + 2kr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 19: Resuelve tag2x = cotagx
Recordad: sen
2
r - x
_ i = cosx , cos
2
r - x
_ i = senx , tag
2
r - x
_ i = cotagx , cotag
2
r - x
_ i = tagx
tag2x = cotagx + tag2x = tag
2
r - x
_ i + 2x =
2
r - x + kr + 3x =
2
r + kr + x =
6
r +
3
kr
con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
6
r +
3
kr
$ . con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 20: Resuelve tag
2
x + 4 tagx + 3 = 0 i
1º campo de existencia de la ecuación i
sabemos que tagx =
cosx
senx
existe Ssi cosx ! 0 + x !
2
r + kr con k d Z
sea y = tagx i + y
2
+ 4y + 3 = 0 3= 16 - 12 = 4 & 3 = 2
y =
2
-4 ! 2
=
-3
-1
$ ( tagx =
-3
-1
$
tagx =- 1 , tagx = tag
4
-r
_ i + x =
4
-r + kr es una solución porque es !
2
r + kr
tagx =- 3 , x = arctag -3
^ h + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
4
-r + kr
# - , arctag -3
^ h + kr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 21: Resuelve 5cosx + 7cos2x = 2 - 4sen
2
x
5cosx + 7cos2x = 2 - 4sen
2
x + 5cosx + 7 cos
2
x - sen
2
x
^ h = 2 - 4sen
2
x + 5cosx + 7cos
2
x - 3sen
2
x = 2 +
+ 5cosx + 7cos
2
x - 3 1 - cos
2
x
^ h - 2 = 0 + 10cos
2
x + 5cosx - 5 = 0 + 2cos
2
x + cosx - 1 = 0
haciendo cambio de variable y = cosx A 2y
2
+ y - 1 = 0 , 3= 1 + 8 = 9 & 3 = 3
y =
4
-1 ! 3
=
2
1
-1
) ( cosx =
2
1
= cos
3
r
-1 = cosr
) +
cosx = cos
3
r
+ x =
x =-
3
r + 2kr
x =
3
r + 2kr
*
cosx = cosr + x =
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
$
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+
+
x =
x =-
3
r + 2kr
x =
3
r + 2kr
*
x =
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
+ x = 2k + 1
^ hr
$
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
luego el conjunto de soluciones es S =
3
-r + 2kr
# - , 3
-r + 2kr
# - , 2k + 1
^ hr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 22: Resuelve senx = tagx
senx = tagx A 1º campo de existencia para que sea posible senx = tagx cosx ] 0
cosx ] 0 + x !
2
r + kr
senx = tagx + senx =
cosx
senx
+ senx.cosx = senx cuidado en simplificar
^ h + senx.cosx - senx = 0
+ senx cosx - 1
^ h = 0 +
cosx = 1
senx = 0
+
cosx = cos0 +
x =- 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
+
x = 2kr
x = 2kr
+ 2kr
$
$
senx = sen0 +
x = r - 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
+
x = r + 2kr
x = 2kr
+ x = kr
$
$
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

15. +
x = 2kr
x = kr
$ + x = kr como es distinto de
2
r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S = kr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 23: Resuelve 1 + 2cosx + cos2x = 0
1 + 2cosx + cos2x = 0 + 1 + 2cosx + cos
2
x - sen
2
x = 0 + 1 + 2cosx + cos
2
x + cos
2
x - 1 = 0 +
2cos
2
x + 2cosx = 0 + cosx cosx + 1
^ h = 0 +
cosx =- 1 = cosr
cosx = 0 = cos
2
r
( +
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
+ 2k + 1
^ hr
$
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
+ x =
2
r + kr
*
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
luego el conjunto de soluciones es S = 2k + 1
^ hr
" , , 2
r + kr
# - con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 24: Resuelve sen
4
x + cos
4
x = senx.cosx i
1º metodo
sabemos que sen
2
x + cos
2
x = 1 luego sen
2
x + cos
2
x
^ h2
= sen
4
x + cos
4
x + 2sen
2
xcos
2
x
y como sen
4
x + cos
4
x = senx.cosx asi que 1
2
= 1 = senx.cosx + 2sen
2
xcos
2
x a
haciendo cambio de variable de senx.cosx = y a + 2y
2
+ y - 1 = 0 , 3= 9 ( 3 = 3
y =
4
-1 ! 3
=
2
1
-1
3
) = senx.cosx
** senx.cosx =- 1 ,
2
1
sen2x =- 1 , sen2x =- 2 imposible porque - 1 # sena # 1
** senx.cosx =
2
1
,
2
1
sen2x =
2
1
, sen2x = 1 = sen
2
r
,
2x = r -
2
r + 2kr
2x =
2
r + 2kr
* ,
, 2x =
2
r + 2kr , x =
4
r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
4
r + kr
# - con k d Z
2º metodo
se observa que la ecuación i es simetrica (al cambiar sen por cos y viceversa la i no cambia)
asi que haciendo cambio variable x = y +
4
r
senx = sen y +
4
r
_ i = senycos
4
r + cosysen
4
r
=
2
2
cosy + seny
^ h
cosx = cos y +
4
r
_ i = cosycos
4
r - senysen
4
r
=
2
2
cosy - seny
^ h
sen
4
x = sen
4
y +
4
r
_ i =
2
2
cosy + seny
^ h
; E
4
=
16
4
cos
2
y + sen
2
y + 2seny cosy
^ h2
=
4
1
1 + 2seny cosy
^ h2
=
4
1
1 + 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y
^ h
cos
4
x = cos
4
y +
4
r
_ i =
2
2
cosy - seny
^ h
; E
4
=
16
4
cos
2
y + sen
2
y - 2seny cosy
^ h2
=
4
1
1 - 2seny cosy
^ h2
=
4
1
1 - 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y
^ h
luego sen
4
x + cos
4
x =
4
1
1 + 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y
^ h +
4
1
1 - 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y
^ h =
2
1
1 + 4sen
2
y cos
2
y
^ h
senx.cosx =
2
2
cosy + seny
^ h.
2
2
cosy - seny
^ h =
2
1
cos
2
y - sen
2
y
^ h
asi que
2
1
1 + 4sen
2
y cos
2
y
^ h =
2
1
cos
2
y - sen
2
y
^ h + 1 + 4sen
2
y cos
2
y - cos
2
y + sen
2
y = 0 +
+ 1 + 4cos
2
y 1 - cos
2
y
^ h - cos
2
y + 1 - cos
2
y = 0 +- 4cos
4
y + 2cos
2
y + 2 = 0 +- 2cos
4
y + cos
2
y + 1 = 0 c +
haciendo cambio de variable a = cos
2
y c +- 2a
2
+ a + 1 = 0 , 3= 9 & 3 = 3
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

16. a =
-4
-1 ! 3
=
2
-1
= cos
2
y A imposible cos
2
y 2 0
^ h
1 = cos
2
y + cosy =
-1 = cosr +
y =-r + 2kr
y = r + 2kr
+ y = 2k + 1
^ hr
'
1 = cos0 +
y = 2kr
y = 2kr
+ y = 2kr
%
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+ y = kr y por último x = y +
4
r
+ x =
4
r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
4
r + kr
# - con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 25: Resuelve sen
6
x + cos
6
x =
16
7
h
sabemos que sen
2
x + cos
2
x = 1 luego sen
2
x + cos
2
x
^ h3
= sen
6
x + cos
6
x + 3sen
4
xcos
2
x + 3sen
2
xcos
4
x
y como sen
6
x + cos
6
x =
16
7
asi que 1
3
= 1 = sen
6
x + cos
6
x + 3sen
4
xcos
2
x + 3sen
2
xcos
4
x +
+ 1 =
16
7 + 3sen
4
xcos
2
x + 3sen
2
xcos
4
x +
16
9
= 3sen
2
x cos
2
x sen
2
x + cos
2
x
^ h +
16
3
= sen
2
x cos
2
x
+ sen
2
x cos
2
x -
16
3
= 0 + senx cosx -
4
3
c m senx cosx +
4
3
c m = 0 +
senx cosx -
4
3
= 0
senx cosx -
4
3
= 0
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+
2senx.cosx =
2
3
2senx.cosx =
2
3
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+
sen2x = sen
3
-r
+
2x = r +
3
r + 2kr
2x =
3
-r + 2kr
+
2x =
3
2r + kr
x =
6
-r + kr
*
*
sen2x = sen
3
r
+
2x = r -
3
r + 2kr
2x =
3
r + 2kr
+
x =
3
r + kr
x =
6
r + kr
*
*
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
luego el conjunto de soluciones es S =
6
r + kr
# - , 3
r + kr
# - , 6
-r + kr
# - , 3
2r + kr
$ . con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 26: Resuelve
cosy
cosx
=
2
-1
x + y =
3
4r
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
cosy
cosx
=
2
-1
x + y =
3
4r
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+
cosy
cos r +
3
r - y
_ i
=
2
-1
2
x = r +
3
r - y 1
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
2 ,
cosy
cos r +
3
r - y
_ i
=
cosy
-cos
3
r - y
_ i
=
-2
1
, 2cos
3
r - y
_ i = cosy , 2cos
3
r - y
_ i- cosy = 0 ,
, 2 cos
3
r
cosy + sen
3
r
seny
7 A- cosy = 0 , 2
2
1
cosy +
2
3
seny
; E- cosy = 0 ,
, cosy + 3 seny - cosy = 0 , 3 seny = 0 , seny = 0 = sen0 ,
y = r + 2kr
y = 2kr
, y = kr
%
sabemos que x + y =
3
4r
, x =
3
4r - kr , x =
3
4r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S = x,y
^ h =
3
4r + kr,kr
` j
$ . con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 27: Resuelve
cos x - y
^ h =
2
3
sen x + y
^ h = 1
*
cos x - y
^ h =
2
3
sen x + y
^ h = 1
* +
cos x - y
^ h = cos
6
r
+
x - y =-
6
r + 2 l
k r con l
k d Z 3
x - y =
6
r + 2 l
k r con l
k d Z 2
*
sen x + y
^ h = sen
2
r
+
x + y = r -
2
r + 2kr
x + y =
2
r + 2kr
+
*
x + y =
2
r + 2kr
x + y =
2
r + 2kr
+ x + y =
2
r + 2kr 1
*
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

17. observación: cuidado en despejar el valor de x e y de las ecuaciones 2 / 3 porque las dos cuentan
como si fuera una sola ecuación con dos incognitas.
1 / 2 +
x - y =
6
r + 2 l
k r
x + y =
2
r + 2kr
* 1 + 2 + 2x =
3
2r + 2r k + l
k
=n
E
a k
+ x =
3
r + nr con n d Z
1 + x + y =
2
r + 2kr + y =
2
r -
3
r + nr + 2kr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
6
r + nr con n d Z
1 / 3 +
x - y =-
6
r + 2 l
k r
x + y =
2
r + 2kr
* 1 + 3 + 2x =
3
r + 2r k + l
k
=h
E
c m
+ x =
6
r + hr con h d Z
1 + x + y =
2
r + 2kr + y =
2
r -
6
r + hr + 2kr
2kr1hr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
3
r + hr con h d Z
luego el conjunto de soluciones es S = x,y
^ h =
6
r + hr,
3
r + hr
_ i
$ . con h d Z
--------------------
*** Ejercicio 28: Resuelve
cos x - y
^ h =
2
1
sen x + y
^ h =
2
1
*
cos x - y
^ h =
2
1
sen x + y
^ h =
2
1
* +
cos x - y
^ h = cos
3
r
+
x - y =-
3
r + 2kr
x - y =
3
r + 2kr
+
x - y =
3
-r + 2 l
k r 4
x - y =
3
r + 2 l
k r 3
con l
k d Z
*
*
sen x + y
^ h = sen
6
r
+
x + y = r -
6
r + 2kr
x + y =
6
r + 2kr
+
x + y =
6
5r + 2kr 2
x + y =
6
r + 2kr 1
con k d Z
*
*
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
asi que tenemos 4 sistemas de ecuaciones: 1 / 3 , 1 / 4 , 2 / 3 , 2 / 4
1 / 3
x - y =
3
r + 2 l
k r 3
x + y =
6
r + 2kr 1
* (
1 + 3
A
2x =
2
r + 2nr
n=k+ l
k
C
+ x =
4
r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
r + 2kr + y =
6
r -
4
r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
12
-r + nr con n d Z
luego una de las soluciones es S1 = x,y
^ h =
4
r + nr,
12
-r + nr
_ i
$ . con n d Z
1 / 4
x - y =
3
-r + 2 l
k r 4
x + y =
6
r + 2kr 1
* (
1 + 4
A
2x =
6
-r + 2nr
n=k+ l
k
C
+ x =
12
-r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
r + 2kr + y =
6
r +
12
r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
4
r + nr con n d Z
luego una de las soluciones es S2 = x,y
^ h =
12
-r + nr,
4
r + nr
_ i
$ . con n d Z
2 / 3
x - y =
3
r + 2 l
k r
x + y =
6
5r + 2kr
* (
2 + 3
A
2x =
6
7r + 2nr
n=k+ l
k
C
+ x =
12
7r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
5r + 2kr + y =
6
5r -
12
7r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
4
r + nr con n d Z
luego una de las soluciones es S3 = x,y
^ h =
12
7r + nr,
4
r + nr
` j
$ . con n d Z
2 / 4
x - y =
3
-r + 2 l
k r
x + y =
6
5r + 2kr
* (
2 + 4
A
2x =
2
r + 2nr
n=k+ l
k
C
+ x =
4
r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
5r + 2kr + y =
6
5r -
4
r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
12
7r + nr con n d Z
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

18. luego una de las soluciones es S4 = x,y
^ h =
4
r + nr,
12
7r + nr
` j
$ . con n d Z
Por último la solución final es S = S1 , S2 , S3 , S4
--------------------
*** Ejercicio 29: demostrar que
sen a - b
^ h = sena.cosb - senb.cosa
sen a + b
^ h = sena.cosb + senb.cosa
cos a - b
^ h = cosa.cosb + sena.senb
cos a + b
^ h = cosa.cosb - sena.senb
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Aplicando la formula de Euler e
i.x
= cosx + i.senx
e
i. a+b
^ h
= cos a + b
^ h + i.sen a + b
^ h
e
i. a+b
^ h
= e
i.a
e
i.b
= cosa + i.sena
^ h cosb + i.senb
^ h = cosa.cosb - sena.senb + i sena.cosb + cosa.senb
^ h = cos a + b
^ h + i.sen a + b
^ h
luego :
sen a + b
^ h = sena.cosb + cosa.senb
cos a + b
^ h = cosa.cosb - sena.senb
(
e
i. a-b
^ h
= cos a - b
^ h + i.sen a - b
^ h
e
i. a-b
^ h
= e
i.a
e-i.b = cosa + i.sena
^ h cosb - i.senb
^ h = cosa.cosb + sena.senb + i sena.cosb - cosa.senb
^ h = cos a - b
^ h + i.sen a - b
^ h
luego :
sen a - b
^ h = sena.cosb - cosa.senb
cos a - b
^ h = cosa.cosb + sena.senb
(
--------------------
*** Ejercicio 30:
¿ conocidos los 3 angulos de un triangulo es posible resolver el triangulo?
No porque existen infinitos triangulos semejantes a uno dado con identicos triangulos.
ver imagen de enfrente
l
a
a
=
l
b
b
=
l
c
c
ll
a
l
a
=
ll
b
l
b
=
ll
c
l
c
--------------------
*** Ejercicio 31: Resuelve 1 - 2cos5x 1 0
1º metodo A utilizando las graficas
1 - 2cos5x 1 0 + cos5x 2
2
1
haciendo cambio variable a = 5x ( cos a
^ h 2
2
1
cos a
^ h =
2
1
= cos
3
r
+
a =-
3
r + 2kr
a =
3
r + 2kr
* con k d Z
k = 0 &
a =-
3
r
a =
3
r
* , k = 1 &
a =
3
5r
a =
3
7r
* .........
ahora en la grafica de coseno colocaremos los puntos hallados y en el eje y colocaremos
2
1
la solucion es todos los puntos de la grafica que se encuentren por encima de la recta y =
2
1
ver imagen solucion color verde
^ h (
3
-r + 2kr 1 a 1
3
r + 2kr +
3
-r + 2kr 1 5x 1
3
r + 2kr
+ 15
-r +
5
2kr
1 x 1
15
r +
5
2kr
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

19. 2º metodo A utilizando circulo trigonometrico
1 - 2cos5x 1 0 + cos5x 2
2
1
haciendo cambio variable a = 5x ( cos a
^ h 2
2
1
cos a
^ h =
2
1
= cos
3
r
+
a =-
3
r + 2kr
a =
3
r + 2kr
* con k d Z + 15
-r +
5
2kr
1 x 1
15
r +
5
2kr
asi que dibujamos el circulo con los ejes x e y colocamos el punto
2
1
en el eje a "ejex" = cos
y desde este punto trazamos una ' al eje y e todos los valores que se encuentran a su derecha son las soluciones
--------------------
*** Ejercicio 32: Resuelve 1 - 2sen3x 1 0
1º metodo A graficas
1 - 2sen3x 1 0 +- 2sen3x 1- 1 + sen3x 2
2
1
+ sena 2
2
1
, siendo a = 3x
^ h +
ahora pasemos de desigualdad a igualdad para hallar los puntos de corte con la funcion seno.
sen a
^ h =
2
1
= sen
6
r
+
a = r -
6
r + 2kr
a =
6
r + 2kr
* +
a =
6
5r + 2kr
a =
6
r + 2kr
* con k d Z
ahora cogemos la grafica de la función seno el eje x lo representamos como eje a e el eje y tal como es
el valor
2
1
lo colocamos en el eje y e todos los valores que quedan por encima de la recta y =
2
1
son la solucion de sen a
^ h 2
2
1
+
6
r + 2kr 1 a = 3x 1
6
5r + 2kr con k d Z ver la grafica de abajo
^ h +
+
18
r +
3
2kr
1 x 1
18
5r +
3
2kr
2º metodo A circulo trigonometrico
Recuerda A es muy impor tan te
haciendo exactamente lo mismo que el 1º metodo hasta llegar a
a =
6
5r + 2kr
a =
6
r + 2kr
* con k d Z
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

20. 6
ahora en el circulo el eje x seria eje a en el eje y colocamos y =
2
1
e trazamos una ' al eje a , los puntos de corte entre y =
2
1
y la circonferencia son
6
r
y
6
5r
todo lo que queda encima de
2
1
,perteneciendo al circulo es la solución.
ver imagen
por último
6
r + 2kr 1 a = 3x 1
6
5r + 2kr +
18
r +
3
2kr
1 x 1
18
5r +
3
2kr
con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 33: Resuelve 3.tag 3x
^ h - 3 # 0
1º metodo A graficas
3.tag 3x
^ h - 3 # 0 + tag 3x
^ h #
3
3
=
3
1
+ tag 3x
^ h # tag
6
r
cambio variable a = 3x
tag a
^ h = tag
6
r
+
a !
2
r + kr
a =
6
r + kr
* k d Z
en la grafica de tangente ejex A eje a
^ h e en el ejey colocaremos y =
3
3
y señalamos los puntos de corte
y todos los datos que se encuentrenpor debajo de y =
3
3
son la solucion de tag a = 3x
^ h # tag
6
r
ver la grafica
cogeremos un int ervalo donde aparecen todos los datos y le añaderemos el periodo kr
Por último
2
r + kr 1 3x #
6
7r + kr +
6
r +
3
kr
1 x #
18
7r +
3
kr
con k d Z
2º metodo A circulo trigonometrico
Recordad: ver imagen donde tag es + , tag es una funcion creciente
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

21. como se ve
2
r + kr 1 3x # r +
6
r
6
7r
G
+ kr +
6
r +
3
kr
1 x #
18
7r +
3
kr
con k d Z
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

22. ,
.
. . . . . . . . . . . .
.
. , .
. . . . . . . . . . . .
:
:
:
:
exp int
arccos
cos
arccos cos arccos cos
arccos arccos
cos cos cos
arccos arccos cos arccos cos arccos
cos cos arccos arccos arccos
sup arccos cos cos arccos arccos
cos arccos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Respuesta
Respuesta
Respuesta
calcula arcsen sen
mucho cuidado en hacer que arcsen sen
como no se puede aplicar arcsen sena a asi que en este caso lo primero es calcular
la resion erna es decir sen luego arcsen
Resuelve la ecuacion arcsenx
arcsenx senarcsenx sen x verificando arcsen
Resuelve la ecuacion x arcsen x
a sena
x arcsen x x arcsen x x sen arcsen x x x
x x
Resuelve la ecuacion x x
a b a b senasenb
x x x x
x x sen x sen x sen x
ongamos que x x x y sen x sen x
ver imagen del triangulo para entenderlo
aplicando pitagoras x h h x
la ecuacion queda de la seguiente forma x
x x x x
elevando al cuadrado queda x x x x x
ahora solo queda verificar cual de ellos es el verdadero
ar
Respuesta
2 2
0 0 0
3 2
3 2 6 2
1
3 2
1
3 6 2
2
2
2 2
2 0 0
2
3
2
3
2
3
2 3 3 2
1
2
3
1
1 1
2 2 2
3
1 3 3 1
9 3 1 12 3 4
1
2
1
1
3 2
1
3 3
2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
, ,
, , ,
, ,
, ,
,
,
,
,
, , ,
, ,
!
!
! "
!
b
r
r r
r
r r
r
r
r r r r
r
r
r r
r
r r
r r
a a a
r
r
r r
r
r r
=
-
=
= =
- - - - - - - - - - - - -
=
= = = = =
= +
+ =-
= + = + =- =-
= =
- - - - - - - - - - - - -
= +
+ = -
= + = +
= - = -
= = = = = -
+ = = -
= - - = -
= - = = =
- = +
-
= + - =
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
R
Q
Q
R
S
Q
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
W
V
X
W
V
#
#
! !
!
!
#
#
!
!
!
&
&
$ $
$
$
&
&
$
$
$

23. :
.
,
,
, ,
. . .
.
. . . . . . . . . . . .
:
. . . . . . . . . . . .
:
:
:
:
arccos arccos
arccos arccos
arccos arccos arccos
arccos arccos
arccos cos arccos cos
cos cos cos cos
arccos arccos arccos arccos
cot arccos
arccos cos cot
cos
arccos
arccos arccos arccos
arccos cos
arccos
arccos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Resuelve la ecuacion E x x
si x x x
si x x x de x
vea la grafica
asi que de la ecuacion E x x se deduce que x
sea x x x x
Por pitagoras se halla que h x h x
E como
sen sen x x x x x x x
x x x x x x x x x como x x
verificando
Resuelve la ecuacion E g x
sea x x y E g vea imagen triangulo
h por pitagoras luego x
Resuelve la ecuacion E arcsenx x
arcsenx x sen arcsenx sen x x sen x
sea x x vea imagen triangulo
gracias a pitagoras podemos decir que sen x luego x x
elevando al cuadrado queda x x x x
la solucion es porque arcsen
no es una solucion porque arcsen
Respuesta
Respuesta
Respuesta
2 3
0 0 2
0 0 2
2 3 0
2 2
1 4 1
3 3 2 2
3 2 1 4 1 2
1
1 4 1 2
1
2
1 4 1 2
1
2 1 5 4 4
1
2 4 3 4
3
2
1
0 2
1
2 2
1
2
1 1 2
1
3 3
3
2
3
2
13
13
2
13
2 13
1 1
1 2 1 2
2
2
2
2
2
2
2
4 4
2
2
2
2
2
2
4 4
3
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 4 2 4 2
2 2
2 2 2
,
,
, ,
,
, ,
( , , ,
, ,
, ,
,
, ,
,
,
d
!
!
2 1 1
1 1 1
1
1
{
{
r
r
a a b b
a b
r r r r
a b a b a b
r
r r
r r
a a a
a
a a
a
r r
r r
- =
- =
= = = =
= - = -
- =
-
- = + = + - - = - - = -
- - = - - + = - + = = =
-
-
-
-
= - -
-
= - - =
- - - - - - - - - - - - -
=
= = =
= = = =
- - - - - - - - - - - - -
=
= = =
= =
= - = -
= - = =
= =
- -
=
- -
=
l
Q
Q Q
S
S
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
S S
V
V V
X
X
V
V
X
V
V
V X
V
V
X
# &
G G
J

24. :
.
.
. . . . . . . . . . . .
:
. ,
,
, . .
,
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
:
:
:
:
arccos arccos
arccos arccos cos arccos cos arccos arccos
cos cos cos
arccos arccos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Resuelve la ecuacion E x
x x sea
x
x x
verificando con queda
Resuelve la ecuacion E arctag x arctag x
arctag a arctag b arctag a b
a b
tag a b
tag a tag b
tag a tag b
E arctag x
x x
x
x x
tag porque
E x x x x
x
m
2º etodo
arctag x arctag x sea
arctag x tag x
arctag x tag x
tag tag
tag tag
tag tag
x
x x
igual que el anterior sale x
Resuelve arctag x arctag x arctag
arctag x arctag x arctag arctag x x
x x
arctag
arctag x x arctag
x x
x x x x x
luego la solucion es x
Respuesta
Respuesta
Respuesta
recuerda
2 1 2 2
1
2 1 2 2
1 2 1 2 2
1
2
1
2 1 2 2 1 2 1 2 2
1
1 2
1
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1
3
2
3
2
2 3 4
1 1
1 6
2 3
4 1 6
2 3
4 1 4 2 2
5 1 6 6 5 1 0 25 4 6 1 49 7
12
5 7
6
1
1
2 3 4 3 3
2 2
4 4 1
1
1 6
2 3
1
6
1
1
1
3
4
1
3
4
1
1
3
4
1
1
3
4
1
1
3
4
4 4 4 3 4 4 1 0 2 1 0
2
1
.
,
2
2 2
2 2 2
2
2
3 2 3
2 2
2 2
1 2
2
2
2 2
2 2 2
,
,
, ,
,
, ,
, , ,
+
+
, ,
,
,
, , , ,
!
!
! "
! !
"
!
d
!
{
a
a a a
r r
r
r r r r r
r
b b
a a
a b
r a b r
a b
a b
D D
- =
- = - = =
- = = - = - = - =-
= =
- = =
- - - - - - - - - - - - -
+ =
= =
-
+
=
-
+
= =
-
= - + - = = - - = =
=
-
=
-
+ =
= =
= =
+ = + =
-
+
=
-
+
= =
-
- - - - - - - - - - - - -
+ - =
+ - = - -
+ -
=
- + =
- +
= - + = - + = - =
=
- - - - - - - - - - - - -
r
r r
-
Q
Q
T
Q
T
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
S
Q
Q
T
Q
Q
Q
S
S
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
Y
V
V
Y
V
V
V
V
V
X
X
V
VV
V
V
X
V
Y
V
X
V
V
V
V
#
&
G
G
G
6 7 8
444444 444444 6 7 8
44444 44444