Triángulos Semejantes

1. TRIÁNGULOS
SEMEJANTES

2. 1.QUÉ ENTIENDEN POR
SEMEJANZA?
2.¿CONGRUENCIA ES
IGUAL QUE SEMEJANTE?

3. A. Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque
su posición u orientación sean distintas.
B.Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos
respectivamente iguales y los lados homólogos proporcionales.
B. llamamos lados homólogos, al lado que ocupa el mismo lugar en otra u
otras figuras.

4. SEMEJANZA DE LOS TRIÁNGULOS ABC Y DEF
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
D
E
F
A C
B
Ángulos Homólogos
A = D
B = E
C = F

5. TEOREMA DE THALES : Toda recta paralela a un lado de un
triángulo que corta a los otros dos lados o a su prolongación,
determina un nuevo triángulo, que corta semejante al puesto.
𝐴𝐵
𝐸𝐹
=
𝐵𝐶
𝐹𝐺
=
𝐶𝐷
𝐺𝐻
E
G
F
HD
C
B
A
GP
N
C
M
F
E
B
A
𝐸𝐹
𝐹𝐺
=
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝑀𝑁
𝑁𝑃𝑃

6. Primer Caso.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos
ángulos respectivamente iguales.
CASOS DE SEMEJANZA

7. Segundo Caso.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen los
tres lados respectivamente proporcionales.

8. Tercer Caso.- Dos triángulo son semejantes cuando tienen un ángulo
igual y los lados que lo forman respectivamente proporcionales.

9. EJEMPLOS PROPUESTOS
1- EN EL TRIÁNGULO ABC SE TRAZA MN PARALELA A LA BASE.¿CUÁL ES
EL VALOR DE X PARA QUE EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO AMN SEA
IGUAL AL PERÍMETRO DEL TRAPECIO MNCB?
A
B C
NM
c
b
x
a
• El perímetro del triángulo AMN es:
AM+MN+NA
• El perímetro del triángulo MNCB es :
MB+BC+CN+MN
De donde: AM+MN+NA = MB+BC+CN+MN
// o //
AM+NA = MB+BC+CN…….(1)
SOLUCIÓN

10. Por otra parte AM = x , siendo los triángulos AMN y ABC semejantes
tendremos:
MB = c-x ;
BC= a
CN = b-AN = b -
𝑏𝑥
𝑐
=
𝑏(𝑐−𝑥)
𝑐
.
Luego en (1) : AM+NA = MB+BC+CN;
x +
𝑏𝑥
𝑐
= 𝑐 − 𝑥 + 𝑎 +
𝑏
𝑐
(𝑐 − 𝑥);
x + x
𝑏
𝑐
= 𝑐 − 𝑥 + 𝑎 + 𝑏 − 𝑥
𝑏
𝑐
;
2x(1 +
𝑏
𝑐
) = 𝑐 + 𝑎 + 𝑏;
2x(
𝑏+𝑐
𝑐
) = 𝑐 + 𝑎 + 𝑏;
de donde: