Propiedades y operaciones con potencias y raíces
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Propiedades y operaciones con potencias y raíces
- 1. 1.1 Propiedades de pontencias con igual base y exponente natural. 1.2 Propiedades de potencias con igual exponente 1.3 exponente cero y exponente negativo.
- 2. • Lugar de Matrícula: Centro Escolar República de Panamá • Fecha: a partir del 10 de junio de 1: 00 a 4 : 00 de la tarde • Clases presenciales de lunes a viernes de 12:50 a 5: 30 p.m • Documentos a presentar: • Copia de Dui ampliada • Certificado de 9º grado • Partida reciente • Ficha de matrícula • 2 fotografías grandes • y 2 pequeñas • Blanco y negro papel granulado
- 3. MODULO 3 TUTORIA 1. 23-25 MARZO
- 4. 1.7 suma , resta y potencia de raíces n- ésimas. 1.8 Exponente racional
- 5. Indicador de logro: Suma y resta raíces semejantes y simplifica la potencia de una raíz escribiendo los resultados en su mínima expresión. 1.7 suma , resta y potencia de raíces n- ésimas. Pasos a seguir: 1. Simplificar las raíces a la mínima expresión 2. Sumar o restar raíces semejantes EJEMPLO1: Efectúa las operaciones: 𝟒 𝟑𝟐 + 𝟒 𝟓𝟏𝟐 SOLUCION : 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 512 2 256 2 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 𝟒 𝟑𝟐 + 𝟒 𝟓𝟏𝟐 𝟒 𝟐𝟒 × 𝟐 + 𝟒 𝟐𝟖 × 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 + 𝟐𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 + 𝟒 𝟒 𝟐 𝟔 𝟒 𝟐
- 6. EJERCICIOS A RESOLVER: • 𝟑 𝟐𝟒 + 𝟑 𝟖𝟏 • 𝟑 𝟓𝟎𝟎 - 𝟑 𝟏𝟎𝟖
- 7. Indicador de logro: Suma y resta raíces semejantes y simplifica la potencia de una raíz escribiendo los resultados en su mínima expresión. 1.7 suma , resta y potencia de raíces n- ésimas. Pasos a seguir: 1. Simplificar las raíces a la mínima expresión 2. Sumar o restar raíces semejantes PREGUNTA 1: Efectúa las operaciones: 𝟒 𝟑𝟐 + 𝟒 𝟓𝟏𝟐 SOLUCION : 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 512 2 256 2 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 𝟒 𝟑𝟐 + 𝟒 𝟓𝟏𝟐 𝟒 𝟐𝟒 × 𝟐 + 𝟒 𝟐𝟖 × 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 + 𝟐𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 + 𝟒 𝟒 𝟐 𝟔 𝟒 𝟐
- 8. Indicador de logro: Utiliza exponentes racionales para representar raíces n-ésimas de un número y viceversa 1.8 Exponente racional REGLA: 𝒏 𝒂𝒎 = 𝒂 𝒎 𝒏 EJEMPLO2: Escriba las siguientes raíces como potencias con exponente fraccionario, simplicar si es posible : 𝟓 𝟔 𝟑 SOLUCION : 𝟓 𝟔 𝟑 = 63 𝟓 EJEMPLO3: Escriba las siguientes raíces como potencias con exponente fraccionario, simplicar si es posible : 𝟗𝟓 𝟑 SOLUCION : 9𝟓 𝟑 = 𝟑 9𝟓
- 9. 1.9 Propiedades de los Exponentes racionales 1.10 Aplica las propiedades de los exponentes racionales
- 10. Indicador de logro: Aplica las propiedades de los exponentes, combinando exponentes racionales y enteros 1.9 Propiedades de los Exponentes racionales REGLAS: 1. 𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 2. 𝒂𝒎 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏 3. 𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎×𝒏 4. 𝒏 𝒂𝒎 = 𝒂 𝒎 𝒏 Pasos a seguir: 1. Escribir como raíz 2. Se escriben en una sola raíz 3. Se aplica la propiedad de exponente que corresponda 4. Se simplifica el radical.
- 11. EJEMPLO4: Realiza las siguientes operaciones: 𝟏𝟔𝟓 𝟔 × 𝟒𝟓 𝟔 ´P1. 𝟔 𝟏𝟔𝟓 × = 𝟐𝟑𝟎 𝟔 = 𝟐𝟓 SOLUCION : 1.9 Propiedades de los Exponentes racionales Pasos a seguir: 1. Escribir como raíz 2. Se escriben en una sola raíz 3. Se aplica la propiedad de exponente que corresponda 4. Se simplifica el radical. 𝟏𝟔𝟓 𝟔 × 𝟒𝟓 𝟔 𝟔 𝟒𝟓 P2. 𝟔 𝟏𝟔𝟓 × 𝟒𝟓 P3. 𝟔 𝟏𝟔 × 𝟒 𝟓 𝟔 𝟔𝟒 𝟓 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 P4. 𝟔 𝟐𝟔 𝟓 𝟔 𝟐𝟑𝟎
- 12. EJEMPLO5: Realiza las siguientes operaciones: ´P1. 3𝟓 𝟐 × 3𝟐 𝟑 ÷ 3𝟏 𝟔 𝑃3 . 3𝟑 SOLUCION : 1.10 Aplica las propiedades de los exponentes racionales Para operar raíces con distinto índice se realizan los pasos siguientes: 1. Cada raíz se escribe como potencia con exponente fraccionario. 2. Se efectúan las operaciones utilizando propiedades de los exponentes. 3. Se simplifica el resultado. P2. 3 5 2 + 2 3 − 1 6 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1 243 × 𝟑 9 ÷ 𝟔 3 3𝟓 × 𝟑 3𝟐 ÷ 𝟔 3 5 2 + 2 3 = 15 + 4 6 = 19 6 19 6 − 1 6 = 19 − 1 6 = 18 6 = 3
- 13. EJERCICIOS PROPUESTOS A ENTREGAR FECHA LIMITE: VIERNES 27 DE MARZO. 1. Efectúa las operaciones: 𝟑 𝟐𝟒 + 𝟑 𝟖𝟏 𝟑 𝟓𝟎𝟎 - 𝟑 𝟏𝟎𝟖 2. Escriba la raíz como una potencia fraccionaria y simplificar, si es posible 𝟑 𝟐 3. Escriba las siguientes potencias fraccionarias como raíces de una potencia. 𝟐 𝟓 𝟐 4. Realiza las siguientes operaciones, simplificar su respuesta: 𝟐 𝟕 𝟓 × 𝟐 𝟖 𝟓 5. Realiza las siguientes operaciones, simplificar su respuesta: 𝟖 × 𝟒 𝟖 ÷ 𝟏𝟐 𝟑𝟐
- 14. Tutoría 3
- 15. 1.1 Propiedades de pontencias con igual base y exponente natural. 1.2 Propiedades de potencias con igual exponente 1.3 exponente cero y exponente negativo.
- 16. 2.1 Definición de la función exponencial 2.2 Funciones exponenciales simétricas
- 17. Indicador de logro : Grafica funciones exponenciales utilizando tablas y localizando puntos en el plano cartesiano. 2.1 Definición de la función exponencial. Ejemplo 1. Graficar la función f(x) = 2x Solución:
- 18. 2.1 Definición de la función exponencial. Ejemplo 2. Graficar la función f(x) = 2 -x Solución: f(x) = 2 -x f(x) = 𝟏 𝟐 𝒙
- 19. 2.2 funciones exponenciales simétricas. Ejemplo 3. Graficar en un mismo plano la función f(x) = 2 –x f(x) = 2 x y f(x) = - 2x Solución: Construya las 3 tablas de valores
- 20. f(x) = -2x f(x) = 2-x f(x) = 2x
- 21. 2.3 Características de las funciones exponenciales 2.4Desplazamientos horizontales y verticales de la función exponencial 2.5. Gráfica de funciones exponenciales con simetrías y desplazamientos
- 22. Indicador de logro : Determina las características de una función exponencial dada (dominio, rango, monotonía y asíntotas). 2. 3 Características de las funciones exponenciales Ejercicio 4. Determine el intercepto en el eje “y” dominio rango, monotonía y asíntota de la función: f(x) = 2x intercepto en el eje “y” : ( 0, 1 ) dominio : Reales rango : ]0, ∞[ Monotonía : creciente y asíntota de la función: y = 0
- 23. 2.4 Desplazamientos horizontales y verticales de la función exponencial Indicador de logro: Grafica funciones exponenciales utilizando desplazamientos horizontales y verticales Ejercicio 5. A partir de la gráfica f(x) = 2 x grafica la función f(x) = 2 x - 2
- 24. 2.5. Gráfica de funciones exponenciales con simetrías y desplazamientos. Indicador de logro: Elabora la gráfica de funciones exponenciales Utilizando simetría y desplazamientos. Ejercicio 5. A partir de la gráfica f(x) = 2 x grafica la función f(x) = 2 x – 2 -1
- 25. TUTORIA 2. 30 DE MARZO -1 DE ABRIL
- 26. 2.6 Ecuaciones exponenciales 2.7 Ecuaciones exponenciales
- 27. Indicador de logro: Resuelve ecuaciones exponenciales utilizando igualdad de potencias con la misma base. 2.6 Ecuaciones exponenciales Ejemplo 6. Resuelva la ecuación exponencial : 8 -x + 3 = 4 x + 2 Procedimiento: p1. Igualar bases expresando en forma de potencias. P2. Aplicar regla de potencias elevado a otra potencia P3. Resolver la ecuación de la potencia P4. Comprobar la respuesta Solución P1 : 23 − 𝑥+ 3 = 22 𝑥 + 2 8 -x + 3 = 4 x + 2 P3 : -3x + 9 = 2x + 4 -3x – 2x = 4 – 9 -5x = -5 x = −5 −5 x = 1 P2 : 2 −3 𝑥+ 9 = 2 2 𝑥 + 4 p4: comprobar si x = 1 8 -x + 3 = 4 x + 2 8 -1 + 3 = 4 1 + 2 8 2 = 4 3 64 = 64
- 28. 2.7 Ecuaciones exponenciales Procedimiento: p1. Se efectúa el cambio de variable y = ax P2. Se resuelve la ecuación py2 + qy + r = 0 del paso anterior. P3. Sustituir “ y “ en : y = ax P4. Resolver las ecuaciones resultantes. P5. Compruebe las respuestas Solución 9 x - 2(3 x ) + 1 = 0 Y= 3x P 2 : ( y - 1 ) ( y - 1 ) y - 1 = 0 Y = 1 P1 : 32 𝑥 − 2 3𝑥 + 1 Indicador de logro: Resuelve ecuaciones exponenciales que se reducen a ecuaciones cuadráticas por medio de un cambio de variable Ejemplo 7. Resuelva la ecuación exponencial reduciéndola a una cuadrática. 9 x - 2(3 x ) + 1 = 0 P1 : 3𝑥 2 − 2 3𝑥 + 1 P1 : 𝑦 2 − 2 𝑦 + 1 1 = 3x 30 = 3x 0 = x p5 : 9 x - 2(3 x ) + 1 = 0 9 0 - 2(3 0 ) + 1 = 0 1 - 2( 1 ) + 1 = 0 1 - 2 + 1 = 0 0 = 0
- 29. UNID AD4 Indicadores de logro Productos Esperados, resolver al llegar a la Actividad 4 Pág 102 2.1 Grafica funciones exponenciales utilizando tablas y localizando puntos en el plano cartesiano. Ejercicio 1. Grafica la función exponencial a) f(x) = 3x b) f(x) = 3 -x Pág 103 2.2 Grafica funciones exponenciales utilizando simetrías respecto de los ejes de coordenadas y el origen. Ejercicio 2. Grafica la función exponencial en el mismo plano utilizando las simetrías. f4 (x) = - 3- x a partir de la función f1 (x) = 3x Pág 104 2. 3 Determina las características de una función exponencial dada (dominio, rango, monotonía y asíntotas). Ejercicio 3. Determine el intercepto en el eje “y” dominio rango, monotonía y asíntota de la función: f(x) = 3x Pág 107 2.4 Grafica funciones exponenciales utilizando desplazamientos horizontales y verticales Ejercicio 4 A partir de la gráfica f(x) = 3x grafica la función f(x) = 3 x - 2 Pág 108 2.5 Elabora la gráfica de funciones exponenciales Utilizando simetría y desplazamientos. Ejercicio 5. Graficar la función f(x) = 3 x – 2 + 1 utilizando simetrías y desplazamientos. Pág 109 2.6 Resuelve ecuaciones exponenciales utilizando igualdad de potencias con la misma base. Ejercicio 6. Resuelva la ecuación exponencial 3 -x +1 = 9 x + 1 Pág 110 2.7 Resuelve ecuaciones exponenciales que se reducen a ecuaciones cuadráticas por medio de un cambio de variable. Ejercicio 7. Resuelva la ecuación exponencial reduciéndola a una cuadrática. 4 x - 2 x – 12 = 0
- 31. 1.1 Identifica funciones inyectivas de manera gráfica y algebraica. 1.1 Funciones inyectivas Imagen : Son los valores para “y” Pre imagen : Son los valores para “x”
- 32. Criterio de la recta horizontal: si toca un solo punto SON INYECTIVAS. De acuerdo con el criterio ¿cuál de las funciones NO es inyectiva?______________
- 33. 1.2 Función sobreyectiva : Para determinar si una función es sobreyectiva tenemos que determinar el rango. Si el rango que hemos hallado, es igual al conjunto de llegada, entonces se trata de una función sobreyectiva. 1.2 Identifica funciones sobreyectivas de manera gráfica y algebraica. Una función es sobreyectiva si cada elemento del conjunto de llegada (contradominio) corresponde por lo menos a un elemento del conjunto de partida. Otra definición más simple es la siguiente: una función es sobreyectiva si el rango es igual al conjunto de llegada o contradominio. Veamos algunos ejemplos
- 34. Dominio : reales Recorrido : reales Es Sobreyectiva
- 36. Dominio= Reales Rango= ] - ∞, 0 ] Dominio= [ 0 , ∞[ Rango = [ 0 , ∞[ Sobreyectiva: ¿si? O ¿No? Sobreyectiva: ¿si? O ¿No?
- 39. 1.3 Funciones biyectivas* 1.3 Identifica si una función es biyectiva o restringe su dominio o rango para que lo sea.
- 40. Determine la diagonal de un cuadrado de 10 m de lado. 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 10 10 10 𝒄𝟐 = 𝟏𝟎𝟐 + 𝟏𝟎𝟐 𝒄𝟐 = 100+𝟏𝟎𝟎 𝒄𝟐 = 200 𝑐2= 200 200 2 100 2 50 2 25 5 5 5 1 C = 22 × 2 × 52 C = 2(5) 2 C = 10 2 cada lado del cuadrado
- 41. Calcule el lado de un rombo de diagonales 8 cm y 6cm . 4 4 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒄𝟐 = 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 𝒄𝟐 = 9+𝟏𝟔 𝒄𝟐 = 25 𝑐2= 25 C = 5 cada lado del rombo
- 42. 20 20 2 0 10 10 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒄𝟐 - 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 𝟐𝟎𝟐 - 𝟏𝟎𝟐 = 𝒃𝟐 400- 100 = 𝒃𝟐 300 = 𝒃𝟐 𝑏2= 300 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 b = 22 × 3 × 52 b = 2(5) 3 b = 10 3 El lado de un triángulo equilátero mide 20 metros. ¿cuál es el valor de la altura?
- 43. Biyectiva Dominio= [ 0 , 10 ] Rango = [ 0 , 100 ] Biyectiva Y= x2 y = 102 Y = 100
- 44. Biyectiva : ¿si? O ¿No? Restricción 1 del dominio Restricción 2 del dominio Dominio 1: Rango 1: Dominio 2: Rango 2: Conclusión: Una vez realizadas cualquiera de las dos restricciones la función se vuelve biyectiva
- 45. 1.4 Composición de funciones 1.4 Determina la ecuación de la composición de dos funciones. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 g 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝟏 ( ) 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝟏 ( 𝒙 + 𝟏 ) 𝒙 𝒙
- 46. 1.4 Composición de funciones 1.4 Determina la ecuación de la composición de dos funciones. 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 g 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = + 𝟏 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒙
- 47. 𝒇 𝒙 = −𝒙 + 𝟐 g 𝒙 = 𝒙 + 𝟓 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: b) 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 g 𝒙 = 𝒙 − 𝟒 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: c) R/ 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = −𝒙 − 𝟑 R/ 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟑
- 48. TUTORIA 4. 13-15 DE ABRIL
- 49. 1.6 Función inversa 1.6 Determina la ecuación de la función inversa de una función dada. PREGUNTA 8. P1. y = ( x – 2)2 + 1 P2. x = ( y – 2)2 + 1 P3. x = ( y – 2)2 + 1 despejar “y” x – 1 = ( y – 2)2 𝒙 − 𝟏 = ( y – 2)2 𝒙 − 𝟏= y – 2 𝒙 − 𝟏 + 2 = y f-1 (x )= 𝑥 − 1 + 2
- 50. 2.1 Definición de logaritmo
- 51. AGENDA SALUDO ASISTENCIA REFLEXIÒN INDICADORES DE LOGRO REPASO CONOCIMIENTO PREVIO DESARROLLO CIERRE
- 52. AGENDA
- 53. • 2.1 Expresa igualdades de potencias como igualdades de logaritmos y viceversa • 2.2 Calcula el logaritmo de un número expresándolo como potencia. • 2.3 Efectúa operaciones de logaritmos utilizando sus propiedades.
- 54. • EJERCICIO 1. LA función f(x) = 𝟏 𝒙 mostrada en la gráfica ¿ es inyectiva?
- 55. CONCOCIMIENTO PREVIO EJERCCIO 2 . Investigue las partes de la forma logarítmica. pág 122
- 56. 2.1 Definición de logaritmo pág 122
- 57. 2.1 Definición de logaritmo 2.1 Expresa igualdades de potencias como igualdades de logaritmos y viceversa 2 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟒 -1 = log 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟐 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟐 ¿Qué es un logaritmo? Exponente al cual se eleva una base, para obtener un resultado
- 58. 2.1 Definición de logaritmo 2.1 Expresa igualdades de potencias como igualdades de logaritmos y viceversa 64 = 𝟐𝟔 𝟒 𝟑 = 𝟑 𝟏 𝟒 𝟏 𝟓 = 𝟓−𝟏 Log 1000 = 3 1000 = 103
- 59. 2.2 logaritmo de un número
- 60. 2.2 logaritmo de un número 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 1 2 = 𝑥 1 2 = 1 2 𝑥 1 2 𝟏 𝟐 = 1 2 𝑥 𝟏 𝟐 = 𝒙 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 1 2 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 1 2 1 2 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 𝟐 −𝟏 𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 1 2 1 2 = FORMA 1: Llevarlo a potencia ax = b FORMA 2: 1 2 𝟏 𝟐 = 1 2 𝒙 𝟏 𝟐
- 61. 2.2 logaritmo de un número 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 1 2 = 𝑥 1 2 = 1 2 𝑥 1 2 𝟏 𝟐 = 1 2 𝑥 𝟏 𝟐 = 𝒙 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 1 2 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 1 2 1 2 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 𝟐 −𝟏 𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 1 2 1 2 = FORMA 1: Llevarlo a potencia ax = b FORMA 2: 1 2 𝟏 𝟐 = 1 2 𝒙 𝟏 𝟐
- 62. 2.3 propiedades de lo logaritmos. Pág 124
- 63. 𝒍𝒐𝒈 𝟒( 𝟐 × 𝟖) 2.3 propiedades de lo logaritmos. Pág 124 = 𝒍𝒐𝒈 𝟔 ( 𝟏𝟐 × 𝟏𝟖) 12 2 6 2 3 3 1 18 2 9 3 3 3 1
- 64. 2.3 propiedades de lo logaritmos. Pág 124 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟓𝟒𝟐 − 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏𝟖𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟓𝟒 𝟏𝟖𝟑 𝟐 54 2 27 3 9 3 3 3 1 18 2 9 3 3 3 1 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐×𝟑𝟑 𝟐×𝟑𝟐 𝟑 𝟐 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐𝟐×𝟑𝟔 𝟐𝟑×𝟑𝟔 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐−𝟏 = -1 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟓𝟒𝟐 − 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏𝟖𝟑 = -1
- 65. 2.4 cambio de base de un logaritmo Pág 125
- 66. 2.4 cambio de base de un logaritmo Pág 125 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟏 𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟒 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟏 𝟐 = c = 2 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟐𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟐 −𝟏 𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟐𝟐 −𝟏 𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟐 𝟐𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟐 −𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 = −𝟏 𝟒
- 67. 2.4 cambio de base de un logaritmo Pág 125 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏 𝟑 𝟒 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏 𝟖 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟖 𝟏 𝟑 𝟒 = c = 3 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏 𝟖 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟐 −𝟐 𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟐−𝟑 −𝟐 𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟐 −𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟐 −𝟐 𝟑 −𝟑 𝟏 = −𝟐 −𝟗 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏 𝟐𝟐 𝟏 𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏 𝟐𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏 𝟐𝟑 = 𝟐 𝟗
- 68. 2.5 Definición de función logarítmica y gráfica Pág 126
- 69. Graficar : 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 x x 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 x 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 1 2 4 𝒍𝒐𝒈𝟒 1 4 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 1 2 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟏 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟐 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟒 = -1 -0.5 0 0.5 1 ( x , y) ( 0.25 , -1) ( 0.5 , -0.5 ) ( 1, 0 ) ( 2 , 0.5) ( 4, 1 ) 2.5 Definición de función logarítmica y gráfica Pág 126
- 70. Graficar : 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 x x 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 x 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 1 2 4 𝒍𝒐𝒈𝟒 1 4 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 1 2 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟏 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟐 = 𝒍𝒐𝒈𝟒 𝟒 = -1 -0.5 0 0.5 1 ( x , y) ( 0.25 , -1) ( 0.5 , -0.5 ) ( 1, 0 ) ( 2 , 0.5) ( 4, 1 ) 2.5 Definición de función logarítmica y gráfica Pág 126 Creciente, porque la base 4 > 1 Dominio : [ 0 , ∞ [ Rango = R
- 71. EJERCICIO 1 . La forma logarítmica de 5-3 = 1/125 es: A. −𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟐𝟓 𝟏 𝟓 B. −𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟏 𝟏𝟐𝟓 C. 𝟓 = 𝒍𝒐𝒈 −𝟑 𝟏 𝟏𝟐𝟓 D. −𝟑𝒍𝒐𝒈 𝟓 = 𝟏 𝟏𝟐𝟓
- 72. EJERCICIO 2 . La forma logarítmica de 4-2 = 1/16 es:
- 73. EJERCICIO 1 . La forma logarítmica de 5-3 = 1/125 es: A. −𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟐𝟓 𝟏 𝟓 B. −𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟏 𝟏𝟐𝟓 C. 𝟓 = 𝒍𝒐𝒈 −𝟑 𝟏 𝟏𝟐𝟓 D. −𝟑𝒍𝒐𝒈 𝟓 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝟏𝟐𝟓 BASE EXPONENTE Ambos lados con log
- 74. 2 ) Si Log2 x + Log2 y = 8 , selecciona el proceso en el que “y” se ha despejado correctamente
- 75. 2 ) hallar el valor de: Log3 99 - Log3 11 = , Log3 99 - Log3 11 Log3 𝟗𝟗 𝟏𝟏 Log3 9 Log3 𝟑𝟐 : 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒂𝒄 = 𝒄 = 2 plan B con cambio de base Log3 9 = 𝒍𝒐𝒈 𝟗 𝒍𝒐𝒈𝟑 Log3 9 = 2
- 76. 2 ) Si Log2 x + Log2 y = 8 , selecciona el proceso en el que “y” se ha despejado correctamente Log2 x + Log2 y = 8 Log2 x( y) = 8 x( y) = 2 8 y = 𝟐𝟖 𝒙
- 77. EJERCICIO 2 . La forma exponencial de log5 25 = 2 es: A. 5 = 𝟐𝟓𝟐 B. 25 = 𝟓𝟐 C. 25 2 = 𝟓 D. 𝟐𝟓 = 𝟐𝟓
- 78. Utilice la propiedad: 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒂𝒄 = 𝒄 Determine por simple inspección el valor 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎𝟏𝟎
- 79. Utilice la propiedad: 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒂𝒄 = 𝒄 Determine por simple inspección el valor 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐𝟓 = 𝟓
- 80. EJERCICIO5 . Simplifique el logaritmo 𝒍𝒐𝒈𝟗 𝟑 usando el cambio de base , Con base 10 ¿cuál de las dos es la correcta? 𝑨) 𝒍𝒐𝒈9 3 = 𝒍𝒐𝒈 3 𝒍𝒐𝒈 9 𝑩) 𝒍𝒐𝒈9 3 = 𝒍𝒐𝒈 9 𝒍𝒐𝒈 3
- 81. EJERCICIO 6 . Se presenta la función f(x) = x2 + 1 con dominio de [ 0, ∞[ y rango = [1 , ∞[ , y la gráfica de su inversa f-1(x) = 𝒙 − 𝟏 observe la gráfica y escriba su dominio y rango. Dominio de f-1(x) =____________ Rango de f-1(x) =____________ ¿Qué relación existe entre los dominios y rangos de ambas funciones?
- 83. 2.8 Ecuaciones logarítmicas pág 129 Pregunta 15 Pregunta 15. Efectúa las siguiente ecuación : log3 ( x + 1 ) + log3 ( x2 - x + 1 ) = 2 P1. propiedades log3 ( x + 1 ) ( x2 - x + 1 ) = 2 P2. Definición de logaritmo ( x + 1 ) ( x2 - x + 1 ) = 32 P3. Resolver producto x3 + 1 = 32 P4. despejar la variabla x3 = 9 - 1 x3 = 8 X = 𝟑 𝟖 X= 2
- 84. RECUPERACION DE MODULO 3
- 85. Indicador de logro: Aplica las propiedades de los exponentes, combinando exponentes racionales y enteros 1.9 Propiedades de los Exponentes racionales REGLAS: 1. 𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 2. 𝒂𝒎 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏 3. 𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎×𝒏 4. 𝒏 𝒂𝒎 = 𝒂 𝒎 𝒏 Pasos a seguir: 1. Escribir como raíz 2. Se escriben en una sola raíz 3. Se aplica la propiedad de exponente que corresponda 4. Se simplifica el radical.
- 86. PREGUNTA 2: Realiza las siguientes operaciones: ´P1. 3𝟓 𝟐 × 3𝟐 𝟑 ÷ 3𝟏 𝟔 𝑃3 . 3𝟑 SOLUCION : 1.10 Aplica las propiedades de los exponentes racionales Para operar raíces con distinto índice se realizan los pasos siguientes: 1. Cada raíz se escribe como potencia con exponente fraccionario. 2. Se efectúan las operaciones utilizando propiedades de los exponentes. 3. Se simplifica el resultado. P2. 3 5 2 + 2 3 − 1 6 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1 243 × 𝟑 9 ÷ 𝟔 3 3𝟓 × 𝟑 3𝟐 ÷ 𝟔 3 5 2 + 2 3 = 15 + 4 6 = 19 6 19 6 − 1 6 = 19 − 1 6 = 18 6 = 3
- 87. Indicador de logro : Determina las características de una función exponencial dada (dominio, rango, monotonía y asíntotas). 2. 3 Características de las funciones exponenciales Ejercicio 4. Determine el intercepto en el eje “y” dominio rango, monotonía y asíntota de la función: f(x) = 2x intercepto en el eje “y” : ( 0, 1 ) dominio : Reales rango : ]0, ∞[ Monotonía : creciente y asíntota de la función: y = 0
- 88. 2.5. Gráfica de funciones exponenciales con simetrías y desplazamientos. Indicador de logro: Elabora la gráfica de funciones exponenciales Utilizando simetría y desplazamientos. PREGUNTA 3. . A partir de la gráfica f(x) = 2 x grafica la función f(x) = 2 x – 2 - 1 2 2 2 - 1 - 1 - 1
- 89. Indicador de logro: Resuelve ecuaciones exponenciales utilizando igualdad de potencias con la misma base. 2.6 Ecuaciones exponenciales PREGUNTA 4. Y PREGUNTA 5 . Resuelva la ecuación exponencial : 8 -x + 3 = 4 x + 2 Procedimiento: p1. Igualar bases expresando en forma de potencias. P2. Aplicar regla de potencias elevado a otra potencia P3. Resolver la ecuación de la potencia P4. Comprobar la respuesta Solución P1 : 23 − 𝑥+ 3 = 22 𝑥 + 2 8 -x + 3 = 4 x + 2 P3 : -3x + 9 = 2x + 4 -3x – 2x = 4 – 9 -5x = -5 x = −5 −5 x = 1 P2 : 2 −3 𝑥+ 9 = 2 2 𝑥 + 4 p4: comprobar si x = 1 8 -x + 3 = 4 x + 2 8 -1 + 3 = 4 1 + 2 8 2 = 4 3 64 = 64
- 90. Criterio de la recta horizontal: si toca un solo punto SON INYECTIVAS. De acuerdo con el criterio ¿cuál de las funciones NO es inyectiva?______________ PREGUNTA 6. Determine si las funciones son inyectivas en su dominio.
- 91. 1.4 Composición de funciones 1.4 Determina la ecuación de la composición de dos funciones. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 g 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝟏 ( ) 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝟏 ( 𝒙 + 𝟏 ) 𝒙 𝒙 PREGUNTA 7.
- 92. 1.4 Composición de funciones 1.4 Determina la ecuación de la composición de dos funciones. 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 g 𝒙 = 𝟐𝒙 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = + 𝟏 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒙 PREGUNTA 7.
- 93. 𝒇 𝒙 = −𝒙 + 𝟐 g 𝒙 = 𝒙 + 𝟓 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: b) 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 g 𝒙 = 𝒙 − 𝟒 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: c) R/ 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = −𝒙 − 𝟑 R/ 𝒇 𝒐 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟑 PREGUNTA 7.
- 94. 1.6 Función inversa 1.6 Determina la ecuación de la función inversa de una función dada. PREGUNTA 8. P1. y = ( x – 2)2 + 1 P2. x = ( y – 2)2 + 1 P3. x = ( y – 2)2 + 1 despejar “y” x – 1 = ( y – 2)2 𝒙 − 𝟏 = ( y – 2)2 𝒙 − 𝟏= y – 2 𝒙 − 𝟏 + 2 = y f-1 (x )= 𝑥 − 1 + 2
- 96. PREGUNTA 1 . Para la parábola mostrada, escriba los valores siguientes: Directriz = __y= 2 _________ Parámetro =___2_______ Foco =__(0, -2 )____________ Ecuación de la gráfica: y = - 𝟏 𝟒𝒑 𝒙𝟐 y = 𝟏 𝟒(𝟐) 𝒙𝟐 y = - 𝟏 𝟖 𝒙𝟐
- 97. Pregunta 2. Encuentre Los datos solicitados de la elipse de la figura mostrada Eje focal = 2( 4) = 8 Eje menor: 2( 3) = 6 Eje mayor: 2(5) = 10 c= 𝟓𝟐 − 𝟑𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝟗 Centro: ( - 4 , 2 ) a = 5 b= 3 c = 𝟏𝟔 = 𝟒 F ( -8, 2 ) F ( 0 , 2 ) 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 𝐿𝑅 = 2(3)2 5 = 3.6
- 98. 3) La ecuación que representa a la elipse del ejercicio N° 2 es : 𝒙 − −𝟒 𝟐 𝟓𝟐 + (𝒚 − 𝟐 ) 𝟐 𝟑𝟐 Centro: ( - 4 , 2 ) a = 5 b = 3 𝒙 + 𝟒 𝟐 𝟐𝟓 + (𝒚 − 𝟐 ) 𝟐 𝟗
- 99. Con base a la imagen responda las preguntas: 1. ¿cuál es el centro ?__( 3, - 2) _______________ 2. ¿radio? : __5 ____________ 3. la ecuación ordinaria de la circunferencia representada en la gráfica es: ( x – 3 )2 + ( y - (- 2) )2 = 5 2 ( x – h )2 + ( y - k )2 = r2 ( x – 3 )2 + ( y + 2 )2 = 25
- 100. 5) determina el centro y el radio de la circunferencia : x 2 + y2 -6x + 8y + 16 = 0 x 2 + y2 -6x + 8 y + 16 = 0 E = 8 D= -6 F = 16 C( - −𝟔 𝟐 , − 𝟖 𝟐 ) C( 3 , −𝟒 ) R = 𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 −𝟒𝑭 𝟐 R = −𝟔 𝟐 + 𝟖𝟐 −𝟒 𝟏𝟔 𝟐 R = 𝟑𝟔 + 𝟔𝟒 −𝟔𝟒 𝟐 R = 𝟑𝟔 𝟐 R = 𝟔 𝟐 R = 3
- 101. Correcta Y= x 2 + 1 Y= x + 1
- 113. 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 𝐿𝑅 = 2(3)2 4 𝐿𝑅 = 4.5
- 115. Deduce la ecuación de las elipses de cada literal. 2. Dete F1 (0, -2), F2 (0, 2 ), a = 3
- 117. F F V V V V 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 𝐿𝑅 = 2(4)2 5 𝐿𝑅 = 6.4 𝐿𝑅
- 118. 𝟑𝟐 × 𝟓
- 119. Indicador de logro: Suma y resta raíces semejantes y simplifica la potencia de una raíz escribiendo los resultados en su mínima expresión. Pasos a seguir: 1. Simplificar las raíces a la mínima expresión 2. Sumar o restar raíces semejantes EJEMPLO1: Efectúa las operaciones: SOLUCION : 80 2 40 2 20 2 10 2 5 5 1 45 3 15 3 5 5 1 𝟖𝟎 + 𝟒𝟓 𝟖𝟎 + 𝟒𝟓 𝟐𝟒 × 𝟓 + 𝟑𝟐 × 𝟓 𝟐𝟐 𝟓 + 𝟑 𝟓 4 𝟓 + 𝟑 𝟓 7 𝟓