El documento explica cómo calcular el área entre dos curvas. Se aproxima el área dividiendo el intervalo en subintervalos y formando rectángulos entre las curvas en cada subintervalo. Al tomar el límite cuando el número de subintervalos tiende a infinito, se obtiene el valor exacto del área como la integral definida de la diferencia absoluta de las curvas en el intervalo. Se proveen ejemplos numéricos para ilustrar el método.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I.N.T Antonio José de Sucre
Edo/Lara
Alumno:
Kristopherperez
C.I 25471477

2. El área entre dos curvas
En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.
El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida
entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .
Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.
f(x)= 3x3 - x2 - 10x g(x)= - x2 + 2x
Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva.
Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b]
en n subintervalos de longitud(b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular
de x, al que llamaremos x*.

3. 1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y
de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las
áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del
área entre las curvas.
3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor
exacto del área buscada.
4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral
definida de f(x)-g(x) en [a,b].
5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los
rectángulos es g(x*)-f(x*).
En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la
diferencia).
Definición de área entre dos gráficas:
El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo
[a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g|
en [a,b].
Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.
Dentro del intervalo (-2,2), las curvas:
y=2(1-x2) y y=x2-1
se intersectan en x = -1, 1.
f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1
El área entre las curvas en cada
subintervalo es: {4, 4, 4}
Cada una de estas áreas tiene que ser
calculada por separado.
El área total entre las curvas es:
4 + 4 + 4 = 12

4. Dentro del intervalo (-1,1.5), las
curvas:
y = -x2/3+1 y y = x2/3
se intersectan en x = 1.
f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1
El área entre las curvas en cada
subintervalo es: {1.6, 0.15867}
Cada una de estas áreas tiene que
ser calculada por separado.
El área total entre las curvas
es:1.6 + 0.15867 = 1.75867
Otros métodos: Rectángulos horizontales.
El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de
arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación
en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas.

5. Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En
[-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)1/2.
En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X2 - X1 y de altura
y.
X2 es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y2) y X1 es el valor de x dado por
la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la
misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos
horizontales desde y=-2 hasta y=1.
y=1
Entonces el área entre las curvas es igual a [3 - y2 - (y+1)] dy
y=-2
Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y2) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1,
entonces encontramos que:
9
Area entre las curvas =
2
Nota: El problema anterior pudo haber sido resuelto con rectángulosverticales (integración con
respecto a "x") pero hubiéramos tenido que calcularel área en dos partes. Primero en [-1,2]y
luego
en [2,3].