Geotecnia 1 parte_iii

GEOTECNIA I
Año Académico 2015-2016
Dr. Lorenzo Borselli
Instituto de Geología
Fac. De Ingeniería, UASLP
lborselli@gmail.com
www.lorenzo-borselli.eu
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015

Parte III
Propiedades mecánicas
de los geomateriales
Objetivo: Stress - strain, stress total, presión neutral y
stress eficaz definición de estrés y de deformación, módulo
de elasticidad y deformación, tensiones principales.
Variables características y sus correlaciones. Circulo de
Mohr y stress en cualquier plano. Ámbito de aplicación:
todas las áreas de la geotecnia

A) Stress, Strain

Se vea también…
http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.html
Presión hidrostática
En un punto, adentro
en un masa liquida
(kPa)81.9γσ≡σ zzwhv 
!La presión es
igual en todas
las direcciones!zZ (m)

Los Componentes de tensión o
presión se pueden ilustrar
gráficamente, respecto a los
ejes de coordenadas
(x, y, z), cuyo origen es O.
Se usa comúnmente una forma
vectorial (dirección y
intensidad).
En un cuerpo real
Cualquier material solido
Los esfuerzos pueden ser
diferentes Dependiendo
da la orientación en el
espacio

En geotecnia se usa también el
Elipsoide triaxial.
En un elipsoide triaxial, los tres ejes
principales son diferentes.
es la tensión vertical, mientras
que y son los esfuerzos
horizontales.
(en esto ejemplo no se consideran los
esfuerzo cortantes.. Se ve mas
adelante..).
En un elipsoide triaxial genérico el plano
longitudinal y ecuatorial son siempre elipses
21
σ≠σ≠σ hhv
vσ
1σh 2σh

Simplificación en dos direcciones
En un elipsoide biaxial sólo hay
dos ejes principales. El eje vertical
(v) y el eje horizontal (h).
En otras palabras, el plano
ecuatorial del elipsoide es un
círculo.

En rocas y suelos
a veces la presión vertical
puede ser menor
de la horizontal…
v
 h2
 h1
21
σσσ hhv >> 21
σσσ hhv ><

(kPa)γσ zv =
(kPa)γσ zkoh =
stress (o presión)
geostatico
(presión entro los
cuerpos rocosos y
suelos )
Stress (o presión) Vertical
Stress (o presión) Horizontal
K0 = Lateral stress coefficient en condición estática.
Este varia entre 0.3 y 2.0 .. En media es 0.3-0.5
)(kN/munitariopesoγ 3

Stress geostatico vertical
a grandes profundidades
http://bc.outcrop.org/images/rocks/metamorphic/lutge8e/FG07_03A.JPG

Simbulo ellipsoide de los stress
Distribución de stress
Cuando la superficie no es horizontal
La dirección de estrés mayor no siempre
Es vertical…

(kPa))](-[γγγγσ 2132211∑ ddzddd
i
iiv +++==
A cualquier profundidad z, en suelo o rocas estratificadas la
presión total vertical es la suma de la contribución de carga de
todos lo estratos arriba el punto considerado
Z(m)
(kPa)σv
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm

http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
(kPa))γγσ wsatwunsatv (z-zz +=
Presión total vertical en un suelo con porción satura de agua abajo
de porción no satura .
Z(m)
(kPa)σv
material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVk
γγ satunsat <γ
γ
sat
unsat Peso de unitario porcion insatura
Peso de unitario porcion satura

Concepto de stress
efectivo o eficaz
En un medio poroso es
equivalente a la presión
Promedia de contacto entre
Partícula y partícula.
Si hay una presión de poro
(hidrostática ) la presión de
contacto disminuye.
Efecto del principio de
Archimedes ..
W =mg
W’ =W-Ww = mg-mw g
Principio de Archimedes
W =mg
Ww =mwg
Cuerpo solido sumergido en
un liquido
Spinta hidrostatica
'σv
'σv

http://environment.uwe.ac.uk/geocal/Soil
Mech/stresses/stresses.htm
Presión total vertical en un suelo con falda de agua abajo de una porción no
satura Y su relación con la presión hidrostática de poros u en el mismo punto.
Concepto de Stress efectivo:
wwvv hu γσ'σ =<
hw
Z(m)
(kPa)', vv σ, uσ
vσ'
σv
u
Estress
efectivo
Presion
Neutra
Presion
total
0σ'σ == uvv
uvv -σ'σ =
Zona satura
Zona no satura
'σv

-3
-8
-10
-14
-5.5
16γ,19γ == unsatsat
5.15γ,5.18γ == unsatsat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
Calcular perfil completo de: )('σ),(),(σ zzuz vv
Problema da resolver 1
)/(81.9γ 3
mkNw =
Perfil
Geotecnico
de 4
estratos
diferentes
Recordando que :

1 -3 3 19 16
2 -8 5 18.5 15.5
3 -10 2 21 18
4 -14 4 20.5 17.5
-5.5
1 -3 3 16 48 48
2A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.75
2B -8 2.5 18.5 46.25 133
3 -10 2 21 42 175
4 -14 4 20.5 82 257
datos perfil geotecnico
strato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m3
porcion satura WT (m)
stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)
Desarrollo ejercicio 1 en un hoja de calculo (excel/libre office)
1) Estructuraras datos de base
2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales
3) Calculo tensiones totales en forma simplificada
Se vea file: ejercicio1 - parte III.ods
En el material didáctico adicional

ejercicio 1 Grafico final
0 50 100 150 200 250 300
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Stress vertical
(total, neutro, eficaz)
u
Sigma tot
Sigma eff
vertical stress (kPa)
z(m)
-3
-8
-10
-14
-5.5
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)

-0 -0 -0 0
-0.5 0 8 8
-1 0 16 16
-1.5 0 24 24
-2 0 32 32
-2.5 0 40 40
-3 0 48 48
-3.5 0 55.75 55.75
-4 0 63.5 63.5
-4.5 0 71.25 71.25
-5 0 79 79
-5.5 0 86.75 86.75
-6 4.905 96 91.095
-6.5 9.81 105.25 95.44
-7 14.715 114.5 99.785
-7.5 19.62 123.75 104.13
-8 24.525 133 108.475
-8.5 29.43 143.5 114.07
-9 34.335 154 119.665
-9.5 39.24 164.5 125.26
-10 44.145 175 130.855
-10.5 49.05 185.25 136.2
-11 53.955 195.5 141.545
-11.5 58.86 205.75 146.89
-12 63.765 216 152.235
-12.5 68.67 226.25 157.58
-13 73.575 236.5 162.925
-13.5 78.48 246.75 168.27
-14 83.385 257 173.615
Z (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)
ejercicio 1
columnas
de calculo

-3
-8
-10
-14
-5.5
No saturo !!
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
Calcular perfil completo de: )('σ),(),(σ zzuz vv
Problema da resolver 2
(casi como ejercicio 1 pero el estrato 4 es no saturo (aquicludo
impermeable) )
)/(81.9γ 3
mkNw =
Perfil
Geotecnico
de 4
estratos
diferentes
Recordando que :

1 -3 3 19 16
2 -8 5 18.5 15.5
3 -10 2 21 18
4 -14 4 20.5 17.5
-5.5
1 -3 3 16 48 48
2A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.75
2B -8 2.5 18.5 46.25 133
3 -10 2 21 42 175
4 -14 4 17.5 70 245
datos perfil geotecnico
strato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m3
porcion satura WT (m)
stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)
Desarrollo ejercicio 2 en un hoja de calculo (excel/libre office)
1) Estructuraras datos de base
2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales
3) Calculo tensiones totales en forma simplificada
Se vea file: ejercicio2 - parte III.ods
En el material didáctico adicional

ejercicio 2: Grafico final
0 50 100 150 200 250 300
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Stress vertical
(total, neutro, eficaz)
u
Sigma tot
Sigma eff
vertical stress (kPa)
z(m)
Insaturo !!
5.17γ,20γ == unsatsat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)

-0 -0 -0 0
-0.5 0 8 8
-1 0 16 16
-1.5 0 24 24
-2 0 32 32
-2.5 0 40 40
-3 0 48 48
-3.5 0 55.75 55.75
-4 0 63.5 63.5
-4.5 0 71.25 71.25
-5 0 79 79
-5.5 0 86.75 86.75
-6 4.905 96 91.095
-6.5 9.81 105.25 95.44
-7 14.715 114.5 99.785
-7.5 19.62 123.75 104.13
-8 24.525 133 108.475
-8.5 29.43 143.5 114.07
-9 34.335 154 119.665
-9.5 39.24 164.5 125.26
-10 44.145 175 130.855
-10 0 175 175
-10.5 0 183.75 183.75
-11 0 192.5 192.5
-11.5 0 201.25 201.25
-12 0 210 210
-12.5 0 218.75 218.75
-13 0 227.5 227.5
-13.5 0 236.25 236.25
-14 0 245 245
Z (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)
ejercicio 2
columnas de
calculo

material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=related
Sugerencias:
Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:
• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1
• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.1 y ejercicio 6.1

B) Stress y deformación

Stress en elemento tri-dimensional (3D) en solidos

En condición de equilibrio
Las parejas de stress tangenciales
deben ser equivalentes… (pero con signo cambiado )
Stress en elemento
bi-dimensional (2D)
Stress en elemento
tri-dimensional (3D)
3D  2D

Definiciones de Deformaciones normal y de corte (normal and shear strain)
Deformaciones normal
(Linear strain): (adimensional)
Deformacion de corte
(Shear strain) : (en radianes )γ
ε

Shear modulus
o modulo de
deformación
por esfuerzo
horizontal
Elastic modulus
o modulo de
deformación
o modulo de
Young’s
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htm
Definición de modulo de elasticidad y de deformación tangencial

Los dominios de stress vs. Strain
• Region elastica
• Region plastica
• Roptura

material audiovisual:
http://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_video
El comportamiento de materiales
en términos de stress y strain se
puede poner en forma grafica…
Elastic modulus
o modulo de
deformación
o modulo de Young’s

Definición de
Poisson’s ratio

Incremento
modulo de
elasticidad
Debido a un
incremento de la
pendiente de
La porción inicial
Caso ideal de un
concreto

Modulo elástico y coeficiente de
Poisson’s de varios tipos de suelos
Nota:
1x103 kN/m2=1 MPa

Modulo elástico estatico y
coeficiente de Poisson’s por
varios tipos de rocas ..

• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1 ,6.2,6.3

C) Distribución de tensiones en el
terreno bajo de áreas cargadas

Tensión debida a una carga
puntual en un semi-espacio
Elástico.
(teoria de BUSSINESQ)
P =carga puntual (dimensión
de una presión)
Z,r,L: parámetros geométricos
para posicionar el punto, o
elemento, adonde se necesita
calcular la tensión adicional
(delta sigma) inducida da la
carga P.
Nota: en este caso se usa un sistema de
coordenadas coordinada cartesianas XYZ

En el caso de áreas cargadas uniformemente se necesita una integración de la
solución de Bussinesq (integral de superficie de la solución puntual)
Ejemplo de solución por una área rectangular:
q = presión uniforme
L,B= lados del rectángulo

Solución de Newmark
(por áreas rectangular cargada uniformemente)
Incremento de tensión vertical
Factores de escala (adimensionales)
Coeficiente de influencia que depende da
factores geométricos

Solución de Newmark
(carta de Fadum, 1948)
Solución aproximada por
Esquina de un área cargada
Uniformemente carta de Fadum.
Nota: esto coeficiente incluye
ya el divisor 4 p
Dz=q x I (Fadum)
I (Fadum) I (Newmark) /4 p

Solucion Área circular cargada
uniformemente

Bulbo de presión bajo superficies uniformemente cargadas
Area Rectangular
con lado L infinito
(area circular )

Principio de superposición (Ejemplo aplicado a área rectangular cargada
uniformemente)
[1]
[2]
[3][4]
z
4321 ΔσΔσΔσΔσΔσ zzzzz 
L1 L2
L2=L3L1=L4
B3
B3=B4
B1=B2
B1
En cualquier punto
interno se suman los
efectos a la esquina de 4
rectángulos cargados
uniformemente

Principio de superposición:
Presión inducida bajo de Terrapleno con sección trapecio o triangular
q1
=Δσ
n
IqIqIq nz σσ2σ1 ....Δσ 21
+++=
q2
q3
q4
q5
Z
i
Iσ
Cada depende de la geometría de carga de cada sub-elemento

Principio de superposición
Otro ejemplo : efecto de carga concentrada a lado de una excavación con barrera
de contención

Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974) para evaluar la presión
adicional al centro de un área con una carga distribuida:
B
Zf
Zapatas circular
Zf
B
L
Zapatas rectangular

Métodos aproximados llamado 1:2 , para evaluar la presión
adicional al centro de un área con una carga distribuida :
Los métodos aproximado
dan una solución con un
error Promedio de 5%
respecto a la solucione de
Bussinesq-Newmark

Esercicio 3 - Ejemplo de aplicación: comparación de métodos
Stress vertical inducido da una área uniforme cargada uniformemente de q=200 kPa.
El área tiene lados B=4 m y L=7 m. calcular el stress adicional a la
profundidad de 5 m debajo el centro del área cargada.
Z=5 m
B=4m
L=7m
Comparar 3 métodos
1) Método de newmark-fadum
2) Método de poulos y davis (1974)
3) Método 1:2
q
q
q
q

Método de newmark-fadum
1)Se subdivide el área cargada en 4 rectángulos iguales de lado B=2m y L=3.5m
2)Se calculan los factores m y n relativos a la profundidad Z=5m y con B=2m , L=3.5m
Z=5 m
L=3.5 m
B=2m
m=L/z=3.5/5=0.7
n= B/z=2/5=0.4
Con los valores (m,n)= (0.7,0.4)
Se deriva el valore I=0.09 en la carta de
Fadum.
Ósea a 5 m tenemos en profundidad un 9%
adicional a la presión normal, debido a
la carga uniforme q en superficie.
Aplicando el principio de superposición al centro
del área cargada se tiene que considerar el
acción combinada de los 4 rectángulos chiquito
y iguales. Entonces el factor de influencia final
es Ifadum =4 X 0.09=0.36 (nota que esto
coeficiente incluye ya el divisor 4 p)
Se obtiene al fin a z=5 m
Dz=q x I
 200x0.36=72 (kPa )
q
q
q
q

Uso de carta
de Fadum, (1948)
Dz=q x I (Fadum)
0.7
m=0.7
n=0.4
I (Fadum)0.09

Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974)
Zf
B
L
Zapatas rectangular
Dz=q X I200 x 0.326 65 kpa
Con las constantes a=2.1212
b=1.7334
Con el metodo 1:2
Dz=q X I200 x 0.283 56.56 kpa
q

• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.6,6.11 y 6.12 -
ejercicios 6.7 y 6.20

D) stress en cualquier plano
z
y
y’
z’
'y
'yz
'z
'zy
'yz
'zy
'z
'y


90

Distribución de estres
bajo una cimentación..
Los Ejes de estres mayor y
menor son
dibujados
Concepto de stress

Concepto de stress-1
stress normal
al plano PQ
Fuerza normal
al plano PR
Fuerza tangencial
al plano PR
Ensayo cilíndrico
con compresión
uniaxial
Stress UNIAXIAL

Concepto de stress-2
stress tangencial
y normal a plano
orientado de
cualquier Angulo
theta
Variación de sigmaN y Tau en un ensayo cilíndrico por
Cualquier ángulo theta
Cual es el ángulo
con max Tau y max
SigmaN?
Stress UNIAXIAL

Concepto de stress-3 Stress BIAXIAL
Stress biaxial en una plataforma
Rectangular y stress en su elemento

Concepto de stress-4 Stress BIAXIAL
stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta

Concepto de stress-5 Stress BIAXIAL generalizado

Convenciones en geo-mecanica !
Nota importante:
In geotecnia la convención de los signos
se usa una manera diferente que
en otras área de mecánica de los
materiales (donde los signos son
invertidos).
1) tensiones normales compresivas son
positivos Y tensiones normales de
tracción son negativo.
2) Orientación shear stress (Tau) sigue la
la regula siguiente:
Orientacion Anti-clockwise
-+
Orientacion clockwise
En condicion
de equilibiro

stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta

shear stress máximo en un plano
orientado según este ángulo:
0si45
0si
2
arctan
2
1
max
max
τ
τ









 

yz
yz
yz
zy
θ
θ





agua
-35°
2m
3m
2.5m
g =19 kN/m3
g=21 kN/m3
k0=0.6
k0=0.6
Exercicio 4
Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto A, en
un plano a -35° como en el dibujo.
A
En el punto A …
sigmaV = 9.81*3+19*2+21*2.5=29.4+38+52.5=119.9 (kPa) (presion vertical)
sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 (kPa) (presion horizontal)
Con tauZY=0 (kPa)
SigmaN ?
Tau?
[1]
[2]
[w]

Esfuerzo normal y e tangencial
A un plano orientado con sigma
Orientada de un Angulo teta respecto
A la horizontal
Nuestro caso:
SigmaZ=SigmaV
SigmaY=SigmaH
-35°
35°
55°
Sigma N
tau
Sigma 1=sigmaV
Sigma 3=sigmaH
el plano hace -35 grados respecto a el eje horizontal y sigma N
Es orientada a 55° al mismo eje horizontal
Con tauZY=0 (kPa)

= [119.9*0.671 + 71.9*0.329 ] = 104.1 kPa
= [-24* -0.9397 ] = 22.6 kPa
-35°
35°
55°
Sigma N = 104.1 kPa
Tau 22.6 kPa
sigmaV=119.9
sigmaH =71.9
Con tauZY=0 (kPa)

• Parry (2002)– capitulo 1- secciones 1.1, 1.2 y 1.3

E) Círculos de Mohr



 
2
21 
2min  

1max  

p2
( )zyz  ,
max
( )zyy  ,
2
( ) 
,n
Circulo de
mohr
Stress
principales,
normales y
tangenciales
y maximos

22
12 




 yz
medio
2
2
2max zy
yz
r 

 




 

Circulo de Mohr
Ejemplo en condiciones de
stress plano. Parámetros
circulo de Mohr
El circulo de Mohr permiten de
representare y calcular gráficamente todas
la condiciones de stress en un punto y en
cualquier plano
0n
0
Centro y rayo del circulo de stress plano

Zoom del anterior…..

2
2
2,1
22 zy
yzyz


 




 



2
arctan
2
1










yz
zy
pθ


Determinación de orientación
(ángulo ThetaP) de los
stress principales
(máximo y mínimo )
Cuando xy es diverso da
0 los stresses principales
non son perfectamente
verticales y horizontales.
En esto caso los estress
indicados como 1 y 2
tienen una orientación
thetap con la vertical.
z
Y
y’
z’
1
1
2
p
p
2




 
2
21 
2min  

1max  

p2
( )zyz  ,
max
( )zyy  ,
2
( ) 
,n
Circulo de
mohr
Stress
principales,
normales y
tangenciales y
maximos










 

45
0si45
0si
2
arctan
2
1
max
max
max
τ
τ
τ
p
xy
zy
zy
yz
θθ
zθ
θ




Angulo Theta donde hay el shear
stress máximo y su relación con
ThetaP
22
212
2
max










 
 zy
yz
Shear stress
maximo y su orientacion ,
cuando xy es diverso da 0

agua
-35°
2m
3m
2.5m
g =19 kN/m3
g=21 kN/m3
k=0.6
k=0.6
Exercicio 4
Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto en
un plano a -35° como en el dibujo. Pero con TauZY=30 kPa
A
En el punto A …
sigmaV = 29.4+38+52.5=119.9 kPa
sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 kPa
tauZY=30 kPa
SigmaN ?
Tau?
Recuerdo el ejemplo de el ejercicio 4…

= [119.9*0.671 + 71.9*0.329+(30*-0.93) ] = 76.2 kPa
= [ -24* -0.9397 + 30*0.34] = 32.8 kPa
-35°
35°
55°
Sigma N = 76.2 kPa
Tau 32.8 kPa
sigmaV=119.9
sigmaH =71.9
TauZY =30



 2sin2cos
22
' zy
yzyz
z 




Determinación de estrés en un
cualquier plano rotado de un
ángulo teta
z
y
y’
z’
'y
'yz
'z
'zy
'yz
'zy
'z
'y


90


 2sin2cos
22
' zy
yzyz
y 






 2cos2sin
2
' zy
yz
zy 



Circulo de Mohr para el stress eficaz : el stress eficaz se calcula
solamente para los stress principales y los stress normales pero no para el shear stress






'
2'
'
2
11
u
u
2'2
Entonces la corrección debida a la presión neutra hace que se
mueva a la izquierda todo el circulo

http://www.youtube.com/watch?v=RlDkYQqSJxs&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=DuZllNDex6s&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=YcNQS1ZltsM&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=v8wK4xezOXU&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=WegNYmngBaE&feature=relmfu
Material audiovisual acerca la distribución de stress:
• Parry (2002) – capitulo 1 – secciones 1.4 y 1.5

http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#online
Ejecutable Java software (.JRE)
Circulo de Mohr con convenciones de ingeniería
mecánica (importante…para aplicaciones geomecanicas
es necesario invertir los signos!!!)

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