comportamiento dinamico de los tanques de agua

1. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO DE TANQUES
DE AGUA
Por George W. Housner
RESUMEN
Durante el sismo de chile de mayo, 1960, un gran
número de tanques elevados fueron severamente
dañados considerando que otros sobrevivieron al
daño. Un análisis del comportamiento dinámico de
tales tanques debió tomar en cuenta el movimiento
relativo del agua en el tanque como así como el
movimiento relativo del tanque sobre el suelo.
Algunas expresiones simples se obtuvieron para las
propiedades dinámicas pertinentes del tanque con
una superficie libre de agua. Un análisis dinámico
simplificado es indicado para la respuesta de
tanques de agua elevados al movimiento sísmico del
suelo.
Boletín de la Sociedad
Americana de Sismología
Vol. 53, No. 2, pp. 381–387, Febrero, 1963
Traducido por: Alex Henrry
Palomino Encinas
Cajamarca – Perú
Mayo de 2013

2. Comportamiento Dinámico de Tanques de Agua
INTRODUCCIÓN
El desempeño de tanques elevados durante el sismo es de mucha importancia para los ingenieros,
no solamente porque de la importancia de estos tanques en el control de incendios, pero también
por que la estructura simple de un tanque elevado es relativamente fácil de analizar y, de el
estudio de tanques puede ser informativo acerca del comportamiento de estructuras durante
los sismos. Durante el sismo chileno de mayo, 1960 un número de tanques elevados de agua fueron
dañados como se describió en un paper por K. V. Steinbrugge y R. Flores. Otros tanques elevados
sobrevivieron sin daños, como se describe en el paper de W. K. Cloud. Un análisis dinámico de
tanques debe tomar en cuenta el movimiento relativo del agua respecto del tanque así como el
movimiento relativo del tanque sobre el suelo. Si un tanque cerrado esta complemente lleno de
agua o completamente vacío, es esencialmente una estructura de una sola masa. Si, como el usual,
el tanque tiene una superficie libre de agua allí estará oscilando durante un sismo y esto hace
que el tanque sea esencialmente una estructura de dos masas. Para proporciones certeras del
tanque y la estructura el oscilamiento del agua debe ser el factor dominante, considerando para
las otras proporciones la oscilación debe tener poco efecto. De otra manera, un entendimiento
del daño sísmico, o supervivencia del tanque de agua elevado requiere un entendimiento de las
fuerzas dinámicas asociado con la oscilación del agua.
TANQUES SOBRE EL SUELO
Un tanque de agua o reservorio sobre el suelo tendrá sus volúmenes excitado por oscilación
provocado por un sismo y la amplitud del oscilamiento es indicativo de la intensidad del
movimiento del suelo. Si un tanque con una superficie libre de agua (Fig. 1a) está sujeto a
aceleración horizontal del suelo 𝑎, las fuerzas ejercidas sobre el tanque por el agua son de dos
tipos. Primero, cuando el muro del tanque acelera hacia adelante y atrás una cierta fracción del
agua es forzada a participar en este movimiento, que ejerce una fuerza reactiva sobre el tanque
igual como si fuese ejercida por una masa Mo que es atada rígidamente al tanque a la altura
apropiada tal como se muestra en la Fig. 1b. La masa Mo es atada a la altura ho para que la fuerza
horizontal ejercida sea colineal con la fuerza resultante ejercida por el equivalente de agua.
Segundo, el movimiento del muro del tanque excita el agua en oscilaciones que en turnos ejercen
una fuerza de oscilación sobre el tanque. Esta fuerza de oscilación es igual a la ejercida por una
masa M1 que puede oscilar horizontalmente contra un resorte restringido tal como se muestra
en la Figura 1b. La masa M1 corresponde al modo fundamental de oscilación del agua que es el
modo de importancia para la mayoría de problemas sísmicos. Si el sistema equivalente mostrado
en la Figura 1b está sujeto a una aceleración sísmica del suelo 𝑎, las fuerzas ejercidas sobre el
tanque por Mo y M1 serán iguales al que es ejercida por el agua en el tanque de la Figura 1a.

3. Boletín de la Sociedad Americana de Sismología
Fig. 1. Sistema Dinámico Equivalente para un tanque de agua.
El tanque con superficie de agua oscilante se muestra en 1a. El sistema equivalente se muestra en
1b donde 𝑴 𝒐 y 𝑴 𝟏 producen las fuerzas dinámicas equivalentes a aquellas producidas por el agua.
El sistema equivalente es especificado por las cantidades mostradas 2
1
. Para tanques cilíndricos
de radio R y altura de agua h.
𝑀 𝑂 = 𝑀
tanh1.7𝑅/ℎ
1.7𝑅/ℎ
𝑀1 = 0.6𝑀
tanh1.8ℎ/𝑅
1.8ℎ/𝑅
s
1
Jacobsen, L. S., “Hidrodinámica impulsiva de fluidos dentro de un tanque cilíndrico”, Bull. Seism. Soc. Am.,
Vol. 39, 1949.
2
Housner G. W., “Presiones Dinámicas en contendores de fluidos acelerados”, Bull. Seism. Soc. Am., Vol. 47,
1957.

4. Comportamiento Dinámico de Tanques de Agua
𝐾1 = 5.4
𝑀1
2
𝑀
𝑔ℎ
𝑅2
ℎ 𝑜 =
3
8
ℎ {1 + 𝛼 [
𝑀
𝑀1
(
𝑅
ℎ
)
2
− 1]}
𝛼 = 1.33
ℎ1 = ℎ [1 − 0.185 (
𝑀
𝑀1
) (
𝑅
ℎ
)
2
− 0.56𝛽
𝑅
ℎ
√(
𝑀𝑅
3𝑀1ℎ
)
2
− 1]
𝛽 = 2.0
𝑇 𝜔 = 2𝜋√
𝑀1
𝑘1
= 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒
Para tanques rectangulares de longitud 2L y altura de agua h.
𝑀 𝑂 = 𝑀
tanh 1.7𝐿/ℎ
1.7𝐿/ℎ
𝑀1 = 0.83𝑀
tanh1.6ℎ/𝐿
1.6ℎ/𝐿
𝐾1 = 3
𝑀1
2
𝑀
𝑔ℎ
𝐿2
ℎ 𝑜 =
3
8
ℎ {1 + 𝛼 [
𝑀
𝑀1
(
𝐿
ℎ
)
2
− 1]}
𝛼 = 1.33
ℎ1 = ℎ [1 −
1
3
𝑀
𝑀1
(
𝐿
ℎ
)
2
− 0.63𝛽
𝑅
ℎ
√(
𝑀𝑅
3𝑀1ℎ
)
2
− 1]
𝛽 = 2.0
Si las alturas ho y h1 son determinadas sobre las bases de la dinámica de fluidos, las fuerzas
ejercidas solo en los muros del tanque (no sobre el piso), los siguientes valores deberán usarse
para tanques cilíndricos y rectangulares: 𝛼 = 0, 𝛽 = 1.
Un gráfico de la tangente hiperbólica (tanh 1.6𝑍) se muestra en la Figura 2.
La máxima oscilación del fluido está relacionado con la oscilación de la masa M1 mostrada. Si M1
está oscilando con desplazamiento 𝑥 = 𝐴1 sin 𝜔𝑡 la cresta de la onda en el muro del tanque debería
oscilar hacia arriba y abajo con desplazamiento 𝑦 = 𝑑 sin 𝜔𝑡 y para tanques cilíndricos

5. Boletín de la Sociedad Americana de Sismología
𝑑 =
0.63𝐴1 (
𝑘1 𝑅
𝑀1 𝑔
)
1 − 0.85
𝐴1
𝑅 (
𝑘1 𝑅
𝑀1 𝑔)
2
Fig. 2. Gráfico de Tanh 1.6Z
Y para tanques rectangulares
𝑑 =
0.84𝐴1 (
𝑘1 𝐿
𝑀1 𝑔)
1 −
𝐴1
𝐿
(
𝑘1 𝐿
𝑀1 𝑔
)
2
Las ecuaciones precedentes tienen buenos resultados para amplitudes de vibración 𝑑 < 2𝐿 y
𝑑 < 2ℎ, aunque a las amplitudes largas una cierta cantidad de no linealidad es observada en las
oscilaciones3
.
Como un ejemplo de las oscilaciones que pueden ser inducidas por movimientos sísmicos del suelo,
considerar un tanque rectangular de 50ft de longitud y 10ft de altura (𝐿 = 25𝑓𝑡, ℎ = 10𝑓𝑡) que
está descansando sobre el suelo. Para este tanque se obtuvo un periodo de vibración de 6
segundos. Para movimiento del suelo relativamente fuerte con un valor de velocidad no
amortiguada 𝑆𝑣 = 2.0𝑓𝑡/𝑠𝑒𝑐, el desplazamiento de la masa M1 debería tener una amplitud
𝐴 = 2.0
𝑇
2𝜋
= 1.9𝑓𝑡
s
3
Conrad, A., “Fuerzas Hidrodinámicas inducidas en contenedores de Fluidos”, Tesis, Instituto de Tecnología
de California, 1956. También se muestra en esta tesis que un tanque cilíndrico con un fondo semi esférico
puede ser tratado como un fondo del mismo volumen del tanque de agua hasta ahora como se ha ido
computando el periodo y las fuerzas dinámicas.

6. Comportamiento Dinámico de Tanques de Agua
Y la amplitud de oscilación obtenida fue
𝑑 = 1.5𝑓𝑡
Debe notarse que habrá una correspondiente oscilación del fluido a 90 grados al movimiento
precedente con el movimiento sísmico del suelo también tendrá una componente en esa dirección.
TANQUES DE AGUA ELEVADOS
Un tanque elevado de agua puede ser representado por el sistema equivalente mostrado en la
Figura 3. La constante de rigidez k representa la rigidez efectiva de la estructura y 𝑀 𝑜
′
es la
Fig. 3. Sistema dinámico equivalente para un tanque de agua elevado
masa equivalente de la estructura más Mo. Como una ilustración, un tanque tiene 𝑅 = 20𝑓𝑡 y ℎ =
15𝑓𝑡 con un periodo natural de oscilación de agua obtenido por
𝑇 = 2𝜋√
𝑀1
𝑘1
= 4.0 𝑠𝑒𝑐
Donde:
𝑀1 = 0.44𝑀 = 800000
𝑙𝑏
𝑔
𝑘1 = 62000
𝑙𝑏
𝑡𝑓

7. Boletín de la Sociedad Americana de Sismología
𝑀𝑜 = 0.35𝑀 = 640000
𝑙𝑏
𝑔
Si la masa y rigidez de la estructura son tales que
𝑘 = 700000
𝑙𝑏
𝑓𝑡
𝑀𝑜
′
= (640000 + 160000)
𝑙𝑏
𝑔
= 800000
𝑙𝑏
𝑔
Los dos modos de vibración tendrán la forma mostrada en la Figura 4, y los periodos son
respectivamente 𝑇1 = 4.2 𝑠𝑒𝑔 y 𝑇2 = 1.1 𝑠𝑒𝑔undos. Se ve que el periodo y las fuerzas del primer
modo son cerrados aproximadamente por el periodo y la fuerza del fluido con una estructura
portante infinitamente rígida. El periodo y la las fuerzas del segundo modo son esencialmente
Fig 4. Los modos de Vibración para un tanque de agua elevado
aquellos de la masa 𝑀 𝑜
′
despreciando exclusivamente la masa M1. La máxima fuerza cortante
producida por M1 durante el movimiento del suelo con 𝑆𝑣 = 2.0 es
𝐹1 =
2𝜋
𝑇
𝑀1 = 39000 𝑙𝑏
Con un periodo de 4 segundos. La máxima fuerza producida por 𝑀 𝑜
′
es
𝐹2 =
2𝜋
𝑇
𝑀𝑜
′
= 140000 𝑙𝑏
A un periodo de 1.1 segundos. Comparando con la masa total del tanque estas fuerzas son,
respectivamente, equivalente al 2% y 7% de g. Si el tanque estuviera completamente lleno tal
que no pudiera haber oscilación el periodo sería de 1.7 segundos y la fuerza sería de 220000 𝑙𝑏.

8. Comportamiento Dinámico de Tanques de Agua
Una comparación de las medidas y periodos de vibración calculados de un tanque de agua elevado
son presentados en un paper acompañado por W. K. Cloud.
Como otro ejemplo, considerar un tanque tipo pelota de golf sobre una tee con radio 𝑅 = 20𝑓𝑡 y
medio lleno de agua. Este puede ser tratado como un tanque cilíndrico del mismo radio e igual
volumen de agua4
(𝑅 = 20𝑓𝑡, ℎ = 13.3𝑓𝑡), y se obtienen los siguientes valores
𝑀 = 1000000
𝑙𝑏
𝑔
𝑀𝑜 = 0.5𝑀 = 500000
𝑙𝑏
𝑔
𝑀1 = 0.42𝑀 = 420000
𝑙𝑏
𝑔
𝑇 = 4.0 𝑠𝑒𝑔
Si esto es comparado con el caso de un tanque completamente lleno con 𝑀 𝑜 = 𝑀 Y 𝑀1 = 0, se ve
que la máxima fuerza a la que el tanque medio lleno está sujeto puede ser significativamente
menor que la mitad de la fuerza a que el tanque totalmente lleno está sujeto si las máximas
fuerzas ejercidas por 𝑀 𝑜 y 𝑀1 pasan a no coincidir. Las fuerzas actuales pueden ser tan pequeñas
como 1/3 de las fuerzas anticipadas sobre las bases de un tanque completamente lleno.
s
4
Conrad, A., loc. Cil.
Instituto de Tecnología de California
Pasadena, California
Manuscrito recibido el 12 de Abril, 1962.