El oscilador Armonico resuelto por el metodo algebraico es una gran herramienta para encontrar nuevas soluciones con energias mas altas o mas bajas

1. EL OSCILADOR ARMONICO CUANTICO Resuelto por el método algebraico Presentado por: Karol Castro Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 1 23/02/2011 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS

2. EL problema cuántico es resolver la ecuación de Schrödinger para el potencial: 2 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 23/02/2011

3. Como hemos visto, en la literatura se encuentran dos enfoques completamente diferentes a este problema el primero es una solución a la ecuación diferencial, utilizando el método de expansión de series de potencias. Esta tiene la virtud de que la misma estrategia se puede aplicar a muchos otros potenciales 3 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 23/02/2011

4. La ecuación de Schrödinger 4 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 23/02/2011

5. Reacomodando en la ecuación 5 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 23/02/2011

6. La idea es factorizar la expresión entre corchetes Tenemos que: 6 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 23/02/2011

7. Aquí, sin embargo, no es tan simple, ya que u y v son operadores, y los operadores, en general no conmutan es decir uv no es lo mismo que vu. 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 7 Donde:

8. 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 8 En algebra lineal (y en sus aplicaciones en la mecánica cuántica, un operador de subida o de bajada (también conocidos como operadores escalera) es un operador que aumenta o disminuye el auto valor de otro operador. En mecánica cuántica, el operador de subida también se denomina operador de creación mientras que el de bajada se denomina operador de destrucción

9. Al trabajar con los operadores podemos cometer errores a menos que introduzcamos una función de prueba para actuar con los operadores. Al final se puede tirar la función de prueba, y se deja una ecuación que incluye solo los operadores 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 9

10. Tenemos que: 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 10 Sustituyendo

11. Simplificando: 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 11

12. Agrupando y descartando la funcion de prueba 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 12 De la mismamanerapodemoscalcular:

13. 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 13 Retomando la ecuación Schrödinger con este resultado podemos escribir la ecuación de Schrödinger en términos de sus operadores

14. 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 14 La ecuación de Schrödinger la podemos escribir de la siguiente manera: Teniamos que: De la misma manera se puede escribir:

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19. 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 19 Con esto se presenta una gran herramienta para encontrar nuevas soluciones con energías mas altas y más bajas. Llamamos factores de escala, porque estos nos permiten aumentar o disminuir la energía. Es llamado el operador que aumenta, y el operador que disminuye.

20. 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 20 Pero, qué pasa si aplicamos el operador de escalera que disminuye la energía repetidamente?

21. 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 21 Eventualmente alcanzaríamos un estado con energía menor que cero, que, de acuerdo al teorema general, esto no existe. Sabemos que es una nueva solución de la ecuación de Schrödinger, pero no hay una garantía que esta solución será normalizable. En conclusión: debe ocurrir “El escalón mas bajo” tal que

22. La ecuación diferencial seria 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico Operador de escalera que disminuye la energía 22

23. Resolviendo la ecuación diferencial 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 23

24. Ahora aplicamos el operador que aumenta la energía para generar los estados excitados 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 24

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26. Escalera de los estados estacionarios para un oscilador armónico simple 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 26

27. Referencias: 23/02/2011 Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 27 Griffiths, D. J. (1994). Introduction to Quantum mechanics. New Jersey: Prentice Hall, Inc.