Pitagoras

1. Pitágoras de Samos
Nació : hacia el 569 a.C. en Samos, Jonia.
Murió : hacia el 475 a.C. en Metaponto (Lucania, Sur de Italia)
Filósofo y matemático griego nacido en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas
de los filósofos jónicos, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Posiblemente llegó
a conocer a Tales, aunque no se sabe con certeza. Viajó por Babilonia y Egipto, y
posiblemente también por la India. Durante estos viajes tuvo la oportunidad de conocer
las matemáticas y la astronomía de estos pueblos, siendo influido también por las
creencias de tipo religioso. Cuando regresa a Samos la isla está gobernada por el tirano
Policrates. Su espiritu libre no acepta aquello y decide emigrar a Crotona, en la Magna
Grecia, hoy sur de Italia (530 a. de C.). Allí funda una escuela o comunidad, considerada
como algunos como una secta, con propósitos religiosos, políticos y filosóficos que
alcanzó gran renombre y expansión.Su influencia políticaprovocólevantamientos contra
ellos, por lo que Pitágoras se vió obligado a huir a Tarento. Un año más tarde muere en
Metaponto.
La comunidad pitagórica tenía unas creencias muy particulares, y se regía por unas
normas muy estrictas. Una de sus doctrinas era la de la metempsicosis o transmigración
de las almas, que consistía básicamente en que el alma era eterna y se reencarnaba en
diferentes cuerpos a lo largo de sucesivas vidas hasta conseguir la perfecta purificación
o catársis. Por este motivo tenían prohibido comer carne, ya que cualquier animal podía
ser la reencarnación de un familiar o amigo fallecido. Desde el punto de vista moral, su
objetivoera seguirelcamino de lapurificación quellevaa la catársis. Estefin sealcanzaría

2. mediante el conocimiento de la filosofía y las matemáticas. Entre los alumnos de la
escuela se distinguían los acusmáticos (oyentes) a los que les imponía silencio y una
rigurosa disciplina de aprendizaje, y los matemáticos a los que se les permitía hacer
preguntas y penetrar en las más profundas enseñanzas de la escuela. Un punto
fundamental para entender la filosofía pitagórica es su conocido lema, que en palabras
de Filolao dice así:
"Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número; pues no es posible que sin número
nada pueda ser concebido ni conocido"
A partir de aquí, desarrollaron la teoría de que en el universo todo está armoniosamente
ordenado (cosmos) y por lo tanto, puede ser explicado a través de las matemáticas.
Fueron los primeros en entender la actividad matemática como una búsqueda de la
sabiduría, independiente de las necesidades de la vida práctica, y en plantearse la
necesidad de estructurarla y discutir sus principios. En palabras de Proclo:
" ...transformó esta ciencia en una forma de educación liberal, examinando sus principios desde
el comienzo y demostrando los teoremas de una forma inmaterial e intelectual"
Entre los avances realizados por los pitagóricos en el campo de las matemáticas, cabe
destacar la demostración del conocido y por siempre famoso teorema de Pitágoras, y el
descubrimiento de los números irracionales.
El teorema de Pitágoras
Este teorema era conocido en China, Mesopotamia y Egipto, mucho antes de los tiempos
de Pitágoras. Una de las demostraciones más antiguas es la siguiente. Partiendo de un
triángulo rectángulo como el de la figura 1 y utilizando cuatro de ellos, construimos la
figura 2.
Figura 1
Figura 2
En la figura 2, el área del cuadrado grande es (a+b)2. Pero la figura 2 se
descompone en 4 triángulos y un cuadrado más pegueño. El área que

3. obtenemos sumando las cinco partes es c2+4(ab/2) = c2+2ab. De aquí
obtenemos que (a+b)2= c2+2ab; es decir, a2+2ab+b2 = c2+2ab, y
simplificando a2+b2 = c2. (q.e.d.)
Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos
rectos, hecho de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas.
Tomando una cuerda y haciéndole una serie de nudos de forma que queden
determinada en ella 12 partes iguales, se ponía la cuerda formando un triangulo
cuyos lados fuesen 3, 4 y 5 partes. El ángulo opuesto al lado mayor es siempre
un ángulo de 90º.
Más mérito tiene todavía uno de los pueblos que vivía en Mesopotamia, los
babilonios. Su método de escritura se conoce con el nombre de cuneiforme.
Consistía en la grabación de una serie de marcas sobre tablillas de arcilla. Una
de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada en el siglo XIX, y lo que
se encontró en ella fue una lista de ternas pitagóricas. Estas ternas consisten en
conjuntos de tres números enteros que se correspondencon los tres lados de un
triángulo rectángulo (verifican el teorema de Pitágoras). Algunos ejemplos de
esto son: (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (12,16,20)...
Plimpton 322

4. Existe una cantidad muy numerosa de demostraciones del teorema de
Pitágoras, pero quizás la más famosa es la que aparece en "Los Elementos" de
Euclides. La idea es dividir el cuadrado mayor en dos partes de forma que cada
parte sea igual al área de uno de los cuadrados pequeños. Demostraremos
primero que el área del rectángulo amarillo (A'A''BM) es igual al área del
cuadrado amarillo (ABPQ). Comencemos viendo que los triángulos ABM y
CBP son congruentes (iguales). Esto es cierto porque:
a) Los ángulos obtusos de ABM y CBP son iguales.
b) El lado AB de ABM es igual al lado BP de CBP
c) El lado BM de ABM es igual al lado CB de CBP
Es decir, los triángulos tienen dos lados iguales e igual el ángulo comprendido.
Ahora bien, el triángulo ABM tiene un área igual a la mitad de la del rectángulo
amarillo (A'A''BM) porque tienen la misma base y altura (para verlo tomar BM
como base). Asimismo, el área del triángulo CBP es la mitad de la del cuadrado
amarillo (ABPQ) por la misma razón (tomar BP como base). Como los dos
triángulos son iguales, el rectángulo y el cuadrado también lo son. De forma
análoga se procede con el rectángulo y el cuadrado de la izquierda y el teorema
queda demostrado.
Los números irracionales

5. Los pitagóricos creían que todas las magnitudes que existían eran conmensurables; es
decir, quedadasdos magnitudescualesquierahabíauna unidad común quemedíaa cada
una de ellas un número entero de veces. Esto es lo mismo que decir que dados dos
segmentos, la longitud de uno de ellos debía ser igual que la del otro multiplicada por un
número racional. Los números irracionales no eran conocidos y, más todavía, según las
teorías de aquella época no podían existir. Así que cuando se intento medir la diagonal
de un cuadrado de radio 1, se llegó a algo sorprendente. Utilizando el teorema de
Pitágoras, llegamos a que la diagonal d del cuadrado es tal que d2=2. Como d tiene que
poder expresarse como a/b entonces d2=2=a2/b2. Multiplicando por b2 obtenemos que
a2=2b2. Descomponiendo a y b en factores primos y sustituyendo en a2=2b2, observamos
que el número de factores 2 en el miembro de la izquierda es par, mientras que en el
miembro dela derecha es impar. Esto contradice elteorema fundamental dela aritmética,
que afirma que la descomposiciónenfactores primos deun número esúnica. Concluimos
entonces que d no puede ser racional. Este hecho representó un duro golpe para los
pitagóricos ya que echaba por tierra una de sus creencias más firmes. Además muchos
de sus resultados estaban basados en el hecho de que cualquier par de magnitudes eran
conmensurables. Más tarde esos mismos resultados serían demostrados por otros
matemáticos siguiendo caminos alternativos (puede verse en los Elementos de Euclides
por ejemplo).
Articulo elaborado por José María Gómez.