Se define la función arcocotangente hiperbólica.

1. Arcocotangente hiperbólica.
José de Jesús García Ruvalcaba.
UABC

2. Recordatorio.
Cotangente
hiperbólica.
 La cotangente hiperbólica es:
coth 𝑥 =
cosh 𝑥
sinh 𝑥
=
𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥
No está definida en cero.
Su imagen es −∞, −1 ∪ 1, +∞
Tiene dos ramas separadas, cada
una es estrictamente decreciente.
Es inyectiva.

3. Cotangente
hiperbólica.
coth: −∞, 0 ∪ 0, +∞ → −∞, −1 ∪ 1, +∞
Es biyectiva.
Su inversa es:
arccoth: −∞, −1 ∪ 1, +∞ → −∞, 0 ∪ 0, +∞

4. Gráfica de la
arcocotangente
hiperbólica.
arccoth: −∞, −1 ∪ 1, +∞ → −∞, 0 ∪ 0, +∞
Es una función impar.
Cada rama es estrictamente decreciente.

5. Fórmula explícita para la arcocotangente
hiperbólica.
𝑦 = arccoth 𝑥
𝑥 < −1 ∨ 1 < 𝑥
𝑦 ≠ 0
𝑥 = coth 𝑦
𝑥 =
𝑒 𝑦
+ 𝑒−𝑦
𝑒 𝑦 − 𝑒−𝑦
Hay que despejar 𝑦

6. Continuación.
𝑥 =
𝑒 𝑦
+ 𝑒−𝑦
𝑒 𝑦 − 𝑒−𝑦
𝑥 𝑒 𝑦
− 𝑒−𝑦
= 𝑒 𝑦
+ 𝑒−𝑦
𝑥𝑒 𝑦
− 𝑥𝑒−𝑦
= 𝑒 𝑦
+ 𝑒−𝑦
𝑥𝑒 𝑦
− 𝑒 𝑦
= 𝑥𝑒−𝑦
+ 𝑒−𝑦
𝑥 − 1 𝑒 𝑦
= 𝑥 + 1 𝑒−𝑦
𝑥 − 1 𝑒2𝑦 = 𝑥 + 1

7. Conclusión.
𝑥 − 1 𝑒2𝑦
= 𝑥 + 1
𝑒2𝑦 =
𝑥 + 1
𝑥 − 1
2𝑦 = log
𝑥 + 1
𝑥 − 1
𝑦 =
1
2
log
𝑥 + 1
𝑥 − 1
arccoth 𝑥 =
1
2
log
𝑥 + 1
𝑥 − 1

8. Después de la conclusión.
arccoth 𝑥 =
1
2
log
𝑥 + 1
𝑥 − 1
Se vale para 𝑥 ∈ −∞, −1 ∪ 1, +∞
Para separar el logaritmo de una división, es necesario que tanto el numerador como
el denominador sean positivos. Queda:
arccoth 𝑥 =
1
2
log −𝑥 − 1 − log −𝑥 + 1 , 𝑥 ∈ −∞, −1
1
2
log 𝑥 + 1 − log 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ 1, +∞

9. Otra manera de calcularlo.
 Recordemos que:
coth =
1
tanh
No hubo que restringir el dominio de estas funciones para poder invertirlas, pues
ambas son inyectivas (de entrada, el cero no está en el dominio de la arcocotangente
hiperbólica).
Por lo tanto,
arccoth 𝑥 = arctanh
1
𝑥

10. Otra manera, recordatorio y continuación.
arctanh 𝑥 =
1
2
log
1 + 𝑥
1 − 𝑥
arccoth 𝑥 = arctanh
1
𝑥
=
1
2
log
1 +
1
𝑥
1 −
1
𝑥

11. Continuación.
arccoth 𝑥 =
1
2
log
1 +
1
𝑥
1 −
1
𝑥
arccoth 𝑥 =
1
2
log
𝑥 + 1
𝑥
𝑥 − 1
𝑥
arccoth 𝑥 =
1
2
log
𝑥 + 1
𝑥 − 1

12. Para resumir.
arccoth: −∞, −1 ∪ 1, +∞ → −∞, 0 ∪ 0, +∞
arccoth 𝑥 =
1
2
log
𝑥 + 1
𝑥 − 1
arccoth 𝑥 =
1
2
log −𝑥 − 1 − log −𝑥 + 1 , 𝑥 ∈ −∞, −1
1
2
log 𝑥 + 1 − log 𝑥 − 1 , 𝑥 ∈ 1, +∞