Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con integrales de funciones de Rn en Rm. Incluye ejemplos de cálculo de integrales dobles, triples y cuádruples, así como problemas sobre volúmenes, masas, trabajos y flujos.

1. Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Nicolás
Unidad 5: Integrales de funciones de Rn en Rm
(Respuestas)
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
138
Unidad Nº5
INTEGRALES DE FUNCIONES DE Rn
EN Rm
Ejercicios 5.1
 0/ = ttfD
( ) kjeei

−−+= −−
4
3
25
3
14 14
 = tgD
( ) =++
4/
0
)()2()2(cos

dtktsentjtsenit

Problema 5.2
=)(tr

( ) ( ) )1(2)1(2212 222224
+++=++++ titjtitt

Ejercicios 5.3
a)
2
)( aT =
b)
3
)( aT =
Problema 5.5
Ejercicios 5.8
1.
i)  ==
2
0
1
0
1
0
2
0
),(),(),( dxdyyxfdydxyxfdxdyyxf
T
ii)  ==
11
00
1
0
),(),(),(
y
x
T
dxdyyxfdydxyxfdxdyyxf

2. Universidad Tecnológica Nacional
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Unidad 5: Integrales de funciones de Rn en Rm
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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
139
2.
a. ( ) 
+
−
2
1- 22
2
2
,
xx
x
dxdyyxf
 632/);( 2
+= xyxxyxR
b. ( ) dxdyyxf
x
x
,
3
2
2
6
 
+
 632/);( 2
+= xyxxyxR
c. ( ) dxdyyxf
x
x
,
3
1
2
3/ 






= xy
x
xyxR 2
3
31/);(
d. ( ) 
−3
0
2
0
25
,
x
dxdyyxf
 2
25030/);( xyxyxR −=
3.
a.
b.
c.
d.
4.
a) ( )






−+=
4
/,R
2
yxy
y
yx
=

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
140
6.
Ejercicios 5.9
1.
a.
b.
2.
a)
b)
c)
8
5
)1(
1
0
yx-1
0
1
0
=+ 
− +x
dydxdzx
b) ( )






−+=
4
/,R
2
yxy
y
yx
5.
a)
b)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
141
Ejercicios 5.11
1. a) Encerrada entre las curvas siguientes:
i) A=1/6 u. de Area ii) A= 9 u de Area
b) Definida por las siguientes inecuaciones:
i. ii. 5/6 u. de Area
2.
a) ( ) ( ) 5418
3
0
2222
3
0
=+−−−= 
−x
dydxyxyxV
b) ( ) 12
17
4
0
222
1
0
=−−−= 
x
dydxxyxV
c) ( ) 15
128
4
2
4
0
2
2
0
=−−= 
−x
dydxyxyV
d) ( ) 8
3
128
2
2
16
0
4
0
+=++= 
−x
dydxyxV
e)
Ejercicios 5.13
1)
2. a)  
−
−
−
=
y
y
y
dzdxdyV
3
1
1
0
1
0
2
b)  
−
−−
−−
−
=
2
2
22
1
1
1
0
1
1
x
x
yx
dzdydxV
c)  
−
−−
−−
−−
=
2
2
22
22
2
2
62
2
x
x
yx
yx
dzdydxV
Ejercicios 5.15
1. M = 3.
2. Q = 8.k
3.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
142
4.
5.
6.
Ejercicios 5.17
1.
2. 78
3.
4.
Ejercicios 5.20
1.
2. a) b)
3.
4.
5.
6. PROBLEMA 5.5.
Ejercicios 5.22
1.
a.
b.
c.
d.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
143
2.
3.
4.
5.
Ejercicios 5.24
1.
a)
b) 
 
)2918()(
2
0
4/
0
3
0
2
−==    dddsenV
c)
2.
3.
4.
5. PROBLEMA 5.6.
Problemas
Problema 5.25
(u de masa)
Problema 5.26








−
=
22
8
9
;0;0cmr

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
144
Ejercicios 5.29
1. PROBLEMA 5.25.
2.
Ejercicios 5.30
1.
1.1.
a) b)
1.2.
a) b)
2.
2.1.
a) b)
2.2.
a)
b)
3.
4.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
145
Ejercicios 5.32
1. W=0
2. W=0
3.
4. PROBLEMA 5. 26.
Ejercicio 5.36
i) ( ) 0,0/2
= rRrDf
ii)
iii)
iv) Por las condiciones de equivalencia sabemos que si f admite función potencial también
debe darse que 0. =C
rdf , como esto último no sucede, la conclusión es que f no admite
función potencial.
Ejercicio 5.39
1. Cyxyxyx +−+= 32
3),(
2. Cyeyxyx x
++−= − 22
6)cos(),(
3.
a) Kysenxxyzzyx +−+= )()cos(),,( 2

b)
Problemas
Problema 5.40: Trabajo de una fuerza sobre una curva
(u. de trabajo o energía)
Problema 5.41

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
146
Problema 5.42
Problema 5.43: Flujo que emerge de un sólido
Problema 5.44
Problema 5.45
JBrot = 0
0

=Ediv
Problema 5.46
Problema 5.47
= 0 -> q=0
Ejercicios 5.49
1. dydx
y
P
x
Q
rdf
C D
  







−


=
2.
3. PROBLEMA 5.40
Ejercicios 5.50
1.
2.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
147
Ejercicio 5.52
Ejercicios 5.53
1.
a) 022
=−+ zyx ;
22
yxz += ;





+=
=
=
22
vuz
vy
ux


v
u
b) S1: 0222
=−+ ryx z ; ;





=
=
=
uz
senvry
vrx cos
20 

v
u
c) 0=+ zy x ; yz −= x ;





−=
=
=
vz
vy
ux


v
u
d) 02222
=−++ rzyx ;
222
yxrz −−= ;





=
=
=
urz
senvsenury
vsenurx
cos
cos


20
0


v
u
2. ( ) 0252 222
=−++− zyx ; ( ) 22
225 yxz −−−= ;





=
=
+=
uz
senvsenuy
vsenux
cos5
5
2cos5


20
0


v
u
3. 0)4( 222
=−−+ yzx
4. Dadas las siguientes superficies encontrar una parametrización de la misma:
:1S





−=
=
=
2
4
cos
uz
usenvy
vux
20
20


v
u
S2:








=
=
=
3
cos
u
z
usenvy
vux


v
senvu
0
40
S3:





=
=
=
uaz
senvsenuay
vsenuax
cos
cos




v
u
0
0
5. Se trata de una curva en el espacio
6. a)





=
+=
=
usenvz
uy
vux
4
cos
20
40


v
u
b)





=
=
+=
uz
senvsenuy
vsenux
cos5
5
2cos5


20
0


v
u

11. Universidad Tecnológica Nacional
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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
148
Ejercicios 5.55
i.
1a)
1b) kjirr vu +−−= 102
1c) kjirr vu +−−= 102
1d) kjirr vu +−−= 102
2)
3)
4) S1:
S2:
S3:
5)
6) a)
b)
Ejercicios 5.56
1.
Tres casos posibles:
Vectores paralelos: ur // →vr Degenera en una curva.
Uno de los vectores nulos: →= 00 vu rr Degenera en una curva.
Dos vectores nulos: →== 00 vu rr Degenera en un punto.
2.





=
=
=
uaz
senvsenuay
vsenuax
cos
cos


20
2
0


v
u
En consecuencia, según esta parametrización, hay punto singular en el polo.

12. Universidad Tecnológica Nacional
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Unidad 5: Integrales de funciones de Rn en Rm
(Respuestas)
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
149
Ejercicios 5.59
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ejercicios 5.60
1.
Ejercicios 5.62
1. a) b)
2.
3. PROBLEMA 5.42
Ejercicios 5.64
1. 00 ==++  dSnFrotdzxydyxzdxyz
SC
2. 0),( 0 ==  dSnfrotrdyxf
SC
3.
4.
5. 0),( 0 ==  dSnfrotrdyxf
SC
6. PROBLEMAS 5.45 y 5.46.

13. Universidad Tecnológica Nacional
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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
150
Ejercicios 5.65
1.
2.
3.
4.
5.
6. PROBLEMAS 5.41, 5.42, 5.43, 5.44 y 5.47.