Distribuciones de presiones con la profundidad

Unidad VIII
Distribuciones de presiones con la profundidad
Esfuerzos debidos a una carga puntual en la superficie
Una carga puntual concentrada, aplicada sobre la superficie horizontal de
cualquier cuerpo, un suelo por ejemplo, produce tensiones verticales en todo plano
horizontal situado dentro del mismo. Resulta obvio, sin la necesidad de cálculo
alguno, que la intensidad de la presión vertical sobre cualquier sección horizontal que
se considere disminuye de un máximo, en el punto situado directamente debajo de la
carga, hasta un valor cero, a una gran distancia de dicho punto. Una distribución de
presiones de este tipo puede representarse por una superficie en forma de campana o
de domo, como lo indica la figura VIII-1.
Como el esfuerzo ejercido por la carga de distribuye en profundidad sobre una
superficie cada vez mayor, la presión máxima sobre una sección dada, representada
por la altura máxima del domo, disminuye con la profundidad. El equilibrio, por otro
lado, requiere que la presión total sobre cualquier sección horizontal sea igual que la
carga aplicada, de modo que la disminución de la altura del domo de presiones lleve
aparejado su ensanche.
Tanto la teoría como la experiencia indican que la forma de los domos de
presiones es prácticamente independiente de las propiedades físicas del cuerpo
cargado. Por ello, en la práctica de la mecánica de los suelos es costumbre justificable
calcular estas presiones suponiendo que el material es elástico, homogéneo e
isótropo. Con estas hipótesis una carga vertical concentrada P (Figura VIII-2),
aplicada sobre una superficie horizontal de gran extensión, produce, sobre el punto A
de la masa del suelo, una tensión vertical. Estos esfuerzos de una sola carga vertical

concentrada actuante en la horizontal, fueron calculados por vez primera por
Boussinesq en el año de 1885.
Figura VIII-1. Asentamiento de un edificio fundado sobre una platea que apoya en un
suelo que contiene un estrato compresible a la profundidad D; (b) distribución de la
presión vertical sobre un plano horizontal que pasa por el centro de la capa
compresible.
Figura VIII-2. Esfuerzos provocados en un punto de una masa de suelo por una carga
concentrada.
Fuente: Terzaghi y Peck, 1948

Usando coordenadas polares (r, θ, z) las componentes del esfuerzo en un
punto determinado (Figura VIII-3) por debajo de la superficie son:
ϕ
π
=
π
=
σ 5
2
5
5
2
z
cos
2
3
z
P
R
z
2
3
z
P (VIII-1)
( )
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
π
=
σ
z
R
R
z
v
2
1
R
2
r
z
3
z
P 2
5
2
3
2
r
(VIII-2)
( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
π
−
=
σ θ
z
R
R
z
R
z
2
)
1
v
2
(
z
P 2
3
3
2
(VIII-3)
z
r
R
r
z
2
3
z
P
z
5
4
2
rz σ
=
π
=
τ (VIII-4)
0
r
z
=
τ
=
τ θ
θ
(VIII-5)
directa
unitaria
n
deformació
lateral
unitaria
n
deformació
=
v (VIII-6)
Donde: (v) es la relación de Poisson
En la práctica de la Mecánica de los suelos la expresión (VIII-1) es, con
mucho, la más usada de las anteriores y su aplicación al cálculo de asentamientos es
de fundamental importancia. A este respecto se hace necesario recalcar que las
expresiones arriba escritas, en particular la (VIII-1), se han obtenido suponiendo que
el material en cuyo seno se producen los esfuerzos que se miden es homogéneo,
isótropo, linealmente elástico y semiinfinito, limitado por una sola frontera plana. Es
evidente que el suelo no es homogéneo, pues sus propiedades mecánicas no son las
mismas en todos los puntos de su masa; ni isótropo, pues en un punto dado esas
propiedades varían, en general, en las distintas direcciones del espacio; ni linealmente

elástico, pues, las relaciones esfuerzo-deformación de los suelos no son las que
corresponden a ese comportamiento, Por último, tampoco es semiinfinita ninguna
masa de suelo.
Para la aplicación práctica la fórmula (VIII-1) es conveniente expresarla como
sigue (Figura VIII-1)
Si
2
2
y
x
r +
= y
2
2
z
r
R +
=
Entonces la Ecuación (VIII-1) nos queda
( ) ( )
⇒
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
π
=
σ
⇒
+
π
=
σ
5
2
/
1
2
2
2
z
2
/
5
2
2
5
2
z
r
z
z
2
3
z
P
r
z
z
2
3
z
P
( ) 2
/
5
2
2
z
2
/
5
2
2
2
2
z
z
r
1
1
2
3
z
P
z
r
z
1
2
3
z
P
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π
=
σ
∴
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
π
=
σ
(VIII-7)
2
/
5
2
z
r
1
1
2
3
Po
Sí
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π
=
Po
*
z
P
2
z =
σ
∴ (VIII-8)
Donde Po recibe el nombre de factor de influencia de la carga puntual.
Se puede apreciar que Po varía con los valores de r/z. En la tabla VIII-1 se
incluyen valores Po y la figura VIII-3, muestra la variación de la componente vertical
del esfuerzo a lo largo de los planos horizontal y vertical

La solución de carga puede aplicarse directamente a problemas donde la
presión de contacto pueda resolverse en una serie de cargas puntuales.
Aplicando el principio de superposición, a una serie de cargas puntuales de 1
a k, el esfuerzo vertical directo y el esfuerzo cortante vertical en un punto dado son:
∑
=
σ
k
2
z )
PPo
(
z
1
(VIII-8a)
∑
=
τ
k
2
rz
)
Po
z
r
P
(
z
1
(VIII-8b)

Tabla VIII-1. Factores de Influencia (Po) para los esfuerzos verticales debidos a una
carga puntual
1,48
1,46
1,44
1,42
1,40
1,38
1,36
1,34
1,32
1,30
1,28
1,26
1,24
1,22
1,20
1,18
1,16
1,14
1,12
1,10
1,08
1,06
1,04
1,02
1,00
r/z
0,0263
0,0275
0,0288
0,0302
0,0317
0,0332
0,0348
0,0365
0,0383
0,0402
0,0422
0,0443
0,0465
0,0489
0,0513
0,0539
0,0567
0,0595
0,0626
0,0658
0,0691
0,0727
0,0764
0,0803
0,0844
Po
0,0887
0,0983
0,0981
0,1031
0,1083
0,1138
0,1196
0,1257
0,1320
0,1386
0,1455
0,1527
0,1602
0,1681
0,1762
0,1846
0,1934
0,2024
0,2117
0,2214
0,2313
0,2414
0,2518
0,2625
0,2733
Po
10,00
8,00
7,00
6,00
5,00
4,50
4,00
3,80
3,60
3,40
3,20
3,00
2,80
2,60
2,40
2,20
2,00
1,90
1,80
1,75
1,70
1,65
1,60
1,55
1,50
r/z
0,2843
0,2955
0,3068
0,3181
0,3295
0,3408
0,3521
0,3632
0,3742
0,3849
0,3954
0,4054
0,4151
0,4243
0,4329
0,4409
0,4482
0,4548
0,4607
0,4657
0,4699
0,4732
0,4756
0,4770
0,4775
Po
0,98
0,96
0,94
0,92
0,90
0,88
0,86
0,84
0,82
0,80
0,78
0,76
0,74
0,72
0,70
0,68
0,66
0,64
0,62
0,60
0,58
0,56
0,54
0,52
0,50
r/z
0,00014
0,40
0,00006
0,42
0,00003
0,44
0,00001
0,46
0,00000
0,48
0,0002
0,38
0,0004
0,36
0,0005
0,34
0,0007
0,32
0,0009
0,30
0,0011
0,28
0,0015
0,26
0,0021
0,24
0,0029
0,22
0,0040
0,20
0,0058
0,18
0,0085
0,16
0,0105
0,14
0,0129
0,12
0,0144
0,10
0,0160
0,08
0,0179
0,06
0,0200
0,04
0,0224
0,02
0,0251
0,00
Po
r/z
Fuente: Whitlow, 1994

Figura VIII-3. Variación del esfuerzo debido a una carga puntual
σz
z
(r = 0)
P
(a)
(a) Variación de σz con respecto a z, (b) variación de σz con respecto a r.Fuente:
Whitlow, 1994
Esfuerzo debido a una carga lineal uniforme
Algunas cargas de carreteras y de tráfico de ferrocarril, así como cargas de muros,
pueden resolverse en cargas lineales, que exhiben una longitud a lo largo de una línea
dada pero sin anchura (en teoría). La solución de Boussinesq puede ampliarse para
obtener los esfuerzos consecuentes en un punto determinado (Figura VIII-4).

Figura VIII-4. Esfuerzos debidos a una carga lineal uniforme.
Carga lineal uniforme
(Q por unidad de longitud)
σr
A
r
z
ϕ
σz
Carga lineal uniforme
(Q por unidad de longitud)
σr
A
r
z
ϕ
σz
Fuente: Whitlow, 1994.
En el punto A(r, z),
L
z I
z
Q
=
σ (VIII-9)
2
L
r
z
r
I
z
Q
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
σ
(VIII-10)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
τ
z
r
I
z
Q
L
rz
(VIII-11)
Donde el factor de influencia de la carga lineal,

2
2
L
z
r
1
1
2
I
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π
=
(VIII-12)
En la tabla VIII-2 se muestran los valores de IL
La ecuación VIII-10, que representa la componente horizontal del esfuerzo,
puede servir para determinar la presión lateral y el empuje en las estructuras de
retención de tierras, tales como tablestacas y muros de concreto, Se supone que este
tipo de estructuras son rígidas y que la presión lateral se debe de hecho a dos cargas
lineales: la carga real y una carga igual colocada a la misma distancia del otro lado de
la estructura (Figura VIII-5). El esfuerzo lateral de una profundidad z debido a la
carga lineal puede obtenerse a partir de:
( )
2
2
2
rz
rz
z
x
z
x
Q
4
2
+
π
=
σ
=
σ
(VIII-12.2)
Para una estructura de una altura (o profundidad) H, el empuje lateral
resultante puede obtenerse a partir de: ⇒
σ
= ∫
H
0
'
L
dz
P rz
( ) 2
2
2
H
0
2
2
2
2
L
H
x
H
Q
2
dz
z
x
dz
z
x
Q
4
P
+
π
=
+
π
= ∫
o bien, se pone x = mH
1
m
1
Q
2
P 2
L
+
π
=
VIII-13
La P resultante actúa a través del centro del área del diagrama de distribución,
cuya posición puede determinarse tomando los momentos de área (La solución de PL
y su localización se describen al detalle en Equilibrio Plástico y Teoría de Rankine).

Tabla VIII-2. Factores de influencia (IL) para esfuerzos verticales debidos a cargas
lineales (Q)
6,0
5,0
4,0
3,5
3,0
2,9
2,8
2,7
2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2,0
r/z
0,000
0,001
0,002
0,004
0,006
0,007
0,008
0,009
0,011
0,012
0,014
0,016
0,019
0,022
0,025
IL
0,030
0,035
0,042
0,050
0,060
0,073
0,088
0,107
0,130
0,159
0,176
0,194
0,215
0,237
0,261
IL
0,287
0,315
0,344
0,375
0,407
0,440
0,473
0,505
0,536
0,564
0,589
0,609
0,624
0,633
0,637
IL
1,90
1,80
1,70
1,60
1,50
1,40
1,30
1,20
1,10
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
r/z
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
r
I
z
Q
L
rz
τ
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
z
r
I
z
Q
L
r
σ
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
r/z
Véase Figura VIII-4.
Las cimentaciones sobre zapatas corridas son aquellas en que la longitud es
considerablemente mayor en comparación con su anchura. Con frecuencia, soportan
cargas distribuidas de manera uniforme a lo largo de su longitud, o bien la
distribución se considera como casi uniforme. En tales casos, se dice que la longitud
es semiinfinita, con lo cual el problema es bidimensional.
Esfuerzos debidos a una carga corrida continua.

Al estudiar las cargas a través de una sección transversal, existen dos tipos comunes
de distribuciones que proporcionan las bases para resolver la mayor parte de los casos
prácticos:Figura VIII-5. Empuje horizontal en una estructura rígida debido a una
carga lineal.
σrz
z
(r = 0)
x = mH
h
PL (empuje resultante)
H
(Q) Q
estructura
rígida
x
Fuent
e: Whitlow, 1994.
a) Carga corrida uniforme – distribución constante a lo ancho
b) Carga corrida triangular – variación lineal a lo ancho.
La figura VIII-6 ilustra la aplicación de estos tipos básicos de cargas a
problemas comunes, tales como cimentaciones sobre zapatas o losas corridas para
muros, que pueden suponerse que transmiten una presión de contacto uniforme, y las
cargas debidas a u terraplén, que pueden resolverse en una porción central uniforme y
dos porciones laterales triangulares. Pueden ser inducidas cargas excéntricas debido
al viento y otras fuerzas horizontales, o como resultado de la presión lateral de tierras
en el caso de muros de retención. Los esfuerzos en cualquier punto por debajo de
estas cargas corridas pueden obtenerse superponiendo las diversas distribuciones
componentes.

Figura VIII-6. Cargas corridas uniformes y triangulares
(a) Carga de cimentación en zapata corrida, (b) carga de terraplén.
Carga corrida uniforme
El enfoque analítico de este caso consiste en obtener primero los esfuerzos
principales (σ1, σ3) en un punto dado. Después, se usa el círculo de fuerza de Mohr
y se evalúan los esfuerzos ortogonales en términos de los ángulos α y β (Figura VIII-
5).
Esfuerzos principales:

( ) y
sen
q
1
β
+
β
π
=
σ ( )
β
−
β
π
=
σ sen
q
3
Figura VIII-7. Esfuerzos debidos a una carga corrida uniforme
Los que conduce a los siguientes esfuerzos ortogonales:
[ )
2
cos(
sen
q
z
β
+
α
β
+
β
π
=
σ ] (VIII-
14) [ )
2
cos(
sen
q
x β
+
α
β
−
β
π
=
σ ] (VIII-15)
y al esfuerzo cortante vertical
[ )
2
cos(
sen
q
xz β
+
α
β
π
=
τ ] (VIII-16)
Los valores de los ángulos α y β pueden determinarse a partir de las
dimensiones de la sección transversal por medios trigonométricos, Sin embargo, para
fines prácticos resulta conveniente usar una expresión del factor de influencia:
σz = qIs (VIII-17)

Donde Is es el factor de influencia para una carga corrida uniforme que se
obtiene de la ecuación VIII-14, En la tabla VIII-3 se incluyen los valores de Is que
corresponden a las relaciones conjugadas z/b y x/b.
Carga corrida triangular
Cuando puede suponerse que la presión de contacto varía linealmente a través
del ancho (esto es, con x), los esfuerzos ortogonales en un punto determinado A
(Figura VIII-8) son como sigue:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
α
−
β
π
=
σ 2
sen
c
x
q
2
1
z
(VIII-18)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
α
+
β
=
σ 2
2
2
2
c
2
1
x
z
c
x
z
x
log
c
z
2
sen
c
x
y al esfuerzo cortante vertical
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
α
−
β
+
π
=
τ
c
z
2
2
s
co
1
2
q
xz
(VIII-19)
Los valores de los ángulos α y β pueden determinarse a partir de las
dimensiones de la sección transversal por medios trigonométricos, Sin embargo, para
fines prácticos resulta conveniente usar una expresión del factor de influencia:
σz = qIT (VIII-19)
Donde IT es el factor de influencia para una carga triangular que se obtiene de
la ecuación VIII-18. En la tabla VIII-.4 se muestran los valores de IT que
corresponden a las relaciones conjugadas z/c y x/c.

Tabla VIII-3. Factor de Influencia (Is) para esfuerzos verticales debidos a una carga
corrida uniforme.
0,004
0,042
0,127
0,210
0,258
0,281
0,302
0,310
0,317
0,329
0,338
0,343
0,345
3,5
x/b
0,013
0,025
0,064
0,085
0,126
0,158
0,208
0,248
0,306
0,396
0,462
0,550
0,593
0,642
0,696
0,755
0,818
0,881
0,937
0,977
0,997
1,000
0
0,054
0,085
0,126
0,157
0,208
0,247
0,304
0,393
0,458
0,543
0,585
0,633
0,685
0,743
0,805
0,869
0,928
0,973
0,996
1,000
0,2
0,064
0,085
0,126
0,157
0,207
0,245
0,301
0,385
0,445
0,524
0,563
0,605
0,653
0,707
0,766
0,829
0,896
0,955
0,992
1,00
0,4
0,063
0,084
0,126
0,156
0,205
0,242
0,294
0,372
0,426
0,494
0,526
0,562
0,602
0,646
0,696
0,755
0,825
0,906
0,979
1,000
0,6
0,063
0,084
0,125
0,155
0,202
0,237
0,285
0,355
0,400
0,455
0,497
0,566
0,534
0,564
0,598
0,638
0,691
0,773
0,909
1,000
0,8
0,063
0,084
0,125
0,154
0,200
0,234
0,280
0,345
0,386
0,433
0,453
0,474
0,495
0,517
0,540
0,566
0,598
0,651
0,775
1,000
0,9
0,063
0,084
0,124
0,153
0,198
0,231
0,275
0,334
0,370
0,409
0,425
0,440
0,455
0,468
0,480
0,489
0,495
0,498
0,500
0,500
1,0
0,063
0,083
0,123
0,150
0,192
0,222
0,259
0,305
0,328
0,348
0,353
0,356
0,354
0,347
0,332
0,305
0,258
0,178
0,059
0,000
1,25
0,063
0,083
0,121
0,147
0,186
0,212
0,242
0,274
0,285
0,288
0,284
0,276
0,263
0,243
0,214
0,173
0,120
0,059
0,011
0,000
1,50
0,062
0,087
0,117
0,140
0,171
0,188
0,205
0,211
0,205
0,185
0,172
0,155
0,135
0,111
0,084
0,056
0,030
0,011
0,002
0,000
2,0
0,061
0,078
0,107
0,122
0,136
0,139
0,134
0,114
0,095
0,071
0,060
0,048
0,037
0,026
0,017
0,010
0,004
0,001
0,000
0,000
3,0
0,056
0,069
0,082
0,083
0,075
0,065
0,051
0,032
0,022
0,013
0,010
0,008
0,005
0,004
0,002
0,001
0,001
0,000
0,000
0,000
5,0
0,041
0,041
0,032
0,025
0,015
0,010
0,006
0,003
0,002
0,001
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
10,0
50
100
20
15
10
8,0
6,0
5,0
4,00
3,0
2,5
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
z/b
Fuente: Whitlow, 1994. σz = qIs (véase Figura VIII-7)

Tabla VIII-4. Factores de Influencia (IT) para esfuerzos verticales debidos a una
carga corrida triangular
σz = qIT (véase Figura VIII-8) * En x/c = 0, 9999 y z/c = 0 IT = 0, 9999

Figura VIII-8. Esfuerzos debidos a una carga triangular en banda.
Esfuerzos debidos a una superficie circular uniformemente cargada.
En el caso de una superficie uniformemente cargada, la expresión apropiada de
Boussinesq puede integrarse sobre dicha área. Considérese primero el esfuerzo

vertical que está directamente por debajo del centro de una zapata uniformemente
cargada, de radio a (Figura VIII-9)
Figura VIII-9. Esfuerzo vertical a una superficie circular uniformemente cargada.
σz
C
L
0
r
dθ
a
elemento de área igual a:
rd θ dr
z
dr
r
σz
C
L
0
r
dθ
a
elemento de área igual a:
rd θ dr
z
dr
r
z
C
L
a a
x
z
σz
r
presión de contacto
uniforme = q
z
C
L
a a
x
z
σz
r
presión de contacto
uniforme = q
(a) Esfuerzo por debajo del centro del circulo, (b)caso general de esfuerzo
vertical

Carga en un elemento pequeño = q * r dθ dr
Tomando ésta como la carga puntual en las ecuaciones VIII-3 y VIII-8 e
integrando sobre el área circular, el esfuerzo vertical a una profundidad z es:
( )
=>
θ
+
π
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
π
θ
=
σ ∫ ∫
∫ ∫
π
π 2
0
a
0
2
/
5
2
2
3
2
/
5
2
2
0
a
0
2
z
dr
d
r
)
r
z
(
z
2
q
3
z
/
r
1
1
2
3
z
dr
d
r
q
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
+
=
σ ∫ 2
/
3
2
2
2
a
0
2
/
5
2
3
3
z
a
z
z
1
q
dr
r
)
r
z
(
z
q
3
( ) ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
σ
∴ 2
z
z
/
a
1
1
1
q (VIII-22)
Por desgracia, todavía no se ha encontrado una solución analítica para el
esfuerzo vertical general, esto es, con coordenadas (r,z) en la figura VIII-11b. Se han
obtenido algunas soluciones usando métodos numéricos, con los cuales es posible
obtener valores prácticos de precisión razonable.
σz = q (A+B) (VIII-23)
εz = q(1+v) [(1-2v) A + B] / E (VIII-24)

Tabla VIII-5. Factores de Influencia (A + B) para esfuerzo vertical bajo una
superficie circular uniformemente cargada
0,017
-0,011
0,052
-0,010
0,098
0,028
0,143
0,092
0,179
0,154
0,215
0,220
0,247
0,278
0,270
0,321
0,288
0,346
0,293
0,353
1,0
Renglón superior = A; renglón inferior = B σz = q(A+B) (véase la Fig. 5.11) εz = q(1+v)[(1-2v)A + B/E
10,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,5
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2
0
r/a
z/a
0,005
0,010
0,019
0,038
0,030
0,057
0,051
0,095
0,106
0,179
0,168
0,256
0,232
0,315
0,375
0,381
0,486
0,378
0,629
0,320
0,804
0,188
1,0
0,0
0
0,005
0,009
0,019
0,038
0,030
0,057
0,051
0,094
0,104
0,181
0,166
0,250
0,228
0,307
0,368
0,374
0,477
0,375
0,620
0,323
0,798
0,193
1,0
0,0
0,2
0,005
0,009
0,019
0,037
0,029
0,056
0,050
0,091
0,101
0.166
0,159
0,233
0,217
0,285
0,347
0,351
0,451
0,363
0,592
0,327
0,779
0,208
1,0
0,0
0,4
0,005
0,009
0,019
0,036
0,028
0,054
0,049
0,086
0,096
0,152
0,148
0,207
0,199
0,248
0,312
0,307
0,404
0,382
0,538
0,323
0,735
0,235
1,0
0,0
0,6
0,005
0,009
0,019
0,035
0,028
0,051
0,047
0,080
0,090
0,134
0,134
0,174
0,176
0,201
0,266
0,238
0,337
0,254
0,443
0,269
0,630
0,260
1,0
0,0
0,8
0,005
0,009
0,018
0,034
0,027
0,048
0,045
0,073
0,083
0,113
0,119
0,137
0,151
0,149
0,213
0,153
0,256
0,144
0,310
0,124
0,383
0,085
0,5
0,0
1,0
0,005
0,009
0,018
0,031
0,026
0,045
0,042
0,066
0,075
0,093
0,103
0,102
0,126
0,100
0,162
0,075
0,180
0,045
0,187
-0,008
0,154
-0,078
0,0
0,0
1,2
0,005
0,009
0,018
0,028
0,025
0,040
0,038
0,054
0,063
0,064
0,080
0,057
0,092
0,044
0,102
0,006
0,100
-0,021
0,086
-0,045
0,053
-0,044
0,0
0,0
1,5
0,004
0,008
0,016
0,025
0,022
0,031
0,032
0,035
0,045
0,028
0,051
0,014
0,053
0,000
0,048
-0,018
0,041
-0,025
0,031
-0,025
0,017
-0,016
0,0
0,0
2,0
0,004
0,008
0,012
0,015
0,016
0,015
0,020
0,011
0,022
0,000
0,021
-0,007
0,019
-0,010
0,014
-0,010
0,011
-0,010
0,008
-0,008
0,004
-0,004
0,0
0,0
3,0
Esfuerzos debidos a una superficie rectangular uniformemente cargada.
Nuevamente, al integrar la expresión de Boussinesq adecuada sobre el área
rectangular, se obtienen las componentes de esfuerzo que se requieren. La

componente más importante para los propósitos de diseño de ingeniería es el esfuerzo
vertical directo, para el cual se han propuesto diversos tipos de soluciones. Fadum
(1948) graficó una serie de curvas de IR, donde IR es una función de B/z y L/z (Figura
VIII-10), obteniendo el esfuerzo vertical a una profundidad z bajo una esquina de un
rectángulo uniformemente cargado cuya longitud z bajo una esquina de un rectángulo
uniformemente cargado cuya longitud es L y su ancho es B.
Figura VIII-10. Gráfica de Fadum
σz
σz = q IR
IR
B Q
y
z
∞
B/z
Factor
de
Influencia,
I
R
L/z
σz
σz = q IR
IR
B Q
y
z
∞
σz
σz = q IR
IR
B Q
y
z
∞
B/z
Factor
de
Influencia,
I
R
L/z

Por otra parte, los valores de IR pueden determinarse por medios analíticos y
tabularse para valores de L/z y B/z (tabla VIII-5). Cualquier cimiento que tenga
planta rectilínea puede considerarse como una serie de rectángulos, cada uno de ellos
tiene una esquina coincidente con el punto por debajo del cual se requiere el esfuerzo;
después, el valor del esfuerzo se obtiene por sobreposición.
Tabla VIII-5. Factores de Influencia (IR) para esfuerzos verticales bajo una esquina
de una superficie rectangular uniformemente cargada.
Véase la Figura VIII-10

Carta de influencia de Newmark.
Newmark (1942) propuso el uso de una carta que proporciona un procedimiento
gráfico aproximado para llevar a cabo la integración. La carta se divide en “campos”
de área, cada uno de los cuales representa una cantidad igual de esfuerzo a escala. En
la carta se traza un plano del área cargada con la escala indicada en ésta, de tal
manera que el punto bajo el cual se requiera la componente de esfuerzo esté situado
en el centro de la gráfica (Figura VIII-12). Se cuenta entonces el número de “campos”
cubiertos por el plano y el esfuerzo a partir de:
σz = Núm. de “campos” cubiertos) * IN * q (VIII-25)
Donde IN = factor de escala de la gráfica, esto es, el valor de influencia de un
“campo” de área para una carga uniforme unitaria.
Es posible construir cartas con diferentes valores de los factores de influencia y para
diversos componentes del esfuerzo; resultan bastante convenientes en los casos en
que el área de carga es irregular o tiene una forma compleja.
Para construir la carta de Newmark para esfuerzos verticales directos, se
resuelve la ecuación VIII-22 obteniendo la raíz positiva:
( )
[ 2
/
1
3
/
2
1
Iq
1
z
a
−
−
=
−
] (VIII-26)
q
Iq
Donde z
σ
= (VIII-27)
a/z es la porción de tamaño de una superficie circular con una carga uniforme q, que
proporciona una razón específica de esfuerzos Iq. Al sustituir los valores de Iq en esta
ecuación, se obtienen los valores de a/z que se usan para trazar una serie de círculos
concéntricos, que a su vez se subdividen con líneas radiales con objeto de obtener el

número deseado de “campos”. Así pues, si se da a Iq el valor de 0,10, se encuentra
que a/z = 0,27; es decir, que si se tiene un circulo cargado de radio a = 0,27z, donde z
es la profundidad de un punto A bajo el centro del circulo, el esfuerzo en dicho punto
será σz = 0,10 q
Si este circulo de a = 0,27 z se divide en un número de segmentos iguales (Figura
VIII-9), cada uno de ellos contribuirá al esfuerzo σz total en la misma proporción. Si
el número es 20 como es usual en las cartas de Newmark, cada segmento cooperará
para el esfuerzo σz con 0,1q/20 = 0,005q. El valor 0,005 es el valor de influencia
correspondiente a cada uno de los segmentos circulares considerados.
Si ahora se toma Iq = 0,2; resulta a/z = 0,4; es decir, para el mismo punto A a la
profundidad z, se requiere ahora un circulo cargado de a = 0,40 z, para que el
esfuerzo σz sea igual a 0,20q.
Concéntrico con el anterior puede dibujarse otro circulo (Figura VIII-11) con
dicho a = 0,40 z. Como el primer circulo producía en A un σz = 0,10 q, se sigue que
la corona circular ahora agregada produce otro σz = 0,10 q (de modo que el nuevo
circulo total genera σz = 0,20 q). Así, si los radios que dividían el primer círculo se
prolongan hasta el segundo, se tendrá la corona subdividida en áreas cuya influencia
es la misma que los segmentos originales. (0,005 q)
De esta manera puede seguirse dando a Iq valores de 0,30; 0,40; 0,50; 0,60;
0,70; 0,80; 0,90obtenieno así los radios de círculos concéntricos en función de la z del
punto A, que den los esfuerzos 0,30 q, 0,40 q, etc., en el punto A. Prolongando los
radios vectores ya usados se tendrá a las nuevas coronas circulares añadidas
subdivididas en áreas cuya influencia es igualmente 0,005 q sobre el esfuerzo en A.

Figura VIII-11. Génesis de la carta de Newmark.
Fuente: Badillo y Rodríguez, 2003
Para z/q = 1,0 resulta que el radio del circulo correspondiente es ya infinito,
para cualquier z diferente de cero, por lo que las áreas que se generan por
prolongación de los radios vectores fuera del circulo en que z/q = 0,90, aun siendo
infinitas, tienen la misma influencia sobre A que las restantes dibujadas.
La carta de Newmark puede funcionar de dos maneras diferentes:
a. Usando varias cartas de Newmark. Por ejemplo, si las z usadas para la
construcción de las cartas son 1 cm., 2 cm., 5 cm., 10 cm. y 20 cm. y se tiene un
área cargada, cuya influencia se desea determinar, representada a escala 100, las
cartas proporcionarían los σz producidos por tal área a profundidades de 1 m, 2 m,
5 m, 10 m y 20 m, que son las utilizadas a escala 100.
b. Usando una sola carta de Newmark, para lo cual será preciso disponer de varias
plantillas del área cargada cuya influencia se estudia, dibujadas a escalas
diferentes. Así, por ejemplo, si la carta de que se dispone fue construida con base

en una z de 10 cm., y se desea conocer el σz que se produce a las profundidades
de 2 m, 5m, 10m y 20m, deberán construirse las plantillas a escala tales que esas
profundidades queden representadas por la z = 10 cm.; es decir, a escalas: 20, 50,
100 y 200.
La plantilla del área cargada, dibujada en papel transparente, se coloca en tal
forma que el centro de la carta coincida con el punto bajo el cual quieran calcularse
los σz. A continuación se contarán los “campos” en la carta cubiertos por dicha área
cargada. El número obtenido multiplicado por el valor de influencia común de los
elementos da el valor de influencia total, multiplicado por la q que se tenga da el σz
deseado.
Burmister estudió el problema de la distribución de esfuerzos y desplazamientos
en un sistema no homogéneo formado por dos capas, cada una de ellas homogénea,
isótropa y linealmente elástica. La primera capa es infinita horizontalmente, pero
tiene espesor finito, h. La segunda capa, subyacente a la anterior, es semiinfinita. Se
supone que entre las dos capas existe un contacto continuo, siendo la frontera plana
entre ellas perfectamente rugosa. E1 y E2 son los módulos de elasticidad de las dos
capas se estudió el caso de interés práctico, con aplicación al diseño de pavimentos,
en el cual E1 » E2 .
En la Figura VIII-11, se muestran las curvas de influencia de la carga superficial,
supuesta circular y uniformemente distribuida, en lo referente a los esfuerzos
verticales bajo el centro del área cargada, suponiendo que el radio del círculo de carga
es igual al espesor de la primera capa. Las curvas mostradas se refieren a distintas
relaciones E1/E2 en materiales cuya relación de Poisson se fijó en el valor 0,5 para
ambas capas.

Figura VIII-12. Carta de influencia de Newmark para esfuerzo vertical

Estudios sobre sistemas no homogéneos
Figura VIII-11. Curvas de influencia de esfuerzos verticales transmitidos en un
sistema de dos capas elásticas (según Burmister)
Fuente: Badillo y Rodríguez, 1976.
Puede notarse que la frontera y para el caso E1/E2 = 1, que corresponde al
problema de Boussinesq ya tratado, el esfuerzo vertical es 70% de la presión aplicada
en la superficie, en tanto que si E1/E2 se considera de 100, dicho valor se reduce a
sólo un 10% de la presión superficial.

Figura VIII-12. Comparación de la distribución de esfuerzos verticales en un medio
homogéneo y un sistema de dos capas.
Medio Homogéneo
(Boussinesq)
1
2
1 =
E
E
Sistema de dos capas
1
2
1
10
2
1 =
=
=
h
r
v
E
E
Medio Homogéneo
(Boussinesq)
1
2
1 =
E
E
1
2
1
10
2
1 =
=
=
h
r
v
E
E
Medio Homogéneo
(Boussinesq)
1
2
1 =
E
E
1
2
1
10
2
1 =
=
=
h
r
v
E
E
Fuente: Spangler y Handy, 1982
En la Figura VIII-12, se muestra una comparación de las distribuciones del
esfuerzo vertical en un medio homogéneo y en el sistema de dos capas para el caso en
que E1/E2 = 10, v = 0,5 y r/h = 1,0. La Figura se complementa con la Figura VIII-19,
en el sentido de que muestra los esfuerzos en cualquier punto de la masa del medio y
no sólo en la vertical, bajo el centro del área cargada.
Según el análisis teórico efectuado por Burmister, el desplazamiento vertical elástico
en la superficie del sistema está dado por la expresión:

2
E
pr
F
5
,
1
=
∆ VIII-28
Donde:
∆ : desplazamiento vertical en la superficie del sistema
F : factor adimensional de desplazamiento, que depende de la
relación E1/E2 y de la relación h/r.
p : presión uniforme en el área circular
r : radio del circulo cargado
E2 : Módulo de Elasticidad de la segunda capa, semiinfinita
En la figura VIII-13, aparece una gráfica que da valores de F para diferentes
relaciones de las que tal factor depende.
Para el uso de esa gráfica es preciso determinar primeramente los valores
numéricos de E1 y E2, lo cual se logra por medio de pruebas de placa. En el caso de
que la placa transmisora de las cargas sea idealmente rígida, la ecuación (VIII-28) se
modifica a la forma
2
E
pr
F
18
,
1
=
∆ VIII-29
Si se coloca una placa rígida sobre el material que va a constituir la segunda
capa y se transmite presión, la fórmula (VIII-29) permite el cálculo de E2 pues en tal
caso F = 1, por tratarse de un sistema homogéneo de una capa. Efectuando la
prueba de placa ahora en la superficie del sistema de dos capas, la expresión (VIII-
29), nuevamente usada, permitirá el cálculo de F y la gráfica de la figura VIII-13
proporcionará la correspondiente relación E1/E2, de la cual puede deducirse el valor
E1. Con los valores de E1 y E2, así determinados pueden calcularse con las fórmulas

anteriores y la gráfica (figura VIII-13) los desplazamientos verticales bajo el centro
de cualquier área circular cargada aplicada en la superficie del sistema de dos capas.
Figura VIII-13. Factores de deformación para un sistema de dos capas
Carga circular, ρ, uniformemente
distribuida
Primera capa de Módulo de
Elasticidad E1
Segunda capa, semi-infinita,
de Módulo de Elasticidad E2
r
h
Frontera perfectamente rug osa
Relación de Poisson = 1/2, en ambas capas
Es pesor de la capa 1, (rígida)
Factor
de
d
eform
ación
para
el
sistem
a
d
e
dos
capas,
F
distribuida
Elasticidad E1
r
h
distribuida
Elasticidad E1
r
h
distribuida
Elasticidad E1
r
h
Factor
de
d
eform
ación
para
el
sistem
a
d
e
dos
capas,
F
Los resultados de Burmister se han aplicado sobre todo al diseño de
pavimentos, fungiendo el pavimento como primera capa más rígida. Sin embargo,
hasta hoy, los métodos analíticos emanados de estas teorías son menos confiables que
otros más empíricos, pero de resultados más comprobados. Debe observarse que
desde el punto de vista de transmisión de esfuerzos, las teorías de Burmister rinden

resultados que hacen aparecer los obtenidos con la solución básica de Boussinesq
como conservadores.
Figura VIII-14. Relaciones elástica no lineal entre esfuerzo y deformación en estado
monoaxial de esfuerzos
σ
ε
σ
ε
Se han realizado algunos estudios en conexión con medios semiinfinitos no
lineales y no homogéneos; es decir, con materiales que al ser sometidos a compresión
simple muestran relaciones esfuerzo-deformación del tipo indicado en la figura VIII-
14, que matemáticamente pueden expresarse:
1
n
k
n
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ σ
=
ε VIII-30
Donde k es una constante característica del material. En tal caso en que n = 1
la ecuación v-30 representará la ley de Hooke y k coincide con el módulo de
elasticidad del medio.

Las conclusiones que parecen desprenderse de estos estudios son que en los
suelo reales, que indudablemente se acercarán más en su comportamiento al tipo de
deformación elástica sugerido, los esfuerzos verticales bajo la carga concentrada son
menores que los determinados haciendo uso de la teoría clásica de Boussinesq y que
los desplazamientos verticales de los puntos bajo la carga ocurren en forma mucho
más concentrada en la cercanía de la superficie que lo que se desprende de la
mencionada teoría clásica.

Ejemplo 2. La losa de cimentación que se muestra en la figura VIII-15a, está
sometida a una carga uniforme de 25,50 ton/m2 en el área sombreada y a 15,30
ton/m2 sobre el área no sombreada. Determínese la intensidad de los esfuerzos
vertical directo y cortante en un punto a 3 m por debajo de la esquina A.
Figura VIII-15. Losa de Cimentación
Para obtener una solución usando factores de influencia (Po) de carga puntual,
la cimentación se divide en cuadrados de 1,0 m de lado y la carga uniforme se
resuelve en una serie de cargas puntuales aplicadas en el centro de los cuadrados
(Figura VIII-15b).
Carga puntual en cada cuadrado sombreado = 25,50 Ton
Carga puntual en cada cuadrado no sombreado = 15,30 Ton.
La siguiente tabla muestra los cálculos. Para cada cuadrado se determinan las
coordenadas (x,y) a partir de un origen común en A. Entonces, con lo cual se calcula
r/z.

A partir de la ecuación (VIII-8a)
Esfuerzo vertical directo, ∑
=
σ
k
2
z )
PPo
(
z
1
Sumando sobre las dos áreas de carga,
( ) ( )
[ ]
SOMBREAR
SIN
SOMBREADO
2
z PPo
PPo
z
1
∑
∑ +
=
σ
= 1/9 (25,50 * 1,7836 + 15,3 * 1,9662)
= 8,396 ton/m2
En forma análoga, a partir de la ecuación (VIII-8b):
Esfuerzo cortante vertical, ∑
=
τ
k
2
rz )
Po
z
r
P
(
z
1
= 1/9 (25,50 * 0,7281 + 15,3 * 1,1368)
= 3,996 ton/m2

Ejemplo 3
Una cimentación sobre zapata corrida de 4,3 m de ancho soporta una carga uniforme
de 10,20 ton/m2
. Grafíquese la distribución de esfuerzo vertical que se presenta en un
plano horizontal a una profundidad de 3 m. por debajo de la zapata, y (b) compárese
esta distribución con la que se obtiene al suponer una “dispersión de la carga” de 30º,
comentando los errores incurridos.
a. Puesto que la carga es uniforme, la distribución del esfuerzo vertical es simétrica
con respecto al eje central de la zapata. A continuación se muestran los esfuerzos
verticales para diferentes distancias x, que se grafican en la figura VIII-16.
Figura VIII-16. Cimentación sobre zapata corrida.
Para z = 3,00
b= 2,15
x(m) 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,15 2,50 3,00 4,00
x/b (fig. v.7) 0,000 0,233 0,465 0,698 0,930 1,000 1,163 1,395 1,860
z/b (fig. v.7) 1,395 1,395 1,395 1,395 1,395 1,395 1,395 1,395 1,395
* Los valores intermedios se obtienen por interpolación.

Por ejemplo, para x = 0,5 ; x/b = 0,233.
0,680
0,200
–
0,400
0,200
–
0,233
0.653)
–
(0,685
–
0,685
Is =
=
b. El método de dispersión de la carga de 30° es muy común como sistema para
estimar los esfuerzos verticales por debajo de una zapata corrida de cimentación;
sin embargo, produce errores sustanciales. La hipótesis consiste en suponer que la
misma carga sobre el ancho B en la base de la zapata se distribuye de manera
uniforme en una anchura Bz a una profundidad z.
Donde Bz = B + 2z tan 30°
Para la cimentación considerada en este caso:
Bz = 4,30 + 2,00 * 3,00 * tan 30°
= 7,76 m.
Entonces, σz = 10,20 * 4,30 / 7,76 = 5,65 Ton/m2
Esta distribución está representada por la línea discontinua de la Figura VIII-
16.
Suponiendo que la gráfica que se obtuvo en la parte (a) es correcta, los errores
incurridos al asumir una dispersión de carga de 30° son:
%
40
,
20
10
,
7
100
)
10
,
7
65
,
5
( −
=
−
=
ξ (Esto es, subestimación)
En el borde de la zapata:
%
77
,
21
64
,
4
100
)
64
,
4
65
,
5
( =
−
=
ξ (Esto es, sobreestimación)

En el límite de la dispersión de la carga:
%
94
,
198
89
,
1
100
)
89
,
1
65
,
5
( =
−
=
ξ (Esto es, sobreestimación)
Por consiguiente es evidente que el método de “dispersión de carga” para
estimar esfuerzos verticales debe ser evitado siempre que sea posible, cuando se
necesite el esfuerzo en un punto dado.
Ejemplo 4. En la figura VIII-17 se muestra la sección de un terraplén. Usando los
factores de influencia de las tablas VIII-3 y VIII-4, obténganse las estimaciones del
aumento en el esfuerzo vertical, que resultarán al completar el terraplén, a una
profundidad de 4,00 m por debajo de los puntos A y B. Supóngase un peso unitario
promedio de 2.04 ton/m3
para el suelo del terraplén.
Figura VIII-17. Sección Transversal de un Terraplén
Intensidad de la carga uniforme en la base de la porción central:
q = 2,04 * 6,00 = 12,24 ton/m2

Con referencia a las figuras VIII-7 y VIII-8.
En el punto A.
Para la sección central uniforme: x = 0 ∴ x/b = 0
z/b = 4,0/9,0 = 0,44
Is = 0,968
Para el talud de la izquierda: x = 21,0 m ∴ x/c = 21,0/12,0 = 1,75
z/c = 4,0/12,0 = 0,33
IT(izq.) = 0,018.
Para el talud de la derecha: x = 19,0 m ∴ x/c = 19,0/10,0 = 1,90
z/c = 4,0/10,0 = 0,40
IT(der.) = 0,014.
σz(A) = q (Is + IT(izq.) IT(der.) ) = 12,24 (0,968 + 0,018 + 0,014) = 12,20 ton/m2
En el punto B.
Para la sección central uniforme: x = 15,0 ∴ x/b = 15,0/9,0 = 1,666
z/b = 5,0/9,0 = 0,555
Is = 0,080
Para el talud de la izquierda: x = 36,0 m ∴ x/c = 36,0/12,0 = 3,00
z/c = 5,0/12,0 = 0,417
IT(izq.) = 0,001.
Para el talud de la derecha: x = 4,0 m ∴ x/c = 4,0/10,0 = 0,40

z/c = 5,0/10,0 = 0,50
IT(der.) = 0,353.
σz(A) = q (Is + IT(izq.) IT(der.) ) = 12,24 (0,080 + 0,001 + 0,353) = 5,31 ton/m2
Ejemplo 5. Un cimiento circular de 10 m de diámetro transmite una presión uniforme
de contacto de 15,30 ton/m2
. Grafíquense los siguientes perfiles de esfuerzos
verticales inducidos por esta carga; (a) Sobre el el eje central y hasta z = 10 m por
debajo del cimiento, y (b) en un plano horizontal a 6 m por debajo del cimiento, entre
el centro y hasta una distancia de 12 m desde el centro.
Con respecto a la figura VIII-9 y la tabla VIII-5:
σz = q (A+B) = 15,30 (A+B)
(a) En la siguiente tabla se muestran los valores del esfuerzo vertical a
diferentes profundidades z por debajo del centro del cimiento; valores que se
grafican en la figura VIII-12a.
q (ton/m
2
) = 15,30
Para a = 5,00 0,0
z(m) 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 8,00 10,00
z/a 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,60 2,00
A 1,000 0,804 0,629 0,486 0,375 0,293 0,232 0,156 0,106
B 0,000 0,188 0,320 0,378 0,381 0,353 0,315 0,241 0,179
σzo (ton/m
2
) 15,30 15,18 14,52 13,22 11,57 9,88 8,37 6,07 4,36
En elcentro, r/a =

(b) La siguiente tabla muestra los valores del esfuerzo vertical en un punto
horizontal a z = 6,0 m por debajo de la cimentación para diferentes
distancias desde el centro;valores que se grafican en la figura VIII-12b.
q (ton/m
2
) = 15,30 z = 6,0
Para a = 5,00 z/a = 1,20
r(m) 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 9,00 12,00
r/a 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,80 2,40
A 0,232 0,228 0,217 0,199 0,176 0,151 0,126 0,069 0,039
B 0,315 0,307 0,285 0,248 0,201 0,149 0,100 0,018 0,000
σzr (ton/m
2
) 8,37 8,19 7,68 6,84 5,77 4,59 3,46 1,33 0,60
Figura VIII-18. (a) Esfuerzo vertical en la línea central, (b) esfuerzo vertical en un
plano horizontal a una profundidad de 6,0 m.

Ejemplo 6. La figura VIII-19 muestra el plano de un cimiento rectangular que
trasmite una presión de contacto uniforme de 12,24 ton/m2
. Usando los factores de
Influencia de la tabla VIII-6, determínese el esfuerzo vertical inducido por esta carga:
(a) a una profundidad de 10,0 m por debajo del punto A, y (b) a una profundidad de
5,0 m. Por debajo de B.
a. Considérese cuatro rectángulos (1,2,3 y 4) cada uno con una esquina en A (Figura
VIII-19b): el esfuerzo vertical por debajo de A es la suma de los esfuerzos
inducidos por cada rectángulo:
Figura VIII-19. Cimiento rectangular que trasmite una presión de contacto uniforme
de 12,24 ton/m2
.
5,0 m
25,0 m
5,0 m
A 6,0 m
15,0 m
(a)
5,0 m
25,0 m
5,0 m
A 6,0 m
15,0 m
5,0 m
25,0 m
5,0 m
A 6,0 m
15,0 m
(a)
20,0 m
A
10,0 m 1 2
4
3
5,0 m
5,0 m
(b)
20,0 m
A
10,0 m 1 2
4
3
5,0 m
5,0 m 20,0 m
A
10,0 m 1 2
4
3
5,0 m
5,0 m
(b)
B
15,0 m
6,0 m
1
3
2
4
25,0 m
4,0 m
4,0 m
(c)
B
B
15,0 m
6,0 m
1
3
2
4
25,0 m
4,0 m
4,0 m
(c)
B
6,0 m
1
3
2
4
25,0 m
4,0 m
4,0 m
(c)
B

σz(A) = σz(1) + σz(2) + σz(3) + σz(4)
= q(IR(1) + IR(2) + IR(3) + IR(4)
La siguiente tabla muestra los cálculos:
z = 10,0 m
R ectang u lo L /z B /z IR
1 5 /1 0 = 0 .5 1 0 /1 0 = 1 .0 0 .1 2 0 2
2 2 0 /1 0 = 2 .0 1 0 /1 0 = 2 .0 0 .1 9 9 9
3 2 0 /1 0 = 2 .0 5 /1 0 = 0 .5 0 .1 3 5 0
4 5 /1 0 = 0 .5 5 /1 0 = 0 .5 0 .0 8 4 0
σ z(A ) = 1 2 ,2 4 (0 ,1 2 0 2 + 0 ,1 9 9 9 + 0 ,1 3 5 0 + 0 ,0 8 4 0 ) = >
σ z(A ) = 6 .6 0 to n/m 2
(b) Considérese cuatro rectángulos (1,2,3 y 4) cada uno con una esquina en B
(Figura VIII-19c). Nótese que para el rectángulo 1, L = 31,0 m y B = 19,0 m.
El esfuerzo vertical por debajo de B está dado por:
σz(B) = σz(1) - σz(2) - σz(3) + σz(4)
= q(IR(1) - IR(2) - IR(3) + IR(4)
La siguiente tabla muestra los cálculos:
z = 5,0 m

Véase Tabla VIII-5.
R e c t a n g u lo L /z B /z I R
1 3 1 / 5 = 6 . 2 0 1 9 / 5 = 3 . 8 0 0 .2 4 7 2
2 6 / 5 = 1 . 2 0 1 9 / 5 = 4 . 8 0 0 . 2 1 4 7
3 3 1 / 5 = 6 . 2 0 4 / 5 = 0 .8 0 0 . 1 8 4 9
4 6 / 5 = 1 . 2 0 4 / 5 = 1 .8 0 0 . 1 6 6 9
σ z ( B ) = 1 2 ,2 4 ( 0 ,2 4 7 2 - 0 ,2 1 4 7 - 0 ,1 8 4 9 + 0 ,1 6 6 9 ) = >
σ z ( B ) = 0 .1 8 t o n /m 2
Ejemplo 7. Constrúyase una carta de influencia de Newmark, para el esfuerzo
vertical directo, que tenga valor de influencia de 0,005 por campo. Usando esta
gráfica, determínese el esfuerzo vertical inducido a una profundidad de 10 m por
debajo del punto A, en el cimiento que se muestra en la figura VIII-20.
Figura VIII-20. Cimentación
carga uniforme en
el área sombreada = 18,36 ton/m2
carga uniforme en
el área sin sombrear = 10,20 ton/m2
10,0 m 10,0 m 8,0 m
8,0 m
4,0 m
8,0 m
carga uniforme en
el área sombreada = 18,36 ton/m2
carga uniforme en
el área sin sombrear = 10,20 ton/m2
10,0 m 10,0 m 8,0 m
8,0 m
4,0 m
8,0 m
10,0 m 10,0 m 8,0 m
8,0 m
4,0 m
8,0 m

Para un valor de influencia de 0,005, el número total de campos = 200.
Escójase el conjunto principal que contenga cada uno 40 campos, y que el anillo más
interno y el más externo contengan 20 cada uno. También, escójase el valor de escala
z = 40 mm.
Los cálculos se muestran a continuación en forma tabulada y la gráfica
resultante corresponde a la figura VIII-21.
Figura VIII-21. Construcción de la Carta de Newmark.
anillo Núm
campo
Circulo
completo
Iq
1 20,00 0,10
2 40,00 0,20
3 80,00 0,40
4 120,00 0,60
5 160,00 0,80
6 170,00 0,85
7 180,00 0,90
8 190,00 0,95
10,8
16,0
25,5
36,7
55,5
63,8
76,3
100,9
1,594
1,908
2,524
0,400
0,637
0,918
1,387
a/z=[(1-Iq)
-2/3
-1)]
1/2 Radio delanillo a (mm)
(para la escala z=40
mm)
0,270

Figura VIII-22. Carta de influencia de Newmark para esfuerzo vertical
(Dibujado en AutoCad)
Se fija para la escala AB una longitud de 10 m, esto es, para una profundidad
z, se traza el plano del cimiento (papel transparente) sobre la gráfica de influencia con
el punto de referencia (A) directamente por encima del centro de la carta (Figura
VIII-22). El número de campos cubiertos es de:
Área sombreada = 75
Área sin sombrear = 47
Entonces, el esfuerzo vertical a 10 m por debajo del punto A es:
σz = 75*0,005*18,36 + 46*0,005*10,20 = 9.23 ton/m2

Figura VIII-23. Cimentación llevada a la Escala del Valor de Influencia I=0.005.
z
AB
D
d
=
Donde:
d: Dimensión a escala
D: Dimensión del área donde se
investigará el σz
z: profundidad donde se
investigará el σz
carga uniforme en
elárea sombreada = 18,36ton/m2
carga uniforme en
elárea sin sombrear = 10,20ton/m2
10,0 m 10,0 m 8,0 m
8,0 m
4,0 m
8,0 m
carga uniforme en
elárea sombreada = 18,36ton/m2
carga uniforme en
elárea sin sombrear = 10,20ton/m2
10,0 m 10,0 m 8,0 m
8,0 m
4,0 m
8,0 m
10,0 m 10,0 m 8,0 m
8,0 m
4,0 m
8,0 m
AB: Escala de la carta de Newmark
Se procede con el cambio de escala y llevarla hasta el valor de AB, que en nuestro
caso es de 2,50 cm, por lo tanto, con una carta de Newmark conocida.

8,0 2,50 10,00 2,00
4,0 2,50 10,00 1,00
8,0 2,50 10,00 2,00
10,0 2,50 10,00 2,50
10,0 2,50 10,00 2,50
8,0 2,50 10,00 2,00
Dimensiones del
cimiento D(m)
AB
(Para un valor de
influencia de
0,005)
Profundidad z(m) Dimensión a escala
d(cm)
Figura VIII-24 Carta de influencia de Newmark para esfuerzo vertical
Fuente: Fuente: Whitlow, 1994.

Se procede a contar el número de campos para cada área, esto es:
Área sombreada = 73 campos
Área sin sombrear = 41 campos.
Entonces, el esfuerzo vertical a 10 m por debajo del punto A es:
σz = 73*0,005*18,36 + 41*0,005*10,20 = 8,88 ton/m2.
Suponiendo que la gráfica que se obtuvo en la figura VIII-22, es correcta, el
error incurrido al considerar una carta de Newmark ya realizada, es de:
%
79
,
3
23
.
9
100
)
88
.
8
23
.
9
( =
−
=
ξ Pudiera ser tolerable
Con este valor del error de 3,79 %, se dice, que pudiera ser tolerable, solo en
el caso de no contar con los recursos necesarios, disponibles a la mano, para la
realización de la carta de Newmark.
Véase Table VIII-5.
R e c t a n g u lo L /z B /z I R
1 3 1 / 5 = 6 .2 0 1 9 / 5 = 3 .8 0 0 .2 4 7 2
2 6 / 5 = 1 .2 0 1 9 / 5 = 4 .8 0 0 .2 1 4 7
3 3 1 / 5 = 6 .2 0 4 / 5 = 0 .8 0 0 .1 8 4 9
4 6 / 5 = 1 .2 0 4 / 5 = 1 .8 0 0 .1 6 6 9
σ z ( B ) = 1 2 ,2 4 ( 0 ,2 4 7 2 - 0 ,2 1 4 7 - 0 ,1 8 4 9 + 0 ,1 6 6 9 ) = >
σ z ( B ) = 0 .1 8 t o n /m 2

REFERENCIAS
American Society for Testing and Materials. 1995. Section 4 Construction. Volume
04.08 Soil and Rock (I): D 420 – D 4914. Annual Book of ASTM Standards
American Society for Testing and Materials International Standards Worldwide.1996.
(Libro de Estándares en línea). Volumen (04.08). Disponible en:
http://www.astm.org/cgibin/SoftCart.exe/STORE/iltrexx40.cgi?U+mystore+lr
og7106+-L+D4546+/usr6/htdocs/astm.org/DATABASE.ART/PAGES/D454
6.htm (17 Marzo 2003)
Badillo J. y Rodríguez R. 1976. Mecánica de Suelos. Tomo I. Fundamentos de la
Mecánica de Suelos. 3ª Edición. Editorial Limusa. México.
Badillo J. y Rodríguez R. 2003. Mecánica de Suelos. Tomo II. Teoría y aplicaciones
de la Mecánica de Suelos. XXII reimpresión de la 2ª Edición. Editorial
Limusa. México.
Manual de Trabajo de Grado de Especialización, Maestría y Tesis Doctorales. 1998.
Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Venezuela.
Spangler M. y Handy R. 1982. Soil Engineering. Four Edition. Harper & Row,
Publushers, New York.U.S.A.
Terzaghi, K. 1943. Theoretical Soil Mechanics. John Wiley & Sons, Inc. New York,
U.S.A
Terzaghi K. y Peck R. 1955. Mecánica de Suelos en la Ingeniería Práctica. Editorial
“El Ateneo” S.A. Barcelona, España.

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