clase + ejer funciones sept-2022 kada.pdf

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f(x)
h(x)
g(x)
f existe si y si h(x) 0
f(x) h(x) f existe si y si h(x) 0
f(x) f existe si y si h(x) 0
f(x) arcsen f existe si y si 1 h(x) 1
f(x) arccos f existe si y si 1 h(x) 1
f(x) arctan f existe siempre D D
f(x) h(x) f existe si y si h(x) 0
f( x) f(x) f es una funcion par
f( x) f(x) f es una funcion impar
f(x T) f(x) f es una funcion periodica de periodo T
f es continua en a lim f(x) f(a) n¼ R
f es continua en a lim f(x) lim f(x) f(a) n¼ R
se utiliza en funciones a trozos,tambien para ver si la funcion
es continua o no en el punto que esta excluido del dominio de definicion
lim f(x) f(a)
lim f(x) n¼ y f(a) no existe
x 0 y f(0)
y 0 f(x) 0 se resuelve sacando los valores de x
,
,
Dominio
solo
solo
h x solo
h x solo
h x solo
h x
solo
la
para que una funcion sea derivable en x a antes tiene que ser continua en x a
f a lim x a
f x f a
f a lim h
f a h f a
f a lim h
f a h f a
si f a f a f es derivable en a
f derivable en a f continua en a
f continua en a f derivable en a
en lo ultimo de este resumen de funciones se encuentra la tabla de derivadas
que habra que memorizar muy bien porque seran muy valiosos para los integrales
a
b
b
O
corte con el eje y
corte con el eje x
de Definicion
Simetria o periocidad
Continuidad
casos de continuidad evitable
Teorema de BOLZANO
Derivabilidad
Corte con los ejes
si
f a es de distinto signo que f b
f x es continua en a b
c a b tal que f c
1
2
3
4
5
1
2
3
1
2
0
2n
f h
g(x)
x a
x a x a
x a
x a
a
x a
h
h
0
0
log
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AA
AA
AA
AA
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asintota
asintota
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asintota
asintota
Algunos
Asintotas
lim
lim
Asintota
lim
lim
lim
lim
Asintotas
Asintota
lim Asintota
si y h x y h x
si y h x y h x
si y sen h x y h x k k Z
si y h x y h x k k Z
si y h x y h x
h x k k Z
h x k k Z
si y arcsen h x y h x
si y h x y h x
si y h x y h x
se fija en los puntos que excluidos de D por ejemplo D a
pues si
Para ver el sentido de la curva respecto a la vert
Para ver el sentido de la curva respecto a la vert
se calcula f x a a y a es la horizontal
si la curva va por debajo de la cuando x
si la curva va por debajo de la cuando x
casos particulares
f x
f x
Posicion de la curva respecto a la Horizontal
f x a b
f x
f x
f x a b
verticales
horizontal
f x x a es la vertical
ver imagen
ver imagen
ver imagen
se calcula
0 0
0 1
0
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0
2 2
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0 1
0 0
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si la curva va por encima de la asintota cuando x
si la curva va por encima de la asintota cuando x
Los puntos de corte entre f x y la asintota horizontal es calcular f x a x c
c f c es el punto de corte
no hay asintota horizontal asin que habra que estudiar
la que es de la forma tal que
Aveces es mejor hallar los puntos de corte entre la curva y la asintota oblicua que se
de la seguiente manera y mx n
y f x
f x mx n x c c f c es el punto de corte
Siempre hay que calcular la posicion de la curva respecto a la asintota oblicua
f x mx n la curva esta por encima de la asintota oblicua
f x mx n la curva esta por debajo de la asintota oblicua
si no hay asintota horizontal puede que haya oblicua
si hay asintota horizontal no hay oblicua
lim f x a b
si limf x
asintota blicua y mx n
m lim x
f x
m m
n lim f x mx n
n lim f x mx
m lim x
f x
m lim x
f x
lim f x mx n b
lim f x mx n b
Asintota Oblicua
la curva tiene una rama parabolica de direccion y mx
la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje ox
la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy
o bien
o bien
Observacion
lim f x a b
Si
lim f x mx n b
lim f x mx n b
ver imagen
3
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
x
x
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x
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maximo
minimo
inflexion
minimo
maximo
intervalos
intervalos
inflexion
maximos y minimos
criticos
inflexion
tangente
intervalos
minimo
inflexion
Supongamos que b
hallaremos f x
calcular f x x a
hacer la tabla donde aparecen todos los valores excluidos de y los que anulan f x
calcular f x
f x x a
hallar f x luego si
f a a f a es un
f a a f a es un
f a y f a a f a es un punto de
Ahora si f a
asi sucesivo
f a a f a
f a a f a
calcular f x
hallar los valores que anulen f x x a
hacer la tabla donde aparecen todos los valores excluidos de y los que anulan f x
en los donde f x dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
en los donde f x dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
a f a es el punto de donde hay cambio de concavidad
porque hay cambio de concavidad
Maximo Minimo Creciente y Decreciente
si lo que queremos es hallar solo los
Monotonia Puntos
Concavidad Punto
f x
Ecuacion General de la recta en x a
Ecuacion General de la recta Normal en x a
Observacion
x a b se coge un n de los
f x y se remplaza en f x para ver si es
f x f a f es creciente
f es decreciente
x a b
f x
f x f a
f x
x b a
f x
f x f a
y f a f a x a pendiente de la recta es m f a
y f a
f a
x a pendiente de la recta es m
f a
m m
la pendiente de una recta vertical es
la pendiente de una recta Horizontal es
a f a maximo
a f a
a f a punto de
1
2 0
3
1
2 0
3
0
0
0 0
0
0
0
1
2 0
3
0
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1 1
1
0
7
8
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n
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5 5
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1
1
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n
o
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sin sin
maximos minimos inflexion
intervalos
dibujar los ejes de las abscisas y de ordenada ox oy
fijar D y los puntos de corte con ejes ox oy
dibujar las a totas y el sentido de la curva y su posicion respecto a las a totas
fijar los puntos y los puntos de
trazar los de crecimiento y de decrecimiento
y k cte y
y f x y n f x f x
y k f x y k f x
y f x g x y f x g x
y f x g x y f x g x f x g x
y
g x
f x
y
g x
f x g x f x g x
y fog x y f og x g x
y f x y
f of x
y f x y
f x
f x
Ln a
y a y a f x Ln a
y e y e f x
y senf x y cosf x f x
y cosf x y senf x f x
y ta f x y
cos f x
f x ta f x f x
y cotf x y
sen f x
f x cot f x f x
y arcsenf x y
f x
f x
y arcosf x y
f x
f x
y arcta f x y
f x
f x
y arcotf x y
f x
f x
y f x para esta formula se utiliza e a
asi que y e e solo queda aplicar formulas anteriores
Observaci n
Pasos a seguir para la construccion de una curva
nos dan un punto a b por el que pasa la funcion f x f a b
extremo en x a f a
extremo en a b f a y f a b
punto de inflexion en x a f a
punto de inflexion en a b f a y f a b
Tabla de Derivadas
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
13
14
15
16
17
18
20
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
ln
f
n n
a
f x f x
f x f x
g x
g x Lnf x
Lna
f x
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
g x
log
A
AA
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. . . . . . . . . .
limitada
tangente
limitada
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Estudiar y dibujar la funcion f x x
x
Lnx
y halla el area comprendida
entre f x y el eje ox comprendida entre x e
x
Estudiar y dibujar la funcion f x
x
x
Estudiar y dibujar la funcion f x x x e y halla el area por la curva
de f x el eje ox y las rectas x x
Hallar las ecuaciones de la y la normal a la curva en el punto de abscisa x
x
x x
x
entre f x y el eje ox comprendida entre x
sea f una funcion numerica de variable real x definida por f x
x
x
a Estudie la funcion f y haz la grafica de la funcion
b Calcule
x
dx
c Halla el area de la curva por las rectas y x y x
Estudiar y dibujar la funcion f x Ln x x
Halla el area comprendida entre f x y el eje ox comprendida entre las abscisas x y x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
1
1
1
4
2 4
0 6
0
2
2 4
1
1 2
1
1
1
1 2 4
2 3 1
2
3
4
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x
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tangente
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Ejercicio
a
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a
b
Ejercicio
a
b
c
d
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
Sea f tal que f x senx
x
estudiar la funcion y representar la grafica
ecuacion de la recta y la normal en el punto de abscisa x
area comprendida entre la funcion el eje x y las rectas x y x
Sea f tal que f x x
x
Estudiar y graficar la funcion
Estudiar y dibujar la funcion f x x x
Estudiar y dibujar la funcion f x x e
Calcula el Area del comprendido entre la grafica de f y la recta y e x
f f x
f si x
xLnx si x
Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre
estudiar la funcion y construir la frafica de f
ecuacion de la recta en x
area comprendida entre el eje de las abscisas y la funcion f
Estudiar y dibujar la funcion f x Ln senx
x sen x
11
12
13
14
15
16
17
18
2 2
3
1
2
0 2
1
1
2
0
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0
0
1
1
2
3 2
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R
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2
2
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- - - - - - - - - -
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- - - - - - - - - -
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c
c
c
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c
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tangente
arccos
superficie
limitado
ln
ln
tangente
ln
determina
Ejercicio
a
b
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
Sea la funcion f x
f
cx d si x
ax b si x
x x si x
halla los valores de a b c y d para que f sea continua en
es derivable para los valores hallados
estudia la funcion con los valores hallados
senx
Estudia la funcion f x x x x
Halla la recta en x y x
Estudiar y representar la funcion f x
x
x
sea la funcion f de variable real x definida por
f x x
Sea la funcion f de variable real x definida por f x x Ln x
Estudia la funcion
calcula la de la parte del plano
por la curva C eje de las abscisas y las rectas x y x
Sea la funcion f de variable real x definida por f x
x
x
Estudia la funcion
Mostrar que existe una recta que pasa por el punto A
Sea la funcion f x x mx
el conjunto de valores de m para los cuales D
estudia la funcion para m y graficala
demostrar que la curva C admite un eje de simetria
Para m haz lo mismo
1
2
1
2
3
4
19
20
21
22
23
24
25
26
2
1
2
3
2 2
1
2
1
1
2 2 1
0 1
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2 3
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R
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d
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
c
c
c
c
c
c
c
c
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. . . . . . . . . .
ln
ln cos
tangente
determina distancia
distancia
ln
ln
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Estudia la funcion f x x
Estudia la funcion f x
Estudia la funcion f x x x
Sea la funcion f x x
Estudia la funcion f y graficala
Halla la ecuacion de la recta Normal de f en el punto de abscisa x
halla los puntos de la grafica de f cuya recta es horizontal
Sea la funcion f x x
Estudia la funcion
f es derivable en x
el punto P de la grafica de f que se encuentre a menor
del punto A y cual es esa
x
x
Estudia la funcion f x E x
e
e
e
e
1
2
3
1
2
3
27
28
29
30
31
32
33
34
35
1
2
3
2
3
1
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1
sec
x
x
x
x
x
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- - - - - - - - - -
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
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c
c
c
c
c
c
c
c
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lim lim lim lim lim lim
lim
limite asintota
lim lim
lim
lim
asintota
asintota
lim
lim
lim lim lim lim lim lim
lim lim lim lim
asintota
asintota
lim lim lim lim
lim
lim asintota
lim asintota
Asintotas
Asintotas
Asintotas
asintota
asintota
dominio
Asintotas
f x esxiste si y solo si x x
luego D
f x x
x
f x luego f x no es ni par ni impar
y x
x
x x
luego es el punto de corte de la funcion con el eje x
x y y
luego es el punto de corte de la funcion con el eje y
f x x
x
x
x x
x
x
x x
x
como el no es un n real finito no hay horizontal
se fija en D
f x x
x
x
x
x
x
luego vertical
x es la
una oblicua es de la forma y mx n siendo
n f x mx
m x
f x
m x
f x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x
x
m
n f x mx x
x
x x
x x x x
x
x
n
luego la oblicua es y x
y x
y x
x
x
x
x x x x x absurdo
esto implica que la curva no corta la oblicua
f x y x
x
x x
x x x x
x
x
x f x esta por debajo de la oblicua cuando x
x f x esta por encima de la oblicua cuando x
Eje x
Eje y
horizontales
vertical
oblicuas y ramas parabolicas
Puntos de corte entre la curva y la oblicua
Posicion de la curva respecto a la oblicua
Ejercicio
Campo de existencia de definicion
Simetria
Corte con los ejes
n
Respuesta
x
1 0 1
1
1
2
0 1
2
0 2 0 2
2 0
0 0 1
0 2
4
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1
2
1
4 4
1
2
1
2
0
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1
2
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9
1
1
2
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1
1
2
1
4 4 5
5
5
5
1
2
1
2
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1
2
5 1
4 4 4 5
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2
1
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x x x x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x
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2
2
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2
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2
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2
2
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2 2 2
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intervalos
f x x
x
f x
x
x x x
x
x x x x
x
x x
f x x x
x f x
x f x
Ahora toca hacer la tabla donde aparecen los valores que anulan f y los excluidos de D
x los signos se hallan cogiendo
f x al azar de los intervalos y
f x calculando su valor si es o
f f f f
punto punto
f x
x
x x
f x
x
x x x x x
x
f x
x
absurdo luego no hay ning n valor que anule f x
Ahora toca hacer la tabla donde aparecen los valores que anulan f y los excluidos de D
x los signos se hallan cogiendo n
f x al azar de los intervalos y
f x calculando su valor si es o
si f x f x dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
si f x f x dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
Maximos Minimos de crecimiento y de decrecimiento
Puntos de inflexion y concavidad
es un maximo es un minimo
1
2
1
2 2 1 2
1
2 2 4 4
1
2 8
0 2 8 0 4 4 1 8 36 6
2
2 6
4 3
6
12
3
0
0
4 1 2
0 0
12 0
1
5
6
2
2 6
2
5 16
7
0 2 1
8
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7
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1
2 8
1
2 2 1 2 2 8 1
1
18
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1
18
0 18 0
0
0
4 12 2 0
f
f
1
2
2
2
2
2
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2
2
2
2
2
2
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3
3
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6
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lim lim indeterminada
lim lim lim
lim lim lim
asintota
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
inflexion
asintota
asintota
asintota
max
inflexion
f x esxiste si y solo si x
x
x Luego D
f x x
Ln x
f x asi que f x no es ni par ni impar
y x
Lnx
Lnx x
luego
x D luego la funcion
f x x
Lnx
forma aplicando
f x x
x
se fija en D
f x x
Lnx
x Lnx
no hay ya que horizontal
f x x
Lnx
f x
x
x x Lnx
x
Lnx
f x
x
Lnx
Lnx Lnx x e
x e f f es creciente en e
f x f e
e
f es decreciente en e
f x e
f x
x
Lnx
f x
x
x x x Lnx
x
x x Lnx
x
Lnx
f x
x
Lnx
Lnx Lnx x e e y f e
e
Lne
e
x e
f x asi que
f x
e
que es donde hay cambio de concavidad
Eje x
Eje y
horizontales
vertical
oblicuas
Ejercicio
Simetria
Corte con los ejes
Puntos de y concavidad
n
Respuesta
es el punto de corte entre la curva y el eje x
f x no corta el eje y
l hopital
esta encima de la
nos indica que la curva
y es la horizontal
x es la vertical
e e es el punto imo
e
e
es el punto de
Lnx
entre f x y el eje ox comprendida entre x e
0
0
0 0 0 1
0
1
1
1 1
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0
1
1
1
0
1
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1
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3
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f
f
f
x x
x x x
x x x
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Area f x dx x
Lnx
dx Integrando por partes
dv x dx v Lnx
u Lnx du x dx
Area x
Lnx
dx Lnx x
Lnx
dx
Area Lnx Area Area Lnx Area
Lnx
Calculo del Area
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lim lim lim lim
lim lim lim lim
lim
lim
lim
lim
lim
sin
sin
dominio
lim lim
asintota
lim lim
Asintota
asintota
Asintota
Asintota
asintota
asintota
tangente
dominio
Asintotas
f
f x esxiste si y solo si
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
luego x
x
Por ultimo D
x
x
x
x
x x
f x x
x
x
x
x
x
luego la
f x y x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
de la a tota
la curva esta debajo
de la a tota
la curva esta encima
se fija en D valores del borde de
x
x
luego
no hay oblicua porque hay horizontal
f x x
x
f x x
x
x
x x
x x
x
ya que x
x
y
x
luego f x es decreciente en todo D y como se ve f x no esta definida en x
f x
x x
x
x
f x
f x
Eje x
Eje y
Horizontal
Posicion de la curva respecto a la horizontal
vertical
oblicua
n
Respuesta
y
la curva corta el eje x en el punto
x D lo que significa que la curva no corta el eje de ordenadas
horizontal es y
x es la vertical
esto nos indica que la curva tiene una vertical en el punto
Ejercicio
Corte con los ejes
Maximos Minimos puntos de crecimiento y decrecimiento
x
1 0
1
1
0
1
1
1
1
1
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1
1
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1
1
1
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1
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2
1
1
1
1
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0
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2
1
1
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limites
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lim
intervalo
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
intervalo
Asintota
Asintota
f x esxiste si y solo si x x x
luego
f x
x
x
x
x
f x f es una funcion impar
posee una simetria rotacional con respecto al origen de coordinadas
x
x
x
luego el
y
luego el
se fija en D en los bordes los
como la funcion es impar y el D se ha reducido a la mitad basta en hallar
f x
x
x
y como la funcion es impar f x
f x
x
x
f x x x f x x x x x
f x
x x x
x
x x
x
haciendo division de polinomios
x x
x asi que
x
x
x
luego f x
x x
x x x
x
f x es creciente en todo el
x
f x
f x
Eje x
Eje y
horizontales
oblicuas
vertical
Tabla de valores
Ejercicio
Simetria
Corte con los ejes
n
Respuesta
D
asi que es mas que suficiente hacer un estudio en el
y
es el punto de corte entre la curva y el eje de las abscisas x
x
es el punto de corte entre la curva y el eje de las ordenadas y
no hay ya que la funcion no esta definida en los
no hay ya que la funcion no esta definida en los
x es vertical
x es vertical
x
x
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x
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2 2 2
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2 2
2
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intervalo
intervalo
inf
inflexion
f x x f x x x
x
x
f x
x
x
x x f
x f
f x f
f x
en el f x dirige su concavidad hacia la parte negativa del eje oy
en el f x dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje oy
el punto es el punto de lexion de la curva
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3
2 4
4
12
0
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12
0 12 0 0 0 0
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lim lim
lim
lim
lim indeterminada
lim lim
lim lim
lim lim
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
inflexion
asintota
asintota
asintota
minimo maximo
inflexion
limitada
tangente
f x esxiste para x luego
x x e x x x
x
x
x
asi que
y
asi que
f x x x e
x x e
x x e
x x e F I forma
x x e
e
x x
F I aplicando la regla de l Hopital queda asi
e
x
F I aplicando l Hopital
e
y
x x e x x e
se fija en D en los valores excluidos como no hay
f x x x e f x x e x x e x e
f x x e x
x f e
x f e
x f e e
f x f
f x f e
f x x e f x x e x e x x e
f x x x x x
x f
x f
x f e
f x f
f x f e
asi que
Eje x
Eje y
horizontales
B
A
A
B
vertical
Ejercicio
Corte con los ejes
n
Respuesta
D
y
la curva corta el eje x en y
x
la curva corta el eje y en
en eje x sentido
horizontal
el signo positivo significa que la curva esta encima del ox
en eje x sentido
no hay horizontal
no hay vertical
punto es un punto es un
los puntos y son los puntos de
Estudiar y dibujar la funcion f x x x e y halla el area por la curva
de f x el eje ox y las rectas x x
Hallar las ecuaciones de la y la normal a la curva en el punto de abscisa x
2 4 0 2 4 0 2 4 0
0
2
0
0
2 4
2 4
2 4
2 4 0
2 4
2 4
4 4 4
2 4 2
4
2 4 4 4 2 4 2 4
0 2 4 0 2 4 0
2 2 4 4 2 6 81
2 2 4 4 2 2 35
2 2 2 8 4 4 0
0 0 0 4 0
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2 4 4 2 4 2 4 4
0 2 4 4 0 2 2 0
2
2 2 3
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2
2 2 3
1 3 2 73 1 3 1 683
1 3 1 3 1 2 0
0 0 0 4 0
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5
0
0 0 2 0
0
0 0
0
0
2 6 81 2 2 35
0 73 3 86 2 73 1 683
1
2
3
4
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0 6
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x
x
x
x
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x
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x x
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x x x x
x
x x x x
f
x
x x
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x x
x x
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2
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2
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2
2 2
2 2 2
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7
tangente
tangente
tangente
integrando
integrando
limitada
tangente
Ecuacion de la recta en x a es y f a f a x a
asi que la recta en x es
y f f x y como f e f e
Ecuacion de la recta queda de la seguiente manera y x
Ecuacion de la recta Normal en x a es y f a
f a
x a
Remplazando queda de la seguiente forma y x
Area x x e dx por partes
dv e dx v e
u x x du x dx
Area x x e x e dx por partes
dv e dx v e
u x du dx
x x e x e e dx
x x e x e e
x x e e
Area por la curva de f x el eje ox y las rectas x x
Ecuaciones de la y la normal
u
Grafica de la funcion
0
0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 2 0 4 4
4
1
4 0
2 4
2 4 4 4
2 4 4 4
4 4 4
2 4 4 4 4
2 4 4 4 4
2 8 8 72 48 8 8 7 68
0 6
x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x
0
6
0
6
0
6
0
6
0
6
0
6
0
6
2 0 2 0
2
0
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2
0
6
2
0
6
2
2 6 2
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4
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lim lim lim
intervalo
lim lim lim
lim tangente
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
asintota
intervalo
f x existe si y solo si x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x
x
x luego D
x
x x
nos indica que la curva es simetrica respecto del eje ox esto nos permite representar la curva
y x
x
y despues hallar su simetrica respecto de ox es doblando el folio sobre el eje x
x
x
x
x
x x
luego
luego f x no corta el eje y
f x x
x
x
x
luego
f x x
x
x
x
f x x
x
x
x x
x x
x
luego la funcion f x strictamente decreciente en el
f x no esta definida en x
x x
x
x x
x
x x
x x
f f x tiene una vertical en
x
f x
f x
Eje x
Eje y
horizontales
oblicuas
vertical
pendiente de una recta vertical es pendiente de una recta horizontal es
Ejercicio
Simetria
Corte con los ejes
n
Respuesta
y
f x corta el eje x en el punto
x D
no hay porque f x no esta definida cuando x
no hay porque f x no esta definida cuando x
x es la vertical
decreciente en el
La funcion es strictamente
x
Recuerde
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2 0
2 2
0
0 2
0 2 0 2
2 2 0
2 0 0
2
2
0
2
0 2 0 2
2 2
0
2
2 2
2
1 2 2 1
2 0
0 2
2
1
2 2 2
1
2
1
0
1
2 2 0
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0
0
6
0
2 0
0
0
0 2
2
1
2
4
f
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x x x
x x x
x
2
2 2
2 4 3
3
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x x
f x
x x
x x
x x x x
x
x D
x f x
f x f
f x
el punto es el punto de ya que hay cambio de concavidad
convexa concava
1
2 2 2
1
2 3 2
2
1
2 6 4
2
3 2
0
2
3 2
0 3 2 0 3 2 0
2
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3
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3
2
3
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f
2
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3 2 3
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h
h
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h
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7
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2
3 :
4 :
5
dominio
lim lim lim lim
lim
lim lim
lim lim lim asintota
lim lim asintota
asintota asintota
lim
lim
minimo
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
lim
indeterminada
hay que saber que funcion de la forma f x
existe Ssi f x de definicion de g x
asi que x esxiste si y solo si x y D luego
no es simetrica ni respecto al origen de cordenadas ni respecto al eje oy ni impar ni par
por estar definida solo para x
x e imposible que e sea nula
lo que significa que la ecuacion x no tiene solucion asi que f x no corta el eje x
D f x no corta el eje y
se fija en D en los bordes
f x x e e aplicando la formula
x Lnx F I
x Lnx
x
Lnx
F I aplicando L hopital
x
x x luego f x e no hay vertical
f x x no hay horizontal
al no haber la horizontal puede que exista la oblicua
es de la forma y mx n siendo
n f x mx
m x
f x
x
f x
x
x
x no hay oblicua
nos indica que
f x x e e
f x e xLnx e Lnx x
x
e Lnx x Lnx
luego f x x Lnx f x x Lnx Lnx Lnx
e e x e f e e
x e f
f x f
e e
f x
de e f x decrece y de e f x creciente y el punto es el
Eje x
Eje y
vertical
horizontales
oblicua
Ejercicio
Simetria
Corte con los ejes
a
a
n
Respuesta
D
a e siendo a
y
x
a a
la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy
Recuerda
Recuerda
forma
e
e
e e
0
0
0
0 0
0
2 0
2 2 1
2 1
1
2 2 0 0 1
2 2
2
2 2 2 1
2 1 0 2 1 0 1 0 1
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1
1 2 0
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x
g x
x
x Lnx Lnx
x
f
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x Lnx xLnx
x
x
x
x
x Lnx xLnx
xLnx xLnx xLnx x
x x
Lnx e
f
Lna
f x f x
x
x x x x
x
x x
x x x
x x
x
x
x x x
x
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inflexion
inflexion
f x x Lnx f x Lnx x Lnx x x
f x x x Lnx y como x x Lnx
luego f x
no hay punto de
dirige su concavidad hacia el eje oy
Graficadela funcion
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1
2
1
2 1 2 0
1
0 2 1 0
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x x x
x x
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2 2 2 2
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lim lim lim lim
lim lim
lim
lim
Asintotas
asintota
min
Asintotas
asintota
asintota
f x esxiste si y solo si x x x x x
el resultado es verdadero para valor de x asi que
f x f x luego f x no es ni par ni impar
x x
x
x x luego
y luego
f x
x x
x
x x x
x x
x x x
x x
f x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
quiere decir que cuando
saber si f x y es o a cero
f x y
x x
x
sabemos que x x x x
x
x
y como estamos trabajando en
x
x
x
x
luego f x y
f x y
x x
x
sabemos que x x x x
x
x
y como x
x
x
x
x
luego f x y
Eje x
Eje y
horizontales
Ejercicio
Campo de existencia do io de definicion
Simetria
Corte con los ejes
cuando x
cuando x
n
Respuesta
D
y f x corta eje x en
x f x corta eje y en
a a a a si a
a si a
x la horizontal es y
x la horizontal es y
la grafica de f x esta por debajo de y cuando x
la grafica de f x esta por encima de y cuando x
Recordad
x x
x
entre f x y el eje ox comprendida entre x
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1
0 1 0 1
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1
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1
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0
0
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maximo minimo
denominador
Asintotas
Asintotas
intervalos
inflexion
dominio
inflexion.
f x
x x
x
f x
x x
x x x
x x
x
f x
x x
x x
x x
x x
x
x x x x
asi que la funcion f x es creciente en todo y no tiene ni ni
f x
x x x x
f x hallemos antes la derivada del
x x x x x x x x x
x x
x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
f x
x x x x
x x
x x x
x x x x
x
f x x x f
x
f x f
f x f
u x x du x dx
du
x dx
haciendo cambio variable
asi que A
u
du
u du u u
x x u
verticales
horizontales
area comprendida entre f x y el eje ox comprendida entre x
concava
no hay al no haber bordes en de definicion
no hay porque existe la horizontal
convexa punto de
A
x x
x
dx
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1
2 4
2 4 1
2 2 4
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2 4
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2 2 2 2
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asintota asintota
lim lim
lim
lim
limite
lim lim
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
asintota
asintota
asintota
asintota
tangente
limitada
f x existe si y solo si
x
x
x
x
x
x
luego
x
x
x x imposible
y
f x
x
x
x
x
al existir la horizontal no existe la oblicua
averiguar si f x y es o
calculemos f x y
x
x
x
con la ayuda de la tabla hallaremos su signo
x
x
x
x
significa
si x f x y
si x f x y
se fija en D
f x
x
x
x
x
x
x
luego
f x
x
x
f x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
asi que f x
x x x x
la funcion f x es creciente en todo D
y como se ve que la funcion f x no esta definida en x y f calculemos su
f x
x x
Eje x
Eje y
horizontales
Posicion de la curva respecto a la horizontales
vertical
Ejercicio
a estudio de la funcion y su grafica
Corte con los ejes
n
Respuesta
D
y f x no corta el eje x
x es el punto de corte de la funcion con el eje y
y es la horizontal
la curva se encuentra debajo de la y
la curva se encuentra encima de la y
x vertical
la curva tiene una vertical en el punto
sea f una funcion numerica de variable real x definida por f x
x
x
a Estudie la funcion f y haz la grafica de la funcion
b Calcule
x
dx
c Halla el area de la curva por las rectas y x y x
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0
1
0
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inflexion
inflexion
limitada
f x
x x
antes de nada hallemos la derivada de x x
x x
x
x x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
f x
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x
x x D
f
x f
f x f
f x f
x
dx
t
t dt
t
dt
dt t
dt
t Ln t Ln
segun la grafica de arriba la funcion y esta encima de la funcion f x asi que
Area A
x
x
dx
x
x x
dx
x
dx
x
dx
En el apartado anterior
x
dx
Ln luego
Area A Ln
f x
x
es el punto de
cambio de variable
x t
x t
x t dx t dt
b Calcular
x
dx
c area de la curva por las rectas y x y x
u
1
1
1
1
2
1
1 2 1
2
1
2
1
1 1
1
2
1
1 1
2
1 2
2
1 1 3
1
2
1 1 3
2 1
1 1 3
1 1 3 0
1 3 0
1 0 1
9
1
1 9
1
1 9
1
1 3
1
1 3
1
3
2
3
4
2
0 9
1
1 16
1
0
0 4
1
0
1 2 4 0
1 1
2
2 1
2
2 2 1 2 2 1 4 2 2 2 1 2
1
1
1
1
1
1 1
1
2
2
1
1
4 2 2 2 1 2
2 4 2 2 2 1 2 5 86864
0
9
1
9
1
2
4 2
2 2
2
1
1 2 4
4
f
convexa
concava concava
2
2
2
2
2
2
2 2 2
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2
2
2
2
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2
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m
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h
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h
h
o
h
h
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h
h
h
h
k
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27

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2
3
lim lim lim
lim
lim
asintota
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim lim lim
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
asintota
asintota
asintota
lim
lim
x esxiste si y solo si x x hallemos las raices de x x
x x b a c luego x
x x x x x x
ponemos la tabla de signos
x
x
x
x x
luego
Ln x x x x x x x x
x x
x
x
luego
y Ln Ln
luego
f x Ln x x Ln x
Ln x
Ln x
no hay horizontal
f x Ln x x Ln
luego
f x Ln x x Ln
luego
m x
f x
x
Ln x x
F I aplicando l hopital
m x x
x
x x
x
x
x
x
Eje x
Eje y
horizontales
verticales
Ejercicio
Corte con los ejes
n
Respuesta
f
D
y
los puntos de corte con el eje x son y
x
el punto de corte con el eje y es
x es la vertical
x es la vertical
n f x mx
m x
f x
la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje ox
Halla el area comprendida entre f x y el eje ox comprendida entre las abscisas x y x
2 3 1 0 2 3 1 0
2 3 1 0 4 9 4 2 1 1 1
4
3 1
2
1
4
3 1
1
2 3 1 0 2 1 2
1
0 1 2 1 0
2
1
1
1 0
2 1 2
1
1 2 1 0 0
2 3 1 0 2 3 1 1 2 3 0 2 3 0
2 3 0
2
3
0
2 0 3 0 1 1 0
2 3 1
2 3 1 0
2 3 1 0
2 3 1
1
2 3 1
4 3
2 3 1
4 3
2
4
2
4
0
10
2
1
1
0
0 0 2
3
0
0
0 0
2
1
1
1
2 3 1
2
3
4
f
x x
x x
f
x x x
x
x
x x
x x x x
x
x
2 2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
1
2
1
2
1 1
2
2
2
2 2
2
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+ + + +
+ +
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U
U
U
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3
3
3
3
3 3
2
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- + = = - = - = = = -
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- + = - - = - - =
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- - - +
- - + +
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- -
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h k
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5
intervalo intervalo
maximo ni minimo
dominio
intervalos
inflexion
f x Ln x x f x
x x
x
f x x x D
x f
f x f
f x
Entonces f x decrece en el y crece en el
pero como f x en D no tiene ni
f x Ln x x f x
x x
x
f x
x x
x x x
f x
x x
x x
x x
x x
en todo el de definicion
esto nos indica que en el
por partes
resolviendo
dv dx v x
u Ln x x du
x x
x
dx
f x dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
f x dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
A Ln x x dx
A x Ln x x
x x
x x
dx x Ln x x
x x
x
dx
A x Ln x x x
x x
x x
dx
A x Ln x x x Ln x x
x x
x
dx
A x Ln x x x
x
dx
A x Ln x x x Ln x u
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2 3 1
4 3
0 4 3 0 4
3
2
1
4
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1 0 0
0 2 0
2
1
1
0
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2 3 1
4 3
2 3 1
4 2 3 1 4 3
2 3 1
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2 3 1
4 2 3 1 1
0
1
2
1
2 3 1
2 3 1
4 3
2 3 1
2 3 1
2 3 1
4 3
2 3 1 2
2 3 1
3 2
2 3 1 2
2 3 1
4 3 1
2 3 1 2 2 3 1
1 2 1
1
1 2 3 1 2 2
1
2 1
2
1 2 3 1 2 2
1
2 1 4 76
4
5
f
f
es en D
2
4 4
4
4
4
4
2
2
2
2 2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2 2
4
2
4
2 2
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2
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2
3
2
3
2
3
2
3
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3
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2
3
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3
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cos cos cos
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cos
lim lim cos
lim lim
cos
lim lim cos
cos cos cos
intervalo
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
cos cos
lim
cos
asintota
cos
asintota
cos
tangente
f x existe si y solo si senx asi que senx senx sen
senx sen
x k
x k
x k
x k
k
luego f x existe en todo
senx
x
x x
x k
x k
k
las posibles soluciones dentro de D son x D x D x D
asi que el punto
f sen que el punto punto de corte entre eje y e f x
no hay porque x no esta definido para o bien porque D
no hay por la misma razon que la anterior
f x senx
x
f x x
senx para ver de donde sale
entonces
f x senx
x
f x x
senx para ver de donde sale
entonces
f x senx
x
f x
senx
senx senx x x
senx
senx
senx
y como en D senx f x f x es en todo el
Eje x
Eje y
horizontales
oblicuas
vertical
Ejercicio
a
b
c
a Campo de existencia de definicion
Corte con los ejes
n
Respuesta
a b a b k
a b k
siendo k
y
es el punto de corte entre eje x y f x
x
f x b significa que cuando x se acerca a a la y se acrca a b
x
x es una vertical
x
x es una vertical
Recuerda
Recuerda
ver grafica de
ver grafica de
Sea f tal que f x senx
x
estudiar la funcion y representar la grafica
ecuacion de la recta y la normal en el punto de abscisa x
area comprendida entre la funcion el eje x y las rectas x y x
1 0 1 0 1 2
2
2 2
2 2
2
3
2 2 2
3
2 2 2 2
3
2 2
3
1 0 0 2
2 2
2 2
2 2
3
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x x
x x
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inflexion
tangente
inflexion
tangente
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f x
senx
f x
senx
x
f x x x
x k
x k
x k siendo k
las soluciones posibles son D D D
x
f x
f x
concava
b Ecuacion de la recta en el punto de abscisa x
b Ecuacion de la recta normal en el punto de abscisa x
c Area comprendida entre la funcion el eje x y las rectas x y x
la unica solucion D es
convexa es punto de
Ecuacion de la recta en x es de la forma R y f f x
y como f f asi que R y x
Ecuacion de la recta Normal en x es de la forma S y f
f
x
y como f f asi que S y x
sea A area f x dx senx
x
dx Ln senx Ln u
1
1
1
0 0 2
2 2
2 2
2
2 2 2
3
2 2 2
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cos cos cos
lim lim cos
cos
lim cos
cos
lim
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cos
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cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos
cos cos
cos cos
lim lim cos
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
cos cos
cos
cos
cos
cos
x x x k
x k
x k siendo k
x
x
x
x
x
x
x
x
sen x
x
asi que el
f x
x
x
x
x
f x f x es par asi que basta con hacer
un estudio en el una funcion par es simetrica con respecto al eje y
x
x
x x x k
x k
x k con k los valores posibles en el D son y
luego los puntos de
f x x
x
x
x
luego por ser f x par f x
f x x
x
x
x
f x x
x
x
senx x x senx
f x x
x
x
senx
x
x
x
sen x
x
x
x
x x
con x f x
x x f es decreciente
f x x
luego la funcion f es derivable a la izquierda de f
x x
f x f x
f x f x
Eje x
Eje y
horizontales
oblicuas
verticales
Ejercicio
Simetria
Corte con los ejes
n
Respuesta
D x x y x y x
x
D
y
corte con el eje x son y
x D f x no corta el eje y
no hay porque D
no hay porque D
x
se fija en D en los bordes ver imagen
Recordad
Sea f tal que f x x
x
Estudiar y graficar la funcion
1 0 1 0 0 2
0 2
2
1
1
0 1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0 1 0 1 2
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2 1
1
1
1
1
0
2
1
1
1
1
2
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1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
0
1
1
2
1
2
1
0 0
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1 0 1
1
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0
0 0
0
1 1
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f
f
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x x x
x
x x
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asintota
lim lim lim
lim lim
lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
Asintotas
Asintotas
Asintotas
asintota
dominio
Asintotas
lim lim
asintota
lim
lim
asintota
asintota
asintota
o
f x esxiste si y s lo si x x para ello vamos a estudiar su signo
x x x x x
x
x
x
x x
luego
x x x x x o bien x
asi que
f luego
f x x x x no hay horizontal
se fija en D bordes excluidos como no hay no hay vertical
m x
f x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x
n x x x x x x
x x x
x x x
x x
x
n x x x x x x
x x x
x x x
x x
x
asi que en
f x y x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
Eje x
Eje y
horizontales
vertical
Posicion de la curva respecto a la oblicua
OX positivo
Ejercicio
Corte con los ejes
n
Respuesta
D
y
la curva corta el eje x en los puntos y
x la curva corta el eje y en el punto
f x f x
n f x mx
m x
f x
OX negativo la oblicua es y x
OX positivo la oblicua es y x
la curva se encuentra por debajo de la oblicua en ox x
Estudiar y dibujar la funcion f x x x
Recuerda
2 0
2 0 2 0 2
0
0 2
0 2
2 2 0
2 0 0
2 0 2 0 0 2
0 0
2
2 1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2 2
2
2
1
2
1
2
1
2 2
2
2
1
2
1
2
1
2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1
2
1
1
2 1
1
2
1
1
1
1
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0 0 2 0
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1
2
1
2
3
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x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x a x a
x
x
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2
2
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2
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2
2
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2 2 2 2
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3 3
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3 3 3
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- -
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+ + +
- - -
+ + +
+ + +
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i
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k
k
k
kk
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lim lim
lim lim
lim lim
lim
lim lim lim
tangente
lim lim lim
tangente
maximo ni minimo
asintota
intervalos
f x y x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
f x y
f x x x f x
x x
x
x x
x
como se ve f x no esta definida en x y en x
f x
x x
x
x x
x
f
luego el punto la curva tiene una recta vertical
f x
x x
x
x x
x
f
luego el punto la curva tiene una recta vertical
f x
x x
x
x x D luego f x no se anula en D
x
f x f
f x f
la funcion f no tiene ni
OX negativo
la curva se encuentra por debajo de la oblicua en ox
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1
2
1
1
2 1
1
2
1
1
1 1
0
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2
2 2
2 2
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1
2
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2 0
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0 2
1 0
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x x
x x
x x
x
x x x
x x x
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3 3
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35

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3
6
dominios
lim lim
lim indeterminada
lim
lim lim lim lim
asintota
asintota
lim lim lim
Asintotas
asintota
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
inflexion
asintota
maximo minimo
recinto
f x esxiste siempre ya que las funciones x y e sus es luego
f x x e x e f x luego f x no es ni par ni impar
x e x x asi que
y e luego
f x x e
x e F I forma
x e
x e
e
x
e
x
e
asi que para el eje x negativo la curva tiene una horizontal y
x e x e verdadero luego
se fija en D
en el eje x negativo no hay oblicua porque hay horizontal asi que queda por ver
si la hay en la parte del eje x positivo
m x
f x
x
x e
xe
f x x e f x xe x e e x x
f x x x x x x o bien x
f e
f e
f e
f x e x x f x e x x e x e x x
f x x x b a c
x x
Eje x
Eje y
horizontales
vertical
Ejercicio
Simetria
Corte con los ejes
decreciente
n
Respuesta
D
y la curva corta el eje x en
x la curva corta el eje y en
la curva se encuentra por encima de la
no hay
la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy positivo
x
f x
f x
e
creciente creciente
e
Estudiar y dibujar la funcion f x x e
Calcula el Area del comprendido entre la grafica de f y la recta y e x
0 0 0
0 0
0
2 2
0
0
0 0
2 2
0 2 0 2 0 2
3 3 0
1 0
1 3 0
2 2 2 2 4 2
0 4 2 0 4 16 4 1 2 8 2 2
2
4 2 2
2 2 2
4 2 2
2 2
1
0 0 0
0 0 0
2 0
0 0
4
0
2
4
0 0
1
2
4
5
R R
x
x
x x
x
x
x
x
x
hopital
x
hopital
x
x x
f
x
x
x x x x
x x x x
f
x
x x
x
x
x x x x
x x x
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1
1
1 2
2
2 2
2 2
2 0
2
2
2
2
2 2
2
2 2 2
2
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2 2
2
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- - - -
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m
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h
h
k
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h
m
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36

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interseccion
recinto
inflexion
limites inferior y superior
x f
f x f
f x f
lo es hallar la de las dos funciones
x e e x x xe e
xe e
x
e x x e dx
e
x x e dx
A
e
x x e dx
dv e dx v e
u x du x dx
A
e
x x e x e dx
dv e dx v e
u x du dx
A
e
x x e xe e dx
e
x x e xe e
e
Area del comprendido entre la grafica de f y la recta y ex
concava
b
convexa convexa
los puntos de son e y e
x
x
son los
A funcion arriba funcion de abajo dx
u
2 2 2 2 4 2 0
0 0 1 1 0
0 38 0 191 0 2 0
1
0
0
2
2
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 6 4 2 2 2 6 4 2
1
0
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x x x x x
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b
0
1
0
1
0
1
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1
2 2 2 2
2
2
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1
2 2
0
1
2 2
0
1 2
2 2
0
1
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- =-
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- = -
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- - - +
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m m
m
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B
B B
B
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37

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4
lim lim lim lim
lim lim
lim lim lim
dominio
ln
ln ln
lim lim asintota
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
ln
dominio
asintota
tangente
f x x Lnx F I x Lnx
x
Lnx
F I
x
Lnx
x
x x f f es continua en x
luego la funcion
f x x Lnx f x Lnx x
x
Lnx si x
calculemos la derivabilidad en x
x
f x f
x
x Lnx
Lnx f no es derivable en x
ya esta dado el
x Lnx
Lnx
x imposible ya que
x x
y como sabemos tambien que f x es otra solucion
luego
f x x Lnx no hay horizontal
x
f x
x
x Lnx
Lnx no hay oblicua
y que
f x x Lnx f x Lnx x
x
Lnx siendo x
f x Lnx Lnx x e y f e e Ln e e
x e
f x
f x e
a
Eje x
Eje y
horizontales
oblicuas
verticales
Ejercicio
a
b
c
d
Continuidad
Derivabilidad
b Estudio de la funcion y construir la frafica de f
Corte con los ejes
decreciente
n
Respuesta
x x es continua en
f es continua en todo el
luego f es derivable en
y
los puntos de corte entre la curva y el x son y
x y f corte entre la curva y el eje y es
la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje y
como la funcion esta definida en asi que no hay vertical
creciente e e Minimo
f f x
f si x
xLnx si x
estudiar la funcion y construir la frafica de f
ecuacion de la recta en x
area comprendida entre el eje de las abscisas y la funcion f
0 1
1 1
1
0 0 0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
1 1
0 0 0
1 0
0 1 0 1
0
0
0
15
0
0
0
0
0 0 1 0
0 0 0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
1
0
1
2
3
R
aplicando L Hopital
f
x x x x
x x
x x x
x x
x x x
1
1 1 1 1 1
1
1 1
2
0 0 0 0
0 0
0 0 0
(
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tangente
interseccion
limite inferior es 0 y el superior
integral lim
lim lim lim
lim lim lim lim
tangente
tangente
f x Lnx f Ln f x x Lnx f Ln
r y x ecuacion de la recta en x
para ello lo es sacar puntos de entre el eje de las abscisas y y la f
si x f x x Lnx Lnx x
si x f x
luego es
Area A funcion arriba funcion de abajo fijandonos en la grafica se concluye que
Area A xLnx dx xLnx dx pero resulta que la funcion g x x Lnx
no esta definida en que la es impropia luego A xLnx dx
I x Lnx dx resolviendo por partes
dv x dx v x
u Lnx du x dx
I x Lnx x dx x Lnx x asi que
Area x Lnx x a Lna a a Lna a
Area a Lna
a
Lna
a
a a
Area
c ecuacion de la recta en x
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la funcion f
la ecuacion de una recta en x a es de la forma r y f a f a x a
u
1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1
0
0 0 0 0 1
0 0 0 0
1
0
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3 :
asintotas
lim lim
lim lim
asintotas
asintotas
Asintotas
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalo
cos cos
intervalo lo
asintotas
asintotas
o
f x esxiste si y s lo si senx x k k siendo k
luego
f x Ln sen x Ln senx f x luego la funcion es periodica de periodo
asi que es mas que suficiente ya que f es periodica
Ln senx senx sen
x k
x k
k
asi que
En no aparece el no hay horizontales
f x Ln senx Ln
f x Ln senx Ln
luego
conclusion x k y x k k son las verticales en D
En no aparece el no hay oblicuas
Eje x
Eje y
horizontales
vertical
Ejercicio
Simetria Periocidad
Corte con los ejes
n
Respuesta
D x x k k con k
reducir el de trabajo a
sena senb a b k
a b k
siendo k
a b a b k
a b k
siendo k
y
la funcion corta el eje x en x x x x
como estamos trabajando en este corta en
x la funcion no corta el eje y
x y x son verticales en
en general las verticales son de la forma x k con k
Estudiar y dibujar la funcion f x Ln senx
ver figura de abajo
recordad
ver imag
ver imag
0 0 2 2
2 2 2
0 1 2
2 2
2 2
0
0
0
0
2 2 2 1
0
1
0 2 2
0
2
2
2
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2
3
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5
2
9
0 2
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1
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5
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cos
cot
cos
cos cos
intervalos
int
cos cos
intervalo
intervalos
inflexion
f x Ln senx f x senx x senx
x x
f x senx
x
x
x k
x k
siendo k
aqui la solucion va dando saltos de rad
x
f x
f x
luego la funcion crece en en D crece en los k k k
luego la funcion decrece en en D decrece en los ervalos k k k
f x senx
x
f x
sen x
sen x x
sen x
haremos la grafica en el y despues la de la de etc
siempre guiandonos por el D
f es concava
asi que la solucion es x en y en el D x k con k
ver imag
1
0 0 0 2
2 2
2 2
0 2
0
0
0 2 2 2 2
2 2 2 2
1
0
1 0 2 3 2
2 0 2
4
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Z
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f
f
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r r r r r
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B
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41

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3
4
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cos
cos
cos
cos
dominio
cos
cos
cos cos
cos cos cos
saltando
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
lim lim cos
cos
lim lim cos
cos
cos cos cos cos cos
cos cos
cos
cos
f x existe si y solo si x x x k
x k
x k k
luego
f x
x
x sen x
x
x sen x
f x
asi que la funcion f es periodica de periodo luego es suficiente hacer el estudio sobre
y como se ve en el de definicion k D asi que
x
x sen x
x sen x x sen x sen x
x x
x k
x k
x k con k
como se ve la solucion va de en x k con k
pero como estamos trabajando en asi que la solucion es
no hay ya que no aparece en
se fija en en los bordes
Eje x
Eje y
horizontales y oblicuas
vertical
Ejercicio
Simetria Periocidad
Corte con los ejes
n
Respuesta
D x x k siendo k
el estudio sera sobre
y
x
x no corta el eje y
f x x
x sen x
f x x
x sen x
sen x senx x x x sen x x sen x senx x
sena senb a b k
a b k
k a b a b k
a b k
k
x sen x
vea las imagenes
ver Imag
Recordad
1 0 1 0 0 2
0 2
2
2
1 2
2 4 2
1
2
2 0 2
2
1
2
0 2 0 0
0 0 2
2 2
2 2
2
2
0 2
0 2
0 2
1
2
0 2
0
2
3
2
0 0 2
1
2
0
1
1
2
0
1
2 2 2 1 1 1 1 1
2
2
2
2
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2
1
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Z
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f
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x x
x x
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cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos
cos
cos cos
coseno
minimo maximo
puntos minimos puntos maximos
f x x
x sen x
f x
x
sen x senx x x x sen x senx
f x
x
senx x senx x x senx
x
senx x senx x
f x
x
senx x x
el signo de f x depende del signo senx x
f x x imposible
senx x
senx x x
senx sen
x
x k
x k
x k
senx sen x k
x k
x k
siendo k
asi que las soluciones en son f x
x
senx x x
f f f con los signos de seno y se hace la tabla
x
f x
f x
punto punto en
En general k k en D
1
2
1
2 2 2 1 2
1
2 2
1
2
1
2
0 2 0
0
0 0 2
0 0
2
2 2
2 2
2
0 2
2
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3
1
2
2 0 2
1
2
3
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2 0 2
1
0 2
2 2 0 2 2
1
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positivo
negativo
positivo
negativo
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k
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4
6 7 8
444444 444444
6 7 8
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4 44444444
4
1 2 3
44444
4 44444
4
1 2 3
44444
4 44444
4
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2
3
lim lim
lim lim
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
asintotas
f x existe si y solo si x x x x x y x
luego
asi que averiguemos esa funcion pero antes averiguemos el signo de x x x x
x
x
x
x x
se estudia por separado f y f
f x Ln x x x x x x
x
Df
Df
f x Ln x x x x x x
x
Df
Df
f x x x x x x
no hay horizontal
se fija en D
Ln x x Ln x x Ln Ln
Ln x x Ln x x Ln Ln
de la seguiente pagina para ver sentido de la curva respecto
a las
Df
Df
f x Ln x x Df
Eje x
Eje y
f x Ln x x Df
Eje x
Eje y
f x Ln x x Df
horizontales
verticales
Ejercicio
Corte con los ejes
n
Respuesta
D todas las funciones de valor absoluto son en realidad funciones a trozos
por ultimo f x
f x Ln x x si x
f x Ln x x si x
y
los puntos de corte con eje x son y
x Df no corta el eje y
y
los puntos de corte con eje x son y
x f Ln luego punto de corte con el eje y es Ln
verticales x y x
vea la imagen
3 2 0 1 3 2 0 1 3
2
3 2 1 3 2
3
2
1
1 0
3 2 0
3 2 1 0 0
0 3 2 1 0 3 2 1 3 3 0
6
1 37
0 85
6
1 37
1 18
0 3 2 1 0 3 2 1 3 1 0
6
1 13
0 76
6
1 13
0 434
3 2 3
1 2
3 2 3 2 1 0 3
2
1 0
3 2 3 2 1 5 0 0
3 2 1 3
2
1
3 2 1 3
2
1
3 2 1 3
2
1
1
1 3
2
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2
1
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2
1
0
6
1 37
0 6
1 37
0
0
0
6
1 13
0 6
1 13
0
0 0 2 0 693 0 2
1 3
2
3 2
1
R
f
f
x x x
x x
x x
1 2
1
1
1
2
2
2
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1 1
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1 1
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1
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2
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2
1 1
1
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lim lim
lim lim
asintotas
intervalo
Asintotas
Asintotas
intervalos
sin
se fija en D
Ln x x Ln x x Ln Ln
Ln x x Ln x x Ln Ln
de abajo para ver sentido de la curva respecto a las verticales
f x Ln x x f x
x x
x
f x
x x
x
x x D
En el x x
estudiemos el signo de x
x si x f x f creciente
x si x f x f decreciente
f x Ln x x Df
horizontales
verticales
f x Ln x x Df
no hay a tota horizontal por no existir en Df
ver imagen
3 2 3 2 1 0 3
2
1 0
3 2 3 2 1 5 0 0
3 2
3 2
6 1
3 2
6 1
0 6 1 0 6
1
3
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1 3 2 0
6 1
6 1 0 1 0
6 1 0 3
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3 2 1 3
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4
f
f
x x
x x
1 1
1 1
2
1 2
1 1
1
2 2
1 1
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,
UU
UU
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3
3 3
3
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3 3
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2 2
1 1
b
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-
- = =-
- + + = - + - = - = =-
= - - =
- -
-
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- -
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45

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intervalo
f x Ln x x f x
x x
x
f x
x x
x
x x D
En el x x estudiemos el signo de x
x
x
f x
f x Ln x x Df
3 2
3 2
6 1
3 2
6 1
0 6 1 0 6
1
3
2
1 3 2 0 6 1
3
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unicos
lim lim lim lim
lim lim
lim lim lim lim lim
lim lim
lim lim lim lim
lim lim
la funcion f esta formada por polinomios
luego los puntos de posible discontinuidad son los bordes laterales
f x x x f x cx d c d
como la funcion es continua f x f x c d
f x x x x x f x ax b a b
como la funcion es continua f x f x a b
f x cx d c d f x ax b a b
como f es continua f x f x f
En resumen para que f sea continua en
d
c
b
a
f x
x si x
x si x
x x si x
f x
x si x
x si x
x x si x
f x
si x
si x
x x
x
si x
f x x x f x ax b
a b
a b
derivabilidad para los valores hallados
n
Respuesta
Ejercicio
a
b
a
Sea la funcion f x
f
cx d si x
ax b si x
x x si x
halla los valores de a b c y d para que f sea continua en
es derivable para los valores hallados
estudia la funcion con los valores hallados
hallar los valores de a b c y d para que f sea continua en
f x x x f x cx d
d c
d c
f x cx d f x ax b
c d a b
c d
a b
2 0 2
2 0
2 1 2 0
0
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1
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1
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1
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1 2
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1
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1 2 2
1
1 2
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1
2 2
2 1
2 1
1 2 1 2 1 2
1
1
19
2
1
2
3
2 2
1
2
1
1
2 2 1
2 2 1 2 2 2 2
1
2
2
2
1
2 2
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2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
R
R
R
x x x x
x x
x x x x x
x x
x x x x
x x
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1
1 1
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d
d ,
U d , U d
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3 3 3 3
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3 3
3 3
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h h
h
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dominio dominio
lim lim lim
lim lim
limite
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
intervalos
f es derivable en todo el solo falta averiguar si lo es en los laterales del
x
f x f
x
x x
x
x x
en x y x x x x x asi que
x
x x
x
x
no es derivable en
pero aun asi calculemos en
x
f x f
x
x
aunque llegara a ser no seria derivable
x
f x f
x
x x
x
x x
en x y x x x x x asi que
x
x x
x
x x
x
x
asi que ya podemos decir que f no es derivable en
f
x
f x f
x
x
x
x
f
x
f x f
x
x
x
x
como f f f no es derivable en x
se estudia por separado por
x x x x x x x
luego
x x
x x
f x
f x x si x
f x x si x
f x x x si x
y
y son los puntos de corte entre la curva y el eje x
x f no corta el eje y
y punto de corte entre f y el eje x
x f punto de corte entre f y el eje y
y punto de corte entre f y el eje x
x f no corta el eje y
f x x x
f x x
f x x x
f x x
f x x
b estudio la funcion con los valores hallados
en f x f x x x
eje x
eje y
en f x f x x
eje x
eje y
en f x f x x
eje x
eje y
corte con los ejes
1
1
1
2 0
1
1 2
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1
1 2
1
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2 0 2
2 2 2
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1
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0 1 0
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0 2 0
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2
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1
x x x
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x x x
x x
x x x
x x x
x x x
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3
intervalos
lim lim lim
lim
lim asintota
asintota
lim lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
Asintota
Asintota
Asintotas
minimo
se estudia por separado por
f x x x x x x x
x
horizontal
no hay
no hay horizontal por no existir
f x f x x x x x
f x f x x
no hay vertical
f x f x x x x x
f x f x x
no hay vertical
f x f x x
f x f x x
no hay vertical
f x
x x
x
x x
como x x en el signo de f x depende del signo de x
decreciente creciente
creciente decreciente
Horizontal
en f x f x x x
en y en
Vertical
f x
x si x f x
x si x f x
x x si x f x
x x
x
En conclusion f x en f f x en f
f x en f f x en f
Maximo crecimiento decrecimiento
2 1
1 2
2 1 2 0
2 0
2 1 2 0
1 0
1 2
3
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3
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2 1
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x x x
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2
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6 6
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6
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49

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intervalo
lim
lim lim lim lim
lim
lim lim lim
cos
lim
asintota
cos
cos
cos cos
Asintotas
Asintotas
dominio
Asintotas
intervalos
lim cos estan acotados cos
asintota
f x existe si y solo si x luego
f x
x
sen x
x
sen x
x
senx
f x f es par asi que vamos a hacer
un estudio sobre el ya que f es simetrica respecto al eje de ordenadas
x
senx
senx sen
x
senx
utilizando el metodo de la guardia civil
sabemos que senx y x luego x x
senx
x
x x
senx
x x x
senx
x x
senx
luego podemos confirmar que x
senx
se fija en D ya que f es par nos fijaremos en
x
senx
F I aplicando L Hopital x
senx x
y como f es par podemos concluir que x
senx
por ultimo f no tiene vertical en x
f x x
senx
f x
x
x x senx
f x
x
x x senx
x x senx x x
senx
tan x
Eje x
Eje y
horizontales
vertical
Ejercicio
Simetria
Corte con los ejes
n
Respuesta
D
y x k siendo k
x D la curva no corta el eje y
no existe de senx y x pero si que x
senx
y es la horizontal
Recordad
senx
0
0 0 0
1 1 0
1 1
1 1 1 1
0 0
0
0
0
0
1 1
1
0
0 0 0
20
0
0
0
1 1
1 1
0
1
2
3
4
5
R
Z
*
*
f
f
f
x
x x x x
x
x x x
x
x
2
2
0 0 0
0
(
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( (
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U
U
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3
3
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# #
# #
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"
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3 3 3 3
3
3
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+ + + +
+
+ + +
-
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c
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h
h
h
h
h
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6
6
6
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50

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. . .
. . .
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( )
interseccion
infinitas
int
intervalo
tan
para resolver la ecuacion
es haciendo la grafica de las dos funciones g x x y h x tan x
la solucion son los puntos de de las curvas de las funciones g y h
viendo las graficas de h y g se ve que tienen soluciones pero siempre
seguiendo una pauta en hay una solucion en hay una solucion
en hay una solucion en hay una solucion asi sucesevamente hasta el
se observa que siempre tenemos un ervalo de longitud lo que nos indica que siempre hay
una soluciono de la ecuacion en el k k siendo k
x tan x
x
f x
f x
vea las graficas de la gente y la recta x
2 2 2 2
3
2
3
2
5
2
5
2
7
2 2
0 2
3
2
5
2
7
0 0 0
Z*
3 3
4 4
d
3
r r r r
r r r r
r
r
r
r
r
r
b
r
c
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c
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-
+ +
=
- - -
+ +
- -
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l l
l
l l
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l l
l
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^
a a
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a
h h g
h
k
g
k k
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8
:
8
:
D
B
D
D
B
51

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,
:
,
,
,
asintota
asintota
dominio
Asintotas
asintota
asintota
asintota
asintota
tangente
la funcion f existe si y solo si x x x x x x x o bien x
x
x
x
x x
asi que x x x
f x y luego
x x x x x x x luego
f x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
x
como f x que la recta cuando x
f x
x x x x x x
f x x x no tiene horizontal cuando x
asi que veamos si tiene oblicua cuando x tiende a
es de la forma
m x
f x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x
m Ahora toca calcular n f x mx
n f x x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
luego la recta
Ejercicio
Corte con los ejes
x x porque x
x x porque x
corte eje y
corte eje x
horizontal
x x x
oblicua
n
Respuesta
x C corta eje oy en el punto
y C corta eje ox en
y es la horizontal
y mx n con m x
f x
y n f x mx
y x es la oblicua
Estudia la funcion f x x x x
Halla la recta en x y x
0 1 0 1 0 0 1
0 1
0 1
1 1 0
1 0 0
1 0 0 1
0
0
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
2
2
1
1
1
1
1 1 1
1
1
2
1
2
1
21
0 0 0
0 0 0
2
1
2 2
1
1
2
3
0 1
x
f
f
x x x
x x x x
x
x
x x x x
x
x x x x
x x
x x x
x x x
x x
2
2 2 2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
lim lim lim
lim lim lim lim
lim
lim
lim lim lim lim
lim
lim lim lim lim
lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim
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,
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+ & +
+
(
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+
$
$
&
&
$
$
U
U
U
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3 3
3
3 3
3
3
3
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- + +
- - - - +
- + - +
- - +
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- -
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+ -
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= - = - - - = - - -
- + -
- + -
- + -
- +
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$
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$ $ $
$ $
.
.
3 3 3
3 3 3 3
3
3
3 3 3 3
3
3 3 3 3
3 3
3 3 3
3 3 3
3 3
-
=-
+ + +
+ + + +
+
+
- - - -
-
- - - -
- -
- - -
- - -
c
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l
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g
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g
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g
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g
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6
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6
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6
6
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H
H
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A
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U
52

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4
asintota
asintota
asintota
tangente
tangente
intervalos
f x y x x x x x x x x x x
x x x x absurdo oblicua y x no corta la curva
hallemos su posicion respecto a C para eso calculemos f x y
x x x x x x x x x x
en el apartado anterior cuando hallemos el valor de n aparece x x x
f x y x x x luego f x y f x y
esto implica que la curva
la funcion x x y x x x son continuas sobre D
y como la funcion es continua en entonces la funcion x x x
composicion de dos funciones continuas es continua sobre D por seguiente
la funcion x x x x es continua sobre D
la funcion x x es derivable sobre D y la funcion x x x es derivable sobre D
como la funcion es derivable en y como x x x es positiva o nula en D
luego x x x es derivable en D menos los ceros de la funcion es decir que la
funcion es derivable en
f x x x x f x
x x
x
f x
x x
x
x x x x x x x
es absurdo esto nos indica que la funcion f x
x f
f f
f
x
f x f
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x
f x f
x
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
Puntos de corte entre la oblicua y la funcion y su posicion respecto a la curva
C esta por encima de la oblicua y x
C admite en el punto de abscisa x una media paralela al eje OY
luego C admite en el punto de abscisa x una media paralela al eje OY
Continuidad y Derivabilidad
Tangente en x y x
2 2
1
2
1
2
1
4
1
0 4
1
2 2
1
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0 0
0
0 1
1
2
2 1
0
2
2 1
1 2 1 2 4 4 1 4 4 1 0
1 0 0
0 1 1 1
1 1
2 1
1
2
3
0
2 1
4 2
4 1
1
2
2
1 2 0
0 1
0
0 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
0
1
2 2
1
0
1
0 1
R
f
f
f
f
f f
f
f
f
f
f
x
x
x x x
x
x x
x x x x
x
x x x
x x
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
0 0 0 0
0
1 1 1
1 1
lim
lim lim lim
lim
lim lim
lim lim lim lim
lim
lim lim lim
lim lim
+ + & +
+ + &
,
7 7
7
7
7 7
7
7
&
+ + & +
3 4
,
U
5
U
6
U
3
3 3
3 3
3
3
2 2
2
1
!
= - - = - - - = - - - = -
- = - + = = -
- =
= - - - + = - - - + = - - - +
- - - = -
- = - - - + = - + = -
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-
- -
-
+ -
-
- +
= - - = -
-
-
=
-
-
= - = - - + = - =
=
- + - = -
+
- -
= +
= -
-
-
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-
-
=
- -
=
- -
=
+ -
=
= + - =+
-
-
= -
- - -
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- - -
=
= -
- -
-
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= -
=
=
= =
-
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"
" " "
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3
3 3 3
3
3 3
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=-
-
- - -
-
- -
- - - -
-
+ + +
+ +
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l l
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g
g
g
g
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g
g
g
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g
g
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g
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A
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53

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2
3
4
5
6
dominio
asintota
asintota
asintota
asintota
asintota
asintota
asintota
dominio
asintotas
intervalos
f x existe si y solo si x x asi que D
f x
x
x
x
x
f x que f no es simetrica
y x
x
x asi que es el punto de corte entre C y el eje ox
x y asi que es el punto de corte entre C y el eje oy
f x
x
x
x
x
f x y x
x
x
x
x
f x
x
x
y f x
x
x
asi que
no existe ya que existe la horizontal
f x
x
x
f x
x
x x
x
x
f la funcion f x es creciente
f en todo el de definicion D
f x
x
x
f x
x
f x
x
x
x
x
x
x
f
f
C dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
C dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
n
Respuesta
y es la horizontal
cuando x C esta debajo de la y
cuando x C esta encima de la y
x es una vertical
concava
eje x
eje y
horizontal
Posicion de la A H respecto a C
vertical
oblicua
Ejercicio
Simetria
Corte con los ejes
Maximos Minimos y de crecimientos
Concavidad
convexa
Estudiar y representar la funcion f x
x
x
2 0 2 2 2 2
2
3
2
3
0 2
3
0 0 0 0
0 2 0
3 0
0 0 0
2
3 3
3
2
3 3
2
6
2
6 6
0 0
2
6 6
0 0
2
3
0
6
2
3
0
6
2
3
2
3 2 3 1
2
6
0
2
2
3
2
6
2
6 2 2 1
2
12 2
2
12
2
2
3
3
3
2
2
3
1
R
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x x x
x
x
x x x x
2 2
2 4 4 3
2 2 2 2
lim lim lim
lim
lim
lim lim lim lim
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& + +
& +
&
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5
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3 3
3 3
3 3
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1
2
2
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- =
- -
-
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- = - - - = -
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+ =-
- =-
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-
-
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"
$ $ $ $
3 3 3
3
3
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-
+
+
-
- - + +
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m
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55

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2
3
4
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arccos arccos
arccos cosarccos cos
arccos cos cos
arccos
arccos arccos arccos
arccos arccos
arccos arccos
arccos
arccos
arccos
intervalo
arccos
dominio
intervalos
arccos
f x existe Ssi f x x x x x
asi que D
f x x x f x asi que la funcion f es par luego podemos
restringir el estudio de la funcion sobre el conjunto
x x x x
asi que el punto
y y y
asi que el punto
f x x f x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
f x existe si y solo si
x
x
x x ya que x
luego x f x
x
x
f x f
x
x
x
x
F I
aplicando l hopital
x
x
f x f
x
x
x
x
F I
aplicando l hopital
x
f x x y f x
x
x
f x f
f x f
la funcion f es en el y como f es par f es en
n
Respuesta
y
es el punto de corte entre C y el eje ox
x
es el punto de corte entre C y el eje oy
y f x y
f x
f x
Ejercicio
Periocidad
Corte con los ejes
Maximo Minimo e de crecimientos
sea la funcion f de variable real x definida por
f x x
Eje x
Eje y
Derivabilidad de f a la derecha de
Derivabilidad de f a la izquierda de
1 1 1 1 1 2 0 0 2 2 2
2 2
1 1
0 2
1 0 1 0 1 1 0
1 1 0 0
1
1 1
2
1 1 2
2
2
2
2
2
2
0
0 2
0 2
2
2
0
0 1 1 0 1
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1
2
1
0
1
0
0
2
2
0
2
1
2
2
0 2
0 1 0
0 2 1 2
0 2 2 0
3
0
0 0
0
0 0
1
1
1
0
2
f
f
f
x x x
x
x x
x
x
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2 4 4 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
0 0 0
0
2 2
2
2
lim lim lim
lim
lim lim
lim
lim
+ + + +
+ + + +
+ + +
(
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3 3
3
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5
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U
U
6
3
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g
g
g
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g
g
g
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j
j
j
j
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6
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6
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(
57

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arccos
intervalo
f x x f x
x
f x
x
x
en
x
f x por ser una funcion par asi que f es en
f x el
La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje de ordenadas
Concavidad
Concava
1
2
2
2
2
0 0 2
0 2
2 0
5
2
2 2 3
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3
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ln ln
asintota
ln
asintota
asintota
dominio
Asintotas
superficie
limitado
Asintota
Asintota
Asintota
f x existe Ssi x x luego D
y D no hay punto de corte entre C y el eje oy
x Ln x x x x x
e x
la solucion a son x o bien x y como las dos soluciones al D
podemos asegurar que no hay punto de corte entre C curva de f y el eje ox
f x x Ln x x
x
Ln x
x
Ln x
F I L Hopital
x
x
x x x
x
no hay horizontal
f x x Ln x
x
f x
x x
Ln x
x
Ln x
x que no tiene oblicua
y que la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy
n
Respuesta
x
y
x es la vertical
Ejercicio
tened mucho cuidado
Corte con los ejes
A
A
B
B
c
c
Sea la funcion f de variable real x definida por f x x Ln x
Estudia la funcion
calcula la de la parte del plano
por la curva C eje de las abscisas y las rectas x y x
Observacion
vea las graficas de las funciones e y x
x
x
nunca nunca se debe hacer calculos ni simplificar la funcion y despues hallar D
imaginaros si llegaramos a hacerlo en este ejercicio fijaros cual seria el D
f x x Ln x x Ln x llamamosla g x x Ln x
asi que g x existe Ssi x x luego D
por conseguiente D D asi que mucho cuidado
Eje y
Eje x
Horizontal
vertical
oblicua
1 0 1 1
0
2 1 0 2 1 1
1
0 1 2
2 1 1
1
1
1
2 1
2
1
4 2
2
1
0 1 0
2 1 1 2 0
1 2
2
1
1
1
1
1
1
0
4
0
0
1
1
2
1
2 1
2 3
1
1
2
2 1 1 1
1 0 1 1 1
f
f f
f
f
f
f
f
g
g f
x
x x x
x x
x
x x
x x x
x x
x
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2 2 2 2 2
2
2
1 1
2 2
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lim lim
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U
U
U
U
U
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3
3 3
3 3
3
3 3
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2
b
b
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3 3
3
3 3 3
3 3
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+ + +
+ +
+ +
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ln
ln
ln
ln ln
ln integrando ln
ln ln ln
ln ln ln
ln ln ln ln ln ln
ln ln
intervalos
superficie
X
X
f x x x f x x x f x x x x x
x x x
D
D
x f positivo
f f
f f
decrece crece
f x x x f x x x f x
x
x
f
f
C derige su concavidad hacia la parte positiva del eje oy
A x x dx x dx x dx x B
B x dx por partes
dv dx v x
u x du x
dx
B x x
x
x
dx x x
x
x
dx x x x dx
B x x x x dx x x x x
A x x x x x
Maximos Minimos e de crecimiento
Concavidad
Calculo de
concava
u
2 1 2 1
2
0 2 1
2
0 2 1
2
2 2 2 0 5
2
1 5
0
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1 5
1 62
1 1 62 4 2 4 3
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0
0 1 5 2 1 5
0 5
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1 5
3 5 0 2 6 85
1 62 6 85
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2
2
1
2
0
1
2 1 2 1
3 2
1
1
1 1
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1 1
1 1 1
3 2 1 2 2 1 9 3
8
2 3 2 2 1 2 2 2 2 1
3
19
2 4 2 3
25
4 2 3
25
4 0 69 5 56
,
f
f
f
Minimo
1 2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
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2
3 3
2
3
2
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2
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2
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2
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g
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60

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ln
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ln
ln
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ln
ln
ln
ln
asintota
ln
ln
ln
ln ln
ln
ln ln
ln
ln
ln
ln ln
ln
ln ln ln ln ln ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln ln
asintota
dominio
Asintotas
intervalos
ln
ln
tangente
ln
Asintota
Asintota
Asintota
f x existe Ssi x
x
x e
x
asi que D e e
x
x
x x
D a decir que C no corta el eje oy
f x
x
x
F I Aplicando L hopital
f x
x
x
f x
x
x
FI L hopital x
x
x
x
f x x
x
f x x
x
asi que x es la vertical de C
no hay ya que existe la horizontal
f x
x
x
f x
x
x x x x
x
x x
x
x
x
f x
x x
x e
f x f x no hay extremos
f x
f x
x
x
f x
x x
f x
x x
x x
x x x x x x x x x
x x
x
x x
x
f x
x x
x
x x x
n
Respuesta
y C corta eje ox en el punto
x
y es la horizontal
Ejercicio
Corte con los ejes
Maximos Minimos e de crecimiento y decrecimiento
ya que x e e
Concavidad
a
a
Sea la funcion f de variable real x definida por f x
x
x
Estudia la funcion
Mostrar que existe una recta que pasa por el punto A
vea la curva de
la funcion x
Eje x
Eje y
horizontal
vertical
oblicua
e
e e
1 0
0 0 0
1 0 0 1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1 0
1
1 0
1
1 1
1 1 1
1
1
1
1
0
0
0
1 1
1
1
1
1 1 2 1 1
1 2 2 2
1
1
1
1
0
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1
0 1 0 1
1
25
0 1 0
0
1
1
0
1
1
2 0 1
1
2
3
4
5
3
f
f f
f
f
x x
x x
x x x x
x e x e
x e x e
2 2
2
2 2 4
2
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2 4
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2 3
1
1
1
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3
3 3
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g
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g
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61
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ln
ln
ln
ln ln ln ln
ln
ln
inflexion
tangente
tangente
ln
ln
ln
ln
ln
ln ln
ln
ln
ln
ln ln
ln ln ln
tangente
tangente
tangente
el signo de f x
x x
x
depende de
x
x
ya que x es positivo
x x x x x x
x e e
x f
x
f x
f x
e es el punto de
a nosotros se nos pide que demostremos que existe una recta que pasa por
y nosotros sabemos que D asi que lo que vamos a hacer es sacar la forma general de la tg
es decir hallar la recta a C en el punto a f a es y f a f a x a
y a
a
a a
x a como ya sabemos que pasa por el punto
a
a
a a
a
a
a
a
a
a a
a a a a
por ultimo la recta es y x remplazando a por en la ecuacion
La forma general de una recta en x a es y f a f a x a
calculemos el signo de f x en D
A
A
A
Ecuacion de la recta a C
e e e e e e
e
1
1
1
1
1 0 1
1
1 0 1
0
1
1 0 2 1 1
1
2
1
1 8 0
0
2
1
1
2
1
0 1
0
1 1
1 0 1
1 1 1
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
0 1
1 1
ln ln
x x
f
f
f
f
2 3 3
2
1
1
2
2
2 2
2
+ + + + + +
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+
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+ + + +
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3
2 2 2 2 2 1 1 1
b
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-
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-
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g
g
g
g
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g
g
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h
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g g g
g
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