Monografía sobre la definición de curva y las clases de curvas en el plano.

1. Curvas del plano
Geometría
Cecilia Segura
Facultad de Filosofía Humanidades y Artes
Profesorado de matemática
17/04/2017

2. Curvas del plano
Cecilia Segura Página 1
Contenido
Curvas del plano................................................................................................................................................2
Elipse............................................................................................................................................................2
Circunferencia...............................................................................................................................................3
Hipérbola......................................................................................................................................................4
Parábola........................................................................................................................................................4
Resumen...........................................................................................................................................................5
Bibliografía........................................................................................................................................................6

3. Curvas del plano
Cecilia Segura Página 2
Curvas del plano
ambién se pueden llamar cónicas y se denominan así porque pueden obtenerse
geométricamente como la intersección de un cono circular y un plano, teniendo este plano distintas
inclinaciones respecto del eje del cono.
1
Se pueden considerar tres curvas fundamentales en el plano:
Elipse
Definición:
Se denomina elipse a toda curva del plano que verifique la siguiente condición:
Sean 𝐹 y 𝐹′ puntos fijos de un plano denominados focos, siendo 𝑎 ∈ ℝ+
entonces el
punto 𝑃 pertenece a la elipse si y sólo si ‖𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ + ‖𝐹′𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 2𝑎.
Es decir, una elipse es el conjunto de puntos del plano para los cuales la suma de las
distancias a dos puntos fijos del plano, que son los focos, es un valor constante 2𝑎.
La expresión
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 recibe el nombre de ecuación normal o canónica de la elipse.
Elementos de la elipse:
1
https://www.slideshare.net/mobile/pascualsardella9/guia-de-matematica-las-secciones-conicasterias
Curvas
Parábola
Elipse Circunferencia
Hiperbola
T
Parábola Circunferencia
Elipse
Hipérbola

4. Curvas del plano
Cecilia Segura Página 3
1) Vértices: Son los puntos de intersección de la curva con los ejes
coordenados, es decir, son los puntos 𝐴 = ( 𝑎, 0), 𝐴′
= (−𝑎, 0 ), 𝐵 = (0, 𝑏), 𝐵′
= (0,−𝑏) con
𝑎 = ‖𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = ‖𝐴′𝑇⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ y 𝑏 = ‖𝐵𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = ‖𝐵′𝑇⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ siendo el punto 𝑇 el centro de la elipse.
2) Focos: Son los puntos 𝐹 = (𝑐, 0) y 𝐹′
= (−𝑐, 0) siendo 𝑐 la denominada
distancia focal2
.
3) Ejes: Se denomina eje mayor al eje focal y eje menor a la recta normal al eje
focal trazada por el centro de la elipse.
3
Circunferencia
Es un caso particular de elipse. Ocurre cuando los focos coinciden.
Definición: Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano cuya distancia a un
punto fijo 𝐶 se mantiene constante.
En este caso, el punto fijo se denomina centro y la constante se llama radio de la
circunferencia.
A la expresión 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
se la denomina ecuación normal o canónica de la
circunferencia.
4
2
Distanciafocal:Distancia desdeel centro de la curva hasta cada uno de los focos.
3
https://www.ROBERPROF.com
4
https://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia01.html

5. Curvas del plano
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Hipérbola
Definición: Se llama hipérbola a toda curva del plano que verifique la siguiente condición:
Dados 𝐹 y 𝐹′ dos puntos fijos del plano llamados focos, y 𝑎 ∈ ℝ+
, entonces el punto 𝑃
pertenece a la hipérbola si y sólo si |‖𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ − ‖𝐹′𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖| = 2𝑎.
Es decir, una hipérbola es el conjunto de los puntos del plano cuya diferencia de distancias
a dos puntos fijos del plano, que son los focos, es un valor constante 2𝑎.
La expresión
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 se denomina ecuación normal o canónica de la hipérbola.
Elementos de la hipérbola:
1) Vértices: Son los puntos 𝑉 = ( 𝑎, 0) y 𝑉′ = (−𝑎, 0). Son los puntos de
intersección con el eje x debido a que este es el eje focal.
2) Focos: Son los puntos 𝐹 = (𝑐, 0) y 𝐹′
= (−𝑐, 0), siendo 𝑐 la distancia focal.
3) Ejes: Se denomina eje mayor al eje focal y eje transverso a la recta
perpendicular al eje focal trazada por el centro de la hipérbola.
4) Asíntotas: Son un par de rectas 𝑎1 y 𝑎2 con ecuaciones explícitas 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥,
𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥 respectivamente.
5
Parábola
Definición: Se llama parábola a toda curva del plano que verifica la siguiente condición:
Dado un punto fijo 𝐹 y una recta 𝑑 del plano entonces un punto 𝑃 pertenece a la curva si y
sólo si 𝑑( 𝑃, 𝑑) = 𝑑(𝑃, 𝐹).
La expresión 𝑦2
= 4𝑝𝑥 recibe el nombre de ecuación normal o canónica de la parábola.
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https://www.actiweb.es/geometriaanalitica/hioerbola.html

6. Curvas del plano
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Elementos de la parábola:
1) Vértice: Es el punto 𝑉 = (0,0).
2) Foco: Es el punto 𝐹 = (𝑝,0).
3) Directriz: La recta 𝑥 = −𝑝
6
Resumen
Curva Ecuación canónica
Elipse
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
Hipérbola
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Parábola 𝑦2
= 4𝑝𝑥
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https://alandavereadelarosa.blogspot.com.ar/2010/09la-parabola.html?m=1

7. Curvas del plano
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Bibliografía
Bruzual,R. (2005). Introducción a la geometría del plano y del espacio.Curvas. (M.Dominguez,Ed.)
Lafuente,J.(1998). Geometría diferencialde curvasen el plano.
Montesdeoca,Á.(2003). Representación gráfica decurvas. La Laguna.
Montesdeoca,Á.(2004). ApuntesdeGeometría diferencialde curvasy superficies. La Laguna.