UNIDAD 7.pptx

1.1 Vectores
El conjunto de segmentos dirigidos que poseen la misma longitud,
dirección (inclinación) y sentido (hacia donde apunta la flecha) se conoce
como vector
Un vector se caracteriza por:
1) su módulo, que es la longitud del segmento.
2) su dirección, que viene dada por la recta que pasa por él o
cualquier recta paralela.
3) su sentido, que es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta
que pasa por él.
se pueden usar las letras minúsculas a, b, c, ... por ejemplo, 𝑎, 𝑏, 𝑐,
Los vectores se expresan con una letra minúscula o con dos letras mayúsculas,
su origen y su extremo respectivos.
Por ejemplo, 𝐴𝐵 indica el vector que tiene origen en el punto A y extremo en el punto B.
El ángulo entre dos vectores se mide al unir por los puntos iniciales ambos vectores y se utilizan valores de
0° hasta 180°.

Dos vectores 𝑢 𝑦 𝑣 son ortogonales si el ángulo formado entre ellos es de 90°.
La longitud de un vector u se conoce por norma del vector 𝑢 y se denota por
∥u∥.
Un vector 𝑢 es unitario si su norma es 1, es decir, ∥u∥ = 1.

1. Considerando los vectores en la cuadrícula donde el lado de cada cuadrado
es 1, responde:
a) ¿Cuáles vectores son iguales?
b) ¿Cuáles vectores tienen la misma norma?
c) ¿Cuáles vectores son unitarios?
𝒆 = 𝒉 𝒂 = 𝒄
Las de 𝒂 , 𝒄 , 𝒊 y 𝒋 son iguales
∥𝒂∥ = ∥𝒄 ∥ = ∥ 𝒊 ∥ = ∥𝒋 ∥ =
∥𝒂∥ = 12 + 22
∥𝒂∥ = 1 + 4
∥𝒂∥ = 5
𝒅, 𝒆 y 𝒉 son iguales
∥𝒅∥ = ∥𝒆 ∥ = ∥ 𝒉 ∥ = 1
𝒅, 𝒆 y 𝒉 son unitarios

d) ¿Cuáles vectores son ortogonales?
Dos vectores 𝑢 𝑦 𝑣 son ortogonales
si el ángulo formado entre ellos es de 90°.
𝒃
𝒆
𝒉
𝒆 𝒉
𝒃
𝒅
𝒅
𝒇 𝒈

1.2 Suma y resta de vectores
1.2 Dibuja el vector resultante de suma o resta de vectores.
el opuesto del vector 𝐴𝐵 y se denota por – 𝐵𝐴
Suma de vectores, método punta y cola
Se define la resta del vector 𝑢 con el vector 𝑣 como la
suma del vector 𝑢 con – 𝑣,

1.2 Suma y resta de vectores pág 173
Dibuja en tu cuaderno los vectores de la cuadrícula y determina el vector que representa las operaciones
de cada literal.
c) 𝒄 + 𝒅 = 0
𝒄
𝒅

de cada literal.
d) 𝒂 + 𝒆 + 𝒄
𝒄
𝒂
𝒆

de cada literal.
d) 𝒂 − 𝒃
𝒂
−𝒃

de cada literal.
d) 𝒂 − 𝒃 - 𝒄
- 𝒄
𝒂
−𝒃

Para un vector 𝑢 y un número real r, de modo que 𝑢 ≠ 0 y r ≠ 0, se define el producto por escalar para representar
* dilataciones
r > 1
r 𝑢
contracciones en el mismo sentido
0 < r < 1
𝑢
𝑢
r 𝑢
contracciones en el mismo sentido –1 < r < 0
𝑢
r 𝑢
1.3 Producto por escalar

Dibuja en tu cuaderno los vectores de la cuadrícula y determina el vector que representa cada literal.
1.3 Dibuja el vector resultante de multiplicar un vector por un número escalar.
b) 4a
𝟒𝒂

Dibuja en tu cuaderno los vectores de la cuadrícula y determina el vector que representa cada literal.
1.3 Dibuja el vector resultante de multiplicar un vector por un número escalar.
2𝑑 + 3 𝑒
𝟐𝒅
𝟑𝒆

1.4 Coordenadas de un vector en una base

1.4 Determina las coordenadas de un vector utilizando una base vectorial.
Considerando la base ( 𝑯𝑰, 𝑯𝑩), determina las coordenadas de los vectores de cada literal
Para todo vector 𝑂𝑀, existen dos números reales únicos x, y, tales que 𝑂𝑀, = x 𝑖+ y 𝑗 y se puede expresar el vector
como un par ordenado 𝑂𝑀 = (x, y), a este par ordenado (x, y) se le conoce como coordenadas del vector 𝑂𝑀 en la
base ( 𝒊 , 𝒋 ).
c) 𝑯𝑭
( 1,
𝟏
𝟐
)
= 1𝑯𝑰 +
𝟏
𝟐
𝑯𝑩

d) 𝑯𝑱
( -1,
−𝟏
𝟐
)
= -1𝑯𝑰 + (−
𝟏
𝟐
𝑯𝑩)

d) 𝑯𝑬
( 0,
𝟏
𝟐
)
= 0𝑯𝑰 +
𝟏
𝟐
𝑯𝑩

1.5 Operaciones con vectores en coordenada

1.5 Determina las coordenadas del vector resultante de un producto por escalar, una suma o una resta de vectores
. Determina las coordenadas de los siguientes vectores en la base 𝒊 , 𝒋 𝑶𝑨 + 𝟐𝑶𝑩
𝑶𝑨 + 𝟐𝑶𝑩 = ( -1, 2) + ( -2, -2)
𝑶𝑨 + 𝟐𝑶𝑩 = ( -1 – 2 , 2 – 2 )
( - 3 , 0 )
( -1, 2)
( -2, -2)
𝑶𝑨 + 𝟐𝑶𝑩 =

1.5 Determina las coordenadas del vector resultante de un producto por escalar, una suma o una resta de vectores
. Determina las coordenadas de los siguientes vectores en la base 𝒊 , 𝒋 𝟑𝑶𝑩 - 𝟐𝑶𝑨
3𝑶𝑩 - 𝟐𝑶𝑨 = ( -3, -3 ) - ( -2, 4)
3𝑶𝑩 - 𝟐𝑶𝑨 =( -3 – (-2) , -3 – 4 )
( -3+2 , -7 )
( -1 -7)
( -3, -3 )
-2, 4)
𝟑𝑶𝑩
𝟐𝑶𝑨
−𝟐𝑶𝑨
𝟑𝑶𝑩
3𝑶𝑩 - 𝟐𝑶𝑨 =
( -1 , -7 )

1.6 Vectores y coordenadas de puntos

1.6 Expresa las coordenadas de un vector cualquiera en el plano cartesiano como coordenadas de un punto.
1. Dados los puntos A y B, determina las coordenadas y la norma del vector 𝐴𝐵 en la base ( 𝑒1, 𝑒2 ) definida en la
imagen.
e) A = (–1, –3); B = (–1, –2)
A
B
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 – 𝑂𝐴
𝐴𝐵 = (–1, –2) – (–1, –3)
𝐴𝐵 = (–1 – (–1), –2 – (–3))
𝐴𝐵= ( -1+1 , -2 + 3 )
𝐴𝐵= ( 0 , 1 )
|𝑨𝑩| = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
|𝑨𝑩| = 𝟎𝟐 + 𝟏𝟐
|𝑨𝑩| = 𝟏

1.6 Expresa las coordenadas de un vector cualquiera en el plano cartesiano como coordenadas de un punto.
1. Dados los puntos A y B, determina las coordenadas y la norma del vector 𝐴𝐵 en la base ( 𝑒1, 𝑒2 ) definida en la
imagen.
d) A = (1, 1 ); B = ( 0, 2 )
A
B
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 – 𝑂𝐴
𝐴𝐵 = ( 0, 2) – ( 1, 1 )
𝐴𝐵 = ( 0 –1 , 2 – 1 )
𝐴𝐵= ( -1 , 1 )
|𝑨𝑩| = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
|𝑨𝑩| = (−𝟏)𝟐+ 𝟏𝟐
|𝑨𝑩| = 𝟐
|𝑨𝑩| = 𝟏 + 𝟏

1.7 Paralelismo
1.7 Utiliza la definición de paralelismo entre vectores para resolver problemas con vectores expresados en coordenadas.
b) 𝒖 = (3, 1), 𝒗 = (x, –3)
Ejemplo. Calcula las coordenadas de 𝒗 para que 𝒖 y 𝒗 sean paralelos
𝒗 = r𝒖
( x , -3 ) = r( 3 , 1 )
x = 3r
Igualando coordenadas
( x , -3 ) = ( 3r , r )
-3 = r
2
1
x = 3r
x = 3(-3 )
x = -9
b) 𝒖 = (3, 1), 𝒗 = (-9, –3)
𝒖
𝒗

1.7 Paralelismo
1.7 Utiliza la definición de paralelismo entre vectores para resolver problemas con vectores expresados en coordenadas.
b) 𝒖 = (3, 1), 𝒗 = (x, –3)
Ejemplo. Calcula las coordenadas de 𝒗 para que 𝒖 y 𝒗 sean paralelos
𝟏
𝟑
=
x = -9
x = -9
b) 𝒖 = (3, 1), 𝒗 = (-9, –3)
𝒖
𝒗
Pendiente 𝒗 = pendiente 𝒖
Pendiente 𝒗 = pendiente 𝒖
−𝟑
𝒙
𝒗 = ( 𝒗𝒙 , 𝒗𝒚) 𝒖 = ( 𝒖𝒙 , 𝒖𝒚)
𝒎𝒗 =
𝒗𝒚
𝒗𝒙
𝒎𝒖 =
𝒖𝒚
𝒖𝒙

2.1 Proyección ortogonal
2.1 Dibuja la proyección ortogonal de un vector sobre otro en diferentes casos.
Grafica la proyección ortogonal de v sobre 𝒖 para cada caso
H
H
𝑶𝑯
𝑶𝑯

2.2 Producto escalar de vectores paralelos

2.2 Producto escalar de vectores paralelos
2.2 Calcula el producto escalar de vectores paralelos
d) 𝑨𝑩 ∙ 𝑨𝑪
b) 𝑶𝑨 ∙ 𝑶𝑪
–∥𝑨𝑩∥∥𝑨𝑪 ∥ = -(
𝟓
𝟐
× 1 )= –
𝟓
𝟐
.
∥𝑶𝑨∥∥𝑶𝑪 ∥ = (
𝟏
𝟐
×
𝟑
𝟐
)=
𝟑
𝟒
Las divisiones de la recta l son regulares, y el vector OI es unitario, determina:

2.3 Producto escalar de vectores no paralelos (no colineales)

2.3 Efectúa el producto escalar de vectores no paralelos utilizando proyección ortogonal.
EJEMPLO. Considerando un cuadrado ABCD de lado 4. Calcula los siguientes productos escalares.
𝑪𝑫. 𝑨𝑪 = Primero se dibujan los vectores con punto inicial común
El producto escalar de dos vectores 𝒂 𝒚 𝒃 no nulos se puede entender como el producto del módulo de 𝒃 el valor de la
proyección de 𝒂 sobre la recta que define la dirección de 𝒃
𝑬
𝑯
𝑪𝑫. 𝐶𝐸
= 𝑪𝑫. 𝐶𝐻
= -(4)(4)
= - 16

2.3 Efectúa el producto escalar de vectores no paralelos utilizando proyección ortogonal.
EJEMPLO. Considerando un cuadrado ABCD de lado 4. Calcula los siguientes productos escalares.
𝑪𝑫. 𝐵𝑂 = Primero se dibujan los vectores con punto inicial común
El producto escalar de dos vectores 𝒂 𝒚 𝒃 no nulos se puede entender como el producto del módulo de 𝒃 el valor de la
proyección de 𝒂 sobre la recta que define la dirección de 𝒃
𝑯
𝑨𝑩. 𝑂𝐵
= 𝑨𝑩. 𝐻𝐵
= (4)(2)
= 8

2.4 Forma trigonométrica del producto escalar.

2.4 Forma trigonométrica del producto escalar.
2.4 Realiza el producto escalar de vectores utilizando la forma trigonométrica del producto escalar.
Calcula el producto escalar de 𝒖 y 𝒗, considerando que α es el ángulo formado entre ambos vectores.
∥ 𝒖 ∥ = 𝟑, ∥𝒗 ∥ = 4, α = 30°
𝒖. 𝒗 = ∥ 𝒖 ∥ ∥𝒗 ∥ cos α
𝒖. 𝒗 = 𝟑 𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎°
𝒖. 𝒗 = 𝟑 𝟒
( 𝟑)
𝟐
𝒖. 𝒗 = 2 𝟗
𝒖. 𝒗 = 2(3) 𝒖. 𝒗 = 6

2.5 Producto escalar de vectores en el plano cartesiano

2.5 Producto escalar de vectores en el plano cartesiano
2.5 Determina el producto escalar de vectores en coordenadas de una base ortonormal.
EJEMPLO Determina el producto escalar de los vectores u ∙ v en cada literal. Considera que las
coordenadas de los vectores están en una base ortonormal.
𝒖 = (-2, 3), 𝒗 = (-1, -2 )
𝒖 . 𝒗 = -2 (-1) + 3 ( -2 )
𝒖 . 𝒗 = 2 + - 6
𝒖 . 𝒗 = - 4
𝒖 . 𝒗 = x x' + y y'

EJEMPLO : Encuentra el valor de x que hace que los vectores u y v sean ortogonales. Considera que
las coordenadas de los vectores están en una base ortonormal 𝒖 = (x , 2), 𝒗 = ( -1, x)
𝒖 . 𝒗 = 0
(x) ( -1) + 𝟐 𝑿 = 0
-x +𝟐𝒙 = 0
𝒙 = 0

3.2 Operaciones con números complejos en el plano complejo.

Considerando los números complejos z = 1 – 2i y w = –2 + 2i representa los
siguientes números en el plano complejo
z + w
1 – 2i + -2 + 2i
-1

Considerando los números complejos z = 1 – 2i y w = –2 + 2i representa los
siguientes números en el plano complejo
2z - w
–w + 2z
2(1 – 2i ) - (-2 + 2i )
4 –6i
2 – 4i + 2 - 2i )

3.3 Forma trigonométrica de los números complejos

3.3 Forma trigonométrica de los números complejos |z|(cos θ + i sen θ).
1
𝟑
(𝟏, 𝟑)

EJEMPLO. Determina el número complejo z si su módulo y argumento es el que se indica
3.3 Forma trigonométrica de los números complejos
150°
|z|(cos θ + i sen θ).
30°
2
|z|(cos θ + i sen θ).
|2|(cos 150° + i sen 150° ).
|2|(
− 𝟑
𝟐
+ i
𝟏
𝟐
).
(− 𝟑+ i ).
(− 𝟑+ i ).
(−𝟏. 𝟕𝟑+ 1).
𝑺𝒆𝒏𝒕𝒊𝒎𝒐𝒔.

3.4 Multiplicación de números complejos su forma trigonométrica. Pág 185
z = 2(cos 208° + i sen 208°) y w = 2(cos 107° + i sen 107°)
zw = |z| |w| [(cos (𝜶 + 𝜷 ) + i sen (𝜶 + 𝜷 ) ].
𝜶 𝜷
z w = 2(cos 208° + i sen 208°) × 2(cos 107° + i sen 107°)
z w = 2 ( 2) [ cos ( 208° + 107°) +𝒊 𝒔𝒆𝒏 (208° + 107°)]
𝜶 𝜷
z w = 4 [ cos ( 315° ) +𝒊 𝒔𝒆𝒏 (315° )]
315°
45°
𝟑𝟔𝟎° − 𝟑𝟏𝟓°.
Cosas. (+)
z w = 4 [
𝟐
𝟐
+ ( −
𝟐
𝟐
) ]
z w =
𝟒 𝟐
𝟐
−
𝟒 𝟐
𝟐
EJERCICIO 1g) Determina el producto zw
z w = 2 𝟐 − 𝟐 𝟐

3.6 Fórmula de Moivre.
Ejercicio 1 literal d Para el número complejo z = 2(cos 15° + i sen 15°). Determina:z4
zn = |z| n (cos nɵ + i sen nɵ )
2(cos 15° + i sen 15°) × 2(cos 15° + i sen 15°) × 2(cos 15° + i sen 15°) × 2(cos 15° + i sen 15°) ×
zn = |z| n (cos nɵ + i sen nɵ )
z4 = |2| 4 (cos 4(15°) + i sen 4(15°) )
z4 = 16 (cos 60° + i sen 60° )
z4 = 16 (
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
i )
z4 =
𝟏𝟔
𝟐
+
𝟏𝟔 𝟑𝒊
𝟐
z4 = 8 + 𝟖 𝟑𝒊

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