PROBABILIDAD TOTAL

1. PROBABILIDAD
FPB2
SERGIO SALOBREÑA
LUCENA
VÉLEZ-MÁLAGA Y ARENAS

2. FENÓMENOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS
• DETERMINISTAS: SON AQUELLOS CUYOS RESULTADOS
SOMOS CAPACES DE PREDECIR. ESTOS FENÓMENOS SON
ESTUDIADOS POR LA FÍSICA, LA QUÍMICA, LA BIOLOGÍA… EJ:
LANZAR UNA PIEDRA AL AIRE ES UN FENÓMENO
DETERMINISTA, PORQUE EL ÚNICO RESULTADO POSIBLE ES
QUE LA GRAVEDAD LA DEVUELVA AL SUELO.
•ALEATORIOS: SON AQUELLOS CUYOS RESULTADOS NO
SOMOS CAPACES DE PREDECIR. ESTOS FENÓMENOS SON
ESTUDIADOS POR LA ESTADÍSTICA Y EL CÁLCULO DE
PROBABILIDADES… EJ: LANZAR UNA MONEDA AL AIRE ES UN
FENÓMENO ALEATORIO, PORQUE NO SOMOS CAPACES DE
PREDECIR SI SALDRÁ CARA O CRUZ.

3. ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS
• EL ESPACIO MUESTRAL (E) DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO
ES EL CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS RESULTADOS
POSIBLES.
EJ. LANZAMOS UNA MONEDA AL AIRE:
E= {CARA, CRUZ}
EJ. LANZAMOS 2 MONEDAS AL AIRE:
E ={ (CARA,CARA), (CARA, CRUZ), (CRUZ, CARA), (CRUZ,
CRUZ) }
•UN SUCESO ALEATORIO ES CADA UNO DE LOS
SUBCONJUNTOS DEL ESPACIO MUESTRAL. PARA
NOMBRARLOS SE UTILIZAN LETRAS MAYÚSCULAS: A,B,I,C.
EJ: LANZAMOS UN DADO NUMERADO.
E= {1,2,3,4,5,6}.

4. EJERCICIOS
1. INDICA CUAL DE LOS SIGUIENTES FENÓMENOS ES ALEATORIO (A) Y CUAL
ES DETERMINISTA (D):
A) LANZAR UNA PELOTA AL AIRE_____D_____
B) LA SELECCIÓN ESPAÑOLA GANA LA EUROCOPA____
C) EL SEXO DE UN FETO____
D) PRONOSTICAR UN TSUNAMI_____
E) PRONOSTICAR QUE MAÑANA LLOVERÁ____
F) SABER QUE DÍA DE LA SEMANA ES MAÑANA____
G) QUE ENCIENDA LA LUZ AL DARLE AL INTERRUPTOR___
2. DESCRIBE EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A LOS SIGUIENTES
EXPERIMENTOS ALEATORIOS:
A) LANZAR 2 DADOS.
B) LANZAR UN DADO Y UNA MONEDA.
C) LANZAR 2 DADOS Y SUMAR SUS RESULTADOS.
D) LANZAR 2 MONEDAS Y SUMAR SUS RESULTADOS.
E) SACAR UNA BOLA DE UNA URNA CON BOLAS BLANCAS Y VERDES.

5. TIPOS DE SUCESOS
• UN SUCESO ELEMENTAL ES CADA UNO DE LOS SUCESOS
FORMADOS POR UN ÚNICO ELEMENTO DEL ESPACIO
MUESTRAL.
EJ. LANZAMOS UN DADO NUMERADO.
ESPACIO MUESTRAL: E= {1,2,3,4,5,6}.
SUCESOS ELEMENTALES: A=(1), B=(2), C=(3), D=(4), E=(5),
F=(6).
•UN SUCESO COMPUESTO ES CUALQUIER SUCESO FORMADO
POR DOS O MÁS SUCESOS ELEMENTALES. EJ: LANZAMOS UN
DADO NUMERADO.
ESPACIO MUESTRAL: E= {1,2,3,4,5,6}.
SUCESO COMPLEJO: SALGA UN Nº PAR: P=(2,4,6).

6. EJERCICIOS
3. SI SACAMOS UNA BOLA DE UNA URNA QUE CONTIENE BOLAS ROJAS,
BLANCAS Y NEGRAS. INDICA SI SON VERDADERAS O FALSAS ESTAS
AFIRMACIONES:
A) EL SUCESO R= (ROJA) ES UN SUCESO COMPUESTO.
B) EL SUCESO T= (ROJA, NEGRA) ES UN SUCESO COMPUESTO.
C) EL SUCESO N= (NEGRA) ES UN SUCESO ELEMENTAL.
4. SI EL EXPERIMENTO CONSISTE EN SACAR UNA CARTA DE UNA BARAJA
ESPAÑOLA. DI SI LOS SIGUIENTES SUCESOS SON ELEMENTALES O
COMPUESTOS:
A) SACAR EL AS.
B) SACAR EL REY DE COPAS.
C) SACAR UNA ESPADA.
D) SACAR EL 4 DE BASTOS.

7. TIPOS DE SUCESOS
• UN SUCESO IMPOSIBLE ES EL QUE NUNCA SE CUMPLE. EJ: LANZAR UN
DADO DE 6 CARAS NUMERADAS Y SALE EL Nº7.
•UN SUCESO SEGURO ES AQUEL QUE SIEMPRE SE CUMPLE. EJ: LANZAR UN
DADO DE 6 CARAS NUMERADAS Y SACAR ALGÚN NÚMERO ENTRE 1 Y 6.
• UN EXPERIMENTO ALEATORIO COMPUESTO ES AQUEL QUE ESTÁ FORMADO
POR DOS O MÁS EXPERIMENTOS SENCILLOS. EJ: EXTRAER VARIAS BOLAS
DE UNA URNA.
EL ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO COMPUESTO SERÁ EL
PRODUCTO DE LOS RESULTADOS DE CADA UNO DE LOS EXPERIMENTOS
SENCILLOS QUE LO COMPONEN. EJ: LANZAMOS UN DADO Y UNA MONEDA.
HAY 6 RESULTADOS POSIBLES AL LANZAR UN DADO Y 2 RESULTADOS
POSIBLES AL LANZAR UNA MONEDA. RESULTADOS POSIBLES: 6X2= 12.
E={(1,CARA),(2,CARA),(3,CARA),(4,CARA),(5,CARA),(6,CARA),(1,CRUZ),(2,CRUZ),
(3,CRUZ), (4,CRUZ), (5,CRUZ), (6,CRUZ).

8. ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO
COMPUESTO
• PARA CONOCER EL ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO COMPUESTO
SE PUEDE UTILIZAR CUALQUIERA DE LAS SIGUIENTES HERRAMIENTAS:
-TABLA DE DOBLE ENTRADA: SE UTILIZA EN LOS CASOS EN QUE SE
COMBINAN DOS EXPERIMENTOS SENCILLOS; LOS RESULTADOS DE UNO SE
COLOCAN EN EL EJE VERTICAL Y DEL OTRO EN EL EJE HORIZONTAL. EJ. SE
LANZAN 2 DADOS.

9. ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO
COMPUESTO
-DIAGRAMA DE ÁRBOL: SE UTILIZA CUANDO SE COMBINAN DOS O MÁS
EXPERIMENTOS SENCILLOS. SE DIBUJA UNA RAMA PARA CADA UNA DE LAS
POSIBILIDADES DEL PRIMER EXPERIMENTO. AL FINAL DE CADA UNA DE
ESTAS RAMAS, SE TRAZAN NUEVAS RAMAS CON CADA UNA DE LAS
POSIBILIDADES DEL SEGUNDO EXPERIMENTO, Y ASÍ SUCESIVAMENTE. EJ: SE
TIENEN 2 PANTALONES Y 3 CAMISETAS, ESCOGER UN PANTALÓN Y UNA
CAMISETA.
C1
P1
C2
C3
C1
P2
C2
C3
E= { (P1,C1), (P1,C2), (P1,C3), (P2,C1), (P2,C2), (P2,C3)

10. EJERCICIOS
5. LANZAMOS UN DADO Y EXTRAEMOS UNA BOLA DE UNA
URNA QUE CONTIENE UNA BOLA BLANCA, UNA ROJA, UNA
AZUL Y UNA VERDE. CONSTRUYE UNA TABLA DE DOBLE
ENTRADA PARA CONOCER EL ESPACIO MUESTRAL DEL
EXPERIMENTO.
6. CONSTRUYE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA CONOCER EL
ESPACIO MUESTRAL DE LOS SIGUIENTES EXPERIMENTOS:
A) LANZAR 3 MONEDAS.
B) COMBINAR 3 PLATOS PRINCIPALES Y 3 POSTRES.

11. OPERACIONES CON SUCESOS
DADOS DOS SUCESOS A Y B DE UN ESPACIO MUESTRAL E, SE PUEDE
OPERAR CON ELLOS Y OBTENER OTROS SUCESOS:
1. SUCESO COMPLEMENTARIO(AC): EL SUCESO COMPLEMENTARIO DE UN
SUCESO A SERÁ EL SUCESO FORMADO POR TODOS LOS SUCESOS
ELEMENTALES DEL ESPACIO MUESTRAL QUE NO ESTÁN EN A.
E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4)
AC= (5,6,7,8,9,10)
2. SUCESO DIFERENCIA (A-B): EL SUCESO DIFERENCIA DE DOS SUCESOS A Y
B SERÁ EL FORMADO POR LOS SUCESOS ELEMENTALES DE A QUE NO
ESTÁN EN B. SE CUMPLE CUANDO SUCEDE A, PERO NO B.
E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4) B= (1,2,5,6,7,8)
A-B= (3,4)

12. EJERCICIOS
7. EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UN DADO DE 6 CARAS,
CONSIDERAMOS ESTOS SUCESOS: A=“SALIR UN NÚMERO
PAR”=(2,4,6), B=“SALIR UN NÚMERO IMPAR”=(1,3,5), C= “SALIR
UN NÚMERO MENOR QUE 3”=(1,2), D=“SALIR EL NÚMERO
3”=(3).
A) DESCUBRE EL SUCESO COMPLEMENTARIO DE A.
B) DESCUBRE EL SUCESO COMPLEMENTARIO DE B.
C) CALCULA EL SUCESO DIFERENCIA DE A Y C.
D) CALCULA EL SUCESO DIFERENCIA DE B Y C.
E) CALCULA EL SUCESO DIFERENCIA DE B Y D.

13. OPERACIONES CON SUCESOS
3. SUCESO UNIÓN(AUB): EL SUCESO UNIÓN DE 2 SUCESOS A Y B, ES EL
SUCESO FORMADO AL REUNIR LOS SUCESOS ELEMENTALES DE A Y LOS
SUCESOS ELEMENTALES DE B. ES DECIR, SE CUMPLE CUANDO SE
CUMPLE A O SE CUMPLE B.
E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4) B= (1,2,5,6,7,8)
AUB= (1,2,3,4,5,6,7,8)
2. SUCESO INTERSECCIÓN (AΩB): EL SUCESO INTERSECCIÓN DE DOS
SUCESOS A Y B SE FORMA CON LOS SUCESOS ELEMENTALES QUE
TIENEN EN COMÚN A Y B. SE CUMPLE CUANDO SE CUMPLEN A Y B.
E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4) B= (1,2,5,6,7,8)
AΩB= (1,2)

14. OPERACIONES CON SUCESOS
DOS SUCESOS SON INCOMPATIBLES SI NO TIENEN NINGÚN SUCESO
ELEMENTAL EN COMÚN.
E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,4,6) B= (3,5,7,9)
AΩB= Ф
DOS SUCESOS SON COMPATIBLES SI TIENEN ALGÚN SUCESO ELEMENTAL EN
COMÚN.
E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4) B= (1,2,5,6,7,8)
AΩB≠ Ф

15. EJERCICIOS
8. EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UN DADO DE 6 CARAS,
CONSIDERAMOS ESTOS SUCESOS: A=“SALIR UN NÚMERO
PAR”=(2,4,6), B=“SALIR UN NÚMERO IMPAR”=(1,3,5), C= “SALIR
UN NÚMERO MENOR QUE 3”=(1,2), D=“SALIR EL NÚMERO
3”=(3).
A) ¿ SON COMPATIBLES A Y B?
B) ¿SON COMPATIBLES A Y C?
C) ¿SON COMPATIBLES A Y D?
D) ¿SON COMPATIBLES B Y D?.
E) ¿SON COMPATIBLES C Y D?

16. EJERCICIOS
9. TENEMOS 2 URNAS CON 9 BOLAS CADA UNA NUMERADAS
DEL 1 AL 9. SE SACA UNA BOLA DE CADA URNA
SIMULTÁNEAMENTE Y SE ANOTAN LOS NÚMEROS QUE
SALEN. CONSIDEREMOS LOS SUCESOS A= “SALIR UN
NÚMERO PRIMO”= (1,2,3,5,7) Y B= “SALIR EL CUADRADO DE
UN NÚMERO”= (4,9). ENCUENTRA:
A) EL SUCESO UNIÓN DE A Y B. (AUB)
B) EL SUCESO INTERSECCIÓN DE A Y B. (AΩB)
C) LOS SUCESOS A Y B ¿SON COMPATIBLES O
INCOMPATIBLES?.
D) LOS SUCESOS COMPLEMENTARIOS DE A Y B. (AC) Y (BC)

17. PROBABILIDAD DE UN SUCESO
• UN SUCESO IMPOSIBLE ES AQUEL QUE NUNCA SUCEDE, POR LO QUE SU
PROBABILIDAD ES 0%. P(E)=0. EJ. PROBABILIDAD DE QUE SALGA 7 EN UN DADO.
P(E)=0
• UN SUCESO SEGURO ES AQUEL QUE SIEMPRE SUCEDE, POR LO QUE SU
PROBABILIDAD ES DEL 100%. P(A)=1. EJ. PROBABILIDAD DE QUE SALGA EN UN
DADO UN NÚMERO DEL 1 AL 6.
P(A)=1
• LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO (S) QUE NO SEA NI IMPOSIBLE NI SEGURO, SE
ENCUENTRA ENTRE 0 Y 1. EJ. PROBABILIDAD DE QUE SALGA UN NÚMERO PAR AL
TIRAR UN DADO.
P(S)= 0,5
SI UN SUCESO ES POCO PROBABLE SU PROBABILIDAD SERÁ CERCANA A CERO.
EJ. PROBABILIDAD DE QUE SALGA 1 AL TIRAR UN DADO.
P(S)=1/6= 0,17
SI UN SUCESO ES MUY PROBABLE SU PROBABILIDAD SERÁ CERCANA A UNO. EJ.
PROBABILIDAD DE QUE SALGA UN NÚMERO ENTRE 1 Y 5 AL TIRAR UN DADO.
P(S)=5/6= 0,83

18. EJERCICIOS
10. LANZAMOS UNA CHINCHETA AL AIRE.
A) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE CAIGA DE CABEZA?
B) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE CAIGA DE PUNTA?
11. UN AUXILIAR DE VUELO ANOTA LA PROCEDENCIA DE 100
TURISTAS:
A) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN TURISTA SEA ALEMÁN?
B) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN TURISTA SEA CHINO?

19. REGLA DE LAPLACE
UN ESPACIO MUESTRAL EQUIPROBABLE ES AQUEL EN EL QUE TODOS LOS
SUCESOS TIENEN LAS MISMAS POSIBILIDADES DE OCURRIR. EJ. AL TIRAR
UN DADO TENEMOS LAS MISMAS POSIBILIDADES DE QUE SALGA UN
1,2,3,4,5,6.
• EN UN ESPACIO MUESTRAL EQUIPROBABLE(E), LA REGLA DE LAPLACE
DICE QUE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO A SERÁ:
EJEMPLO: EN UNA CLASE DE 42 ALUMNOS, 24 SON CHICAS Y 18 CHICOS. SEA
EL SUCESO A= “ESCOGER UNA ALUMNA AL AZAR”, SU PROBABILIDAD
ES:

20. EJERCICIOS
12. SE SACA UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40
CARTAS. HALLA LA PROBABILIDAD DE SACAR:
A) UNA FIGURA.
B) UNA SOTA.
C) UN 3 O UN 6.
D) EL REY DE ESPADAS.
E) UNA CARTA QUE NO SEA DE OROS.
F) UNA FIGURA DE BASTOS.

21. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
• LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES UN NÚMERO ENTRE 0 Y 1.
0 ≤P(A)≤1
• LA PROBABILIDAD DEL SUCESO SEGURO ES 1 Y DEL SUCESO IMPOSIBLE ES 0.
P(E)= 1 P(Ф)=0
• LA PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE 2 SUCESOS COMPATIBLES ES LA SUMA DE SUS
PROBABILIDADES MENOS LA PROBABILIDAD DE SU INTERSECCIÓN:
P(AUB)= P(A)+P(B)-P(AΩB)
EJ: 67% ENTRADA AL CINE. P(A)=0,67
64% ENTRADA AL TEATRO P(B)=0,63
38% ENTRADAS PARA AMBOS P(AΩB)=0,38
P DE ELEGIR A ALGÚN COMPAÑERO AL AZAR QUE HALLA COMPRADO ALGUNA
ENTRADA=P(AUB)
• LA PROBABILIDAD DEL SUCESO COMPLEMENTARIO ES IGUAL A 1 MENOS LA
PROBABILIDAD DEL SUCESO:
P(AC)= 1-P(A)
EJ: P(A)= 0,35 P(AC)=1-0,35=0,65

22. EJERCICIOS
13.EL 40% DE MIS COMPAÑEROS TIENEN FACEBOOK Y EL 60%
TIENEN TWITTER. SABIENDO QUE EL 85% TIENE CUENTA EN
ALGUNA DE LAS DOS REDES SOCIALES ¿QUÉ PORCENTAJE
TIENE CUENTA EN LAS DOS?
14. SALVA TIENE EN SU ARMARIO 7 CAMISETAS ROJAS, 9 AZULES Y 4
VERDES. SI COGE UNA CAMISETA AL AZAR, ¿CUÁL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE SEA VERDE O AZUL?
15. DADA UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS, CALCULA LA
PROBABILIDAD DE QUE SE PRODUZCAN LOS SIGUIENTES
SUCESOS:
A) SACAR UNA FIGURA.
B) SACAR UNA ESPADA O UNA FIGURA.

23. PROBABILIDAD DE EXPERIMENTOS COMPUESTOS
• DADOS 2 SUCESOS SIMPLES, A Y B DE UN EXPERIMENTO
COMPUESTO, PUEDE SER QUE UN SUCESO DEPENDA DEL OTRO,
SIENDO A Y B SUCESOS DEPENDIENTES.
O PUEDE QUE LA PRESENCIA DE UNO NO INFLUYA EN LA PRESENCIA
DEL OTRO, SIENDO A Y B SUCESOS INDEPENDIENTES.
EJ:EN EL EXPERIMENTO COMPUESTO EXTRAER 2 BOLAS DE UNA
URNA CON BOLAS MORADAS Y NARANJAS, SE DEFINEN LOS
SUCESOS M= EXTRAER UNA BOLA MORADA Y N=EXTRAER UNA
BOLA NARANJA.
M Y N SON INDEPENDIENTES SI SE EXTRAE LA 1º BOLA, LA
DEVOLVEMOS A LA URNA Y LUEGO EXTRAEMOS LA 2º BOLA.
M Y N SON DEPENDIENTES SI SE EXTRAE LA 1º BOLA Y SIN
DEVOLVERLA A LA URNA SE EXTRAE LA SEGUNDA BOLA.

24. PROBABILIDAD DE EXPERIMENTOS COMPUESTOS
• SI 2 SUCESOS SON INDEPENDIENTES, LA PROBABILIDAD DE SU
INTERSECCIÓN SERÁ: P(AΩB)=P(A)XP(B)
• SI 2 SUCESOS SON DEPENDIENTES, LA PROBABILIDAD DE SU
INTERSECCIÓN SERÁ: P(AΩB)=P(A)XP(B/A).
LA PROBABILIDAD CONDICIONADA P(B/A), ES LA PROBABILIDAD DE
QUE SE PRODUZCA B SABIENDO QUE HA OCURRIDO A.
EJ: EN UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS SE CONSIDERAN LOS
SUCESOS:
A= “SACAR UNA FIGURA EN LA 1º EXTRACCIÓN”
B= “SACAR UNA FIGURA EN LA 2º EXTRACCIÓN”

25. PROBABILIDAD DE EXPERIMENTOS COMPUESTOS
• EJEMPLO: EN UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS SE CONSIDERAN LOS SUCESOS:
A= “SACAR UNA FIGURA EN LA 1º EXTRACCIÓN”
B= “SACAR UNA FIGURA EN LA 2º EXTRACCIÓN”
CALCULAR LA PROBABILIDAD DE EXTRAER 2 FIGURAS.
P(A)=12/40=0,3
PARA CALCULAR LA P(B), HAY 2 POSIBILIDADES;
• SI TRAS LA 1º EXTRACCIÓN DEVOLVEMOS LA CARTA AL MAZO Y LUEGO SACAMOS LA
2º CARTA:P(B)=12/40=0,3. A Y B SON SUCESOS INDEPENDIENTES POR LO QUE:
P(AΩB)=P(A)XP(B)=12/40 X 12/40 = 0,09
• SI TRAS LA 1º EXTRACCIÓN NO DEVOLVEMOS LA CARTA AL MAZO. P(B)=11/39=0,28. A Y
B SON SUCESOS DEPENDIENTES POR LO QUE:
P(AΩB)=P(A)XP(B/A)=12/40X11/39=0,08

26. EJERCICIOS
16. LANZAMOS DOS DADOS A LA VEZ. ¿CUÁL SERÁ LA POSIBILIDAD DE
SACAR EL Nº1 EN AMBOS DADOS?.
17. TENEMOS UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS. SI CONSIDERAMOS
LOS SUCESOS:
A= “SACAR UNA FIGURA EN LA PRIMERA EXTRACCIÓN”
B= “SACAR UNA FIGURA EN LA SEGUNDA EXTRACCIÓN”
CALCULA LA PROBABILIDAD DE EXTRAER 2 FIGURAS.

27. EJERCICIOS
18. SE EXTRAEN 2 CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS.
CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE SEAN:
A) LAS 2 CARTAS DE ESPADAS
B) LA PRIMERA CARTA DE COPAS Y LA SEGUNDA DE BASTOS.
19. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE NO SACAR NI OROS NI FIGURAS AL
EXTRAER DOS CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA?