algebra semana 1

1. Jaén – Perú, agosto 2021
GUÍA DE APRENDIZAJE
SEMANA N° 01
CURSO: Álgebra Lineal
DOCENTE: Lic. Mat. Roy Lander Sigüeñas Fernández

2. ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................................................................2
2. OBJETIVOS EDUCACIONALES Y RESULTADOS DE LOS ESTUDIANTES........................................2
3. DESARROLLO .............................................................................................................................................2
3.1. Matrices..................................................................................................................................................2
3.2. Operaciones con matrices .......................................................................................................................5
3.3. Matrices especiales:................................................................................................................................9
4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN...............................................................................................................6
5. GLOSARIO..................................................................................................................................................10
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICA............................................................................................................11

3. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
2
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
1. INTRODUCCIÓN
El tema que vamos a desarrollar en la presente Guía de Aprendizaje, está basado en resolver matrices que nos
llevan a conocer un sin fin de métodos que nos facilitan algunos problemas matemáticos, ya que las matrices
representan de forma implícita una particular relación evolutiva. La elección de una matriz determinada puede
afectar enormemente al resultado del análisis, y por lo cual es necesario saber utilizarlas
Por esta razón la utilidad de las matrices en la Ingeniería Mecánica y Eléctrica, se da en resolver problemas
que se encuentran en muchas dimensiones cuando se tienen problemas que solo se pueden resolver con
sistemas de ecuaciones diferenciales se arman matrices con dichas ecuaciones de tal manera que se pueda
solucionar ese problema, básicamente sirven para la dinámica estructural, mecánica de fluidos, calculo
estructural, entre otros temas.
2. OBJETIVOS EDUCACIONALES Y RESULTADOS DE LOS ESTUDIANTES
OE1: Se desempeña profesionalmente de forma competente para gestionar, mediante la planificación, el
diseño, la construcción, el mantenimiento y/o el mejoramiento, sistemas energéticos y electromecánicos.
OE2: Se desempeña con profesionalismo, para Desarrollar Investigación científica y tecnológica con carácter
innovador, para el desarrollo y la solución de problemas con énfasis en las diversas áreas de la Ingeniería
Mecánica y Eléctrica.
OE3: Se desempeña profesionalmente de forma competente para formular proyectos sostenibles en el ámbito
de la Ingeniería Mecánica Eléctrica con responsabilidad social y principios éticos y humanistas.
3. DESARROLLO
3.1. Matrices
Obs 1:
• Una matriz de m filas y n columnas se dice que es de orden m n
 y esta se encierra entre “corchetes” o
“paréntesis”.
• Una matriz de orden 1 n
 (de una sola fila) se denomina matriz fila y otra de orden 1
m (de una sola
columna) se denomina matriz columna.
Matriz
Definición 1: Es un arreglo, de forma rectangular, de m n
 elementos ordenados en “m” filas (líneas
horizontales) y “n” columnas (líneas verticales) y que además verifican determinadas reglas de
operación. (Vera Gutiérrez, 2003).

4. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
3
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
 1 3
7 6 3
C 
= −
3 1
1
2
3
D

 
 
=  
 
 
Matriz fila Matriz columna
Una matriz de orden m n
 , en general, se representa así:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn m n
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
, Notación de LEIBNITZ
Donde ij
a se denomina elementos de la matriz; siendo el primer subíndice ( )
i el número de fila y
el segundo subíndice ( )
j el numero de la columna a las pertenece dicho elemento.
Ejemplo
 El elemento 24
a está ubicado en la fila 2 y columna 4.
 El elemento 2
m
a está ubicado en la fila m y columna 2.
La matriz anterior se puede representar, en forma abreviada, así:
ij m n
A a

 
=   donde 1;2;3;...;
i m
= y 1;2;3;...;
j n
= Notación de KRONECKER
 
11
A a
= 11 12
21 22
a a
B
a a
 
=  
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
C a a a
a a a
 
 
=  
 
 
Una matriz cuadrada de orden n n
 , en general, se representa así:
Matriz Cuadrada
Es aquella donde el número de filas es igual al número de columnas. Una matriz de “n” filas y “n”
columnas se denomina matriz de orden n. Se denota por ij n n
A a

 
=   . (Vera Gutiérrez, 2003)

5. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
4
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
En toda matriz cuadrada de orden “n”, la diagonal principal es aquella línea imaginaria formada por los
elementos: 11 22 33
; ; ;...; nn
a a a a .
Los elementos de la forma ii
a ; 1;
i n
 = , pertenece a la diagonal principal.
2 3
5 5
A
−
 
=  
−
 
→Es una matriz cuadrada de orden 2.
2 3 4
1 0 1
4 2 5
B
−
 
 
= −
 
 
− −
 
→Es una matriz cuadrada de orden 3.
Ejemplo 1:
Hallar los valores de . . .
x y z w, para que las matrices sean iguales:
1 3
2 1
x z
A
y w
− +
 
=  
−
 
y
2 3
4 1
B
 
=  
−
 
Hallar los valores de a b c d
+ + + , para que las matrices sean iguales:
2 4
13 3
a b
A
c d
+ −
 
=  
+
 
y
19 2
3 15
a b
B
c d
+
 
=  
+
 
Matriz Cero
Es aquella donde todos sus elementos son iguales a cero. Puede ser cuadrada como puede no serlo
Igualdad de Matrices
Definición: Sean dos matrices A y B del mismo orden m n
 es decir:
ij m n
A a

 
=   ; ij m n
B b

 
=   ; 1;2;3;...;
i m
= y 1;2;3;...;
j n
=
Las matrices A y B son iguales si sus elementos correspondientes son respectivamente iguales. Así:
ij ij
A B a b
=  = ; 1;
i m
 = , 1;
j n
= .

6. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
5
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
3.2. Operaciones con matrices
Sean las matrices
( )
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
ij n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a a
a a a a
 
 
 
 
= =
 
 
 
 
y ( )
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
ij n
m m m mn
b b b b
b b b b
B b b b b b
b b b b
 
 
 
 
= =
 
 
 
 
dos matrices de m n

11 11 12 12 13 13 1 1
21 21 22 22 23 23 2 2
31 31 32 32 33 33 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m m m m mn mn
a b a b a b a b
a b a b a b a b
C A B a b a b a b a b
a b a b a b a b
+ + + +
 
 
+ + + +
 
 
= + = + + + +
 
 
 
+ + + +
 
Dos matrices A y B del mismo orden m n
 , se dice que son CONFORMES con respecto a la adición.
Solo se suman matrices del mismo orden.
Ejemplo 2:
Sea:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
 
 
 
 
=
 
 
 
 
, entonces
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
.
n
n
n
m m m mn
ka ka ka ka
ka ka ka ka
k A ka ka ka ka
ka ka ka ka
 
 
 
 
=
 
 
 
 
Adición de Matrices
Definición 1: Sean ij
A a
 
=   y ij
B b
 
=   dos matrices de orden m n
 , entonces la adición de las
matrices A y B ( )
A B
+ es otra matriz ij
C c
 
=   , llamada matriz suma, tal que:
ij ij ij
C c a b
   
= = +
   
y también de orden m n
 .
Multiplicación de una matriz por un escalar.
Definición 2: Sea la matriz ij
A a
 
=   es una matriz de m n
 y un escalar k ( )
0
k  , entonces:
. . ij
k A k a
 
=   o . .
ij
A k a k
 
=  
Es decir, el escalar k multiplica a cada uno de los elementos de la matriz A.

7. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Sea:
2 0
1 1
3 2
A
 
 
= −
 
 
−
 
,entonces
6 0
3 3 3
9 6
A
 
 
= −
 
 
−
 
y
10 0
5 5 5
15 10
A
−
 
 
− = −
 
 
−
 
Propiedades:
Sean ,
k R
  son escalares (números reales) y , m n
A B R 
 , se cumplen:
1. ( ) ( )
k A B kA kB A B k
+ = + = +
2. ( )
1
A A
− = −
3. ( )
A B A B
− = + −
4. ( ) ( ) ( )
k A k A kA
  
= =
5. ( )
k A kA A
 
+ = +
Observación 3: Dos matrices se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera matriz es
igual al número de renglones de la segunda.
Ejemplo 3:
Sean las matrices
2 3
2 0 3
1 4 2
A

−
 
=  
−
 
y
3 3
3 2 0
1 2 2
4 1 3
B

− −
 
 
=  
 
− −
 
. Hallar, si existe, el producto AB
Multiplicación de Matrices
Definición 3: Sean dos matrices
11 12 13 1p
A a a a a
 
=   , matriz fila de orden 1 p
 y
11
21
31
1
p
b
b
b
B
b
 
 
 
 
=
 
 
 
 
, matriz columna de 1
p  .
entonces el producto de multiplicar las matrices A y B ( .
A B en ese orden) es
11 11 12 21 13 31 1 1 1 1
. ... p p
C AB a b a b a b a b

 
= = + + + +
 
es decir: 1 1
1 1 1
p
k k
k
C a b
= 
 
=  
 
 
 .

8. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
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Solución:
Aquí tenemos que:
A es una matriz de 2 3
 y
B es una matriz de 3 3

❖ Como el número de columnas de A es igual al número de filas de la matriz B, entonces existe el producto
AB C
= . donde C es una matriz 2 3
 , de la forma
11 12 13
21 22 23 2 3
c c c
C
c c c 
 
=  
 
❖ Los elementos ij
c de la matriz C se obtienen así:
( ) ( )
11 2,0, 3 3,1,4 6 0 12 18
C = − − = − + − = − (es el producto escalar, de la FILA 1 de A por la columna 1
de B).
( ) ( )
12 2,0, 3 2,2, 1 4 0 3 1
C = − − − = − + + = − (es el producto escalar, de la FILA 1 de A por la columna 2
de B).
( ) ( )
13 2,0, 3 0,2, 3 0 0 9 9
C = − − = + + = (es el producto escalar, de la FILA 1 de A por la columna 3 de
B).
( ) ( )
21 1, 4,2 3,1,4 3 4 8 1
C = − − = − − + = (es el producto escalar, de la FILA 2 de A por la columna 1 de
B).
( ) ( )
22 1, 4,2 2,2, 1 2 8 2 12
C = − − − = − − − = − (es el producto escalar, de la FILA 2 de A por la columna 2
de B).
( ) ( )
23 1, 4,2 0,2, 3 0 8 6 14
C = − − = − − = − (es el producto escalar, de la FILA 2 de A por la columna 3 de
B).
Conclusión: la matriz C es
2 3
18 1 9
1 12 14
C

− −
 
=  
− −
 
Método practico: El producto AB se podría hallar fácilmente, colocando la matriz B a la derecha de A, en
la parte inferior.
Ver el siguiente ejemplo:
En segundo lugar, "manchar" las filas de A y las columnas de B para encontrar las intersecciones.

9. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Las intersecciones son los elementos ij
C de la matriz producto C AB
= .
En tercer lugar, calcular los elementos ij
C hacienda el producto escalar siguiente:
11
C = primera FILA de A por primera columna de B
12
C =primera FILA de A por segunda columna de B
13
C = primera FILA de A por tercera columna de B
21
C = segunda FILA de A por primera columna de B
22
C =segunda FILA de A por segunda columna de B
23
C = segunda FILA de A por tercera columna de B
Propiedades:
1
M : ( ) ( )
m n n p p q m n n p p q
A B C A B C
     
=
2
M : ( )
A B C AB AC
+ = + , siempre que tenga sentido B C
+ , AB , AC
3
M : ( )
B C A BA CA
+ = + , si tienen sentido B C
+ , BA, CA
4
M : n n n m n m
I A A
  
= o n m m m n m
A I A
  
=
5
M : p m m m p n
A
 
  
=
6
M : ( ) ( ) ( )
AB A B A B
  
= = , R

 
Ejemplo 4:
Dadas las matrices
3 2
2 1
3 0
2 2
A

−
 
 
=  
 
−
 
,
2 4
3 0 2 1
2 4 3 2
B

 
=  
− − −
 
. Hallar el producto AB , si existe.
Solución:
3 2 2 4 3 4
A B C
  
=  El producto A por B es una matriz 3 4
C  . Hallemos la matriz C.
Donde:

10. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
11 6 2 8
C = − − = −
12 0 8 4
C = + =
13 4 3 7
C = − − = −
14 2 2 4
C = − − = −
12 9 0 9
C = + =
22 0 0 0
C = + =
23 6 0 6
C = + =
24 3 0 3
C = + =
31 6 4 10
C = − − = −
32 0 8 8
C = + =
33 4 6 10
C = − − = −
34 2 4 6
C = − − = −
Traza de una matriz
A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se le denomina traza y se denota
por:
( ) 11 22 33
1
...
n
nn ij
i
traza A a a a a a
=
= + + + + = 
Sea
6 1 3
2 2 1
4 3 5
A
−
 
 
= −
 
 
 
, entonces ( ) 6 ( 2) 5 9
traza A = + − + =
Propiedades:
1. ( ) ( ) ( )
Traza A B Traza A Traza B
+ = +
2. ( ) ( )
Traza kB kTraza A
= ; k
 escalar ( )
0
k 
3. ( ) ( )
Traza AB Traza BA
=
3.3. Matrices especiales:
0
0 0
0 5
3
0 0
0
A
 
 
=  
 
 
1
0
3
2
3
2 1 2
4 2
0 2
0 0
0 0
B
− −
 
 
 
=
 
−

 
−

En general:
Matriz Triangular Superior
Es aquella matriz cuadrada ij
A a
 
=   , cuyos elementos que están por debajo de la diagonal principal
son todos nulos, es decir: 0
ij
a = , i j
  (Vera Gutiérrez, 2003)

11. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
2
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0
0 0
0 0 0
n
n
n n n
nn
a a a a
a a a
A a a
a

 
 
 
 
=
 
 
 
 
1
1 3
0
A
 
=  
−
 
1
0 0
2
0 3
2
0
1
B
 
 
=  
 
− −
 
0
2
1 2
3 1 2
0 3
0 0
0 0
1
0
2
C
−
 
 
−
 
=
 
−
 
−
 
En general:
11
21 22
31 32 33
1 2 3
0 0 0
0 0
0
n n
n n n nn
a
a a
A a a a
a a a a

 
 
 
 
=
 
 
 
 
Ejemplo 5:
( )
4 0
4;2
0 2
A Diag
 
= =
 
−
 
; ( )
0 0 0
0 3 0 0; 3;0
0 0 0
B Diag
 
 
= − = −
 
 
 
;
( )
3 0 0 0
0 4 0 0
3;4;2;0
0 0 2 0
0 0 0 3
C Diag
−
 
 
 
= = −
 
 
 
Matriz Triangular Inferior
Es aquella matriz cuadrada ij
A a
 
=   , cuyos elementos que están por encima de la diagonal principal
son todos nulos, es decir: 0
ij
a = , i j
  (Espinoza Ramos, 2008)
Matriz Diagonal
Una matriz cuadrada ij
A a
 
=   que es triangular superior e inferior a la vez; es decir: 0
ij
a = ,
i j i j
    (Vera Gutierrez, 2003)

12. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
3
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Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
En general:
11
22
33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
n n
nn
a
a
A a
a

 
 
 
 
=
 
 
 
 
Matriz escalar
Es aquella matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales a un escalar k ( )
0
k  ,
es decir:
( )
4 0
4; 4
0 4
A Diag
−
 
= = − −
 
−
 
( )
7 0 0
0 7 0 7;7;7
0 0 7
B Diag
 
 
= =
 
 
 
2
1 0
0 1
I
 
=  
 
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
, 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 
=
 
 
 
Son matrices identidad de orden 2,3 y 4
respectivamente.
Propiedades:
1. Sea A una matriz de orden m n
 , entonces:
. . . .
n m m n
A I I A I A I A
= = =
Matriz Identidad
Es aquella matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principales son 1.

13. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
4
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
2. ( ) ( )
... . ; ; ;...;
I I I p veces P I Diag p p p p
+ + + = = .
3. n
I I
= ; n N
 
4. Sea A una matriz cuadrada: . .
A I I A A
= = .
Ejemplo 6:
Sea:
2 3
2 1 1
1 2 3
A

−
 
=  
 
entonces
3 2
2 1
1 2
1 3
T
A

 
 
= −
 
 
 
.
PROPIEDADES Sean m n
A  y m n
B  matrices, entonces:
1. ( )
T
T
A A
=
2. ( )
T T
kA kA
=
3. ( )
T T T
A B A B
+ = +
4. ( )
T T T
AB B A
=
5. ( )
T
n n
I I
= ; n
I : matriz identidad.
6. ( ) ( )
1
1 T T
A A
−
−
= ;
1
A−
: inversa de A.
Matriz Transpuesta
Definición: Sea ij m n
A a

 
=   una matriz de orden m n
 ; la matriz transpuesta de A, que se denota
por t
A , se obtiene colocando las filas (o columnas) de A como columnas (o filas) en t
A , es decir:
t
ij n m
A b

 
=   , donde: ij ji
b a
= ; 1;
i n
= y 1;
j m
=
Matriz Simétrica
Definición: Una matriz cuadrada ij
A a
 
=   de orden n es simétrica si y sólo si:
t
A A
= , es decir si:
ji ij
a a
= ; ; 1;
i j n
 =

14. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
5
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ejemplo 7
Para la matriz:
1 2 3
2 0 1
3 1 2
A
−
 
 
=  
 
− −
 
;
1 2 3
2 0 1
3 1 2
T
A A
−
 
 
= =
 
 
− −
 
, luego A es simétrica.

15. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
6
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
4. ACTIVIDADES Y EVALUACIÓN
Actividad N° 01
Importante: Cada estudiante desarrollara 1 ejercicio, de acuerdo al orden de lista y al número de actividades.
Nota: La fecha de presentación de las actividades es el día domingo 29 de agosto, hasta las 7pm, utilizar el
formato PDF para la presentación. Pasado la fecha y hora no será considerado.
1. Escribir explícitamente las siguientes matrices:
a)
3 3
ij
A a

 
=   , ( )
1
j
ij
a i
−
= −
b)
3 3
ij
B b

 
=   ,
( )
2 ,
,
i
ij
i j si i j es impar
b
j si i j es par
− +


= 
− −


c)
3 3
ij
B c

 
=   ,
 
( )
max , , 4
, 4
ij i j
i j si i j
c
j si i j
+
+ 


= 
− + 


2. Sea
3 3
ij
A a

 
=   ,
 
,
max , ,
ij
i j si i j es impar
a
i j si i j es par
+


= 
+


y
1 2 3
2 2 2 3
3 3 2 2
x y z
B x y z
x y z
− +
 
 
= + +
 
 
+ +
 
.
Si A B
= , hallar x, y, z.
3. Sea
3 3
ij
A a

 
=   ,
( )
( )
1 2 ,
2 2 ,
ij
j si i j
a
i j si i j
+ 


= 
− 


y
1 2 3 2
2 1 5 2
2 1 2 3 2
x y z
B x y
x y z
− − +
 
 
= + − −
 
 
+ − − −
 
. Si A B
=
, hallar x, y, z.
4. Sean las matrices
2
1 0 2
3
3 2
2
A k k
k
 
 
− −
 
= −
 
 
 
− − −
 
y
3
5
2 10 1
3
1 2 3
k
B k k
k
− −
 
 
 
= − −
 
 
− −
 
, entonces el valor de " "
k para
que la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es:
5. Sean
( )
2
7 5
3
0.2 1
2 8
x
y
A
x z
+
+
 
 
=
 
+
 
, (3 2)
1 0
4 y
B
y +
−
 
=  
−
 
y
24 1
5 0
C
 
=  
 
.
Si A B C
+ = . Hallar x y z
+ + .
6. Sean
0
x z
x
a b
A
c
 
=  
 
y
0
y
y
b ac
B
b
 
=  
 
. Si A B
= , calcular:
1
1 1 1
E
y x z
−
 
= +
 
 
.

16. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
7
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
7. Hallar la matriz " "
X en: ( ) ( ) ( )
3 2 2 2 4 3 2
X A X B B A X
+ − + = − + , donde
2 3
4 1
A
 
=  
 
,
2
B I A
= − .
8. Considerar las siguientes matrices:
2 1 0
0 1 1
A
 
=  
 
,
3 3
ij
B b

 
=  
,
,
ij
i j si i j
b
i j si i j
+ 

= 
− 

3 3
ij
D d

 
=    
max ,
ij
d i j
=
Calcular (si es posible):
a) T
AA B
+
b) ( )
1
3 2
2
T
BD A A
+
9. Considerar las siguientes matrices:
2 1 0
0 1 1
A
 
=  
 
,
3 3
ij
B b

 
=  
,
,
ij
i j si i j
b
i j si i j
+ 

= 
− 

1 2
3 4
C
 
=  
 
,
3 3
ij
D d

 
=    
max ,
ij
d i j
=
Calcular (si es posible):
a)
2
2 2
A C
+
b) T
A D y CA
10. Considerar las siguientes matrices:
2 1 0
0 1 1
A
 
=  
 
,
3 3
ij
B b

 
=  
,
,
ij
i j si i j
b
i j si i j
+ 

= 
− 

1 2
3 4
C
 
=  
 
,
3 3
ij
D d

 
=    
max ,
ij
d i j
=
Calcular (si es posible):
a) ( ) T
AB A y T
DA A
b) ( )
T
A B D
+ y
T
C A C
 
+
 
11. Halle: " "
x y z
+ + en:

17. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
8
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
1 0
2
0 1
1 0 1
0 2 0
x
x y x z x
x
z y zx
 
−
   
  =
   
 
   
 
 
12. En la matriz ij
X x
 
=   de la ecuación:
2 1 3 2 1 1
. . 5
3 2 3 3 1 1
X
− −
     
=
     
−
     
La suma de todos los ij
x es:
13. Sean las matrices:
2 1 1
4 5
5 16 16
A x
−
 
 
= −
 
 
−
 
;
3 0
5 1 0
1 0
4 1 0
p
B
q
 
 
−
 
=
 
−
 
−
 
Si el producto AB es la matriz identidad, hallar la suma de los elementos de la diagonal secundaria del
producto BA.
14. Dadas las matrices:
3 5
2 2
A
−
 
=  
−
 
;
2 3
4 5
B
−
 
=  
 
;
7 3
2 1
C
−
 
=  
−
 
Señalar la suma de los elementos de la matriz “X”, que se obtiene al resolver la ecuación matricial:
( ) ( ) ( )
3 2 5 2
X A B C X A B
− = − + − −
Actividad N° 02
1. Hallar la matriz X e Y si:
( ) ( )
2 2 2
T
T T
X Y Y Y A
+ = + +
( ) ( )
2 2
T
T
Y X X B
− = +
Donde
2 3
1 0
T
A
 
=  
 
,
1 2
0 3
B
 
=  
 
2. Calcular la matriz X , si: ( )
1
2 2
2
T
T
T T T T T T
CX A B A C X AB B
 
 
+ + = + +
 
 
 
, donde
2 0
0 2
T
C
 
=  
 
;
1 2
0 1
T
A
 
=  
 
y
T
C A B
= − .

18. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
9
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
3. Hallar la matriz X e Y si:
( ) ( )
2 2 3
T T
T T
X X A X Y
+ = + +
3 2
T T
X Y B
+ =
Donde
2 3
1 0
A
 
=  
 
,
T
B A I
= −
4. Calcular la matriz X , si: ( ) ( )
2
T T
T T T
X CB B CB BCBA
− = −
donde
1 2 1
0 1 3
0 0 1
A
 
 
=  
 
 
;
2 0 0
0 2 0
0 0 2
B
 
 
=  
 
 
y
1 0 2
0 1 1
3 2 0
C
 
 
=  
 
 
.
5. Calcular la matriz X , si: ( ) ( )
2
T
T T T
A X B B X B A
 
− = + −
 
donde
2 1
0 3
A
 
=  
 
;
4 3
6 9
B
 
=  
 
.
6. Calcular la matriz X , si: ( )
2
T
T
T T T T
CA B A C X A C
 
− − = −
 
 
donde
1 2 0
0 1 2
B
−
 
=  
−
 
;
2 2
1 3
T
A I C
 
= − =  
 
.
Rubrica de Evaluación

19. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
10
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
5. GLOSARIO
• Una matriz es un conjunto de elementos dispuestos en forma rectangular ( Amxn ).
• El orden de una matriz lo determina el número de filas y de columnas en la matriz.
• Una fila, es el conjunto de elementos dispuestos en forma horizontal ( Fi ).
• Una columna es el conjunto de elementos dispuestos en forma vertical (Cj ).
• Una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnas ( An ).
• La diagonal principal de una matriz cuadrada la forman los elementos que se encuentran en la
misma fila y la misma columna ( aii )
• La matriz idéntica es una matriz cuadrada de cualquier orden, con unos en la diagonal principal y
ceros en las demás posiciones ( In ). Es el módulo del producto de matrices.
• La matriz nula es una matriz de cualquier orden con todos los elementos iguales a cero ( Omxn ). Es
el módulo de la suma de matrices.

20. SEMANA N° 01 – Álgebra Lineal
11
Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Carrera Profesional de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
• La matriz opuesta de A es otra matriz (-A) del mismo orden, que se forma con los opuestos de los
elementos de A ( -A = ( -aij )).
• Matrices iguales son las que tienen los mismos elementos en las mismas posiciones ( aij = bij ).
• Una operación elemental es una modificación en los elementos de una matriz.
• Las Matrices equivalentes son las que se obtienen por medio de operaciones elementales sobre las
filas o las columnas de una matriz ( A≈B ).
• Una matriz idempotente es aquella que al ser multiplicada por ella misma, da como resultado la
misma matriz ( A2
= A.A = A ).
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICA
− Espinoza Ramos, E. (2008). Vectores y Matrices. Lima: Edukperu.
− Vera Gutierrez, C. (2003). Matématica Básica. Lima: Moshera.