Un asesor financiero desea minimizar la variación de una cartera de acciones de dos firmas con una tasa de retorno mínima del 9%. Utiliza el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker para determinar la cartera óptima que cumple con las condiciones de optimalidad. Analiza cuatro casos posibles y encuentra que la solución óptima es invertir 1/3 del capital en la primera firma y 2/3 en la segunda.

1. PROGRAMACIÓN NO LINEAL CON RESTRICCIONES
DE DESIGUALDAD
Un asesor financiero está evaluando la compra de acciones de firmas de cierto
sector industrial. Desea minimizar la variación de la cartera resultante compuesta por
acciones de dos firmas, pero también quiere tener una tasa de retorno de al menos un
9%. Después de obtener datos históricos sobre la variación y rendimientos de ambos
instrumentos, desarrolla el siguiente modelo de optimización no-lineal:
Donde x e y representan la proporción de dinero invertida en cada acción.
Formule explícitamente todas las condiciones de optimalidad del Teorema de Karush-
Kuhn-Tucker para este problema y úselas para determinar la cartera óptima. Justifique
adecuadamente su respuesta. Analice todos los posibles casos.
Respuesta:
Según el Teorema de Weierstrass, el problema admite solución óptima pues
tiene una función objetivo continua y un dominio de soluciones factibles cerrado y
acotado (que se puede apreciar incluso geométricamente). En este sentido el dominio
de soluciones factibles son los puntos en la recta que unen los pares ordenados
etiquetados con las letras A y B, donde:
y

2. Más aún es fácil ver que la Matriz Hessiana de la función objetivo es positiva
definida y por ende es una función (estrictamente) convexa.
Como las restricciones son lineales, y la función objetivo es estrictamente
convexa, resulta que es problema propuesto es un problema convexo.
Las condiciones del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker para este problema son:
i)
0.32x + 0.20y + λ1 – 0.11μ1 – μ2 = 0
0.18y + 0.20x + λ1 – 0.08μ1 – μ3 = 0
ii)
(-0.11x – 0.08y + 0.09) μ1 = 0
-x1 μ2 = 0 -x3 μ3 = 0
iii)

3. x + y = 1
0.11x + 0.08y ≥ 0.09
x≥0, y≥0
iv)
μ1≥0, μ2≥0, μ3≥0
Al considerar el esquema de activación de restricciones, siempre debe estar
activa la ecuación x+y =1 y lo que cabe entonces es no activar ninguna inecuación o a lo
sumo activar una de ellas.
Los diferentes casos que se podrían llegar a analizar son:
i) Ninguna inecuación activa.
Tomamos μ1=0, μ2=0, μ3=0 y resolvemos:
0.32x + 0.20y + λ1 = 0
0.18y + 0.20x + λ1 = 0
x + y = 1
Cuya solución resulta ser: x=-0.2 e y=1.2 que es infactible.
ii) Activando sólo la inecuación 0.11x + 0.08y ≥ 0.09.
Tomamos μ2=0, μ3=0 y resolvemos:
0.32x + 0.20y + λ1 – 0.11μ1 = 0
0.18y + 0.20x + λ1 – 0.08μ1 = 0
x + y = 1
0.11x + 0.08y = 0.09
Cuya solución resulta ser: x=1/3 e y=2/3 con multiplicadores λ1=0,04444453 y
μ1=1,777777502, con lo cual tenemos un punto que cumple con todas las condiciones
del teorema.
iii) Activando sólo la inecuación x≥0.
Tomamos μ1=0, μ3=0 y resolvemos:
0.32x + 0.20y + λ1 – μ2 = 0
0.18y + 0.20x + λ1 = 0
x + y = 1
x = 0

4. Cuya solución resulta ser: x=0 e y=1 con multiplicadores λ1=-0.18 y μ2 = 0.02
pero no verifica 0.11x + 0.08y = 0.08 ≥ 0.09.
iv) Activando sólo la inecuación y≥0.
Tomamos μ1=0, μ2=0 y resolvemos:
0.32x + 0.20y + λ1 = 0
0.18y + 0.20x + λ1 – μ3 = 0
x + y = 1
y = 0
Cuya solución resulta ser: x=1 e y=0 con multiplicadores λ1=-0.32 y μ3=-0.12 y
este último no cumple con la no-negatividad.
La solución óptima es aquella obtenida en el caso ii) pues el problema es
convexo: x=1/3 e y=2/3. Dicha solución corresponde al par ordenado etiquetado con la
letra A en la gráfica anterior. El valor óptimo es 0.102222 y se obtiene simplemente al
evaluar la solución óptima en la función objetivo

5. Bibliografía
http://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-no-lineal/teorema-de-
karush-kuhn-tucker-aplicado-a-un-problema-de-programacion-no-lineal/
http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_a.html