Conozcan los diferentes tipos de relación matemática que puede haber entre dos variables e identifique la forma característica de sus respectivos gráficos y ecuaciones. Desarrolle la capacidad de análisis e interpretación de datos obtenidos experimentalmente de un fenómeno.

1. UNIDAD III
RELACIONES DE
PROPORCIONALIDAD

2. INTRODUCCION
La forma en que el científico verifica la validez de sus
modelos y pone a prueba sus Teorías y Leyes es a través
del experimento; ello lo obliga a plantearlo en la forma más
adecuada para obtener resultados confiables, cuya
interpretación le permitirá o no, aceptar ese modelo.
El análisis o interpretación de resultados, ya sean
valores, gráficas, tabulaciones, etc., debe contestar lo más
claramente posible, la o las preguntas planteadas por el
problema.

3. 3.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RESULTADOS
El resultado directo de un experimento suele ser una tabla
de datos, un gráfico hecho con estos datos facilita la
interpretación de los mismos. Luego se busca establecer
una relación empírica con la realización de la grafica
donde vincula los datos obtenidos.
Cuando analizamos la grafica, encontramos una ecuación
que la represente. Dicha ecuación se llama empírica
porque se obtuvo por medio de un experimento y como
expresión analítica de una gráfica.

4. Para construir gráficas se sugiere seguir los pasos
siguientes:
•Poner en el eje horizontal la variable independiente y en el
vertical la variable dependiente con sus unidades.
•Escoger las escalas en cada eje de manera que la gráfica
permita hacer un análisis lo más objetivo posible de ella.
•Plotear los puntos colocando el valor de las variables en
los ejes y trazar líneas rectas punteadas perpendiculares a
los ejes.
•Trazar la curva siguiendo la tendencia de los puntos
graficados.
•Escribir en la página del grafico la tabla de los datos que lo
generaron.

5. 3.2 PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE DOS
VARIABLES.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando
al multiplicar una de ellas por un número, la otra también se
multiplica por el mismo número.
Ejemplo: al cargar un resorte, se mide la deformación que
sufre éste y se determina con un dinamómetro la fuerza
que se le ejerce; los datos que se presentan a
continuación, es la deformación sufrida por el resorte
debido a la fuerza que se le aplica.

6. Puede observarse que una fuerza de 0.08 N deforma el
resorte en 0.004 m (4 mm) y una fuerza de 0.16 N deforma
al resorte en 0.008 m (8 mm). La relación del cociente entre
estos datos es:
Esta constante k se denomina constante de
proporcionalidad y para el ejemplo dado resulta tener un
valor de 20 N/m

7. Al graficar los valores de fuerza contra deformación resulta
una recta que pasa por el origen, tal como se muestra en la
grafica.
La expresión que relaciona a las variables fuerza y
deformación es F = k x ó F = 20x

8. En el análisis de datos a partir de una grafica, se obtienen
dos criterios de análisis, estos son:
INTERPOLACIÓN, cuando el valor se obtiene dentro del
intervalo de dos valores conocidos.
EXTRAPOLACIÓN, cuando el valor que se requiere está
fuera de los datos conocidos.
Ejemplo:
Si deseamos saber cuanto es la fuerza aplicada para
obtener una deformación de 0.005 m (5 mm) aplicamos una
Interpolación. Si deseamos saber cuanto es la fuerza
aplicada para obtener una deformación de 0.011 m (11 mm)
aplicamos una extrapolación.

9. Interpolación, obtenemos el resultado de 0.10 N
Extrapolación, obtenemos el resultado de 0.22 N

10. Generalizando; si Y es una magnitud directamente
proporcional con otra magnitud X, esto puede expresarse
de las siguientes formas:
i. Y X, que se lee: Y es directamente proporcional a X
ii. Dado que el cociente entre dos magnitudes directamente
proporcionales es constante, se puede escribir:
iii. Para cualquier par de valores (X1, Y1) y (X2, Y2) de dos
magnitudes, si éstas son directamente proporcionales
se cumple que:
iv. Cuando dos magnitudes Y y X son directamente
proporcionales, el gráfico de éstas es una recta que
pasa por el origen.

11. Relación Lineal
En la proporcionalidad directa la ecuación Y = KX
corresponde a una recta que pasa por el origen. Esto
quiere decir que cuando X = 0, también Y = 0. Sin
embargo hay magnitudes que se relacionan de tal forma
que cuando el valor de una de ellas es cero la otra es
distinta de cero y su gráfico es una recta como el que se
muestra:
Relación lineal entre Y y X

12. En este caso se dice que la relación entre las
magnitudes es lineal y se expresa: Y = mX + b
En la relación lineal solo los cambios entre las magnitudes
son directamente proporcionales: Y X o Y = m X.
Cuando la variable independiente toma el valor de cero
(X = 0), la variable dependiente es igual a b (Y=b) y se le
denomina intercepto de la recta.
La proporcionalidad directa puede considerarse un caso
particular de la variación lineal en la que b = 0

13. Ejemplo: Una partícula se mueve sobre una línea recta tal
que durante un breve tiempo es posible tomar datos de su
desplazamiento con respecto del tiempo. Si se sabe que
esta partícula se mueve a rapidez constante, expresar en
un grafico la relación de los datos obtenidos.

15. PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE DOS
VARIABLES
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando
al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda
dividida entre ese número.
Ejemplo: la relación entre la presión absoluta de un gas y
su volumen, cuando la temperatura de éste se mantiene
constante.

16. De acuerdo a los datos, cuando el volumen del gas es de
10 L, la presión es de 1.00 atm; cuando el volumen es de
5.00 L (se reduce a la mitad) la presión es de 2.00 atm, (se
duplica).
Si se representan por P1, P2, P3,....., las diferentes
presiones y por V1, V2, V3,...., sus respectivos volúmenes, el
producto entre éstos es constante:

17. También en este caso K se denomina constante de
proporcionalidad y para el ejemplo dado resulta tener un
valor de 10.0 atm·L
Al graficar la presión P en función del volumen V se obtiene
una curva tal como se muestra en la siguiente figura. Esta
curva se denomina hipérbola y representa gráficamente la
relación P = K / V
Grafica de P en función de V

18. Si Y es una magnitud inversamente proporcional con otra
magnitud X, dicha relación puede expresarse de las
siguientes formas:
i. Y 1/X, que se lee: Y es proporcional al inverso de X ó Y
es inversamente proporcional a X.
ii. Dado que el producto de dos magnitudes inversamente
proporcionales es constante, se puede escribir: YX = k ó
Y=k/X.
iii. Para cualquier par de valores (X1,Y1) y (X2,Y2) de dos
magnitudes inversamente proporcionales se cumple
que: Y2 / Y1 = X1 / X2

19. iv.El gráfico de dos magnitudes Y y X inversamente
proporcionales es una hipérbola como se ilustra en la
siguiente figura:
Proporcionalidad inversa entre Y y X
PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE UNA VARIABLE
Y OTRA ELEVADAA UN EXPONENTE
Esta relación puede expresarse como: Y Xn o Y =
KXn, donde n y K son constantes

20. Los casos particulares dependen del valor de “n” así:
1. Si n = 1, la relación toma la forma Y = KX que
corresponde a la proporcionalidad directa.
2. Para n > 1 los gráficos son como los que se muestran en
la siguiente figura:
Relación Y = kXn con n > 1, e igual valor de K

21. 3. El valor de n puede pertenecer al intervalo (0 < n < 1)
Ejemplo: En términos más generales
donde; La forma de estos gráficos es como se ilustra
en la siguiente figura
Gráfico de (0<n<1)
Para pequeñas amplitudes, el período de oscilación T de un
péndulo simple es directamente proporcional a la raíz
cuadrada de su longitud L, es decir:

22. 4. El valor de n puede ser negativo (n < 0)
Ejemplo: que también puede escribirse . La
forma de estas gráficas es como se ilustra en la siguiente
figura.
Gráfico para n<0
Ejemplo: La ley de Coulomb,

23. Determinación de constantes n y k
La relación de proporcionalidad Y Xn debe de cumplir que
Esto significa que:
Escrito de otra forma:
Si se aplican logaritmos a la última expresión:
Despejando el valor de n:

24. El valor de "n" queda así determinado por la expresión
anterior. La constante de proporcionalidad "k" se determina
tomando puntos del gráfico y usando el valor de "n"
encontrando así:
Ejemplo:
Encontrar la relación de proporcionalidad existente entre las
variables W y Z de los siguientes datos de tabla:
Solución:

25. Guía básica:
i. El primer paso consiste en graficar los datos para
visualizar el tipo de proporcionalidad existente.
ii. Una vez definido el tipo de proporcionalidad, se
procederá a determinar la expresión matemática que
relaciona a las variables.
iii. El gráfico indica la relación W Zn cuando n<1. Esto
significa que la relación matemática entre W y Z es:
W = K Zn
iv. El segundo paso consiste en determinar los valores de n
y K. Calculando "n":

29. Para datos experimentales, se calculan varios valores de n
y se obtiene su promedio. Lo mismo es para K. Calculando
K:
De acuerdo a los resultados, la relación entre W y Z es:

30. MANEJO DE ESCALAS LOGARÍTMICAS (PAPEL
LOGARÍTMICO)
El proceso de la semana anterior, se aplicó la función
logaritmo a los distintos valores de las variables, para
obtener el valor de “n” y luego el valor de, “K”. Este proceso
se puede simplificar utilizando papel logarítmico; llamado
así porque el trazo de sus líneas se ha hecho basándose
en una escala logarítmica.
Como puede verse en la siguiente figura, la forma en que
se disponen las líneas es diferente a la del papel en escala
lineal (papel milimetrado).

31. Escalas Logarítmicas

32. El papel logarítmico se utiliza para “linealizar” curvas de
ecuaciones de la forma:
Esto es así dado que al aplicar la función logaritmo a la
ecuación anterior tenemos:
Si graficamos Log Y en el eje de las ordenadas y Log X en
el eje de las abscisas, obtendremos una línea recta cuyo
intercepto con el eje de las abscisas será Log K y con una
pendiente igual a n. Al usar papel logarítmico, el intercepto
es el valor de la ordenada correspondiente a la abscisa 100,
proporcionándonos directamente el valor de K.

33. Al usar la forma logarítmica n puede ser encontrado por:
Si se usa papel logarítmico de igual número de ciclos en los
ejes horizontal y vertical, (que los ciclos en ambos ejes
sean del mismo tamaño) el valor de n puede ser obtenido al
medir en mm la variación vertical de la recta ( LogY a) y
su correspondiente variación horizontal ( LogX b). El
valor de n se obtiene así:
Ejemplo: Graficaremos los datos de una experiencia con 1
mol de gas a 0 C, variando la presión y el volumen. Se
desea la ecuación de P en función de V.

34. Grafico de presión y volumen en escalas logarítmicas
de dos por dos ciclos

35. El valor de K lo leemos directamente en la escala
logarítmica vertical para un valor de abscisa de 100 (o sea
1). En este ejemplo es necesario prolongar la recta hacia
arriba hasta que corte el eje vertical donde leemos
aproximadamente K = 22.4
Para calcular el valor de n, medimos en mm el valor de “a”
y de “b” en la figura. Su cociente representa el valor
absoluto de n pero como sabemos que la función es
decreciente, nosotros le asignamos el signo negativo
Así, la ecuación buscada es: P = 22.4 V-1.0 o también:

36. Ejemplo 1: Se obtiene la intensidad de corriente que pasa a
través de diferentes valores de resistencia y se representan
en una tabla.

37. Solución:

38. Solución:

39. Solución:
Planteamiento de la relación matemática:
Aplicamos logaritmo en ambos lados de la igualdad y
despejamos para “n”:
Evaluamos la ecuación en datos conocidos y encontramos
el valor de la potencia:

40. Solución:
Con el dato de “n” lo sustituimos en la ecuación que
planteamos al inicio y evaluamos para un par conocido,
para determinar el valor de la constante “k”:
k = 5.0 V
Entonces, la relación de las dos magnitudes físicas queda
expresada de la siguiente manera:
R = 5.0/I (Ω)

41. Ejemplo 2: Se observa el desplazamiento de un isotopo
radioactivo, en el cual se puede notar que, a medida que
avanza aumenta su energía y se reportan estos resultados
en la siguiente tabla:

42. Solución: Ploteo de los puntos

43. Solución: Trazamos la tendencia de la curva

44. Solución:
Planteamiento de la relación matemática:
Aplicamos logaritmo en ambos lados de la igualdad y
despejamos para “n”:
Evaluamos la ecuación en datos conocidos y encontramos
el valor de la potencia:

45. RELACIÓN EXPONENCIAL ENTRE DOS
MAGNITUDES DEL TIPO Y = ACbX
En la ecuación Y = ACbX, con la constante C > 1 y X > 0, la
constante b puede ser positiva, lo que corresponde a una
función creciente, y puede ser negativa, resultando ser una
función decreciente, siendo los gráficos respectivos, con la
constante A positiva, las siguientes

46. Determinación de Constantes
Las constantes “A”, “C”, y “b” pueden calcularse
gráficamente o analíticamente.
MÉTODO ANALÍTICO: considerando un par de puntos
sobre la curva de la grafica en la figura (a) o en (b)
y
Dividiendo la ecuación (1) entre la (2) tenemos:

47. En la expresión anterior Cb puede interpretarse como
una sola constante D; es decir D = Cb y así se tiene
Aplicando logaritmo
De la función inversa del logaritmo:
D = Log- 1 [Log (Y1 / Y2) / (X1 - X2)]
El valor de A se obtiene al despejar A de la ecuación
Y = A DX , es decir A = Y/DX y sustituyendo valores
conocidos de X e Y o sea las coordenadas de un punto, por
ejemplo el punto 1 con valores X1,Y1 . Así:
Para datos experimentales se obtienen varias D y se
obtiene su media aritmética. Lo mismo es para A.

48. Procedimiento para el método analítico (resumen):
Escoger dos puntos:
Dividiendo la ecuación (1) entre la (2)
Constante D = Cb , entonces:
Aplicando logaritmo:
Aplicando la función inversa:
D = Log- 1 [Log (Y1 / Y2) / (X1 - X2)]

49. El valor de A se obtiene al despejar A de la ecuación
Y = A DX , es decir A = Y/DX y sustituyendo valores
conocidos de X e Y. Es decir:
Ejemplo 1:
En la medición de un fenómeno se obtuvieron los
siguientes datos experimentales:

50. Ploteo de grafica:

51. Ploteo de grafica:

52. Ploteo de grafica:

53. Se sabe que: , entonces
Tomamos dos puntos:
Luego:
Evaluando los puntos:
Por lo tanto:

54. Calculo de la constante “A”
Tomamos un punto de la tabla (3.000 , 0.250):
La ecuación es:
Ejemplo 2: En un experimento se obtuvieron los siguientes
datos:

55. Ejemplo:

56. Ejemplo:

57. Ejemplo:

58. Sabemos que:
Luego:
Tenemos que:
Calculo de “A”:
La relación es:

59. 3.7 COMBINACIÓN DE UNA ESCALA LOGARÍTMICA
CON UNA LINEAL
Existe también un papel que está trazado en escala
logarítmica en un eje y en escala lineal en el otro, es
conocido por papel semilogarítmico.
El papel semilogarítmico se utiliza para "linealizar" curvas
cuyas ecuaciones son de la forma: Y = ADx
Si aplicamos la función logaritmo al termino
anterior, obtenemos:
(Log Y) = (Log D) X + (Log A)

60. Se puede observar de la función anterior que la variable
dependiente está afectada por la función logaritmo,
mientras que la variable independiente no lo posee.
Además A y D son constantes y por lo tanto sus logaritmos
también.
Entonces si graficamos (Log Y) en el eje de las ordenadas
y la variable X en el eje de las abscisas, obtendremos una
línea recta cuyo intercepto será Log A y con una pendiente
igual a Log D
Pasos para linealizar una relación de variables.

61. Utilizando la escala logarítmica buscamos los valores de
Y, con lo cual estamos graficando automáticamente sus
respectivos logaritmos.
Los valores de X se grafican en la escala lineal marcando
en el eje de las abscisas.
Calcular la pendiente, desde la grafica.
Ejemplo 3:
En un experimento se obtuvieron los siguientes datos:

62. Ejemplo

63. Ejemplo

64. Evaluando la pendiente de la línea recta del gráfico:
Intercepto con la ordenada:
Entonces, la ecuación completa es: